BAB II TINJAUAN PUSTAKA

5 BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Program Linear

Program linear merupakan salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara kegiatan yang bersaing, dengan cara terbaik yang bisa dilakukan. Persoalan ini akan muncul manakala seseorang harus memilih tingkat kegiatan tertentu yang bersaing dalam hal sumber daya langka yang dibutuhkan untuk melakukan kegiatan tersebut. Program linear ini menggunakan model matematis untuk menjelaskan persoalan yang dihadapinya. Sifat linear disini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi yang linear, sedangkan kata program merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian, program linear adalah perencanaan suatu kegiatan untuk memperoleh suatu hasil yang optimal [7].

2.1.1 Istilah Program Linear

Karakteristik yang digunakan dalam membangun model dari formulasi persoalan program linear, yaitu [7] :

1) Variabel Keputusan

Variabel keputusan yaitu variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat.

2) Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan adalah fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimalkan (pendapatan atau keuntungan) atau minimalkan (ongkos). 3) Fungsi Kendala

Fungsi kendala adalah kendala yang dihadapi sehingga tidak bisa menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.

6 4) Pembatas Tanda

Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel keputusannya diasumsikan nonnegatif, nonpositif, atau nol.

2.1.2 Model Program Linear

Model matematis dari permasalahan program linear yang merupakan bentuk dan susunan dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik program linear. Bentuk tabel standar program linear sebagai berikut [7] :

Tabel 2. 1 Tabel program linear Aktivitas /

Sumber

Penggunaan Sumber / Unit

Sumber Daya 1 2 ... N 1 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ ... 𝑎_1𝑛 𝑏₁ 2 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ ... 𝑎_2𝑛 𝑏₂ . . . ... . . . . ... . . . . ... . M 𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2 ... 𝑎_𝑚2 𝑏_𝑚 ∆z/unit 𝑐1 𝑐2 ... 𝑐𝑛 Tingkat 𝑥₁ 𝑥₂ ... 𝑥_𝑛

Dengan demikian, dapat dibuat formulasi model matematis dari persoalan pengalokasian sumber-sumber pada kegiatan sebagai berikut [8]:

1 1 2 2 Max, Min Z c x c x c x_{n n} 1 n j j j c x  



(2.1) Dengan syarat :





1

, , , untuk semua 1, 2, , dan 0

n ij j i n i a x b j n x       



7 Keterangan

𝑥_𝑗 : Variabel keputusan ke-𝑗, dimana 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑍 : Fungsi tujuan yang dioptimalkan

𝑏_𝑖 : Kapasitas kendala ke-𝑖

𝑎_𝑖𝑗 : Koefisien fungsi kendala ke-𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dari variabel keputusan ke −𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.

2.1.3 Solusi Persamaan Program Linear

Banyak teknik-teknik yang dikembangkan untuk menyelesaikan suatu masalah program linear antara lain dengan metode simpleks, titik interior, ellipsoidal, ataupun dengan pendekatan teori game. Akan tetapi, untuk program linear yang terdiri dari dua peubah keputusan, teknik penyelesaian yang hanya dengan menggunakan grafik lebih mudah dan menguntungkan untuk digunakan karena selain mudah penerapannya juga dapat dilihat bentuk geometrisnya [9].

2.2 Metode Simpleks

Metode simpleks adalah suatu metode yang digunakan untuk penyelesaian masalah program linear dengan cara mencari penyelesaian yang layak dan dilakukan secara berulang-ulang (iteratif) sehingga akhirnya diperoleh penyelesaian yang optimal. Metode ini digunakan karena metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan program linear yang memiliki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua [10].

Syarat-syarat yang harus dipenuhi dalam menggunakan metode simpleks untuk menyelesaikan masalah program linear adalah sebagai berikut [11]:

a. Semua kendala pertidaksamaan harus diubah menjadi bentuk persamaan. b. Sisi kanan dari tanda pertidaksamaan kendala tidak boleh ada yang negatif. c. Semua variabel dibatasi pada nilai nonnegatif.

8

Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks [12]:

Langkah 1: Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala ke dalam bentuk standar dan tambahkan variabel slack.

Langkah 2: Fungsi tujuan dan fungsi kendala yang telah diubah ke dalam bentuk standar disusun ke dalam tabel simpleks awal. Bentuk tabel simpleks awal adalah sebagai berikut:

Tabel 2. 2 Tabel awal simpleks Variabel Basis 𝑧 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 𝑠1 𝑠2 … 𝑠𝑛 bi 𝑍 1 𝑐₁ 𝑐₂ … 𝑐_𝑛 0 0 … 0 𝑠1 0 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 1 0 … 0 b1 𝑠₂ 0 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ … 𝑎_2𝑛 0 1 … 0 b2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑠_𝑛 0 𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2 … amn 0 0 … 1 bn

Langkah 3: Menentukan kolom kunci. Jika kasus memaksimalkan maka kolom kunci yang dipilih yaitu koefisien pada baris yang bernilai negatif terbesar. Jika kasus meminimalkan maka kolom kunci yang dipilih yaitu koefisien pada baris yang bernilai positif terbesar.

Langkah 4: Menentukan nilai rasio solusi dengan rumus berikut: 𝑅_𝑖 = 𝑏𝑖

𝑎_𝑖𝑘 dengan

R_𝑖 = Rasio pada baris ke-i

𝑏_𝑖 = Nilai pada ruas kanan sumber daya ke-i

𝑎_𝑖𝑘 = Nilai pada entering variable atau nilai pada kolom kunci

baris ke-i kolom ke-k

Langkah 5: Mengubah nilai-nilai baris kunci. Nilai yang ada pada baris kunci diubah dengan cara membagi nilai tersebut dengan angka kunci (pivot).

9

Langkah 6: Melakukan operasi baris elementer. Operasi baris elementer di lakukan pada baris yang bukan merupakan baris kunci. Sehingga kolom kunci berubah menjadi 0 kecuali angka kunci (pivot).

Langkah 7: Lakukan Langkah 3 sampai Langkah 6 sehingga diperoleh nilai optimal pada baris. Dikatakan optimal apabila semua nilai pada baris untuk kasus memaksimalkan bernilai positif atau nol dan nilai pada baris untuk kasus meminimalkan bernilai negatif atau nol.

2.3 Program Linear Multi Objektif

Program linear multi objektif merupakan program linear yang meminimalkan atau memaksimalkan fungsi tujuan yang lebih dari satu dengan himpunan pembatas berbentuk pertidaksamaan [10].

Bentuk umum model persamaan program linear multi objektif dapat dituliskan sebagai berikut [11] : 1 1 1 Max,Min Z ( ) ( ) n j j j x c x c x   



⋮ 1 Max,Min Z ( ) ( ) n k k j j j x c x c x   



(2.2) Dengan fungsi kendala

1 , , , n ij j i j a x b    



𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 0 j x  Keterangan

𝑍 : Fungsi tujuan yang dioptimalkan

𝑥𝑗 : Variabel keputusan ke -𝑗, dengan 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑛. 𝑏_𝑖 : Kapasitas kendala ke-𝑖.

𝑎_𝑖𝑗 : Koefisien fungsi kendala ke-𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dengan variabel keputusan ke−𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.

10 2.4 Optimal Pareto

Beberapa definisi tentang optimal pareto sebagai berikut [12]:

2.4.1 Definisi Solusi Optimal Lengkap

Berikut diberikan definisi solusi solusi optimal lengkap untuk kasus minimasi. Sebuah titik x* _{dikatakan sebagai solusi optimal lengkap, jika dan hanya jika} untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga 𝑧_𝑖 (x*) ≤ 𝑧𝑖 (𝑥), 𝑖 = 1, . . . , 𝑘.

Namun, secara umum, solusi optimal lengkap yang secara bersamaan meminimalkan semua fungsi tujuan ganda tidak selalu ada ketika fungsi tujuan saling bertentangan, maka diperkenalkan konsep solusi baru yang disebut optimal pareto dalam program linear multi objektif.

2.4.2 Definisi Solusi Optimal Pareto

Berikut diberikan definisi solusi solusi optimal pareto untuk kasus minimasi. Suatu titik x* _{dikatakan sebagai solusi optimal pareto jika dan hanya jika tidak} terdapat 𝑥 ∈ 𝑋 lain sehingga 𝑧_𝑖(𝑥) ≤ 𝑧_𝑖(x*) untuk semua 𝑖 dan 𝑧_𝑗(𝑥) ≠ 𝑧_𝑗(x*) untuk setidaknya satu 𝑗.

Solusi optimal pareto terkadang disebut solusi noninferior karena tidak kalah dengan solusi layak lainnya. Selain optimalitas pareto, optimalitas pareto lemah berikut ini didefinisikan sebagai konsep solusi yang sedikit lebih lemah daripada optimalitas pareto. Solusi optimal pareto juga disebut solusi optimal pareto kuat.

2.4.3 Definisi Solusi Optimal Pareto Lemah

Berikut diberikan definisi solusi solusi optimal pareto lemah untuk kasus minimasi.

Suatu titik x* dikatakan sebagai solusi optimal Pareto lemah jika dan hanya jika tidak terdapat 𝑥 ∈ 𝑋 sehingga 𝑧_𝑖(𝑥) < 𝑧_𝑖(x*), 𝑖 = 1 ,2, … , 𝑘.

11

Misalkan XCO, XP , dan X WP masing-masing menyatakan himpunan solusi optimal lengkap, optimal pareto, dan optimal pareto lemah. Dari definisi 2.4.1, 2.4.2 dan 2.4.3, dapat dengan mudah dipahami bahwa hubungan berikut berlaku:

𝑋𝑐𝑜 ⊆ 𝑋𝑝 ⊆ 𝑋𝑤𝑝

2.5 Compromise programming

Metode compromise programming merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan multi objektif untuk mencari solusi kompromi terbaik dalam mengoptimalkan dua atau lebih fungsi objektif. Solusi optimal diperoleh dari nilai ideal fungsi objektif [13].

2.5.1 Konsep Metode Compromise Programming

Pada [14] memperkenalkan konsep solusi kompromi. Solusi kompromi terbaik adalah solusi yang mendekati titik ideal. Solusi ideal diartikan sebagai solusi yang secara bersamaan dapat mengoptimalkan semua fungsi tujuan yang mempunyai daerah yang layak. Solusi ideal digunakan untuk menentukan solusi kompromi dengan meminimalkan fungsi jarak ke solusi ideal. Untuk itu perlu menghitung jarak antara setiap solusi dan titik ideal. Nilai ideal untuk tujuan ke−𝑗 disebut 𝑍_𝑗∗ sedangkan fungsi tujuan untuk tujuan ke−𝑗 disebut 𝑍_𝑗(𝑥). Derajat kedekatan 𝑑_𝑗, antara fungsi tujuan dan nilai ideal dapat dirumuskan:

 

*

j j j

d Z Z x (2.3)

ketika fungsi tujuan dimaksimalkan, atau

 

*

j j j

d Z x Z (2.4)

ketika fungsi tujuan diminimalkan. Derajat kedekatan antara tujuan 𝑍_𝑗(𝑥) dan nilai idealnya kemudian ditambahkan menjadi fungsi jarak gabungan. Derajat kedekatan perlu dinormalisasi untuk menghindari penjumlahan yang tidak berarti. Tidak hanya itu, jika nilai absolut untuk mencapai tujuan ada yang berbeda, maka skalarisasi atau normalisasi derajat kedekatan diperlukan untuk menghindari

12

solusi yang bias ke arah tujuan tersebut dan mencapai nilai yang lebih besar. Jadi, derajat kedekatan yang dinormalisasi 𝑑_𝑗𝑛 dirumuskan :

 

* * * j j j j j n Z Z x d Z Z    (2.5)

dengan 𝑍_∗𝑗 adalah nilai anti ideal untuk tujuan ke−𝑗. Derajat yang dinormalisasi kedekatannya dibatasi antara 0 dan 1, ketika tujuan mencapai solusi ideal maka kedekatannya adalah 0. Sebaliknya, ketika tujuan mencapai solusi anti ideal maka derajat kedekatannya adalah 1. Oleh karena itu, derajat kedekatannya dinormalisasi untuk mengukur persentase pencapaian suatu tujuan yang berhubungan dengan nilai ideal. Untuk mengukur jarak antara setiap solusi dan titik ideal, compromise programming menggunakan metrik 𝐿_𝑝 dirumuskan sebagai berikut:

 

 

1/ * 1 p p n j j p p j j j Z Z x L W W Z Z   _        



 (2.6)

atau setara dengan

 

1/ 1 p p n p p j j j L W W d  _{ }       _{ }  



 (2.7)

dengan 𝑊_𝑗𝑝 adalah bobot yang mewakili perbedaan antara tujuan ke−𝑗 dan titik ideal. Rumusan umum untuk bobot sebagai berikut:

1 1 n j j W  



Fungsi jarak pada persamaan (2.7) dapat diterapkan pada himpunan yang layak dan efisien alternatif untuk memilih solusi kompromi terbaik. Alternatifnya dengan nilai terendah untuk 𝐿𝑝(𝑊) akan menjadi solusi kompromi terbaik karena

ini adalah solusi terdekat yang berhubungan dengan titik ideal. Solusi kompromi terbaik bisa berubah sesuai dengan nilai parameter 𝑝 dan bobot 𝑊_𝑗 yang dipilih oleh pengambil keputusan. Parameter 𝑝 adalah parameter ukuran jarak. Metrik 𝐿₁ (yaitu 𝑝 = 1) pada persamaan (2.6) memberikan minimalisasi deviasi relatif

13 terhadap ideal. Jika 𝑍_𝑗∗ _{≥ 𝑍}

𝑗(𝑥) untuk setiap 𝑗, karena 𝑍𝑗∗ adalah komponen vektor

ideal, maka tanda absolut (2.6) bisa dihilangkan dan untuk metrik 𝐿₁ kompromi terbaik atau solusi terdekat titik ideal dapat dirumuskan:

 

* *

 

1 * Min n j j j j j j Z Z x L W W Z Z    



(2.8) dengan xF

dengan 𝐹 adalah solusi layak. Solusi optimal dari masalah program linear untuk setiap 𝑊₁ = 𝑊₂ (yaitu saat tujuan sama pentingnya). Selanjutnya untuk metrik 𝐿_∞(𝑝 = ∞), deviasi maksimal antar individu diminimalkan. Artinya, ketika 𝑝 = ∞ hanya penyimpangan terbesar yang dihitung. Untuk metrik ini solusi kompromi terbaik diperoleh dengan menyelesaikan masalah program linear sebagai berikut [13]: Min L_ d (2.9) dengan

 

* 1 1 * 1 *1 i Z Z x W d Z Z     ⋮

 

* * * n n n n n Z Z x W d Z Z     xF Keterangan

𝑊_𝑛 : Bobot fungsi tujuan ke – 𝑛 𝑍_𝑛∗ _{: Nilai ideal fungsi tujuan ke – 𝑛} 𝑍_𝑗(𝑥) : Nilai fungsi tujuan ke – 𝑛

𝑍_∗𝑛 : Nilai anti ideal fungsi tujuan ke – 𝑛 𝐹 : Solusi layak

14

Strategi interaktif untuk mengurangi himpunan solusi kompromi yang dikemukakan oleh [14] berdasarkan pada konsep displaced ideal dan disebut metode dari displaced ideal. Dalam pendekatan ini nilai ideal sehubungan dengan himpunan solusi kompromi baru menggantikan nilai ideal yang sebelumnya, dan solusi kompromi (yang dikurangi) akhirnya menutup nilai ideal, menghentikan proses.

Langkah-langkah metode displaced ideal sebagai berikut [13]: 1. Misalkan himpunan solusi kompromi adalah 𝑋.

2. Menentukan titik ideal (𝑍_𝑛∗_{) dan anti ideal (𝑍}

∗𝑛) dari minimal fungsi tujuan.

3. Himpunan solusi kompromi dapat diperoleh dengan menentukan solusi pareto optimal yang diperoleh pada persamaan (2.8) dan (2.9).

4. Jika pengambil keputusan dapat menyeleksi solusi akhir himpunan solusi kompromi maka berhenti. Jika dianggap terlalu besar maka kembali pada langkah 2.

2.5.2 Contoh Penyelesaian Metode Compromise Programming dalam Masalah Perencanaan Produksi

Sebuah perusahaan manufaktur ingin memaksimalkan total keuntungan, untuk menghasilkan dua produk yaitu 𝑃₁ dan 𝑃₂ dengan memanfaatkan tiga material berbeda yaitu 𝑀1, 𝑀2, dan 𝑀3. Untuk memproduksi 1 ton produk 𝑃1

membutuhkan 2 ton material 𝑀₁, 3 ton material 𝑀₂, dan 4 ton material 𝑀₃, sedangkan untuk menghasilkan 1 ton produk 𝑃2 membutuhkan 6 ton material 𝑀1,

2 ton material 𝑀₂, dan 1 ton material 𝑀₃. Jumlah total bahan yang tersedia dibatasi masing-masing 27, 16, dan 18 ton untuk 𝑀₁, 𝑀₂, dan 𝑀₃. Produk 𝑃₁ menghasilkan keuntungan 3 juta yen per ton, sedangkan 𝑃₂ menghasilkan 8 juta yen per ton (lihat Tabel 2.3). Mengingat keterbatasan bahan tersebut, pihak perusahaan berusaha mencari tau berapa unit produk 𝑃₁ dan 𝑃₂ yang harus diproduksi untuk memaksimalkan total keuntungan. Produk˙𝑃₁ menghasilkan 5 unit pencemaran sedangkan 𝑃₂ menghasilkan 4 unit pencemaran. Maka dari itu, manager tidak hanya memaksimalkan keuntungan tetapi juga harus

15

meminimalkan jumlah pencemaran. Misalkan 𝑥₁ dan 𝑥₂ menunjukkan variabel keputusan yang mewakili jumlah ton untuk menghasilkan produk 𝑃1 dan 𝑃2.

Dengan menggunakan variabel keputusan, masalah perencanaan produksi dapat dirumuskan sebagai berikut:

Tabel 2. 3 Kondisi produksi dan keuntungan

Produk 𝑃₁ Produk 𝑃₂ Jumlah yang tersedia

Material 𝑀₁ 2 6 27

Material 𝑀₂ 3 2 16

Material 𝑀₃ 4 1 18

Keuntungan (juta yen) 3 8

Penyelesaian dengan metode compromise programming Fungsi Tujuan : Min Z₁ 3x₁8x₂

Min Z₂ 5x₁4x₂ Kendala 2x₁6x₂ 27 3x₁2x₂ 16 4x₁ x₂ 18 x₁0,x₂ 0 Langkah-langkah penyelesaian:

1. Misalkan bobot 𝑊₁ = 𝑊₂ = 1 dan 𝑋 = {(𝑥₁, 𝑥₂) ∈ ℝ2_|2𝑥

1+ 6𝑥2 ≤ 27, 3𝑥₁+ 2𝑥₂ ≤ 16, 4𝑥₁+ 𝑥₂ ≤ 18, 𝑥₁ ≥ 0, 𝑥₂ ≥ 0}.

2. Menentukan titik ideal (𝑍_𝑛∗) dan anti ideal (𝑍_𝑛∗) menggunakan Program lingo 11.0.

1) Mencari nilai ideal (𝑍₁∗_{) dari fungsi tujuan pertama menggunakan} Program Lingo 11.0 diperoleh :

1 1 2

16 Kendala 2x₁6x₂ 27 3x₁2x₂ 16 4x₁ x₂ 18 x₁0,x₂0 Diperoleh: * 1 37 Z  

Mencari nilai anti ideal (𝑍_1∗) dari fungsi tujuan pertama menggunakan Program Lingo 11.0 yaitu:

Max Z₁ 3x₁8x₂ Kendala 2x₁6x₂ 27 3x₁2x₂ 16 4x₁ x₂ 18 x₁0,x₂ 0 Diperoleh : 1* 0 Z 

2) Sedangkan untuk mencari nilai ideal (𝑍₂∗) dari fungsi tujuan kedua menggunakan Program Lingo 11.0 yaitu :

Min Z₂ 5x₁4x₂ Kendala 1 2 2x 6x 27 1 2 3x 2x 16 4x₁ x₂ 18 x10,x2 0 Diperoleh : * 2 0 Z 

17

Mencari nilai anti ideal (𝑍_2∗) dari fungsi tujuan kedua menggunakan Program Lingo 11.0 yaitu :

2 1 2 Max Z 5x 4x Kendala 1 2 2x 6x 27 1 2 3x 2x 16 4x₁ x₂ 18 x₁0,x₂ 0 Diperoleh : Z_2*29

3. Membangun solusi kompromi dengan menentukan solusi optimal pareto yang diperoleh pada persamaan (2.8) dan (2.9). Masalah pemrograman dua tujuan berikut ini dirumuskan:

1) Mencari Min 𝐿₁ dari fungsi tujuan pada percobaan 1















1 2







1 2





1 3 8 37 5 4 0 Min 29 0 0 37 x x x x L            Kendala 2x₁6x₂ 27 3x₁2x₂ 16 4x₁ x₂ 18 x₁0,x₂0 Diperoleh: x



0, 4.5



2) Mencari 𝑀𝑖𝑛 𝐿_∞ dari fungsi tujuan pada percobaan 1 Min L d Kendala















1 2



3 8 37 d 0 37 x x       

18







1 2



5 4 0 d 29 0 x  x    2x₁6x₂ 27 3x₁2x₂ 16 4x₁ x₂ 18 x₁0,x₂0 Diperoleh: x



0, 2.823684



Dari masalah tersebut, solusi kompromi merupakan garis lurus segmen antara titik A(−36,18) dan B(−22.589472, 11.294736) dapat dilihat pada Gambar 2.1, dimana titik A bersesuaian dengan solusi 𝑥 = (0,4.5) meminimalkan 𝐿₁ dari fungsi tujuan dan titik B terkait dengan solusi 𝑥 = (0,2.823684) meminimalkan 𝐿_∞ dari fungsi tujuan.

Gambar 2. 1 Grafik titik ideal dan solusi kompromi

4. Misalkan pengambil keputusan tidak dapat memilih solusi akhir karena himpunan kompromi dianggap terlalu besar. Maka kembali pada langkah 2 diperoleh :

19

1) Nilai ideal (𝑍₁∗) dan anti ideal (𝑍_1∗) baru

𝑍₁∗ = −36 dan 𝑍_1∗= −22.589472 2) Nilai ideal (𝑍₂∗_{) dan anti ideal (𝑍}

2∗) baru 𝑍₂∗_{= 11.294736 dan 𝑍}

2∗ = 18

Pada langkah 3, masalah pemrograman dua tujuan berikut ini dirumuskan ulang:

1) Mencari Min 𝐿₁ dari fungsi tujuan pada percobaan 2















1 2





1



2





1 3 8 36 5 4 11.294736 Min 18 11.294736 22.589472 36 x x x x L             Kendala 2x₁6x₂ 27 3x₁2x₂ 16 4x₁ x₂ 18 x₁0,x₂ 0 Diperoleh: x



0, 4.5



2) Mencari Min 𝐿_∞ dari fungsi tujuan pada percobaan 2 Min L d Kendala















3 1 8 2 36



d 22.589472 36 x x        









1 2 5 4 11.294736 d 18 11.294736 x  x    1 2 2x 6x 27 1 2 3x 2x 16 1 2 4x  x 18 1 0, 2 0 x  x 

20 Diperoleh:



0,3.661842



x

Solusi kompromi yang baru merupakan sebuah garis lurus antar titik A(−36,18) dan C(−29.294736, 14.647368) ditampilkan pada gambar 2.1, dimana titik A bersesuaian dengan solusi 𝑥 = (0, 4.5) meminimalkan 𝐿₁ dari fungsi tujuan pada percobaan 2 dan titik C yang sesuai ke solusi 𝑥∗ _{= (0, 3.661842) meminimalkan 𝐿}

∞ dari fungsi tujuan pada percobaan 2. Jadi diperoleh solusi kompromi dari masalah tersebut adalah titik C(−29.294736, 14.647368).

2.6 Investasi

Investasi merupakan komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lainnya yang dilakukan pada masa sekarang, dengan tujuan akan memperoleh keuntungan dimasa yang akan datang [15]. Investasi juga berkaitan dengan berbagai macam aktivitas, seperti menginvestasikan dana pada sektor riil (tanah, emas, mesin, atau bangunan) maupun aset finansial (deposito, saham, atau obligasi).

Istilah investasi menurut [16], investasi dapat didefinisikan sebagai penundaan konsumsi sekarang untuk digunakan dalam produksi yang efisien selama periode tertentu. Investasi adalah penanaman modal disuatu perusahaan, dengan tujuan agar kekayaan suatu korporasi atau perusahaan bertambah.

2.6.1 Tujuan Investasi

Ada beberapa alasan seseorang melakukan investasi yaitu [15] :

1. Dalam meraih masa depan yang layak, seseorang akan berfikir dan berusaha dengan keras, serta bertindak dengan bijaksana untuk dapat mempertahankan apa yang dimilikinya sekarang dan meningkatkan pendapatan dimasa yang akan datang.

2. Mengurangi tekanan inflasi. Investasi bagi sebagian orang dan perusahaan merupakan salah satu cara yang dapat dilakukan untuk menghindari diri dari

21

risiko yang mampu menurunkan nilai kekayaan yang diakibatkan dari pengaruh inflasi.

3. Dorongan untuk menghemat pajak. Beberapa negara terdapat kebijakan yang dapat mendorong pertumbuhan investasi di masyarakat yaitu melalui pemberian fasilitas perpajakan kepada masyarakat yang melakukan investasi pada bidang-bidang tertentu.

2.6.2 Bentuk-Bentuk Investasi

Investasi pada umumnya dibedakan menjadi dua bentuk yaitu [17] : 1. Real Investment

Investasi nyata (real investment) biasanya melibatkan aset yang berwujud seperti tanah, emas, mesin-mesin atau pabrik, dan bangunan.

2. Financial Investment

Investasi keuangan (financial investment) biasanya melibatkan aset kontrak tertulis, seperti saham biasa (common stock) dan obligasi (bound).

Perbedaan antara investasi nyata (real investment) dan investasi keuangan (financial investment) adalah tingkat likuiditas pada kedua investasi tersebut. Investasi nyata (real investment) relatif lebih sulit dicairkan karena terbentur pada komitmen jangka panjang antara investor dan perusahaan. Sedangkan investasi keuangan (financial investment) lebih mudah untuk dicairkan karena dapat diperjual belikan tanpa terikat oleh waktu.

2.7 Pasar Modal

Pengertian pasar modal secara umum adalah suatu wadah bagi pihak yang memiliki dana lebih dan pihak yang membutuhkan dana sebagai aternatif penghimpun dana dengan memperjualbelikan suatu sekuritas. Menurut Undang-Undang No.8 tahun 1995 tentang Pasar Modal yaitu mendefinisikan pasar modal sebagai kegiatan yang bersangkutan dengan penawaran umum dan perdagangan efek, perusahaan publik yang berkaitan dengan efek.

22

Pasar modal pada dasarnya merupakan tempat berbagai pihak, khususnya perusahaan yang menjual saham (stock) dan obligasi (bond), dengan tujuan dari hasil penjualan tersebut nantinya akan dipergunakan sebagai tambahan dana atau untuk memperkuat modal perusahaan [18]. Pasar modal juga merupakan tempat terjadinya transaksi aset keuangan jangka panjang (long-term financial asset) yang memiliki jatuh tempo lebih dari satu tahun [19].

2.8 Saham

Saham adalah kertas yang tercantum dengan jelas nilai nominal, nama perusahaan, dan diikuti dengan hak serta kewajiban yang telah dijelaskan kepada setiap pemegangnya [18]. Saham merupakan penyertaan modal dalam kepemilikan suatu perseroan terbatas atau emiten. Pemilik saham merupakan pemilik sebagian dari perusahaan tersebut [20].

Menurut Widoatmodjo menyatakan bahwa saham adalah tanda penyertaan atau pemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan. Selembar saham adalah selembar kertas yang menerangkan bahwa pemilik kertas tersebut adalah pemilik (berapapun porsinya) dari suatu perusahaan yang menerbitkan kertas (saham) tersebut, sesuai dengan porsi kepemilikannya yang tertera pada saham [21].

2.8.1 Saham Biasa

Saham biasa (common stock) merupakan surat berharga yang dijual oleh suatu perusahaan yang menjelaskan nilai nominal (rupiah, dollar, yen, dan sebagainya) dimana pemegangnya diberi hak untuk mengikuti Rapat Umum Pemegang Saham (RUPS) dan Rapat Umum Pemegang Saham Luar Biasa (RUPSLB) serta berhak untuk menentukan membeli right issue (penjualan saham terbatas) atau tidak, yang selanjutnya diakhir tahun akan memperoleh keuntungan dalam bentuk dividen [22].

23 2.8.2 Saham Preferen

Saham istimewa (preferen stock) merupakan surat berharga yang dijual oleh suatu perusahaan yang menjelaskan nilai nominal (rupiah, dollar, yen, dan sebagainya) dimana pemegangnya akan memperoleh pendapatan tetap dalam bentuk dividen yang akan diterima setiap kuartal (3 bulan) [22].

2.9 Indeks LQ-45

Indeks LQ-45 merupakan nilai kapitalisasi pasar dari 45 saham yang paling liquid dan memiliki nilai kapitalisasi yang besar. Indeks LQ-45, menggunakan 45 saham yang terpilih berdasarkan likuiditas perdagangan saham dan disesuaikan setiap enam bulan (setiap awal Februari dan Agustus). Dengan demikian saham yang terdapat indeks tersebut akan selalu berubah.

Tujuan indeks LQ-45 yaitu sebagai pelengkap IHSG dan khususnya untuk menyediakan sarana yang obyektif serta terpercaya bagi analisis keuangan, manajer investasi, investor, dan pemerhati pasar modal lainnya dalam memonitor pergerakan harga dari saham-saham yang aktif diperdagangkan.

2.10 Portofolio

Portofolio adalah suatu gabungan dari berbagai instrumen atau saham yang disusun untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal, jika dirumuskan secara matematis dalam suatu model investasi terdapat dua fungsi tujuan yang dipertimbangkan oleh investor yaitu memaksimalkan return dan meminimalkan koefisien risiko [18].

Portofolio salah satu cara yang dilakukan oleh investor dalam mengalokasikan sejumlah dana tertentu untuk memperoleh keuntungan yang optimum. Maka untuk mencapai tujuan tersebut, dapat dirumuskan fungsi tujuan yaitu meminimalkan koefisien risiko dan memaksimalkan expected return.

24 2.11 Return

Return merupakan keuntungan yang diperoleh investor dari hasil kebijakan

investasinya. Perhitungan return realisasi ini ada dua jenis yaitu diskret dan kontinu. Return diskret dirumuskan sebagai berikut [20]:

1 1 t t t t S S R S     (2.10) dengan

𝑅_𝑡 : Tingkat pengembalian (return) saham pada periode ke-𝑡 𝑆_𝑡 : Harga saham pada periode ke-𝑡

Sedangkan untuk menghitung return kontinu menggunakan rumus :

1 ln i i i S R S_        (2.11) dengan

𝑅𝑖 : Tingkat pengembalian (return) saham pada periode ke-𝑖 𝑆_𝑖 : Harga saham pada periode ke-𝑖

2.12 Expected Return

Expected Return merupakan keuntungan yang diharapkan oleh investor di

kemudian hari dari investasinya. Rumus dari Expected Return adalah [21]:

1 ( ) N ij j i R E R N  



(2.12) dengan

𝐸(𝑅_𝑖) : Return yang diharapkan pada saham 𝑖

𝑅_𝑖𝑗 : Return saham 𝑖 pada saat ke-𝑗 dan seterusnya 𝑁 : Banyak periode pengamatan

25 2.13 Variansi

Variansi adalah ukuran dalam perhitungan koefisien risiko saham dengan melihat

return, expected return, dan banyak periode dilakukan pengamatan harga saham.

Varians dari N data return dapat dirumuskan [21]:

 





2 1 2 N ij i j i R E R N    



(2.13) dengan

𝜎_𝑖2 : Nilai variansi saham ke-𝑖

𝑅_𝑖𝑗 : Return saham 𝑖 pada saat ke-𝑗 dan seterusnya 𝐸(𝑅𝑖) : Return yang diharapkan pada saham 𝑖

𝑁 : Banyak periode pengamatan

2.14 Kovariansi

Kovariansi adalah pengukur untuk menunjukkan arah pergerakan dua variabel. Kovarian dirumuskan sebagai [22]:





1



 





 



Cov , N ij i mj m j i m R E R R E R R R N    



(2.15) Dengan

𝑅_𝑖𝑗 : Return saham 𝑖 pada saat ke-𝑗 dan seterusnya 𝐸(𝑅𝑖) : Return yang diharapkan pada saham 𝑖

𝑅_𝑚𝑗 : Return saham 𝑚 pada saat ke-𝑗 dan seterusnya 𝐸(𝑅_𝑚) : Return pasar yang diharapkan pada saham 𝑚 𝑁 : Banyak periode pengamatan

26 2.15 Koefisien Risiko

Risiko dalam berinvestasi akan ditanggung oleh investor dapat dilihat dari koefisien risiko saham. Untuk mencari koefisien risiko dapat menggunakan rumus sebagai berikut[22]:





2 C ov _{i m} i m R R    (2.16) dengan

𝛽_𝑖 : Koefisien risiko saham ke-𝑖

𝑅𝑚 : Return pasar (diwakili oleh Indeks Harga Saham Gabungan(IHSG)) 𝑅𝑚 =

𝐼𝐻𝑆𝐺𝑡−𝐼𝐻𝑆𝐺𝑡−1

𝐼𝐻𝑆𝐺𝑡−1 , dengan t = periode pengamatan 𝜎_𝑚2 _{: Varian pasar}