CHAPTER 7 – SOLUSI NUMERIK ODE
“THE EULER METHOD”
Pada pembahasan kali ini akan mulai dibahas solusi persamaan diferensial biasa (ODE) dengan metode Euler. Selain metode Euler metode lain yang akan dijelaskan secara terpisah antara lain metode corrector predictor yang terdiri atas metode Heun dan metode Runge- Kutta.
Penyelesaiaan persamaan diferensial (baik ODE maupun PDE) secara numerik idenya adalah “memprediksi” bentuk grafik/menggambar grafik secara langsung berdasarkan informasi dalam kasus (contoh pada gambar di bawah). Informasi dalam kasus meliputi persamaan diferensial dan kondisi batasnya (initial/boundary condition). Dengan demikian, dalam penyelesaiaan ODE/PDE secara numerik tentunya menggunakan persamaan diskrit yang sifatnya aritmatika untuk digunakan menggambar grafik.
Pada bagian ini akan dipaparkan metode Euler untuk solusi ODE. Meskipun pada kenyataannya metode Euler adalah metode yang paling tidak akurat, namun metode ini tetap digunakan mengingat kadang kita butuh prediksi cepat akan suatu fenomena fisika yang terkait engineering. Prediksi cepat ini dapat memberi pertimbangan awal dalam pengambilan keputusan secara paralel dengan penggunaan metode yang lebih established lagi.
Filsafat Diferensial Secara Umum
Ingat kembali pada chapter 1 bahwa jika ada suatu fungsi dengan 2 variabel 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 atau 𝑓𝑓(𝑥𝑥;𝑦𝑦) maka bisa ada bentuk turunan sebagai berikut misalnya
𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑥𝑥=𝑓𝑓(𝑥𝑥;𝑦𝑦) Filsafat matematika-nya, turunan 𝑑𝑑𝑦𝑦
�𝑑𝑑𝑥𝑥 dalam bentuk limit adalah 𝑥𝑥
𝑦𝑦
Grafik solusi analitik 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖)
Grafik prediksi solusi 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖) dengan metode numerik
𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖+1
𝑥𝑥𝑖𝑖−1
∆𝑥𝑥 ∆𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = lim
∆𝑥𝑥→0
𝑦𝑦(𝑥𝑥+∆𝑥𝑥)− 𝑦𝑦(𝑥𝑥)
∆𝑥𝑥 Atau
𝑦𝑦′(𝑥𝑥) = lim∆𝑥𝑥→0𝑦𝑦(𝑥𝑥+∆𝑥𝑥)− 𝑦𝑦(𝑥𝑥)
∆𝑥𝑥
Atau jika mengacu pada konsep segmental maka dapat juga ditulis dalam bentuk 𝑦𝑦′(𝑥𝑥𝑖𝑖) = lim∆𝑥𝑥→0𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)− 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖)
∆𝑥𝑥
Dalam konteks kalkulus, penyelesaian limit mendekati nol dapat dilakukan dengan metode dalil L’Hospitale, namun jika berkaca pada pembahasan metode numerik, dalil ini bisa diabaikan dengan syarat kita harus mengakui bahwa yang dilakukan ini adalah pendekatan dan mengandung error. Dengan demikian maka dalam metode numerik, penyelesaian limit di atas bisa ditulis dalam bentuk
𝑦𝑦′(𝑥𝑥𝑖𝑖)≈𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)− 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖)
∆𝑥𝑥 Kemudian bentuk ini disesuaikan menjadi
𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝑦𝑦′(𝑥𝑥𝑖𝑖)∆𝑥𝑥 Atau
𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖)∆𝑥𝑥 Bentuk ini disederhanakan menjadi
𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝜙𝜙∆𝑥𝑥 Dengan 𝜙𝜙 adalah 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖) yaitu slope dari fungsi yang ditinjau.
Persamaan
𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝜙𝜙∆𝑥𝑥
Menjadi persamaan umum dalam penyelesaian ODE secara numerik.
Metode Euler Sebagai Solusi ODE Dalam persamaan umum
𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝜙𝜙∆𝑥𝑥
Euler menggunakan fungsi turunan 𝑦𝑦′(𝑥𝑥𝑖𝑖) atau 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖) secara langsung sebagai 𝜙𝜙
Contoh dan Pembahasan
Carilah solusi ODE berikut dengan metode Euler dan bandingkan dengan solusi analitiknya 𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑥𝑥 =−2𝑥𝑥3+ 12𝑥𝑥2−20𝑥𝑥+ 8.5
Dengan 0≤ 𝑥𝑥 ≤4, kemudian ∆𝑥𝑥= 0.5 serta kondisi awal di titik 𝑥𝑥= 0 maka 𝑦𝑦= 1
Pembahasan:
Jika dengan metode analitik, maka persamaan diskritnya didapat dengan metode variable separation, sehingga menjadi
𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑥𝑥 =−2𝑥𝑥3+ 12𝑥𝑥2−20𝑥𝑥+ 8.5 𝑑𝑑𝑦𝑦= (−2𝑥𝑥3+ 12𝑥𝑥2−20𝑥𝑥+ 8.5)𝑑𝑑𝑥𝑥
� 𝑑𝑑𝑦𝑦=�(−2𝑥𝑥3+ 12𝑥𝑥2−20𝑥𝑥+ 8.5)𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦𝑦=−1
2𝑥𝑥4+ 4𝑥𝑥3−10𝑥𝑥2+ 8.5𝑥𝑥+𝐶𝐶 Jika 𝑥𝑥= 0 maka 𝑦𝑦 = 1 sehingga
1 =−1
2(0)4+ 4(0)3−10(0)2+ 8.5(0) +𝐶𝐶 𝐶𝐶= 1
Persamaan diskrit metode analitis menjadi 𝑦𝑦 =−1
2𝑥𝑥4+ 4𝑥𝑥3−10𝑥𝑥2+ 8.5𝑥𝑥+ 1
Sedangkan jika menggunakan metode numerik Euler dengan persamaan umum solusi ODE numerik,
𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝜙𝜙∆𝑥𝑥
Dalam metode Euler 𝜙𝜙=𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖) sehingga persamaan umum langsung dipakai saja Step 1 Untuk 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 0 maka 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 1 sesuai dengan initial condition dalam soal
Step 2 Untuk 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 = 0.5 maka 𝑦𝑦𝑖𝑖+1 mengikuti persamaan 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝜙𝜙∆𝑥𝑥
𝑦𝑦(0.5)≈ 𝑦𝑦(0) + 0.5𝜙𝜙 Dengan
𝜙𝜙=𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖) 𝜙𝜙=𝑓𝑓(0; 1)
𝜙𝜙=−2𝑥𝑥3+ 12𝑥𝑥2−20𝑥𝑥+ 8.5 𝜙𝜙=−2(0)3+ 12(0)2−20(0) + 8.5
𝜙𝜙= 8.5 Sehingga
𝑦𝑦(0.5)≈ 𝑦𝑦(0) + 0.5𝜙𝜙 Menjadi
𝑦𝑦(0.5)≈ 𝑦𝑦(0) + 0.5 × 8.5
𝑦𝑦(0.5)≈1 + 0.5 × 8.5 𝑦𝑦(0.5)≈5.25
Step 3 Untuk 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 = 1 maka 𝑦𝑦𝑖𝑖+1 mengikuti persamaan 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝜙𝜙∆𝑥𝑥
𝑦𝑦(1)≈ 𝑦𝑦(0.5) + 0.5𝜙𝜙 Dengan
𝜙𝜙=𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖) 𝜙𝜙 =𝑓𝑓(0.5; 5.25) 𝜙𝜙=−2𝑥𝑥3+ 12𝑥𝑥2−20𝑥𝑥+ 8.5 𝜙𝜙=−2(0.5)3+ 12(0.5)2−20(0.5) + 8.5
𝜙𝜙= 1.25 Sehingga
𝑦𝑦(1)≈ 𝑦𝑦(0.5) + 0.5𝜙𝜙 Menjadi
𝑦𝑦(1)≈ 𝑦𝑦(0.5) + 0.5 × 1.25 𝑦𝑦(1)≈5.25 + 0.5 × 8.5
𝑦𝑦(1)≈5.875
Untuk Step 4 dan seterusnya sampai didapat nilai 𝑦𝑦(4) dengan ∆𝑥𝑥= 0.5 dilakukan dengan bantuan microsoft excel berikut
xi Euler Analitik
Error (%)
ϕ yi yi
0 1 1 0
0.5 8.5 5.25 3.21875 63.1068
1 1.25 5.875 3 95.83333
1.5 -1.5 5.125 2.21875 130.9859
2 -1.25 4.5 2 125
2.5 0.5 4.75 2.71875 74.71264
3 2.25 5.875 4 46.875
3.5 2.5 7.125 4.71875 50.99338
4 -0.25 7 3 133.3333
Jika diperhatikan pada gambar, terlihat bahwa solusi Euler memiliki gap dan error yang sangat besar dibanding dengan solusi analitiknya. Cara untuk meminimalkan error pada metode Euler adalah dengan cara berikut:
1. Mengecilkan nilai ∆𝑥𝑥 dalam hitungan.
2. Mengembangkan metode Euler supaya dengan ∆𝑥𝑥 yang sama (dalam hal contoh soal
∆𝑥𝑥= 0.5) menghasilkan error yang lebih kecil. Terdapat setidaknya 2 (dua) cara pengembangan metode Euler yaitu metode predictor-corrector (Heun’s method) dan the Midpoint method (Modified Euler method).
Metode predictor-corrector (Heun’s method) dan the Midpoint method (Modified Euler method) dijelaskan dalam narasi-narasi di bawah.
Predictor-Corrector Method (Heun’s Method)
Metode predictor-corrector kadang disebut sebagai metode Heun (Heun’s method) dimana pada metode ini, gradien 𝜙𝜙 pada persamaan umum solusi ODE menurut Euler dikoreksi dengan persamaan dasar itu sendiri. Dengan demikian maka akan ada 2 terminologi penting dalam metode Heun ini yaitu:
Terminologi 1 disebut Predictor yang dinyatakan dengan 𝑦𝑦∗(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖)∆𝑥𝑥
Kemudian predictor ini digunakan sebagai koreksi pada terminologi 2 yang disebut corrector terhadap gradien 𝜙𝜙 dan dinyatakan dalam bentuk
𝜙𝜙∗=𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖) +𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖+1;𝑦𝑦𝑖𝑖+1∗ ) 2
Untuk 𝑦𝑦𝑖𝑖+1∗ =𝑦𝑦∗(𝑥𝑥𝑖𝑖+1), dengan demikian maka persamaan metode Euler dikoreksi menjadi 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝜙𝜙∗∆𝑥𝑥
Persamaan ini merupakan persamaan metode predictor-corrector atau metode Heun.
The Midpoint Method (Modified Euler Method)
Pengembangan metode Euler lainnya adalah midpoint method atau modified Euler method.
Metode modified Euler memprediksi nilai pada 1
� ∆𝑥𝑥 terlebih dahulu sebagai predictor nya. 2 Dengan demikian dihitung dahulu predictornya dalam bentuk
𝑦𝑦′�𝑥𝑥
𝑖𝑖+12� ≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖)∆𝑥𝑥 2
Kemudian nilai ini dijadikan dasar untuk menghitung slope pada titik tengah dalam bentuk 𝜙𝜙′=𝑓𝑓 �𝑥𝑥
𝑖𝑖+12;𝑦𝑦
𝑖𝑖+12� Dengan demikian maka persamaan Euler dikoreksi menjadi
𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝜙𝜙′∆𝑥𝑥 Persamaan ini merupakan persamaan metode modified Euler.
Contoh dan Pembahasan
Kerjakan contoh soal metode Euler di atas dengan metode Heun dan modified Euler.
Kompilasikan hasilnya dengan metode Euler dan analitik.
Pembahasan:
Dengan metode Heun
Step 1 Untuk 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 0 maka 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 1 sesuai dengan initial condition dalam soal
Step 2 Untuk 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 = 0.5 maka dihitung dulu predictornya sehingga 𝑦𝑦∗(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖)∆𝑥𝑥
Dihitung dahulu 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖)
𝑓𝑓(0; 1) =−2(0)3+ 12(0)2−20(0) + 8.5 𝑓𝑓(0; 1) = 8.5
Sehingga predictornya menjadi
𝑦𝑦∗(0.5)≈ 𝑦𝑦(0) +𝑓𝑓(0; 1)0.5 𝑦𝑦∗(0.5)≈1 + 8.5 × 0.5
𝑦𝑦∗(0.5)≈5.25
Dengan adanya predictor ini, maka correctornya bisa dihitung menjadi 𝜙𝜙∗=𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖) +𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖+1;𝑦𝑦𝑖𝑖+1∗ )
2
𝜙𝜙∗=𝑓𝑓(0; 1) +𝑓𝑓(0.5; 5.25) 2
Untuk
𝑓𝑓(0; 1) = 8.5 Dan
𝑓𝑓(0.5; 5.25) =−2(0.5)3+ 12(0.5)2−20(0.5) + 8.5 𝑓𝑓(0.5; 5.25) = 1.25
Sehingga correctornya adalah
𝜙𝜙∗=𝑓𝑓(0; 1) +𝑓𝑓(0.5; 5.25) 2
𝜙𝜙∗=8.5 + 1.25 2 𝜙𝜙∗= 4.875
Dengan demikian maka eksekusi akhir metode Heun adalah dalam bentuk 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝜙𝜙∗∆𝑥𝑥
𝑦𝑦(0.5)≈ 𝑦𝑦(0) +𝜙𝜙∗0.5 𝑦𝑦(0.5)≈1 + 4.875 × 0.5
𝑦𝑦(0.5)≈3.4375
Step 3 Untuk 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 = 1 maka dihitung dulu predictornya sehingga 𝑦𝑦∗(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖)∆𝑥𝑥 Dihitung dahulu 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖)
𝑓𝑓(0.5; 3.4375) =−2(0.5)3+ 12(0.5)2−20(0.5) + 8.5 𝑓𝑓(0.5; 3.4375) = 1.25
Sehingga predictornya menjadi
𝑦𝑦∗(1)≈ 𝑦𝑦(0.5) +𝑓𝑓(0.5; 3.4375)0.5 𝑦𝑦∗(1)≈3.4375 + 1.25 × 0.5
𝑦𝑦∗(1)≈4.0625
Dengan adanya predictor ini, maka correctornya bisa dihitung menjadi 𝜙𝜙∗=𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖) +𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖+1;𝑦𝑦𝑖𝑖+1∗ )
2
𝜙𝜙∗=𝑓𝑓(0.5; 3.4375) +𝑓𝑓(1; 4.0625) 2
Untuk
𝑓𝑓(0.5; 3.4375) = 1.25 Dan
𝑓𝑓(1; 4.0625) =−2(1)3+ 12(1)2−20(1) + 8.5 𝑓𝑓(1; 4.0625) =−1.5
Sehingga correctornya adalah
𝜙𝜙∗=𝑓𝑓(0.5; 3.4375) +𝑓𝑓(1; 4.0625) 2
𝜙𝜙∗=1.25 +−1.5 2 𝜙𝜙∗=−0.125
Dengan demikian maka eksekusi akhir metode Heun adalah dalam bentuk 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝜙𝜙∗∆𝑥𝑥
𝑦𝑦(1)≈ 𝑦𝑦(0.5) +𝜙𝜙∗0.5 𝑦𝑦(1)≈3.4375 +−0.125 × 0.5
𝑦𝑦(1)≈3.375
Untuk Step 4 dan seterusnya sampai didapat nilai 𝑦𝑦(4) dengan ∆𝑥𝑥= 0.5 dilakukan dengan bantuan microsoft excel. Rekapitulasinya akan digabung setelah perhitungan metode modified Euler.
Dengan metode modified Euler
Step 1 Untuk 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 0 maka 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 1 sesuai dengan initial condition dalam soal
Step 2 Untuk 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 = 0.5 dihitung dahulu predictor nya pada 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 0.25 dengan 𝑦𝑦′�𝑥𝑥
𝑖𝑖+12� ≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖)∆𝑥𝑥 2 𝑦𝑦′(0.25)≈ 𝑦𝑦(0) +𝑓𝑓(0; 1)0.5 2 Untuk
𝑓𝑓(0; 1) =−2(0)3+ 12(0)2−20(0) + 8.5 𝑓𝑓(0; 1) = 8.5
Sehingga
𝑦𝑦′(0.25)≈1 + 8.5 ×0.5 2 𝑦𝑦′(0.25)≈3.125
Kemudian nilai ini menjadi hitungan slope modified Euler yaitu 𝜙𝜙′=𝑓𝑓 �𝑥𝑥
𝑖𝑖+12;𝑦𝑦
𝑖𝑖+12�
𝜙𝜙′=𝑓𝑓(0.25; 3.125)
𝜙𝜙′ =𝑓𝑓(0.25; 3.125) =−2(0.25)3+ 12(0.25)2−20(0.25) + 8.5 𝜙𝜙′ = 4.218
Dengan demikian maka persamaan modified Euler menjadi 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝜙𝜙′∆𝑥𝑥 𝑦𝑦(0.5)≈ 𝑦𝑦(0) + 4.218 × 0.5
𝑦𝑦(0.5)≈1 + 4.218 × 0.5 𝑦𝑦(0.5)≈3.109
Step 3 Untuk 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 = 1 dihitung dahulu predictor nya pada 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 0.75 dengan 𝑦𝑦′�𝑥𝑥
𝑖𝑖+12� ≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖)∆𝑥𝑥 2 𝑦𝑦′(0.75)≈ 𝑦𝑦(0.5) +𝑓𝑓(0.5; 3.109)0.5
2 Untuk
𝑓𝑓(0.5; 3.109) =−2(0.5)3+ 12(0.5)2−20(0.5) + 8.5 𝑓𝑓(0.5; 3.109) = 1.25
Sehingga
𝑦𝑦′(0.75)≈3.109 + 1.25 ×0.5 2 𝑦𝑦′(0.75)≈3.4215 Kemudian nilai ini menjadi hitungan slope modified Euler yaitu
𝜙𝜙′=𝑓𝑓 �𝑥𝑥
𝑖𝑖+12;𝑦𝑦
𝑖𝑖+12� 𝜙𝜙′ =𝑓𝑓(0.75; 3.4215)
𝜙𝜙′=𝑓𝑓(0.75; 3.4215) =−2(0.75)3+ 12(0.75)2−20(0.75) + 8.5 𝜙𝜙′=−0.59375
Dengan demikian maka persamaan modified Euler menjadi 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖+1)≈ 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑖𝑖) +𝜙𝜙′∆𝑥𝑥 𝑦𝑦(1)≈ 𝑦𝑦(0.5) +−0.59375 × 0.5
𝑦𝑦(1)≈3.109 +−0.59375 × 0.5 𝑦𝑦(1)≈2.812125
Untuk Step 4 dan seterusnya sampai didapat nilai 𝑦𝑦(4) dengan ∆𝑥𝑥= 0.5 dilakukan dengan bantuan microsoft excel. Rekapitulasi keseluruhan hasil metode (analitik, Euler, Heun dan modified Euler) dapat dilihat pada tabel di bawah ini.
xi Analitik Euler Error
(%) Heun Error
(%) Modified Euler Error
yi ϕ yi ϕi y*i ϕi+1 ϕ* yi ϕi y' ϕ' yi (%)
0 1 1 0 1 0 1 0
0.5 3.21875 8.5 5.25 63.107 8.5 5.25 1.25 4.875 3.4375 6.796 8.5 3.125 4.219 3.109 3.398
1 3 1.25 5.875 95.833 1.25 4.0625 -1.5 -0.125 3.375 12.500 1.25 3.421875 -0.594 2.813 6.250 1.5 2.21875 -1.5 5.125 130.986 -1.5 2.625 -1.25 -1.375 2.6875 21.127 -1.5 2.4375 -1.656 1.984 10.563
2 2 -1.25 4.5 125.000 -1.25 2.0625 0.5 -0.375 2.5 25.000 -1.25 1.671875 -0.469 1.750 12.500
2.5 2.71875 0.5 4.75 74.713 0.5 2.75 2.25 1.375 3.1875 17.241 0.5 1.875 1.469 2.484 8.621
3 4 2.25 5.875 46.875 2.25 4.3125 2.5 2.375 4.375 9.375 2.25 3.046875 2.656 3.813 4.688
3.5 4.71875 2.5 7.125 50.993 2.5 5.625 -0.25 1.125 4.9375 4.636 2.5 4.4375 1.594 4.609 2.318
4 3 -0.25 7 133.333 -0.25 4.8125 -7.5 -3.875 3 0 -0.25 4.546875 -3.219 3.000 0
Gambar di atas adalah perbandingan hasil metode Euler (beserta pengembangannya) dengan metode analitik. Dengan nilai ∆𝑥𝑥= 0.5 yang sama, metode modified Euler menghasilkan solusi yang paling mendekati hasil solusi analitiknya. Peningkatan ketelitian hasil dapat dilakukan dengan mengecilkan nilai ∆𝑥𝑥 menjadi kurang dari 0.5. Hal ini akan semakin memperbesar skala hitungan, sehingga selalu diingat bahwa bantuan komputer selalu dibutuhkan dalam hitungan metode numerik.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
y
x
Solusi Euler, Heun, Modified Euler (∆x = 0.5) dan Solusi Analitik
Solusi Euler Solusi Analitik Solusi Heun Solusi Modified Euler
