Lampiran bab 3 Sistem Pengaturan Otomatis Halaman B .1
Lampiran B
B.1. Transformasi Laplace
Metode transformasi Laplace adalah suatu metoda operasional, yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan “Persamaan Deferential Linear” Maka dengan mengunakan Transformasi Laplace kita dapat mengubah beberapa fungsi umum :
1. Fungsi sinusoidal
2. Fungsi sinusoidal teredam
3. Fungsi Exponensial menjadi aljabar variable kompleks
Sedangkan untuk operasi-operasi seperti deferential dan integral dapat diganti dengan, operasi aljabar bidang komplek dan selanjutnya dapat diselesaikan dengan menggunakan table transformasi Laplace
Defenisi transformasi Laplace :
f(t) = fungsi waktu, adalah nol (0) untuk t< 0 F(s) = fungsi komplek (TL dari f(t)
L = simbul operasional yang menunjukkan bahwa besaran yang dikehendakinya ditransformasikan dengan integral laplace.
Keuntungannya menggunakan Transformasi Laplace: 1. Kondisi awal akan tercakup secara otomatis mis:
Pada saat t = 0, lihat rangkaian listrik tersebut disini capasitor sudah dianggap bermuatan hal, semacam ini disebut kondisi awal.
2. Dapat menyelesaikan persamaan aljabar biasa 3. Lebih sistematis
4. Sudah tersedianya table
5. Semua macam input mudah untuk diselesaikan i Vi + -S C
0f
t
e
dt
s
F
t
f
L
stLampiran bab 3 Sistem Pengaturan Otomatis Halaman B .2 Dalil- dalil Transformasi Laplace :
1. Dalil Lenearity : f(t) F(s) L
af
t
aF
s af(t) a F(s) 2. Dalil Superposisi : f1(t) F1(s) f1(t) ± f2(t) = F1(s) ± F2(s) f2(t) F2(s) L [f1(t) ± f2(t) ] = F1(s) ± F2(s) 3. Deferensiasi :
0 f s F S dt t dfL Kondisi awal dimana harga f(0), harga awal f(t) pada saat t = 0
) 0 ( 0 2 2 2 t dt df Sf s F S dt t f d L
) 0 ( 0 1 1 2 1 t dt f d dt df S f S s F S dt t f d L n n n n n n n 4. Dalil Integrasi
F
s S dt t f t 1 0
0 0 0 1 1
t t dt t f S s F S dt t f
Lampiran bab 3 Sistem Pengaturan Otomatis Halaman B .3 TABEL ANALOGI BESARAN SEKIAS DARI MEKANIS LISTRIK
No Sistem Mekanis Sistem Listrik
Model Sistem Simbol Analogi Gaya
ke Arus Analogi Gaya ke Teganga 1 Gaya ( P ), ( F ) Torsi ( T ) F I ( t ) V (t) 2 Kecepatan ( X ) Kecepatan sudut ( θ ) V V (t ) I (t ) 3 Massa ( M ) atau Momen
Inersia ( J )
C L
4 Koefisien Gesek viskos ( f/D) D f v
F
, R G 1 R 5 Konstanta Pegas ( k ) F v L 1 C 1 6 Perpindahan (x) Perpindahan (θ ) Ψ q Contoh :Jika dibawa ke rangkaian listrik :
v F m q muatan C R L i(t)M
F(t) X(t K D/f x K dt dx f dt x d M t F dt x d M KX dt dx f t F geraknya Persamaan 2 2 2 2 ) ( ) ( : .. ) ( ).. ( .. .. t i t F ARUS GAYA dt d V Sebab t i t d t V L R t V dt dV C dt t di t V L dt t dV R dt t V d C adalah geraknya persamaan Maka
... ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( : . .. .. .. 2Lampiran bab 3 Sistem Pengaturan Otomatis Halaman B .4 Soal : Sebagaimana diperlihatkan pada gambara rangkain mekanis sebagai berikut :
a. Carilah/tuliskan persamaan gerak dar Sistem. b. Tentukan bentuk transfer fuction G(s) adalah
Merupakan fungsi dari output/input .
Penyelesaian : ) ( ) ( ) ( ) ( .. .. .. . 2 2 t X K dt t dX f dt t X d M t F geraknya persamaan Maka a ) ( ) ( ) ( .. ... G s s F s X inout output an Perbanding b L R C Vi(t) + i(t) Vo(t)
M
F(t) X(t K D/f ref ) ( ).. ( .. .. t V t F TEGANGAN GAYA tegangan sumber t v arus sumber t i ana t V dt t i C t i R dt t di L geraknya persamaan Maka .. ) ( .. ) ( ... dim ) ( ) ( 1 ) ( ) ( .. ..
f t
F s f t e dt L st
0 ) ( ) ( ) (Lampiran bab 3 Sistem Pengaturan Otomatis Halaman B .5
K f S S M s F s X s G Sistem Watak s X K s X S f s X MS s F itu karena Oleh s X K t X K L s X S f X S s X S f dt t dX f L s X S M nilainya Maka awal sarat semua ana X S X S s X S M dt t X d M L s F t f L t X K dt t dX f dt t X d M L t f L . . 1 ) ( ) ( ) ( .. .. ) ( . ) ( . . ) ( ) ( .. .. .. ) ( . ) ( . ) ( ) ( ) ( ) ( .. 0 .. .. .. dim .. ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 ) 0 ( 0 2 ) 0 ( 0 ) 0 ( 2 2 2 2 2B2. Laplace transform: Review applikasi Penggunaan:
time domain Laplace or s domain
Persamaan Differential
Solution
Persamaan Aljabar
Laplace
Transform of
Solution
L
L
-1Lampiran bab 3 Sistem Pengaturan Otomatis Halaman B .6
Definisi
Misalkan F(t) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari
F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:
` 0)
(
)
(
)}
(
{
F
t
e
F
t
dt
f
s
L
stKarena
L
{
F
(
t
)}
adalah integral tidak wajar dengan batas atas di takhingga () maka
` 0 ) ( ) ( )} ( {F t e F t dt f s L st
p st pLim e F t dt 0 ) (Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.
No. F(t) L{F(t)} 1. 1 0 , 1 s s 2. t 0 , 1 2 s s 3. t2 0 , 2 3 s s 4. tn n = 0,1,2,3,…. 0 , ! 1 s s n n 5. at
e
, 0 1 a s s 6. sinat 0 , 2 2 s a s a 7. cosat 0 , 2 2 s a s sLampiran bab 3 Sistem Pengaturan Otomatis Halaman B .7 8. sinhat a s a s a 2 , 2 9. coshat a s a s s 2 , 2 10. tcosat 2 2 2 2 ) (s a a s 11. a at t 2 sin 2 2 2 ) (s a s
Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi.
Lampiran bab 3 Sistem Pengaturan Otomatis Halaman B .8
B2.1. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut antara lain:
a) Sifat linear
Jika c1 dan c2adalah sebarang konstanta, sedangkan F1(t) dan F2(t)
adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace
masing-masing f1(s) dan f2(s), maka:
) ( ) ( )} ( ) ( {c1F1 t c2F2 t c1f1 s c2f s L
b) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L{F(t)} f(s)makaL{e2tF(t)} f(sa)
c. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika L{F(t)} f(s) dan a t untuk a t untuk a t F t G , 0 ), ( ) ( maka ) ( )} ( {G t e f s L as
d. Sifat pengubahan skala
Jika L{F(t)} f(s) maka a s f a at F L{ ( )} 1
e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{F(t)} f(s)maka L{F'(t)}sf(s)F(0) Karena Karena { ( )} ( ) ( ) 0 s f dt t F e t F L
st , maka dt t F e t F L st
0 ) ( ' )} ( ' {Lampiran bab 3 Sistem Pengaturan Otomatis Halaman B .9
0 ) (t dF e st p st st e d t F t F e 0 0 ) ( ) ( ) (
0 ) ( ) 0 ( s e F t dt F st sf(s)F(0) Jika L{F'(t)}sf(s)F(0)maka L{F ''(t)}s2f(s)sF(0)F'(s)f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
Jika L{F(t)} f(s) maka s s f du u F L t ) ( ) ( 0
g. Perkalian dengan tn Jika L{F(t)} f(s) maka { ( ) ( 1) f(s) ( 1)f( )(s) ds d t F t L n n n n n h. Sifat pembagian oleh t
Jika L{F(t)} f(s) maka
0 ) ( ) ( du u f t t F LLampiran bab 3 Sistem Pengaturan Otomatis Halaman B .10
B2.2. Transformasi Laplace Invers
Definisi
Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika
) ( )} (
{F t f s
L maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s).
Secara simbolis ditulis F(t)L1{f(s)}. 1
L disebut operator transformasi
Laplace invers. Contoh. 1. t e s L1 2 2 1 karena
2 1 2 s e L t 2. t e s s L cos 3 3 2 1 karena
3 3 cos 2 s s t L 3. a at a s L1 2 1 2 sinh karena 2 2 1 sinh a s a at L Ketunggalan Transformasi Laplace Invers
Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama.
Contoh t e t F1( ) 3 dan 1 1 0 ) ( 3 2 t untuk e t untuk t F t Mengakibatkan 3 1 )} ( { )} ( { 1 1 2 1 s t F L t F L
Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.
Teorema Lerch
Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara
sebagian-sebagaian dalam setiap selang berhingga 0t N dan eksponensial
Lampiran bab 3 Sistem Pengaturan Otomatis Halaman B .11
( ) ( ) 1 t F s fL , adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka
kita selalu menganggap ketunggalan di atas.
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa fungsi sederhana dibawah ini.
Nomor f(s) 1{ ( )} ( ) t F x f L 1. s 1 1 2. 2 1 s t 3. ,... 3 , 2 , 1 , 0 , 1 1 n sn n! tn 4. a s 1 at e 5. 2 2 1 a s a at sin 6. 2 2 a s s at cos 7. 2 2 1 a s a at sinh 8. 2 2 a s s at cosh 9. 2 2 2 2 2 ) (s a a s tcosat
