belajarbarengpakpendy.blogspot.com

Lingkaran

A. Unsur-unsur Lingkaran

Gambar 1: Unsur-unsur Lingkaran

 Titik 0 disebut pusat lingkaran

 Garis OA, OB, OC, OD disebut jari-jari lingkaran atau radius (r)

 Garis AC disebut diameter lingkaran (d), yaitu garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui titik pusat lingkaran

Panjang diameter (d) = 2 x panjang jari-jari

 Garis lurus AD disebut tali busur lingkaran

 Garis lengkung AB, BC, CD, dan DA disebut busur lingkaran.

 Daerah arsiran berwarna orange disebut juring atau sector lingkaran.

 Daerah arsiran berwarna hijau disebut tembereng.

 Garis lurus OE yang tegak lurus dengan tali busur disebut apotema, yaitu jarak terpendek antara tali busur dengan pusat lingkaran.

B. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Gambar 2: Sudut Pusat dan Sudut Keliling

 Sudut AOB disebut sudut pusat, yaitu sudut yang dibentuk oleh pusat lingkaran dan dua titik pada lingkaran.

 Sudut ACB, sudut ADB, dan sudut AEB disebut sudut keliling, yaitu sudut yang dibentuk oleh tiga titik pada lingkaran (titik sudut terletak pada keliling)

 Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur keliling, maka besar sudut pusat = 2 x sudut keliling

Sudut pusat AOB, sudut keliling ACB, sudut keliling ADB, sudut keliling AEB menghadap busur yang sama, yaitu busur AB, sehingga:

∠𝐴𝑂𝐵 = 2 × ∠𝐴𝐶𝐵

∠𝐴𝑂𝐵 = 2 × ∠𝐴𝐷𝐵

∠𝐴𝑂𝐵 = 2 × ∠𝐴𝐸𝐵

 Sudut keliling yang menghadap busur yang sama, memiliki besar sudut yang sama

Sudut keliling ACB, sudut keliling ADB, sudut keliling AEB menghadap busur yang sama, yaitu busur AB, sehingga:

∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐴𝐸𝐵

 Besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah 90⁰.

 Segiempat tali busur adalah segiempat yang sisi-sisinya merupakan tali busur pada sebuah lingkaran

Gambar 3: Segiempat Tali Busur

Jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur adalah 180⁰. Pada gambar 3, diperoleh:

∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐴𝐶𝐵 = 180⁰

∠𝐵𝐶𝐷 + ∠𝐷𝐴𝐶 = 180⁰

Contoh:

1. Gambar berikut menunjukkan segiempat tali busur ABCD.

Gambar 4: Soal 1

Hitunglah:

a. Nilai x

b. Besar sudut B c. Nilai y

d. Besar sudut C

Penyelesaian:

a. Nilai x

5x⁰ + 4x⁰ = 180⁰ 9x⁰ = 180⁰ x⁰ = 20⁰ b. Besar sudut B

= 5x⁰

= 5(20⁰)

= 100⁰ c. Nilai y

2y⁰ + (y + 18)⁰ = 180⁰ 3y⁰ + 18⁰ = 180⁰ 3y = 162⁰ y = 54⁰

d. Besar sudut C

= (y + 18)⁰

= (54 + 18)⁰

= 72⁰

2. Pada gambar berikut, ∠𝐵𝐴𝐸 = 121⁰, ∠𝐴𝐵𝐶 = 102⁰, dan ∠𝐶𝐷𝐸 = 108⁰.

Gambar 5: Soal 2

Hitunglah:

a. ∠𝐵𝐶𝐷 b. ∠𝐴𝐸𝐷

Penyelesaian:

a. ∠𝐵𝐶𝐷

 ∠𝐵𝐶𝐸 = 180⁰− ∠𝐵𝐴𝐸

∠𝐵𝐶𝐸 = 180⁰− 121⁰

∠𝐵𝐶𝐸 = 59⁰

 ∠𝐸𝐶𝐷 =^{1800−∠𝐶𝐷𝐸}

2

(Segitiga CDE merupakan segitiga sama kaki, sehingga besar ∠𝐸𝐶𝐷 = ∠𝐶𝐸𝐷)

∠𝐸𝐶𝐷 =^1800−1080

2

∠𝐸𝐶𝐷 =⁷²⁰

2

∠𝐸𝐶𝐷 = 36⁰

 ∠𝐵𝐶𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐸 + ∠𝐸𝐶𝐷

∠𝐵𝐶𝐷 = 59⁰+ 36⁰

∠𝐵𝐶𝐷 = 95⁰ b. ∠𝐴𝐸𝐷

 ∠𝐴𝐸𝐶 = 180⁰ − ∠𝐴𝐵𝐶

∠𝐴𝐸𝐶 = 180⁰ − 102⁰

∠𝐴𝐸𝐶 = 78⁰

 ∠𝐶𝐸𝐷 = ∠𝐸𝐶𝐷

(Segitiga CDE merupakan segitiga sama kaki, sehingga besar ∠𝐸𝐶𝐷 = ∠𝐶𝐸𝐷)

∠𝐶𝐸𝐷 = 36⁰

 ∠𝐴𝐸𝐷 = ∠𝐴𝐸𝐶 + ∠𝐶𝐸𝐷

∠𝐵𝐶𝐷 = 78⁰+ 36⁰

∠𝐵𝐶𝐷 = 114⁰

C. Keliling dan luas lingkaran

Materi keliling dan luas lingkaran sudah pernah kita pelajari di kelas 6 SD. Mari kita ingat kembali materi keliling dan luas lingkaran, serta penerapannya pada masalah kontekstual.

1. Keliling lingkaran

Rumus untuk keliling lingkaran adalah:

𝐾 = 𝜋𝑑 = 2𝜋𝑟 𝐾 = keliling lingkaran

𝜋 = 3, 14 = ²²

7

𝑑 = diameter lingkaran 𝑟 = jari-jari lingkaran

2. Luas lingkaran

Rumus untuk luas lingkaran adalah:

𝐿 = 𝜋𝑟² 𝐿 = luas lingkaran

𝜋 = 3, 14 = ²²

7

𝑟 = jari-jari lingkaran

Contoh:

1. Sebuah lingkaran memiliki panjang diameter 14 cm. Tentukan:

a. Keliling lingkaran b. Luas lingkaran

Penyelesaian:

Diketahui:

d = 14 cm r = 14 : 2 = 7 cm

Ditanya:

a. Keliling lingkaran b. Luas lingkaran Jawab:

a. Keliling lingkaran

= 𝜋𝑑

= ²²

7 × 14

= 44 cm b. Luas lingkaran

= 𝜋𝑟²

= ²²

7 × 7²

= 154 cm²

2. Tentukan keliling dan luas bangun berikut!

Gambar 6: Soal 2

Penyelesaian:

 Keliling lingkaran

Untuk menentukan keliling bangun tersebut, kita dapat menjumlahkan seluruh Panjang sisi terluar dari bangun tersebut.

Keliling = 15 + (2 x keliling ¹

2 lingkaran kecil) + keliling ¹

2 lingkaran besar Keliling = 15 + (2 ×¹

2× 3,14 × 10) + (¹

2× 3,14 × 15) Keliling = 15 + 31,4 + 23,55

Keliling = 70,95 cm

 Luas lingkaran

Bangun tersebut dapat dibagi menjadi beberapa bagian, salah satunya adalah sebagai berikut:

Gambar 7: Penyelesaian Soal 2

Kemudian kita tentukan luas masing-masing bagian, sehingga:

Luas bangun = Luas I + Luas II + Luas III – Luas IV Kita tentukan luas masing-masing bangun:

Luas I = ¹

2× 3,14 × 5 × 5 = 39,25 cm² Luas II = 10 x 15 = 150 cm²

Luas III = ¹

2× 3,14 × 7,5 × 7,5 = 88,3125 cm² Luas IV = Luas I = 39,25 cm²

Luas bangun = 39,25 + 150 + 88,3125 – 39,25 = 238,3125 cm²

3. Panjang jari-jari sebuah roda adalah 24 cm. Jika roda tersebut berputar di atas permukaan tanah sebanyak 400 kali, hitunglah Panjang lintasan yang dilalui roda tersebut!

Penyelesaian:

Diketahui:

𝑟 = 24 cm

Banyak putaran = 400 kali Ditanya:

Panjang lintasan = ? Jawab:

Panjang lintasan = keliling lingkaran x banyak putaran

= 2𝜋𝑟 × 400

= 2 × 3,14 × 24 × 400

= 60.288 m = 60,288 km

Jadi, Panjang lintasan yang dilalui roda tersebut adalah 60,288 km.

4. Di atas lahan berbentuk persegi Panjang yang berukuran 20 m x 15 m dibuat taman. Di tengah- tengah lahan dibuat taman bunga berbentuk lingkaran dengan diameter 6 m, di sekelilingnya dibuat jalan selebar 2 m, dan sisanya ditanami rumput. Biaya pembuatan jalan adalah

Rp120.000,00 per m², dan biaya penanaman rumput dan bunga adalah Rp100.000,00 per m². Tentukan:

a. Biaya total untuk pembuatan jalan b. Biaya total untuk penanaman rumput

Penyelesaian:

Diketahui:

Panjang lahan = p = 20 m Lebar lahan = l = 15 m Diameter taman = d = 6 m Lebar jalan = 2 m

Biaya pembuatan jalan = Rp120.000,00 per m²

Biaya penanaman rumput dan bunga = Rp100.000,00 per m² Ditanya:

a. Biaya total pembuatan jalan b. Biaya total penanaman rumput Jawab:

Perhatikan ilustrasi gambar dari soal di atas!

Gambar 8: Penyelesaian 4

Dari gambar ilustrasi di atas, dapat diketahui:

 Luas jalan = luas lingkaran besar (d = 8 m) – lingkaran kecil (taman bunga, d = 6 m)

 Luas lahan yang ditanami rumput = luas lahan – luas jalan – luas taman bunga

Sehingga, untuk menentukan biaya total yang dikeluarkan, kita dapat tentukan terlebih dahulu luas lahan, luas taman bunga dan luas jalan.

 Luas lahan = p x l = 20 x 15 = 300 m²

 Luas taman bunga = 𝜋𝑟²

= 3,14 × 6²

= 113,04 m²

 Luas jalan = (3,14 × 8²) − 113,04

= 200,96 – 113,04

= 87,92 m²

a. Biaya total pembuatan jalan

= luas jalan x biaya

= 87,92 x 120.000

= 10.550.400

Jadi, biaya total pembuatan jalan adalah Rp10.550.400,00.

b. Biaya total penanaman rumput

= luas rumput x biaya

= (300 – 200,96) x 100.000

= 99,04 x 100.000

= 9.904.000

Jadi, biaya penanaman rumput adalah Rp9.904.000,00.

DAFTAR PUSTAKA

Adinawan, M. Cholik. 2018. Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII Semester 2. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Kementerian Pendidik dan Kebudayaan. 2017. Matematika SMP/MTs Kelas VIII Semester 2 Edisi Revisi 2017. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.