49 BAB III PEMBAHASAN
Masalah Fuzzy Linear Programming (FLP) merupakan masalah program linear yang dinyatakan dengan fungsi tujuan dan fungsi kendala yang memiliki parameter fuzzy dan ketidaksamaan fuzzy ( Rivelson Purba, 2012). Pada tulisan ini, metode yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah Fuzzy Linear Programming adalah dengan menggunakan metode Mehar.
Metode Mehar merupakan metode baru yang digunakan untuk menyelesaikan masalah FLP. Metode ini dipilih karena lebih mudah digunakan dengan catatan bahwa bilangan fuzzy yang digunakan adalah bilangan fuzzy trapesium simetris. Sedangkan masalah FLP yang akan dibahas pada bab ini adalah masalah FLP dengan seluruh parameter-parameter keputusan dan variabel-variabel keputusan yang berupa bilangan fuzzy trapesium simetris.
Pada dasarnya, proses menyelesaikan masalah FLP berdasarkan metode Mehar yaitu dengan membawa masalah FLP menjadi masalah progam linear. Kemudian masalah program linear tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan metode yang ada, yaitu dengan metode Simpleks sehingga diperoleh solusi yang optimal. Berikut ini akan dibahas mengenai metode Mehar serta penerapannya pada industri “Camilan Rajikan Mbah Rajak” Sragen.
50 A. Metode Mehar
Penyelesaian masalah Fuzzy Linear Programming (FLP) dengan metode Mehar dilakukan dengan cara membawa masalah tersebut menjadi masalah program linear. Adapun langkah-langkah penyelesaian FLP dengan metode Mehar yaitu sebagai berikut (Sidhu, S.K dkk, 2014):
1. Merumuskan masalah yang dipilih ke dalam bentuk masalah FLP Pada bab ini masalah yang akan dibahas adalah masalah FLP dengan keseluruhan parameter-parameter keputusan dan variabel-variabel keputusan berupa bilangan fuzzy. Model umum dari FLP yaitu sebagai berikut:
Memaksimumkan ̃ ∑ ̃ ̃
Terhadap kendala (3.1)
∑ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃
Keterangan
̃: fungsi tujuan fuzzy ̃: koefisien ongkos fuzzy ̃: variabel keputusan fuzzy ̃ : koefisien teknis fuzzy
dengan ̃ adalah bilangan fuzzy trapesum simetris nol, dan untuk ̃, ̃ , ̃ , dan ̃ berupa bilangan fuzzy trapesium simetris.
51
2. Masalah dirubah menjadi masalah seperti berikut: Memaksimumkan ̃ ∑ ̃ ̃ Terhadap kendala (∑ ̃ ̃) ( ̃ ) ̃ ̃ ̃ ̃) 3. Menggunakan aturan ∑ ̃ ̃ ∑ ̃ ̃ ∑ ̃ ̃ dan ∑ ̃ ̃ ∑ ̃ ̃ ∑ ̃ ̃ , masalah dapat dirubah menjadi masalah :
Memaksimumkan ̃ ∑ ̃ ̃
Terhadap kendala
∑ ̃ ̃ ( ̃) ̃ ̃ ̃ ̃)
4. Karena ̃ adalah sebuah bilangan real, asumsikan ̃ , ( ̃) , ( ̃ ) , ( ̃ ) , dan ( ̃ ) dan menempatkan ̃) = 0, masalah dapat dirubah menjadi Memaksimumkan ∑ Terhadap kendala ∑
52
5. Selesaikan masalah di atas dengan menggunakan metode simpleks
Masalah merupakan masalah program linear, pada bab ini masalah tersebut akan diselesaikan dengan metode simpleks. Penyelesaian dilakukan dengan mencari solusi optimal dari masalah .
B. Profil “Camilan Rajikan Mbah Rajak” Sragen
Camilan Rajikan Mbah Rajak merupakan industri rumahan yang memproduksi makanan tradisional seperti Krasikan, Jenang dan Wajik. Mbah Rajak sudah memulai usaha ini sekitar tahun 1968 di Sragen. Pada awalnya Mbah Rajak hanya menjual dagangannya secara berkeliling karena belum memiliki tempat yang tetap. Karena usahanya yang semakin berkembang, kini Mbah Rajak berjualan di Pasar Bunder Sragen dan melayani pembelian secara langsung di rumahnya di Jl. Kampar No. 7 Cantel Wetan, Kelurahan Sragen Tengah. Camilan Rajikan Mbah Rajak sudah memiliki banyak pelanggan, setiap hari warung mbah Rajak di pasar tidak pernah sepi pembeli. Mulai pagi sampai sore makanannya selalu diserbu pembeli dan jarang sekali makanan tersebut sampai sisa. Bahkan tidak jarang pembeli yang datang berasal dari luar daerah dan menjadikan makanan khas Sragen buatan mbah Rajak ini sebagai oleh-oleh. Makanan yang diproduksi mbah Rajak sudah menjadi makanan khas Sragen yang banyak diminati semua kalangan
53
masyarakat karena selain rasanya enak dan lezat, juga khas dilidah, harganya juga terjangkau ( https://nuryahmanhartono.wordpress.com/jajanan-khas-sragen-mbah-rajak/).
Kondisi perekonomian dan gaya konsumtif masyarakat yang sering berubah pada akhirnya dapat mempengaruhi kegiatan produksi “Camilan Rajikan Mbah Rajak”. Misalnya pada hari-hari tertentu seperti Wage dan Legi (hari dengan penamaan jawa), kegiatan produksi akan ditingkatkan. Kemudian jika kondisi pasar Bunder Sragen dirasa sepi, maka kegiatan produksi akan dikurangi. Maka dari itu, penggunaan bahan baku setiap harinya dapat berubah sesuai kondisi pada saat itu.
Bahan baku yang digunakan untuk ketiga jenis makanan tradisional (Jenang, Wajik, Krasikan) yaitu beras ketan, kelapa dan gula merah. Produksi dilakukan satu kali setiap hari dengan total tenaga kerja 10 orang. Untuk satu kali produksi Jenang menghasilkan 18 sampai 24 kg, Wajik menghasilkan 25 sampai 29 kg, dan Krasikan 21 sampai 25 kg. Ketersediaan bahan baku beras ketan setiap harinya sekitar 40 Kg sampai 50 Kg, kelapa sekitar 55 sampai 65 buah, dan gula merah sekitar 50 Kg sampai 60 Kg. Keuntungan untuk masing-masing produk untuk satu kali produksi Jenang kira-kira berkisar antara Rp 350.000,- sampai Rp 410.000,-, Wajik antara Rp 420.000,- sampai Rp 480.000,-, sedangkan untuk Krasikan antara Rp 300.000,- sampai Rp 380.000,-. Keuntungan yang tidak tetap terjadi karena kondisi perekonomian yang tidak stabil yang bisa mengakibatkan biaya bahan baku meningkat. Sehingga daya beli konsumen cenderung rendah. Informasi kebutuhan dan
54
ketersediaan bahan baku serta keuntungan untuk satu kali produksi ditampilkan dalam Tabel 3.1 di bawah ini,
Tabel 3. 1 Kebutuhan dan ketersediaan bahan baku serta keuntungan satu kali produksi
Bahan Baku Keuntungan untuk satu kali produksi (ribuan Rupiah) Beras ketan (Kg) Kelapa (butir) Gula merah (Kg) Jenang 4-6 13-17 11-13 350-410 Wajik 15-17 10-12 12-16 420-480 Krasikan 8-12 12-14 9-11 300-380 Ketersediaan 40-50 55-65 50-60
Kemudian masalah yang muncul yaitu berapa kali Jenang, Wajik dan Krasikan yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan yang maksimal dengan mempertimbangkan beberapa kenyataan kendala-kendala serta tujuan yang tidak tegas, seperti koefisien teknis, koefisien ongkos dan suku tetap pada Tabel 3.1 .Permasalahan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan PL, maka digunakan FLP dengan cara membentuk bilangan-bilangan fuzzy. Keseluruhan data yang ditampilkan pada Tabel 3.1 di atas dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaannya.
Salah satu contoh pendefinisian bilangan fuzzy untuk masalah optimasi “Camilan Rajikan Mbah Rajak” yaitu mendefinisikan bilangan fuzzy ̃, dimana ̃ menyatakan jumlah beras ketan yang dibutuhkan untuk satu
55
kali pembuatan Jenang. Satu kali pembuatan Jenang membutuhkan beras ketan sebanyak 4-6 Kg. Batas penggunaan beras ketan paling rendah adalah 3 Kg, sedangkan batas tertinggi adalah 7 Kg. Berdasarkan definisi 2.5 diperoleh bilangan fuzzy trapesium ̃ dan karena jarak sisi kiri sama dengan sisi kanan yaitu 4-3=7-6=1 sehingga diperoleh , sehingga ̃ adalah bilangan fuzzy trapesium simetris. Berdasarkan definisi 2.7 maka ̃ dapat dinotasikan menjadi ̃=(4,6,1,1).
Fungsi keanggotaan ̃ dinyatakan sebagai berikut:
̃ { (3.5)
Fungsi keanggotaan ̃ ditunjukkan oleh Gambar 3.1 berikut ini.
Gambar 3. 1 Fungsi keanggotaan ̃
Dengan cara yang sama, maka keseluruhan data dapat dinyatakan sebagai bilangan fuzzy trapesium simetris yang dapat dilihat pada lampiran 1-4. Secara rinci ditunjukkan pada Tabel 3.2 berikut:
56
Tabel 3. 2 Data dalam bentuk bilangan fuzzy trapesium simetris
Bahan Baku Keuntungan
untuk satu kali produksi (ribuan Rupiah) Beras ketan (Kg) Kelapa (butir) Gula merah (Kg) Jenang (4,6,1,1) (13,17,2,2) (11,13,2,2) (350,410,40,40) Wajik (15,17,2,2) (10,12,2,2) (12,16,3,3) (420,480,20,20) Krasikan (8,12,2,2) (12,14,3,3) (9,11,1,1) (300,380,50,50) Ketersediaan (40,50,5,5) (55,65,6,6) (50,60,4,4)
C. Langkah-langkah Formulasi Model Fuzzy Linear Programming
Permasalahan di atas dapat dirumuskan ke dalam model matematika. Adapun tahapan dalam membuat model Fuzzy Linear Programming sama dengan tahapan dalam membuat model untuk masalah program linear yaitu sebagai berikut:
1. Menentukan Variabel Keputusan.
Pada kasus di atas, variabel keputusan yang dipilih berupa bilangan fuzzy trapesium simetris, yaitu:
̃ : ̃ ̃ 2. Menentukan batasan
Untuk memperoleh jumlah produksi harian dari ketiga jenis makanan tradisional tersebut dibatasi oleh bahan baku yang tersedia yang dapat dilihat pada Tabel 3.2. Batasan untuk masing-masing bahan baku yaitu sebagai berikut:
57 Beras Ketan ̃ ̃ ⨁ ̃ Kelapa ̃ ̃ ⨁ ̃ Gula merah ̃ ̃ ⨁ ̃ 3. Menentukan tujuan yang akan dicapai
Tujuan yang ingin dipenuhi adalah untuk memperoleh keuntungan semaksimal mungkin dari penjualan 3 jenis makanan tradisional, sehingga koefisien fungsi tujuan dibentuk dari keuntungan penjualan dari setiap jenis makanan tradisional. Fungsi tujuan adalah sebagai berikut:
Memaksimumkan
̃ ̃ ̃ ⨁ ̃
Dari ketiga langkah di atas, diperoleh rumusan model Fuzzy Linear Programming masalah maksimasi industri “Camilan Rajikan Mbah Rajak” sebagai berikut:
Memaksimumkan ̃ ̃ ̃ ⨁ ̃ Dengan kendala ̃ ̃ ⨁ ̃ ̃ ̃ ⨁ ̃
58
̃ ̃ ⨁ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃
D. Penerapannya pada Industri “Camilan Rajikan Mbah Rajak” Sragen Permasalahan pada industri “Camilan Rajikan Mbah Rajak” Sragen merupakan masalah Fuzzy Linear Programming dengan koefisien ongkos, koefisien teknis, suku tetap dan variabel-variabel keputusan berupa bilangan fuzzy trapesium simetris. Masalah tersebut akan diselesaikan dengan metode Mehar. Adapun langkah-langkah penyelesaiannya yaitu sebagai berikut:
1. Menggunakan langkah pertama pada metode Mehar, rumusan masalah pada industri “Camilan Rajikan Mbah Rajak” Sragen dinyatakan dalam masalah : Memaksimumkan ̃ ̃ ̃ ⨁ ̃ dengan kendala ̃ ̃ ⨁ ̃ ̃ ̃ ⨁ ̃ ̃ ̃ ⨁ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃
59
2. Menggunakan langkah kedua pada metode Mehar, masalah dapat dirubah menjadi masalah :
Memaksimumkan ̃ ̃ ̃ ⨁ ̃ dengan kendala ̃ ̃ ⨁ ̃ ̃ ̃ ⨁ ̃ ̃ ̃ ⨁ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃
3. Menggunakan langkah 3 pada metode Mehar, masalah dapat dirubah menjadi masalah :
Memaksimumkan ̃ ̃ ̃ ̃ dengan kendala ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃
60
̃ ̃ ̃
̃ ( ̃ ) ̃ ( ̃ ) ̃ ̃ 4. Menggunakan langkah 4 pada metode Mehar, masalah dapat
dirubah menjadi masalah : Memaksimumkan dengan kendala , ,
5. Menggunakan langkah 5 pada metode Mehar, masalah akan diselesaikan dengan metode simpleks.
Langkah-langkah pengerjaan dengan metode simpleks yaitu sebagai berikut:
1) Merubah persoalan ke dalam bentuk kanonik
Merubah persoalan ke dalam bentuk kanonik dilakukan dengan menambahkan slack variable pada kendala pertama, menambahkan pada kendala kedua dan menambahkan pada kendala ketiga.
61
Diperoleh bentuk kanonik dari masalah yaitu: Memaksimumkan dengan kendala , , , , ,
2) Masukkan semua nilai pada fungsi kendala ke dalam tabel simpleks Setelah diperoleh bentuk kanonik dari masalah (3.9), maka langkah selanjutnya yaitu memasukkan semua nilai pada fungsi kendala ke dalam tabel simpleks.
Tabel 3. 3 Tabel Awal Simpleks dari Masalah (3.9) 380 450 340 0 0 0 ̅ ̅ 0 5 10 1 0 0 45 0 15 11 13 0 1 0 60 0 12 14 10 0 0 1 55 0 0 0 0 0 0 0 -380 -450 -340 0 0 0 0 16
62 3) Melakukan Uji Optimalisasi
Masalah (3.9) di atas merupakan masalah maksimasi keuntungan pada industri “Camilan Rajikan Mbah Rajak. Kondisi optimal tercapai bila nilai pada baris . Pada Tabel 3.3 di atas terlihat bahwa pada baris masih ada yang bernilai negatif, maka kondisi optimal belum terpenuhi, sehingga perlu dilakukan perbaikan tabel.
4) Memperbaiki Tabel
Memperbaiki tabel dilakukan dengan tahapan sebagai berikut:
(1) Menentukan “kolom kunci” atau variabel basis yang akan masuk yaitu karena memiliki nilai terkecil yaitu .
(2) Menentukan “baris kunci” atau variabel basis yang akan keluar yaitu yang memiliki nilai terkecil yaitu
.
(3) Melakukan operasi baris elementer untuk memasukkan variabel basis baru,
̅
̅ ̅
63
setelah tahapan-tahapan di atas selesai, maka dibuat tabel simpleks yang baru dengan mengganti salah satu variabel basis. Berikut merupakan tabel simpleks yang telah diperbaiki:
Tabel 3. 4 Tabel Simpleks Iterasi ke-1 dari Masalah (3.9)
380 450 340 0 0 0 ̅ ̅ 450 1 0 0 9 0 0 1 0 0 0 0 1 450 0 0 0 0 0
Tabel 3.4 di atas belum optimal karena pada baris masih ada yang bernilai negatif yaitu pada kolom dan , sehingga perlu dilakukan perbaikan tabel kembali agar kondisi optimal dapat terpenuhi. Dengan mengulangi langkah ke empat, maka dibuat tabel simpleks yang baru, yaitu seperti berikut.
64
Tabel 3. 5 Tabel Simpleks Iterasi ke-2 dari Masalah (3.9)
380 450 340 0 0 0 ̅ ̅ 450 0 1 0 0 0 1 380 1 0 0 380 450 0,655738 0 0 0 0,655738 0
Tabel 3.5 di atas belum optimal karena pada baris masih ada yang bernilai negatif yaitu pada kolom , maka perlu dilakukan perbaikan tabel kembali. Dengan mengulangi langkah ke empat, maka dibuat tabel baru seperti berikut:
Tabel 3. 6 Tabel Simpleks Iterasi ke-3 dari Masalah (3.9)
380 450 340 0 0 0 ̅ ̅ 450 0 1 0 340 0 1 380 1 0 0 380 450 340 1780,911 0 0 0 1780,911
65
Pada Tabel 3.6 dapat dilihat bahwa seluruh nilai pada baris , sehingga kondisi optimal telah tercapai dan proses pengerjaan dengan metode simpleks berhenti. Nilai variabel keputusan dari penyelesaian optimal tersebut adalah:
Dengan nilai fungsi tujuan . Karena mewakili ribuan rupiah, maka .
Untuk mendukung perhitungan dengan metode Simpleks, maka dilakukan perhitungan dengan program Matlab. Proses pengerjaan dengan Matlab yaitu dengan memodelkan masalah dengan cara tulis matriks. Kemudian matriks inilah yang akan digunakan pada Matlab untuk mencari solusi optimal. Dengan cara tulis matriks, masalah dapat ditulis: Memaksimumkan [ ] dengan kendala [ ] [ ] [ ]
66
[ ]
Koefisien ongkos pada fungsi tujuan dirubah menjadi negatif karena program pada matlab adalah meminimumkan. Sedangkan masalah pada “Camilan Rajikan Mbah Rajak” adalah memaksimumkan. Tampilan pada program Matlab adalah sebagai berikut:
>> A= [5 16 10; 15 11 13; 12 14 10]; >> b= [45; 60; 55]; >> f= [ -380; -450; -340] >> x= linprog(f,A,b) Optimization terminated. x = 1.8411 1.4438 1.2694
Dapat dilihat bahwa hasil perhitungan dengan metode Simpleks maupun dengan program Matlab diperoleh hasil yang sama untuk variabel keputusan , , dan .
67
Namun pada kenyataannya, kegiatan produksi pada “Camilan Rajikan Mbah Rajak” tidak dapat dinyatakan dengan bilangan pecahan. Sehingga dilakukan pembulatan pada hasil perhitungan dengan Integer Programming.
Penyelesaian model Integer Programming dilakukan dengan metode Branch and Bound dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah pertama: melakukan percabangan atau branching. Setelah menghitung solusi optimal dari masalah (3.9), solusi optimal yang diperoleh berdasarkan metode simpleks yaitu
dan
dengan nilai fungsi tujuan . terlihat bahwa semua variabel keputusan berupa pecahan, maka dilakukan percabangan dengan membuat dua sub permasalahan: Penambah an kendala pada masalah (3.9) diberi nama P.1 dan Penambahan kendala pada masalah (3.9) diberi nama P.2.
Langkah kedua: melakukan bounding atau pembatasan dengan menetapkan batas atas, bawah bawah. Batas atas= , sedangkan batas bawah= 1.550.000.
Langkah ketiga: melakukan fathoming atau pengukuran dengan melihat solusi yang diperoleh dari P.1 dan P.2. Solusi optimal untuk P.1 yaitu dan , dengan nilai fungsi tujuan sebesar 1647.000, sedangkan solusi optimal untuk P.2 yaitu dan
68
dengan nilai fungsi tujuan sebesar 1.760.600. P.2 memberikan solusi yang lebih baik dibandingkan P.1, namun solusi yang dihasilkan sebagian masih berupa pecahan, maka dari itu perlu dilakukan percabangan kembali. Karena proses penyelesaian model Integer Programming dilakukan secara berulang dan sulit dilakukan secara manual, maka pencarian solusi optimal dilakukan dengan excel solver. Langkah-langkah penyelesaian model Integer Programming dengan excel solver dapat di lihat pada Lampiran 5. Dengan menggunakan excel solver, diperoleh solusi optimal bulatnya yaitu dan
Interpretasi dari penyelesaian optimal tersebut pada “Camilan Rajikan Mbah Rajak” Sragen adalah hasil optimal akan diperoleh jika Jenang ( ) diproduksi sebanyak 2 kali, Wajik ( ) diproduksi sebanyak 2 kali dan Krasikan ( ̃ ) diproduksi sebanyak 0 kali atau tidak melakukan produksi untuk Krasikan dengan menghasilkan dengan keuntungan optimal yang diperoleh = Rp. 1.660.000,-.
Sementara itu, bahan baku Beras Ketan yang dibtuhkan untuk pembuatan Jenang ( ) sebanyak Kg , Wajik ( ) membutuhkan Kg dan total bahan baku Beras Ketan yang dibutuhkan sebanyak 42 Kg.
Bahan baku Kelapa yang dibutuhkan untuk pembuatan Jenang ( ) sebanyak 30 butir , Wajik ( ) membutuhkan 22 butir
69
dan total bahan baku Kelapa yang dibutuhkan sebanyak 52 butir.
Bahan baku Gula Merah yang pembuatan Jenang ( ) sebanyak 24 Kg , Wajik ( ) membutuhkan 28 Kg dan total bahan baku Gula Merah yang dibutuhkan sebanyak 52 Kg.
Data secara rinci mengenai kebutuhan bahan baku untuk ketiga jenis produk dan keuntungan yang dicapai berdasarkan perhitungan dengan metode Mehar disajikan dalam Tabel 3.8 berikut:
Tabel 3. 7 Hasil Perhitungan dengan Metode Mehar
Bahan Baku Total
Keuntungan ketiga jenis produk Beras ketan (Kg) Kelapa (butir) Gula merah (Kg) Jenang 30 24 Rp 1.660.000 Wajik 22 28 Jumlah total 42 52 52
