PERBANDINGAN SOLUSI METODE THOMAS DAN METODE RUNGE KUTTA DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL.

(1)

PERBANDINGAN SOLUSI METODE THOMAS DAN METODE RUNGE KUTTA DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN

DIFERENSIAL PARSIAL

Oleh: Daniel Gordon NIM 072244510023 Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

(2)

(3)

ii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk

setiap berkat dan anugrah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul “ Perbandingan Solusi Metode Thomas dan Metode Runge Kutta Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial”. Disusun untuk memperoleh gelar Sarjana Sain Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Medan.

Dalam penyelesaian skripsi ini, penulis mendapat bantuan dari berbagai

pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Untuk itu pada

kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar Damanik, M,Si selaku Rektor Universitas

Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D selaku Dekan

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

2. Bapak Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd selaku Ketua Jurusan Matematika dan Ibu

Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika serta

Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA UNIMED

3. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Dosen Pembimbing Akademik

4. Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah

banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan, dan saran kepada

penulis

5. Bapak Drs. J.Ambarita, M.Pd, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si, dan Ibu Dra.

Hamidah Nasution, M.Si selaku Dosen Penguji yang telah banyak

memberikan saran dalam penulisan skripsi ini

6. Bapak Lasker Sinaga, S.Si, M,Si, Bapak Drs.Yasifati Hia, M.Si, dan Ibu

Yulita Rangkuti, M.Sc, Ph.D selaku Dosen Matematika

7. Teristimewa buat Orangtuaku tercinta (Ayahanda S. Sihombing dan

(4)

yang selalu mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam

segala hal, juga untuk saudara-saudariku (Kak Dora, Kak Lina, Kak

Farida, Kak Lela, Bang Aldo, Bang Orlan, dan Kak Mima) buat kerabat

keluarga (Lae Lando, Lae Lisbon, Lae Jimmi, dan Kak Kembar) atas

semua dukungan dan doanya

8. Sahabat-sahabatku selama perkuliahan (Irma Yanti, Evi, Jhon, Robby,

Melati, , Fitri Tupa, B’Fernandus, Mahdia, dan teman-teman lainnya),

Teman Kos 107 (Ana, Ruth, Gigin, Muel, Kori,Saut, Anwar, Heri,

Yanwar, Kastro) yang telah banyak membantu dan memotivasi penulis

dalam menyelesaikan skripsi ini.

Penulis telah berupaya semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi

ini, namun penulis menyadari masih jauh dari kesempurnaan baik dari segi isi

maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua

pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Penulis juga

mengharapkan kiranya skripsi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi penulis dan

pembaca dalam usaha peningkatan pendidikan dimasa datang

Medan, September 2012

Penulis

(5)

PERBANDINGAN SOLUSI METODE THOMAS DAN METODE RUNGE KUTTA DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN

DIFERENSIAL PARSIAL

Daniel Gordon (NIM 072244510023)

ABSTRAK

Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang diformulasikan secara matematis dalam perhitungan mencari solusi persamaan diferensial parsial yang digunakan metode Thomas dan metode Runge Kutta dengan hasil perhitungan dalam menyelesaiakan persamaan getaran kabel .

Persamaan Diferensial Parsial pada khususnya persamaan getaran kabel �2

��2 = �

2�2

� 2, 0 < < � dengan ( ,�) adalah pergesaran dari setiap titik x pada kabel untuk setiap waktu t. Persamaan tersebut diubah kedalam bentuk Matriks Tridiagonal dan iterasi Runge Kutta.

Hasil perhitungan yang diperoleh pada penggunaan metode Thomas

5 = 3 dan metode Runge Kutta = 3.5 = 4.54813. dan nilai eksak yang

diperoleh adalah y3,3 = 5.10231. Maka dari penelitian yang dilakukan diperoleh

dengan menggunakan metode Runge Kutta lebih mendekati hasil eksak dari persamaan getaran kabel

(6)

DAFTAR ISI

Halaman

Lembaran Pengesahan i

Riwayat Hidup ii

Abstrak iii

Kata Pengantar. iv

Daftar Isi vi

Daftar Gambar viii

Daftar Lampiran ix

BAB I :PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Rumusan Masalah 2

1.3. Batasan Masalah 3

1.4. Tujuan Penelitian 3

1.5. Manfaat Penelitian 3

BAB II :TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Pengertian Diferensial Parsial 4

2.2. Persamaan Diferensial dalam Bentuk Beda Hingga 5

2.3. Syarat Awal dan Syarat Batas 7

2.4. Pengertian Getaran Kabel 8

2.5. Pengertian Matriks 10

2.6. Operasi Matriks 10

2.7. Jenis-Jenis Matriks 11

2.8. Metode Thomas 12

2.9. Algoritma Thomas 16

2.10.Metode Runge Kutta 19

2.11.Kriteria Untuk Membandingkan Kedua Metode 26

BAB III :METODE PENELITIAN

3.1. Lokasi dan Waktu Penelitian 29

3.2. Jenis Penelitian 29

3.3. Prosedur Penelitian 29

BAB IV :PEMBAHASAN

4.1. Solusi Persamaan Diferensial Parsial Dengan Metode Thomas

dan Metode Runge Kutta 30

4.2. Analisis Perbandingan Solusi Metode Thomas dan Metode

(7)

vii

BAB V :PENUTUP

5.1. Kesimpulan 45

5.2. Saran 45

(8)

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Matematika adalah suatu pengetahuan yang sangat penting dalam

menunjang pengetahuan yang lain. Penulis melihat hal itu misalnya dalam bidang

teknik, ekonomi, ilmu sosial, serta matematika dalam ilmu pengetahuan itu

sendiri . Pada kenyataannya matematika sebagai ilmu eksakta yang sangat erat

dengan rumus dan perhitungan yang dapat dijadikan sebagai alat bantu untuk

menyederhanakan penyajian pembahasan masalah. Dengan menggunakan bahasa

matematika, satu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan,

difahami, dianalisis dan dipecahkan.

Matematika lebih banyak mengajarkan manusia mengenal dan

menjelaskan fenomena di sekelilingnya. Fenomena-fenomena pada perkembangan

sains dan teknologi dapat dirumuskan dalam persamaan diferensial, seperti halnya

dalam persamaan gelombang, getaran, pegas, pertumbuhan sel dan lain

sebagainya. Persamaan diferensial merupakan suatu persamaan yang mengandung

turunan fungsi. Berdasarkan jumlah variabel bebas, persamaan diferensial dibagi

menjadi dua, yaitu (1). Persamaan diferensial biasa (mengandung satu

variabel bebas). Ada beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial biasa diantaranya metode Heun, metode metode Thomas,

metode Adam Bashfort, metode Runge Kutta,dan sebagainya. (2). Persamaan

diferensial parsial (mengandung lebih dari satu variabel), metode yang

digunakan adalah metode Karakteristik dan metode Beda Hingga.

Penyelesaian secara analitik diperoleh dengan menggunakan

perhitungan secara sistematis dan solusi yang diperoleh berupa nilai eksak.

Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan, ketika

persamaan tersebut tidak bisa diselesaikan secara analitik. Dalam

penyelesaian secara numerik dapat dilakukan dengan menggunakan salah

(9)

2

cepat untuk menyelesaikan persamaan matematis. Sebuah metode numerik

yang biasanya digunakan untuk menyelesaikan soal disebut algoritma.

Algoritma adalah suatu rangkaian prosedur yang lengkap dan mempunyai cara

penyelesaian yang jelas. Dalam analisis numerik dibutuhkan pemilihan dan

penyusunan algoritma yang sesuai dengan penyelesaian soal, maka analisis

numerik harus mempertimbangkan berapa besar derajat ketelitian yang

diperlukan, memperkirakan besarnya kesalahan pembulatan dan kesalahan

diskritisasi, menentukan jumlah langkah atau iterasi yang dibutuhkan algoritma,

supaya hasil analisis numerik sesuai dengan tujuan.

Dalam kajian ini, getaran pada kabel merupakan persamaan

diferensial parsial yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode

Numerik.Dalam hal ini, penulis menggunakan metode Beda Hingga dikarenakan

persamaan diferensial parsial pada persamaan getaran kabel mengandung variabel

x dan t. Selanjutnya dalam menyederhanakan persamaan diferensial parsial diselesaikan dengan metode Thomas dan metode Runge Kutta.Metode Thomas

dapat menyelesaikan persamaan linier simultan yang dapat dibentuk menjadi

matriks tridiagonal. Metode Runge Kutta merupakan salah satu metode numerik

yang tidak perhitungan turunan dan memiliki ketelitian yang tinggi. Berdasarkan

uraian di atas, maka diharapkan penggunaan Metode Thomas dan Metode

Runge Kutta memperoleh penyelesaian dari persamaan diferensial parsial pada

getaran kabel tersebut.(Finizio, 1982)

Untuk itu penulis ingin mengkaji tentang persamaan diferensial

parsial pada getaran kabel dengan menggunakan metode numerik. Maka skripsi

ini akan membahas tentang “Perbandingan Solusi Metode Thomas dan Metode Runge Kutta Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial

”. Bentuk persamaan diferensial parsial orde dua pada getaran kabel adalah sebagai berikut:

�2

� 2 = �2

�2

(10)

1.2. Rumusan Masalah:

Permasalahan yang akan dibahas dan diteliti dalam skripsi ini

membandingkan solusi Metode Thomas dan Metode Runge Kutta dalam

menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial

.

1.3. Batasan Masalah

Adapun batasan masalahnya adalah:

1. Persamaan diferensial yang digunakan orde tingkat dua

2. Penyelesaian persamaan diferensial menggunakan Metode Thomas dan

Metode Runge Kutta

1.4. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini untuk mengetahui perbandingan solusi

Metode Thomas dan Metode Runge Kutta dalam menyelesaikan Persamaan

Diferensial Parsial.

1.5.Manfaat Penelitian

Dalam Penelitian ini diharapkan bermanfaat:

1. Bagi penulis

 Sebagai bahan latihan penyelesaian metode numerik dibidang

matematika

 Sebagai indikator dalam penyusunan karya ilmiah

2. Bagi pembaca

 Membantu bagi pembaca yang sedang mempelajari metode numerik

dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan

(11)

46

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard, 1987, Aljabar Linear Elementer, Erlangga, Jakarta

Boumahrat, M dan A Gourdin,2002, Applied Numerical Methods, Prentice-Hall of

India Private Limited, New Delhi

Brown, James dan Ruel V Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems,

McGraw-Hill Book Company,New York

Conte, Samuel, 1993, Dasar-Dasar Analisis Numerik. Suatu Pendekatan

Algoritma,Erlangga, Jakarta

Dessai.C,S,1996, Dasar-Dasar Metode Elemen-Hingga, Erlangga, Jakarta

Leon,Steven J, 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Erlangga, Jakarta

Lipson Lars dan Lipschutz Seymour,2004, Aljabar Linear, Erlangga, Jakarta

Pipes, A Louis,1962, Applied Mathematics for Engineer and Physicists. McGraw-Hill

Book Company,New York

Saff, Edward dan Kent Nagle,2003, Fundamental of Differential Equations,University of South Florida

Spiegel,R, Murray, 1984, Transformasi Laplace, Erlangga, Jakarta

(12)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Dumai, pada tanggal 04 Mei 1989. Ayah bernama

S. Sihombing dan Ibu bernama F. Nababan, dan merupakan anak kedelapan dari

delapan bersaudara. Pada tahun 1995, penulis masuk SD Negeri 020 Dumai, dan

lulus pada tahun 2001. Pada tahun 2001, penulis melanjutkan sekolah di SLTPK

Santo Tarcisius II Dumai, dan lulus pada tahun 2004. Pada tahun 2004, penulis

melanjutkan sekolah di SMA Negeri 2 Dumai dan lulus pada tahun 2007. Pada

tahun 2007, penulis diterima di Program Studi Matematika Jurusan Metematika,

(13)

ii

KATA PENGANTAR