Abstrak—Pada umumnya algoritma untuk menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek adalah algoritma Dijkstra. Namun, algoritma Dijkstra tidak dapat menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek pada lingkungan yang tidak pasti. Lingkungan yang tidak pasti dalam pencarian rute terpendek adalah jika bobot di tiap edge tersebut terdiri dari tiga bobot atau empat bobot yang mempresentasikan jalur lain. Dalam artikel ini, metode node combination yang mengimplementasi algoritma Dijkstra diusulkan untuk dapat menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek. Pertama, untuk menentukan bagaimana penambahan dari dua jalur yang terhubung. Lainnya, untuk menentukan bagaimana membandingkan jarak dari dua rute yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy. Untuk menyelesaikan permalasahan tersebut, diperlukan penggabungan teori himpunan fuzzy dan metode node combination. Studi kasus antar kota di pulau Jawa akan mengilustrasikan efisiensi dan ketepatan metode yang diusulkan. Perbandingan antara metode ini dengan algoritma fuzzy Dijkstra juga akan diilustrasikan.
Kata Kunci—Dijkstra, Fuzzy, Node Combination, Pulau Jawa
I. PENDAHULUAN
HORTEST Path Problem (SPP) adalah masalah pencarian rute terpendek. Pada umumnya SPP berbentuk graph yang berisi node, edge dan matriks bobot. Semisal terdapat dua node yaitu vs dan vt pada graph, masalah pencarian rute terpendek dapat didefinisikan sebagai cara untuk menemukan rute dengan minimum jumlah bobot pada edge dari vs menuju vt . Biasanya, vs disebut node sumber dan vt disebut node tujuan [1].
Dalam teori graph klasik, jumlah bobot pada edge dari rute terpendek direpresentasikan sebagai bilangan real, namun beberapa diantaranya memiliki parameter yang tidak pasti (misalnya biaya, kapasitas, waktu, dll) [2]. Teori himpunan fuzzy dapat digunakan untuk berbagai macam permasalahan [2] semisal penilaian lingkungan [3,4], pengenalan pola [5,6,7] dan pembuat keputusan [8,9]. Pendekatan pemodelan yang tepat untuk pencarian rute terpendek pada lingkungan yang tidak pasti adalah menggunakan bilangan fuzzy. Hasilnya, banyak peneliti telah menggunakannya untuk fuzzy shortest path problem (FSPP) [10,11,12].
Pada umumnya algoritma untuk menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek adalah algoritma Dijkstra. Namun, algoritma Dijkstra tidak dapat menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek pada lingkungan yang tidak pasti. Lingkungan yang tidak pasti dalam pencarian rute terpendek
adalah jika bobot di tiap edge tersebut terdiri dari tiga bobot atau empat bobot yang mempresentasikan jalur lain. Pertama, untuk menentukan bagaimana penambahan dari dua jalur yang terhubung. Lainnya, untuk menentukan bagaimana membandingkan jarak dari dua rute yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy.
Teori himpunan fuzzy adalah teori yang dapat menangani suatu permasalahan dengan informasi yang kabur dan dapat digunakan untuk berbagai macam permasalahan semisal penilaian lingkungan, pengenalan pola, dan pembuat keputusan. Metode node combination adalah metode untuk menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek selain algoritma Dijkstra. Metode node combination mudah dipahami karena tidak membutuhkan memori tambahan untuk penyimpanan sementara jarak antar node.
Artikel ini bertujuan untuk menggabungkan metode node combination dan teori himpunan fuzzy, sehingga diharapkan dapat menyelesaikan masalah pencarian rute terpendek. Artikel ini terorganisasi menjadi 5 bagian. Bagian I menguraikan latar belakang serta tujuan penulisan artikel. Bagian II menguraikan dasar teori yang digunakan. Bagian III menguraikan desain metode fuzzy node combinaton. Bagian IV menguraikan hasil pengujian dan evaluasi. Bagian V merupakan kesimpulan yang dapat diambil dari artikel ini.
II. DASARTEORI
A. Pemodelan Matematis untuk Operasi pada Bilangan Fuzzy
Pemodelan matematis untuk operasi pada segitiga bilangan fuzzy yang didasarkan pada metode graded mean integration representation [13], biasanya digunakan untuk algoritma mencari rute terpendek pada lingkungan yang tidak pasti [2]. Sebuah segitiga bilangan fuzzy dengan à = (a1,a2,a3) [2], The graded mean integration representation segitiga bilangan fuzzy dapat didefinisikan pada (1).
P(Ã) = (a1 + 4 a2 + a3) (1)
Misalkan à = (a1,a2,a3) dan B = (a1,a2,a3) adalah dua segitiga bilangan fuzzy. The graded mean integration representation segitiga bilangan fuzzy à dan B dapat dilihat pada (2).
Fuzzy Node Combination untuk Menyelesaikan
Masalah Pencarian Rute Terpendek.
Studi Kasus: Antar Kota di Pulau Jawa
Samodro Bagus Prasetyanto, Bilqis Amaliah, dan Chastine Fatichah
Jurusan Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Informasi, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail: bilqis@cs.its.ac.id
Node_Combination(G,s)
1 W[s,u] := 0, vu := vs, V := V – {s}/*Inisialisasi*/ 2 while W[s,u] < ∞ and |V| > 0
3 V := V – {u} /*Gabungkan titik*/ 4 for each j in V
5 W[s,j] := min{W[s, j],W[s, u] + W[u, j]} /*perbarui nilai bobot pada sisi */
6 Vu := titik terdekat dengan s di V
/*diakhir algoritma, jarak terpendek berada pada nilai bobot baris s di W*\
Gambar 1. Pseudocode Node Combination [1]
P(Ã) = (a1 + 4 a2 + a3)
(2) P(B) = (b1 + 4 b2 + b3)
Representasi operasi penambahan segitiga bilangan fuzzy à dan B dapat didefinisikan pada (3).
P(Ã B) = P(Ã) + P(B) = (a1 + 4 a2 + a3)
+ (b1 + 4 b2 + b3) (3) Representasi operasi pengalian segitiga bilangan fuzzy à dan B dapat didefinisikan pada (4).
P(Ã B) = P(Ã) P(B) = (a1 + 4 a2 + a3)
(b1 + 4 b2 + b3) (4) Sebuah trapesium bilangan fuzzy dengan à = (a1,a2,a3,a4) [2], The graded mean integration representation trapesium bilangan fuzzy dapat didefinisikan pada (5).
P(Ã) = (a1 + 2 a2 + 2 a3 + a4) (5) Misalkan à = (a1,a2,a3,a4) dan B = (a1,a2,a3,a4) adalah dua trapesium bilangan fuzzy. The graded mean integration representation pada trapesium bilangan fuzzy à dan B dapat dilihat pada (6).
P(Ã) = (a1 + 2 a2 + 2 a3 + a4)
(6) P(B) = (b1 + 2 b2 + 2 b3 + b4)
Representasi operasi penambahan trapesium bilangan fuzzy à dan B dapat didefinisikan pada (7).
P(Ã B) = P(Ã) + P(B) = (a1 + 2 a2 + 2 a3 + a4) (b1 + 2 b2 + 2 b3 + b4) (7)
Representasi operasi pengalian trapesium bilangan fuzzy à dan B dapat didefinisikan pada (8).
P(Ã B) = P(Ã) P(B) = (a1 + 2 a2 + 2 a3 + a4) (b1 + 2 b2 + 2 b3 + b4) (8)
Dijkstra(G,s)
1 d[s] := 0, vu := vs, V := V – {s} /*Inisialisasi*/ 2 while d[u] < ∞ and |V| > 0
3 V := V – {u} /*tandai u telah dikunjungi/ 4 for each j in V
5 d[j] := min{d[j],d[u] + W[u, j]} /*perbarui nilai jarak pada d */ 6 d[u] := nilai jarak pada d yang paling kecil di V /*diakhir algoritma, rute terpendek berada pada
vektor d*\ Gambar 2. Pseudocode Dijkstra [1]
Input : V, s Output : W
1 W[s,u] := {0}, vu := vs, V := V – {s}, fuzzy := 3 atau 4
2 while W[s,u] < ∞ and |V| > 0
3 V := V – {u} /*Gabungkan node */ 4 for each j in V
5 alt := dist(W[s,u], fuzzy) + dist(W[u,j], fuzzy)
6 if alt < dist(W[s,j], fuzzy)
7 W[s,j] := add(W[s, u], W[u, j], fuzzy) /*perbarui nilai pada node W[s,j]*/ 8 Vu := node terdekat dengan s di V
Gambar 3. Pseudocode Fuzzy Node Combination
B. Node Combination
Algoritma node combination adalah algoritma untuk mencari rute terpendek dengan cara menggabungkan titik asal ke titik terdekatnya [1]. Algoritma node combination adalah pengembangan dari algoritma Dijkstra. Algoritma node combination mudah dipahami karena dalam pembuatan program tersebut tidak membutuhkan himpunan yang berisi informasi jarak pada titik [1].
Gambar 1 adalah pseudocode dari algoritma node combination. Metode node combination memiliki tiga langkah, langkah-langkah dari algoritma node combination adalah sebagai berikut [1]:
Langkah 0. Inisialisasi. W[s,u] := 0, vu := vs, V := V – {s}. Langkah 1. Memilih titik yang terdekat dengan Vs. Jika tidak
ada titik yang terhubung dengan Vs, maka hentikan perulangan.
Langkah 2. Gabungkan titik tersebut dan hapus titik Vk, V := V – {u}.
Langkah 3. Perbarui nilai bobot pada tiap sisi, W[s,j] := min{W[s, j],W[s, u] + W[u,j]}. Selanjutnya, pergi ke Langkah 1.
III. DESAIN
Terdapat dua hal yang harus diselesaikan yaitu penambahan dua jalur yang terhubung dan pembandingan dua rute yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy. Berdasarkan pemodelan matematis untuk operasi pada bilangan fuzzy [2], metode node combination dapat dimodikasi menjadi metode fuzzy node combination.
Pada Gambar 3, metode ini dimulai dengan inisialisasi pada baris 1. Baris 3 adalah menggabungkan dua node yang telah dikunjungi. Baris 5 - 6 adalah membandingkan dua rute dari node source (s) menuju node j dan memilih rute yang terpendek di antara keduanya. Baris 7 adalah penambahan dua
Tabel 1. Antar Kota di Pulau Jawa No Rute Jarak (km) 1 Surabaya->Mojokerto->Kediri->Blitar 177,033 2 Surabaya->Mojokerto->Kediri 131,517 3 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun 174,483 4 Surabaya->Malang 109,158 5 Surabaya->Mojokerto 54,383 6 Surabaya->Mojokerto->Jombang 85,083 7 Surabaya->Pasuruan 66,633 8 Surabaya->Pasuruan->Probolinggo 105,233 9 Surabaya->Surabaya 0,000 10 Surabaya->Pasuruan->Probolinggo->Banyuwangi 306,575 11 Surabaya->Tuban 96,500 12 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Magetan 201,667 13 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi 208,567 14 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ponorogo 205,183 15 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ponorogo ->Pacitan 281,583 16 Surabaya->Pasuruan->Probolinggo->Jember 205,233 17 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Magelang 398,950 18 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan 515,500 19 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang 419,400 20 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta 304,733 21 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal 579,200 22 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta 372,867 23 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ponorogo ->Pacitan->Wonosari 352,683 24 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen 266,692 25 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo 435,550 26 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto 553,217 27 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto->Cilacap 587,517 28 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Magelang->Temanggung-> Wonosobo 463,775 29 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Magelang->Temanggung 423,675 30 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Rembang 535,400 31 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal> Cirebon 657,625 32 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto->Tasikmalaya 706,800 33 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal -> Cirebon->Subang 779,625 No Rute Jarak (km) 34 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto->Tasikmalaya->Bandung 830,300 35 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal-> Cirebon->Subang->Purwakarta 835,167 36 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto->Tasikmalaya->Bandung->Cianjur 896,900 37 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto->Tasikmalaya->Bandung->Cianjur-> Sukabumi 927,400 38 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Yogyakarta->Purworejo-> Purwokerto->Tasikmalaya->Bandung->Cianjur->Bogor 956,500 39 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal-> Cirebon->Subang->Bekasi 917,967 40 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal-> Cirebon->Subang->Bekasi->Jakarta 958,900 41 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal-> Cirebon->Subang->Bekasi->Jakarta->Tangerang 995,125 42 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal-> Cirebon->Subang->Bekasi->Jakarta->Tangerang-> Serang 1061,525 43 Surabaya->Mojokerto->Jombang->Madiun->Ngawi-> Sragen->Surakarta->Semarang->Pekalongan->Tegal-> Cirebon->Subang->Bekasi->Jakarta->Tangerang-> Serang->Merak 1095,525
Tabel 2. Hasil Uji T
Fuzzy Node Combination Fuzzy Dijkstra Mean 1,216 1,191 Hypotesis Mean Difference 0 Alpha 0,05 P-value 0,000109297
jalur yang terhubung. Baris 8 adalah mendapatkan node yang terdekat dari node s. Langkah selanjutnya adalah kembali ke baris 2 hingga tidak terdapat node yang terhubung lagi. Rute terpendek dari node s ke semua node berada pada baris ke-s di susunan W.
IV. PENGUJIANDANEVALUASI A. Pengujian
Pengujian pertama adalah pengujian metode fuzzy node combination dengan studi kasus antar kota di Pulau Jawa. Studi kasus ini memiliki tiga bobot edge disetiap node-nya. Kota yang menjadi node source adalah kota Surabaya. Pengujian tersebut bertujuan untuk mendapatkan semua rute dari kota Surabaya ke semua kota/kabupaten di Pulau Jawa.
Pengujian kedua adalah pengujian untuk membandingkan penggunaan memori, waktu proses, dan akurasi antara metode fuzzy node combination dengan algoritma fuzzy Dijkstra. Percobaan pengujian kedua sebanyak 50 kali dengan jumlah
Tabel 3. Hasil Pencarian Rute Terpendek No Rute Fuzzy Node Combination (km) Fuzzy Dijkstra (km) Aktual (km) 1 Surabaya->Blitar 177,033 177,033 177,033 2 Surabaya->Kediri 131,517 131,517 131,517 3 Surabaya->Madiun 174,483 174,483 174,483 4 Surabaya->Malang 109,158 109,158 109,158 5 Surabaya->Mojokerto 54,383 54,383 54,383 6 Surabaya->Jombang 85,083 85,083 85,083 7 Surabaya->Pasuruan 66,633 66,633 66,633 8 Surabaya->Probolinggo 105,233 105,233 105,233 9 Surabaya->Surabaya 0,000 0,000 0,000 10 Surabaya->Banyuwangi 306,575 306,575 306,575 11 Surabaya->Tuban 96,500 96,500 96,500 12 Surabaya->Magetan 201,667 201,667 201,667 13 Surabaya->Ngawi 208,567 208,567 208,567 14 Surabaya->Ponorogo 205,183 205,183 205,183 15 Surabaya->Pacitan 281,583 281,583 281,583 16 Surabaya->Jember 205,233 205,233 205,233
banyak graph pada setiap percobaan adalah sebanyak 1000 graph yang sama. Data set yang digunakan sebagai bahan dua pengujian tersebut adalah 43 kota dan 64 rute antar kota di Pulau Jawa. Data set didapatkan dari Google Maps dan diambil pada bulan November 2013.
B. Evaluasi
Pada pengujian pertama akan dilakukan pengujian metode dengan studi kasus antar kota di Pulau Jawa. Hasil pengujian pertama adalah rute terpendek dari kota Surabaya ke semua kota/kabupaten yang terhubung seperti ditunjukkan pada Tabel 1. Metode tersebut dapat menambahkan dua jalur terhubung yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy. Metode tersebut juga dapat membandingkan dua rute yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy.
Pada pengujian kedua, algoritma fuzzy Dijkstra dengan 50 kali percobaan pengujian memiliki rata-rata waktu proses sebesar 1,191 detik, sedangkan metode fuzzy node combination memiliki rata-rata waktu proses sebesar 1,216 detik seperti ditunjukkan pada Tabel 2. Nilai p-value hasil uji T kurang dari nilai alpha maka H0 ditolak sehingga kedua metode tersebut memiliki perbedaan waktu proses yang signifikan. Algoritma fuzzy Dijkstra membutuhkan memori tambahan untuk penyimpanan sementara jarak antar node (d) seperti ditunjukkan pada Gambar 2. Pembaruan jarak bobot edge (W) dilakukan oleh metode fuzzy node combination seperti ditunjukkan pada Gambar 1, sehingga metode ini tidak membutuhkan memori tambahan. Pada Tabel 3, terdapat hasil pencarian rute terpendek dari metode fuzzy node combination, algoritma fuzzy Dijsktra, dan jarak aktual. Hasil pencarian rute terpendek metode fuzzy node combination pada tabel tersebut menghasilkan jarak yang sama dengan algoritma fuzzy Dijkstra maupun hasil dari jarak aktual, sehingga dapat disimpulkan akurasi dari metode fuzzy node combination adalah 100%.
V. KESIMPULAN
Dari hasil uji coba pertama dapat diambil kesimpulan bahwa pencarian rute terpendek untuk studi antar kota di Pulau Jawa dapat diselesaikan dengan metode fuzzy node combination. Metode tersebut dapat menambahkan dua jalur terhubung yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy. Metode tersebut juga dapat membandingkan dua rute yang direpresentasikan oleh bilangan fuzzy. Rute terpendek antar kota di Pulau Jawa juga dapat ditampilkan. Dalam penelitian selanjutnya, perlu adanya pengembangan sehingga tidak hanya terbatas pada variabel jarak secara geometri, namun variabel-variabel lain yang mempengaruhi dapat dimasukkan dalam perhitungan. Variabel tersebut antara lain: cuaca, penggunaan bahan bakar, kondisi jalan, dan lain-lain.
Dari hasil uji coba kedua dapat diambil kesimpulan bahwa metode fuzzy node combination memiliki waktu proses yang hampir sama dengan algoritma fuzzy Dijkstra, namun penggunaan memori pada metode fuzzy node combination lebih kecil. Pengunaan memori lebih kecil dikarenakan metode fuzzy node combination tidak membutuhkan memori tambahan untuk penyimpanan sementara jarak antar node. Sedangkan, akurasi hasil pencarian rute terpendek pada metode fuzzy node combination adalah 100%.
UCAPANTERIMAKASIH
Penulis S.B.P. mengucapkan terima kasih kepada Allah SWT yang melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan artikel ini dengan lancar. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Bilqis Amaliah, Ibu Chastine Fatichah, dan Pak Munif yang telah membimbing penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan artikel ini dengan baik.
DAFTAR PUSTAKA
[1] X. Lu and M. Camitz, "Finding the shortest paths by node combination," Applied Mathematics and Computation 217, pp. 6401-6408, 2011. [2] Y. Deng, Y. Chen, Y. Zhang, and S. Mahadevan, "Fuzzy Dijkstra
algorithm for shortest path problem under uncertain environment," Applied Soft Computing 12, pp. 1231-1237, 2011.
[3] R. Sadiq and S. Tesfamariam, "Developing environmental using fuzzy numbers ordered weighted averaging (FN-OWA) operators," Stochastic Environmental Research and Risk Assesment 22, pp. 495-505, 2008. [4] Y. Deng, W. Jiang, and R. Sadiq, "Modeling contaminant intrusion in
water distribution network: a new similarity-based DST method," Expert Systems with Applications 38, pp. 571-578, 2011.
[5] Y. Deng, W. K. Shi, and Q. Liu, "A new similarity measure of generalized fuzzy numbers and its application to pattern recognition," Pattern Recognition Letters 25, pp. 875-883, 2004.
[6] H. W. Liu, "New similarity measures between intuitionistic fuzzy sets and between elements," Mathematical and Computer Modelling 42, pp. 61-70, 2005.
[7] J. Ye, "Cosine similarity measures for intuitionistic fuzzy sets and their applications," Mathematical and Computer Modelling 53, pp. 91-97, 2011.
[8] Y. Deng and F. T. S. Chan, "A new fuzzy Dempster MCDM method and its application in supplier selection," Expert Systems with Applications 38, pp. 6985-6993, 2011.
[9] Y. Deng, F. T. S. Chan, Y. Wu, and D. Wang, "A new liguistic MCDM method based on multiple-criterion data fusion," Expert Systems with Applications 38, pp. 9854-9861, 2011.
[10] D. Dubois and H. Prade, Fuzzy Sets and Systems: Theory and Application. New York: Academic Press, 1980.
[11] C. Lin and M. S. Chern, "The fuzzy shortest path problem and its most vital arcs," Fuzzy Sets and Systems 58, pp. 343-353, 1993.
[12] A. Boulmakoul, "Generalized path-finding algorithms on semirings and the fuzzy shortest path problem," Journal of Computational and Applied Mathematics 162, pp. 263-272, 2004.
[13] C. C. Chou, "The canonical representation of multiplication operation on triangular fuzzy numbers," Computer and Mathematics with Applications 45, pp. 1601-1610, 2003.
