BAB IV PEMBAHASAN. Sampel Polinomial. (Horner, 1971) (Horner, 1971) (Neill, 2010) (Neill, 2010) (Neill, 2010) (Horner, 1971) (Neill, 2010)

(1)

commit to user

52

BAB IV PEMBAHASAN

4.1 Sampel Polinomial Penelitian

Sampel-sampel yang digunakan dalam penelitian ini berupa persamaan polinomial derajat dua, tiga, empat, dan n yang didapat dari berbagai sumber literatur. Sampel polinomial ditunjukkan pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Sampel Polinomial

No Derajat

Polinomial Sampel Polinomial Sumber

1 Polinomial derajat 2 ݔଶ൅ ͳͺݔ ൅ ͺͳ (Horner, 1971) ݔଶ_{െ ͳ͵ݔ െ ͵Ͳ} _{(Horner, 1971)} ݔଶ൅ ͳͲݔ െ ͳͶ (Neill, 2010) ݔଶ_{൅ ͷݔ ൅ ͳͳ} _{(Neill, 2010)} ݔଶെ ͵ݔ ൅ ͷ (Neill, 2010) 2 Polinomial derajat 3 ݔଷെ ͺݔଶ൅ ͳͻݔ ൅ ͳʹ (Horner, 1971) ݔଷ_{൅ ͵ݔ}ଶ_{െ ʹݔ ൅ ͹} _{(Horner, 1971)} ݔଷ൅ ͵ݔଶ൅ ͵ݔ ൅ ʹ (Horner, 1971) ݔଷ_{൅ ʹݔ}ଶ_{െ ͷݔ െ ͸} _{(Horner, 1971)} ݔଷെ Ͷݔଶെ ʹݔ ൅ ͵ (Neill, 2010) 3 Polinomial derajat 4 ݔସ൅ ͹ݔଷെ ݔଶ ൅ ͹ݔ െ ͳ (Horner, 1971) ݔସ_{െ ʹݔ}ଷ_{൅ ʹݔ}ଶ _{െ ͹ݔ ൅ ͳ} _{(Horner, 1971)} ݔସെ ͳ͸ݔଷ ൅ ͺ͸ݔଶെ ͳ͹͸ݔ ൅ ͳͲͷ (Horner, 1971) ݔସ_{െ ͷݔ}ଷ_{൅ ͳ͵ݔ}ଶ _{െ ͳͻݔ ൅ ͳͲ} _{(James, Smith &}

Wolford, 2000) 4 Polinomial derajat n ݔ଻_{൅ ͵ݔ}଺_{െ Ͷݔ}ହ _{െ ʹݔ}ଷ _{൅ ʹ} _{(Horner, 1971)} ݔ଼_{െ ݔ}଻ _{െ ͵ͻݔ}଺ _{൅ ͵͹ݔ}ହ _{൅ ͶͶ͸ݔ}ସ െͳͲͺݔଷ_{െ ͳͻʹͺݔ}ଶ _{െ ʹͷ͸ݔ} ൅ͳͻʹͲ

(James, Smith & Wolford, 2000)

(2)

commit to user

4.2 Pencarian Akar Kompleks Polinomial Secara Manual

Pencarian akar kompleks masing-masing sampel polinomial yang telah ditentukan secara manual dilakukan sebelum kalkulator dibangun. Pencarian akar kompleks polinomial dilakukan dengan menerapkan masing-masing algoritma secara manual. Algoritma yang digunakan dalam pencarian akar kompleks polinomial secara manual adalah rumus kuadrat (Alg 2.1), Cardano (Alg 2.2), Viete’s (Alg 2.3), Bairstow (Alg 2.4), revisis algoritma Bairstow (Alg 2.5), dan Muller (Alg 2.6). Sampel yang digunakan yaitu satu sampel polinomial derajat dua, tiga, dan empat. Sampel tersebut dapat dilihat pada Tabel 4.1. Perhitungan manual ini merupakan dasar pembangunan program kalkulator. Berikut ini merupakan pembahasan lebih rinci mengenai perhitungan masing-masing algoritma :

4.2.1 Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Dua

a. Pencarian akar kompleks ݔଶ ൅ ͹ݔ ൅ ͳʹ menggunakan rumus kuadrat

1. Berdasarkan bentuk polinomial derajat dua yaitu ݔଶ൅ ݌ݔ ൅ ݍ, maka nilai

p = 7 dan q = 12.

2. Menentukan nilai diskriminan

ܦ ൌ ቀ௣ ଶቁ ଶ െ ݍ ൌ ቀ଻ ଶቁ ଶ െ ͳʹ ൌ ሺ͵ǡͷሻଶ_{െ ͳʹ ൌ ͳʹǡʹͷ െ ͳʹ ൌ Ͳǡʹͷ}

3. Menentukan akar kompleks polinomial ݔଵ ൌ െ ௣ ଶ൅ ξܦ ൌ െ ଻ ଶ൅ ඥͲǡʹͷ ൌ െ͵ǡͷ ൅ Ͳǡͷ ൌ െ͵ǡͲ ൅ ͲǡͲ݅ ݔଶ ൌ െ ݌ ʹെ ξܦ ൌ െ ͹ ʹെ ඥͲǡʹͷ ൌ െ͵ǡͷ െ Ͳǡͷ ൌ െͶǡͲ ൅ ͲǡͲ݅

Dengan demikian, maka penyelesaian polinomial ݔଶ_{൅ ͹ݔ ൅ ͳʹ}

menggunakan Rumus Kuadrat menghasilkan dua akar kompleks yakni െ͵ǡͲ ൅ ͲǡͲ݅ dan െͶǡͲ ൅ ͲǡͲ݅.

4.2.2 Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Tiga

a. Pencarian akar kompleks polinomial ݔଷ െ Ͷݔଶ െ ʹݔ ൅ ͵ menggunakan algoritma Cardano

1. Berdasarkan bentuk polinomial derajat tiga yaitu ݔଷ ൅ ݎݔଶ൅ ݏݔ ൅ ݐ, maka r = -4, s = -2, dan t = 3.

(3)

commit to user

2. Mensubtitusikan ݕ ൌ ݔ ൅௥

ଷ pada persamaan kubik, sehingga

mengasilkan persamaan tereduksi ݕଷ൅ ݌ݕ ൅ ݍ ൌ Ͳ. Nilai p dan q didapat dari : ݌ ൌ͵ݏ െ ݎ ଶ ͵ ൌ ͵ሺെʹሻ െ ሺെͶሻଶ ͵ ൌ െ͸ െ ͳ͸ ͵ ൌ െʹʹ ͵ ൌ െ͹ǡ͵ ݍ ൌʹݎ ଷ ʹ͹ െ ݎݏ ͵ ൅ ݐ ൌ ʹሺെͶሻଷ ʹ͹ െ ሺെͶሻሺെʹሻ ͵ ൅ ͵ ൌ െͳʹͺ ʹ͹ െ ͺ ͵൅ ͵ ݍ ൌെͳʹͺ ʹ͹ െ ͹ʹ ʹ͹൅ ͺͳ ʹ͹ൌ െͳͳͻ ʹ͹ ൌ െͶǡͶ 3. Menghitung nilai diskriminan

ܦ ൌ ቀ݌ ͵ቁ ଷ ൅ ቀ݌ ʹቁ ଶ ൌ ൬െ͹ǡ͵ ͵ ൰ ଷ ൅ ൬െͶǡͶ ʹ ൰ ଶ ൌ െʹǡͶଷ_{൅ െʹǡʹ}ଶ _{ൌ െͻǡͺ}

4. Dari perhitungan di atas, diketahui bahwa nilai diskriminan dari persamaan polinomial tersebut bernilai kurang dari nol. Kasus seperti ini disebut sebagai irreducible case yang akan menghasilkan akar kompleks. Dengan demikian, pencarian akar kompleks polinomial menggunakan algoritma Cardano dilakukan dengan menerapkan

ܿ݋ݏ߮ ൌ െ ௤

ଶඥሺȁ௣ȁ ଷΤ ሻయ, berikut ini detail perhitungannya :

ܿ݋ݏ߮ ൌ െ ݍ ʹඥሺȁ݌ȁ ͵Τ ሻଷ ൌ െ ሺെͶǡͶሻ ʹඥሺȁെ͹Ǥ͵ȁ ͵Τ ሻଷ ൌ െ ሺെͶǡͶሻ ʹඥሺʹǤͶሻଷ ܿ݋ݏ߮ ൌ െ ሺെͶǡͶሻ ʹξͳͶǡ͸Ͳ͸͵ͳൌ െ ሺെͶǡͶሻ ሺʹሻሺ͵ǡͺʹͳͺʹሻൌ െ ሺെͶǡͶሻ ͹ǡ͸Ͷ͵͸Ͷ ܿ݋ݏ߮ ൌ Ͳǡͷ͹͸͸ͳͳ Sehingga, ߮ ൌ Ͳǡͻͷ͸ʹʹͳ͹ͳ

Dengan demikian, maka solusi dari persamaan tereduksi ݕଷ൅ ݌ݕ ൅ ݍ ൌ Ͳ adalah sebagai berikut :

x ݔଵ ൌ െ ௥ ଷ൅ ʹ ή ට ȁ௣ȁ ଷ ቀ ఝ ଷቁ ݔ_ଵ ൌ െሺିସሻ ଷ ൅ ʹ ή ට ȁି଻ǡଷȁ ଷ ቀ ଴ǡଽହ଺ଶଶଵ଻ଵ ଷ ቁ ݔ_ଵ ൌସ ଷ൅ ʹ ή ට ଻ǡଷ ଷ ሺͲǡ͵ͳͺ͹Ͷͳሻ

(4)

commit to user ݔ_ଵ ൌସ ଷ൅ ʹ ή ට ଻ǡଷ ଷ ሺͲǡ͵ͳͺ͹Ͷͳሻ ݔ_ଵ ൌସ ଷ൅ ʹ ή ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ʹ ή ͲǡͻͶͻ͸͵ͳ ݔ_ଵ ൌସ ଷ൅ ʹǡͻ͸ͻͶͶʹ ݔ_ଵ ൌ Ͷǡ͵Ͳʹ͹͹͸ x ݔ_ଶ ൌ െ௥ ଷെ ʹ ή ට ȁ௣ȁ ଷ ቀ ఝିగ ଷ ቁ ݔ_ଶ ൌ െሺିସሻ ଷ െ ʹ ή ට ȁି଻ǡଷȁ ଷ ቀ ଴ǡଽହ଺ଶଶଵ଻ଵିଷǡଵସଵହଽ ଷ ቁ ݔଶ ൌ ସ ଷെ ʹ ή ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹ ή ሺെͲǡ͹ʹͺͶͷ͸ͻͺͳሻ ݔ_ଶ ൌ ସ ଷെ ʹ ή ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹ ή Ͳǡ͹Ͷ͸ʹͲʹͷͲ͹ ݔ_ଶ ൌ െͳ x ݔ_ଷ ൌ െ௥ ଷെ ʹ ή ට ȁ௣ȁ ଷ ቀ ఝାగ ଷ ቁ ݔଷ ൌ െ ሺିସሻ ଷ െ ʹ ή ට ȁି଻ǡଷȁ ଷ ቀ ଴ǡଽହ଺ଶଶଵ଻ଵାଷǡଵସଵହଽ ଷ ቁ ݔ_ଷ ൌ ସ ଷെ ʹ ή ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹ ή ሺͳǡ͵͸ͷͻ͵ͺሻ ݔ_ଷ ൌ ସ ଷെ ʹ ή ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹ ή ͲǡʹͲ͵Ͷʹͺ ݔଷ ൌ ସ ଷെ Ͳǡ͸͵͸ͳͲͻ ݔ_ଷ ൌ Ͳǡ͸ͻ͹ʹʹͶ

Dengan demikian, berdasarkan algoritma Cardano, polinomial ݔଷ െ Ͷݔଶ െ ʹݔ ൅ ͵ memiliki tiga akar diantaranya adalah Ͷǡ͵Ͳʹ͹͹͸ ൅ ͲǡͲ݅, െͳǡͲ ൅ ͲǡͲ݅ , dan Ͳǡ͸ͻ͹ʹʹͶ ൅ ͲǡͲ݅.

b. Pencarian akar kompleks polinomial ݔଷ _{െ Ͷݔ}ଶ _{െ ʹݔ ൅ ͵ menggunakan}

algoritma Viete’s

1. Berdasarkan bentuk polinomial derajat tiga yaitu ݔଷ ൅ ݎݔଶ൅ ݏݔ ൅ ݐ, maka r = -4, s = -2, dan t = 3.

2. Mensubtitusikan ݕ ൌ ݔ ൅௥

ଷ pada persamaan ݔ

ଷ _{െ Ͷݔ}ଶ_{െ ʹݔ ൅ ͵,}

sehingga mengasilkan persamaan tereduksi ݕଷ_{൅ ݌ݕ ൅ ݍ ൌ Ͳ. Nilai p}

(5)

commit to user ݌ ൌ͵ݏ െ ݎ ଶ ͵ ൌ ͵ሺെʹሻ െ ሺെͶሻଶ ͵ ൌ െ͸ െ ͳ͸ ͵ ൌ െʹʹ ͵ ൌ െ͹ǡ͵ ݍ ൌʹݎ ଷ ʹ͹ െ ݎݏ ͵ ൅ ݐ ൌ ʹሺെͶሻଷ ʹ͹ െ ሺെͶሻሺെʹሻ ͵ ൅ ͵ ൌ െͳʹͺ ʹ͹ െ ͺ ͵൅ ͵ ݍ ൌെͳʹͺ ʹ͹ െ ͹ʹ ʹ͹൅ ͺͳ ʹ͹ൌ െͳͳͻ ʹ͹ ൌ െͶǡͶ

3. Menghitung nilai d dan c

݀ ൌെ݌ ͵ ൌ ͹Ǥ͵ ͵ ൌ ʹǡͶͶ ܿ ൌ െݍ ʹ൅ ඨ ݌ଷ ʹ͹൅ ݍଶ Ͷ ܿ ൌ െሺെͶǡͶሻ ʹ ൅ ඨ ሺെ͹ǡ͵ሻଷ ʹ͹ ൅ ሺെͶǡͶሻଶ Ͷ ܿ ൌ ʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൅ ඨሺെ͹ǡ͵ሻ ଷ ʹ͹ ൅ ሺെͶǡͶሻଶ Ͷ ܿ ൌ ʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൅ ඥെͳͶǡ͸Ͳ͸͵ͳͲͲͳ ൅ Ͷǡͺͷ͸͵ͳͲͲͳͶ ܿ ൌ ʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൅ ඥെͻǡ͹ͷ ܿ ൌ ʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൅ ͵ǡͳʹʹͶͻͺͻͻͻ݅

4. Langkah selanjutnya adalah mencari nilai r. Nilai r didapat dari akar pangkat tiga dari nilai c ൫ ξܿయ ൯. Di bawah ini akan dijelaskan mengenai detail perhitungan nilai r :

ݎ ൌ ξܿయ ൌ ඥʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൅ ͵ǡͳʹʹͶͻͺͻͻͻ݅య

Nilai ʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൅ ͵ǡͳʹʹͶͻͺͻͻͻ݅ kemudian diubah menjadi bentuk trigonometri. ߩ ൌ ȁܿȁ ൌ ඥܽଶ_{൅ ܾ}ଶ _{ൌ ඥʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ}ଶ _{൅ ͵ǡͳʹʹͶͻͺͻͻͻ}ଶ ൌ ඥͶǡͺͷ͸͵ͳͲͲͳͶ ൅ ͻǡ͹ͷ ൌ ඥͳͶǡ͸Ͳ͸͵ͳͲͲͳ ൌ ͵ǡͺʹͳͺʹͲʹͶͻ ߠ ൌ ݐܽ݊ିଵቀݕ ݔቁ ൌ ݐܽ݊ ିଵ_൬͵ǡͳʹʹͶͻͺͻͻͻ ʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ൰ ൌ ݐܽ݊ିଵሺͳǡͶͳ͸ͻ͵ʹ͵ͳͻሻ ൌ Ͳǡͻͷ͸ʹʹͳ͹ͳ

(6)

commit to user

Karena nilai x dan y bernilai positif, maka sudut yang terbentuk berada di kuadran satu. Sudut yang terbentuk oleh θ adalah 54,79o. Nilai variable r dihitung dengan menggunakan rumus berikut :

ݎ ൌ ඥߩయ ൬ܿ݋ݏߠ ൅ ʹ݇ߨ ͵ ൅ ݏ݅݊ ߠ ൅ ʹ݇ߨ ͵ ݅൰ Dengan nilai k = 0, 1, 2. x ݎ ൌ ඥߩయ ቀܿ݋ݏఏାଶ௞గ ଷ ൅ ݏ݅݊ ఏାଶ௞గ ଷ ݅ቁ ݎ ൌ ξ͵ǡͺʹͳͺʹͲʹͶͻయ ቀܿ݋ݏହସǡ଻ଽ ଷ ൅ ݏ݅݊ ହସǡ଻ଽ ଷ ݅ቁ ݎ ൌ ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹሺሺͳͺǡʹ͸ሻ ൅ ሺͳͺǡʹ͸ሻ ݅ሻ ݎ ൌ ͳǡͶͺͶ͹ʹͳͳͷʹ ൅ ͲǡͶͺͻͻͶ͸Ͷ͹ͳ݅ x ݎ ൌ ඥߩయ ቀܿ݋ݏఏାଶ௞గ ଷ ൅ ݏ݅݊ ఏାଶ௞గ ଷ ݅ቁ ݎ ൌ ξ͵ǡͺʹͳͺʹͲʹͶͻయ ቀܿ݋ݏହସǡ଻ଽାଶ஠ ଷ ൅ ݏ݅݊ ହସǡ଻ଽାଶ஠ ଷ ݅ቁ ݎ ൌ ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹሺሺͳ͵ͺǡʹ͸ሻ ൅ ሺͳ͵ͺǡʹ͸ሻ ݅ሻ ݎ ൌ ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹሺെͲǡ͹Ͷ͸ʹͲʹͷͲ͹ ൅ Ͳǡ͸͸ͷ͹ͳͻͲʹ͵݅ሻ ݎ ൌ െͳǡͳ͸͸͹ ൅ ͳǡͲͶͲͺ͵͵݅ x ݎ ൌ ඥߩయ ቀܿ݋ݏఏାଶ௞గ ଷ ൅ ݏ݅݊ ఏାଶ௞గ ଷ ݅ቁ ݎ ൌ ξ͵ǡͺʹͳͺʹͲʹͶͻయ ቀܿ݋ݏହସǡ଻ଽାସ஠ ଷ ൅ ݏ݅݊ ହସǡ଻ଽାସ஠ ଷ ݅ቁ ݎ ൌ ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹሺሺʹͷͺǡʹ͸ሻ ൅ ሺʹͷͺǡʹ͸ሻ ݅ሻ ݎ ൌ ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹሺെͲǡʹͲ͵Ͷʹͺ͵͵ʹ ൅ ሺെͲǡͻ͹ͻͲͺͻͺ͵ͻ݅ሻሻ ݎ ൌ െͲǡ͵ͳͺͲͷͶͶͺ͸ െ ͳǡͷ͵Ͳ͹͹ͻͶ͹ͳ݅

Dari ketiga nilai r yang memenuhi yaitu nilai r dengan k sama dengan nol yang mengasilkan nilai r positif yaitu

ͳǡͶͺͶ͹ʹͳͳͷʹ ൅ ͲǡͶͺͻͻͶ͸Ͷ͹ͳ݅.

5. Menghitung nilai akar polinomial pertama dengan perhitungan sebagai berikut : ݔଵ ൌ ݎ ൅ ݀ ݎ ݔ_ଵ ൌ ͳǡͶͺͶ͹ʹͳͳͷʹ ൅ ͲǡͶͺͻͻͶ͸Ͷ͹ͳ݅ ൅ ʹǡͶͶ ͳǡͶͺͶ͹ʹͳͳͷʹ ൅ ͲǡͶͺͻͻͶ͸Ͷ͹ͳ݅ ݔ_ଵ ൌ ʹǡͻ͸ͻͶͶʹ͵ͲͶ

(7)

commit to user

6. Kedua akar polinomial lainnya didapat dengan menggunakan nilai

variabel ߱ଵ ൌ െ ଵ ଶ൅ ଵ ଶξ͵݅ dan ߱ଶ ൌ െ ଵ ଶെ ଵ ଶξ͵݅. Berikut detail perhitungannya : x ߱_ଵݎ ൌ ቀെଵ ଶ൅ ଵ ଶξ͵݅ቁ ή ͳǡͶͺͶ͹ʹͳͳͷʹ ൅ ͲǡͶͺͻͻͶ͸Ͷ͹ͳ݅ ߱_ଵݎ ൌ െͳǡͳ͸͸͸͸͹ ൅ ͳǡͲͶͲͺ͵͵݅ x ߱_ଶݎ ൌ ቀെଵ ଶെ ଵ ଶξ͵݅ቁ ή ͳǡͶͺͶ͹ʹͳͳͷʹ ൅ ͲǡͶͺͻͻͶ͸Ͷ͹ͳ݅ ߱_ଶݎ ൌ െͲǡ͵ͳͺͲͷͶ െ ͳǡͷ͵Ͳ͹͹ͻ݅ x ݔ_ଶ ൌ ߱_ଵݎ ൅ ௗ ఠభ௥ ݔଶ ൌ െͳǡͳ͸͸͸͸͹ ൅ ͳǡͲͶͲͺ͵͵݅ ൅ ʹǡͶͶ െͳǡͳ͸͸͸͸͹ ൅ ͳǡͲͶͲͺ͵͵݅ ݔ_ଶ ൌ െʹǡ͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵ ൅ ͻǡͻͻʹͲͲ͹ʹʹͳ͸ʹ͸Ͷͳܧ െ ͳͷ݅ x ݔ_ଷ ൌ ߱_ଵݎ ൅ ௗ ఠభ௥ ݔ_ଷ ൌ െͲǡ͵ͳͺͲͷͶ െ ͳǡͷ͵Ͳ͹͹ͻ݅ ൅ ଶǡସସ ି଴ǡଷଵ଼଴ହସିଵǡହଷ଴଻଻ଽ௜ ݔ_ଷ ൌ െͲǡ͸͵͸ͳͲͺͻ͹ͳͲ͸ͷ͵ʹͷ

Jadi, berdasarkan algoritma Viete’s, akar-akar polinomial ݔଷ _{െ Ͷݔ}ଶ _െ

ʹݔ ൅ ͵ adalah sebagai berikut : ݔ_ଵ ൌ ʹǡͻ͸ͻͶͶʹ͵ͲͶ

ݔଶ ൌ െʹǡ͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵ ൅ ͻǡͻͻʹͲͲ͹ʹʹͳ͸ʹ͸Ͷͳܧ െ ͳͷ݅

ݔ_ଷ ൌ െͲǡ͸͵͸ͳͲͺͻ͹ͳͲ͸ͷ͵ʹͷ

c. Pencarian akar kompleks polinomial ݔଷ െ Ͷݔଶ െ ʹݔ ൅ ͵ menggunakan algoritma Bairstow

Pencarian akar 1 dan 2 Iterasi 1

1. Menentukan nilai ݑଵ ൌ ݒଵ ൌ Ͳ

2. Menghitung nilai ܾ_ଵǡ ܾ_ଶǡ ǥ ǡ ܾ_௡ menggunakan rumus ܾ_௞ൌ ܽ_௞െ ܾ௞ିଵݑ െ ܾ௞ିଶݒ dengan pembagian sintesis :

ܾ଴ ൌ ܽ଴ ൌ ͳ

(8)

commit to user

ܾଶ ൌ ܽଶെ ܾଵݑ െ ܾ଴ݒ ൌ െʹ െ ሺെͶ כ Ͳሻ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ െʹ

ܾ_ଷ ൌ ܽ_ଷെ ܾ_ଶݑ െ ܾ_ଵݒ ൌ ͵ െ ሺെʹ כ Ͳሻ െ ሺെͶ כ Ͳሻ ൌ ͵

3. Dari nilai u, v, dan b, langkah yang harus dilakukan selanjutnya adalah menghitung nilai ܿଵǡ ܿଶǡ ǥ ǡ ܿ௡ିଵ dengan rumus ܿ௞ ൌ ܾ௞െ ܿ௞ିଵݑ െ

ܿ_௞ିଶݒ. Berikut detail perhitungan : ܿ_଴ ൌ ܾ_଴ ൌ ͳ

ܿ_ଵ ൌ ܾ_ଵെ ܿ_଴ݑ ൌ െͶ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ െͶ

ܿଶ ൌ ܾଶെ ܿଵݑ െ ܿ଴ݒ ൌ െʹ െ ሺെͶ כ Ͳሻ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ െʹ

4. Nilai οݑ dan οݒ didapat dengan menghitung persamaan berikut: οݑ ൌฬ ௕೙ ௖೙షమ ௕೙షభ ௖೙షయฬ ቚ௖_௖೙షభ ௖೙షమ ೙షమ ௖೙షయቚ ൌ ฬ ௕య ௖భ ௕మ ௖బฬ ቚ௖_௖మ ௖భ భ ௖బቚ ൌ ቚ ଷ ିସ ିଶ ଵቚ ቚିଶ_ିସ ିସ_ଵቚ οݑ ൌ_{൫ሺିଶሻήଵ൯ିሺሺିସሻήሺିସሻሻ}ሺଷήଵሻିሺሺିଶሻήሺିସሻሻ ൌ ିହ ିଵ଼ൌ Ͳǡʹͺ οݒ ൌฬ ௖೙షభ ௕೙ ௖೙షమ ௕೙షభฬ ቚ௖_௖೙షభ ௖೙షమ ೙షమ ௖೙షయቚ ൌฬ ௖మ ௕య ௖భ ௕మฬ ቚ௖_௖మ ௖భ భ ௖బቚ ൌቚ ିଶ ଷ ିସ ିଶቚ ቚିଶ ିସ ିସ ଵቚ οݒ ൌሺሺିଶሻήሺିଶሻሻିሺሺଷሻήሺିସሻሻ ൫ሺିଶሻήଵ൯ିሺሺିସሻήሺିସሻሻ ൌ ଵ଺ ିଵ଼ൌ െͲǡͺͻ

5. Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :ݑ௜ାଵ ൌ ݑ௜ ൅ οݑ௜݀ܽ݊ݒ௜ାଵൌ ݒ௜ ൅ οݒ௜. ݑଶ ൌ ݑଵ൅ οݑଵ ൌ Ͳ ൅ Ͳǡʹͺ ൌ Ͳǡʹͺ ݒ_ଶ ൌ ݒ_ଶ൅ οݒ_ଶ ൌ Ͳ ൅ ሺെͲǡͺͻሻ ൌ െͲǡͺͻ 6. Melakukan pengecekkan ȁοݑ_ଵȁ ൅ ȁοݒ_ଵȁ ൏ ߝ ȁͲǡʹͺȁ ൅ ȁെͲǡͺͻȁ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ ͳǡͳ͹ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi

Karena persamaan di atas belum terpenuhi, maka dilakuakn iterasi berikutnya yaitu iterasi ke 2, 3, dan seterusnya dengan mengulang langkah

2 hingga 6. Iterasi akan dihentikan ketika kondisi

ȁοݑଵȁ ൅ ȁοݒଵȁ ൏ ߝ telah terpenuhi. Tabel 4.2 menampilkan hasil

(9)

commit to user

Tabel 4.2 Nilai u, v, οݑ, dan οݒ Masing-Masing Iterasi Menggunakan Algoritma Bairstow pada Penyelesaian Polinomial Derajat Tiga

Iterasi ke- u v ο࢛ ο࢜ 1 0 0 0.27777778 -0.88888889 2 0.28 -0.89 0.02550501 0.19334998 3 0.30 -0.70 -0.00050706 -0.00168531 4 0.30 -0.70 -0.00000009 -0.00000014 5 0.30 -0.70 -0.0000000000000011 0.0000000000000023

Berdasarkan Tabel 4.2, pada iterasi ke 5 persamaan ȁοݑ௜ାଵȁ ൅ ȁοݒ௜ାଵȁ ൏ ߝ

telah terpenuhi, sehingga iterasi dihentikan. Nilai u dan v yang telah didapat kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan berikut untuk mendapatkan polinomial tereduksi:

ሺݔଶ൅ ݑݔ ൅ ݒሻሺݔ௡ିଶ൅ ܾଵݔ௡ିଷ൅ ܾଶݔ௡ିସ൅ ڮ ൅ ܾ௡ିଷݔ ൅ ܾ௡ିଶሻ ൅

ݎ݁݉ܽ݅݊݀݁ݎ Maka,

ሺݔଶ_{൅ Ͳǡ͵ݔ െ Ͳǡ͹ሻሺݔ െ Ͷǡ͵ሻ ൌ Ͳ}

Berdasarkan polinomial kuadrat yang dihasilkan, nilai akar kompleks adalah : x ݎ_ଵ ൌ ି௨ାξ௨మିସ௩ ଶ ൌ ି଴ǡଷାඥሺ଴ǡଷሻమ_{ିସሺି଴ǡ଻ሻ} ଶ ൌ ି଴ǡଷାඥ଴ǡ଴ଽିሺିଶǡ଼ሻ ଶ ൌ ି଴ǡଷାଵǡ଻ ଶ ݎ_ଵ ൌ Ͳǡ͹ x ݎ_ଶ ൌି௨ିξ௨మିସ௩ ଶ ൌ ି଴ǡଷିඥሺ଴ǡଷሻమ_{ିସሺି଴ǡ଻ሻ} ଶ ൌ ି଴ǡଷିඥ଴ǡ଴ଽିሺିଶǡ଼ሻ ଶ ൌ ି଴ǡଷିଵǡ଻ ଶ ݎଶ ൌ െͳ Pencarian akar 3

Pencarian akar ketiga didapat dari sisa (remainder) pembentukan polinomial tereduksi yaitu (x – 4,3) sehingga nilai ݎ_ଷ ൌ Ͷǡ͵

(10)

commit to user

d. Pencarian akar kompleks polinomial ݔଷ െ Ͷݔଶ െ ʹݔ ൅ ͵ menggunakan revisi algoritma Bairstow

Pencarian akar 1 dan 2 Iterasi 1

1. Menentukan nilai ݑ_ଵ ൌ ݒ_ଵ ൌ Ͳ

2. Menghitung nilai ܾ_ଵǡ ܾ_ଶǡ ǥ ǡ ܾ_௡ menggunakan rumus ܾ_௞ൌ ܽ_௞െ ܾ௞ିଵݑ െ ܾ௞ିଶݒ dengan pembagian sintesis :

ܾ଴ ൌ ܽ଴ ൌ ͳ

ܾ_ଵ ൌ ܽ_ଵെ ܾ_଴ݑ ൌ െͶ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ െͶ

ܾଶ ൌ ܽଶെ ܾଵݑ െ ܾ଴ݒ ൌ െʹ െ ሺെͶ כ Ͳሻ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ െʹ

ܾ_ଷ ൌ ܽ_ଷെ ܾ_ଶݑ െ ܾ_ଵݒ ൌ ͵ െ ሺെʹ כ Ͳሻ െ ሺെͶ כ Ͳሻ ൌ ͵

3. Dari nilai u, v, dan b, langkah yang harus dilakukan selanjutnya adalah menghitung nilai ܿ_ଵǡ ܿ_ଶǡ ǥ ǡ ܿ_௡ିଵ dengan rumus ܿ_௞ ൌ ܾ_௞െ ܿ_௞ିଵݑ െ ܿ_௞ିଶݒ. Berikut detail perhitungan :

ܿ_଴ ൌ ܾ_଴ ൌ ͳ

ܿ_ଵ ൌ ܾ_ଵെ ܿ_଴ݑ ൌ െͶ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ െͶ

ܿଶ ൌ ܾଶെ ܿଵݑ െ ܿ଴ݒ ൌ െʹ െ ሺെͶ כ Ͳሻ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ െʹ

4. Nilai οݑ dan οݒ didapat dengan menghitung persamaan berikut:

οݑ ൌ ฬ ௕೙షభ ௖೙షయ ௕೙ ௖೙షమฬ ቚ_ሺ௖ ௖೙షమ ௖೙షయ ೙షభି௕೙షభሻ ௖೙షమቚ ൌ ฬ ௕మ ௖బ ௕య ௖భฬ ቚ_௖௖భ ௖బ మି௕మ ௖భቚ ൌቚ ିଶ ଵ ଷ ିସቚ ቚିସ ଵ ଴ ିସቚ οݑ ൌሺሺିଶሻήሺିସሻሻିሺଵήଷሻ ൫ሺିସሻήሺିସሻ൯ିሺ଴ήଵሻൌ ହ ଵ଺ൌ Ͳǡ͵ͳ οݒ ൌฬ ௖೙షమ ௕೙షభ ሺ௖೙షభି௕೙షభሻ ௕೙ ฬ ቚ_ሺ௖ ௖೙షమ ௖೙షయ ೙షభି௕೙షభሻ ௖೙షమቚ ൌฬ ௖భ ௕మ ௖మି௕మ ௕యฬ ቚ_௖௖భ ௖బ మି௕మ ௖భቚ ൌቚ ିସ ିଶ ଴ ଷቚ ቚିସ ଵ ଴ ିସቚ οݒ ൌሺሺିସሻήଷሻିሺ଴ήሺିଶሻሻ ൫ሺିସሻήሺିସሻ൯ିሺ଴ήଵሻൌ ିଵଶ ଵ଺ ൌ െͲǡ͹ͷ

5. Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :ݑ_௜ାଵ ൌ ݑ_௜ ൅ οݑ_௜݀ܽ݊ݒ_௜ାଵൌ ݒ_௜ ൅ οݒ_௜. ݑ_ଶ ൌ ݑ_ଵ൅ οݑ_ଵ ൌ Ͳ ൅ Ͳǡ͵ͳ ൌ Ͳǡ͵ͳ ݒ_ଶ ൌ ݒ_ଶ൅ οݒ_ଶ ൌ Ͳ ൅ ሺെͲǡ͹ͷሻ ൌ െͲǡ͹ͷ 6. Melakukan pengecekkan ȁοݑଵȁ ൅ ȁοݒଵȁ ൏ ߝ ȁͲǡ͵ͳȁ ൅ ȁെͲǡ͹ͷȁ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ

(11)

commit to user

ͳǡͲ͸ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi

Karena persamaan di atas belum terpenuhi, maka dilakukan iterasi berikutnya yaitu iterasi ke 2, 3, dan seterusnya dengan mengulang langkah

2 hingga 6. Iterasi akan dihentikan ketika kondisi

ȁοݑ_ଵȁ ൅ ȁοݒ_ଵȁ ൏ ߝ telah terpenuhi. Hasil iterasi ditampilkan pada Tabel 4.3.

Tabel 4.3 Nilai u, v, οݑ, dan οݒ Masing-Masing Iterasi Menggunakan Revisi Algoritma Bairstow pada Penyelesaian Polinomial Derajat Tiga Iterasi ke- u v ο࢛ ο࢜ 1 0 0 0.31250000 -0.75000000 2 0.31 -0.75 -0.00972985 0.05265568 3 0.30 -0.70 0.00000549 0.00011996 4 0.30 -0.70 -0.00000000004 -0.00000000016

Berdasarkan Tabel 4.3 diketahui bahwa pada iterasi ke 4 telah memenuhi persamaan ȁοݑ_௜ାଵȁ ൅ ȁοݒ௜ାଵȁ ൏ ߝ . Kemudian nilai u dan v yang telah

didapat disubtitusikan ke dalam persamaan beriku untuk mendapatkan polinomial tereduksit: ሺݔଶ_{൅ ݑݔ ൅ ݒሻሺݔ}௡ିଶ_{൅ ܾ} ଵݔ௡ିଷ൅ ܾଶݔ௡ିସ൅ ڮ ൅ ܾ௡ିଷݔ ൅ ܾ௡ିଶሻ ൅ ݎ݁݉ܽ݅݊݀݁ݎ Maka, ሺݔଶ൅ Ͳǡ͵ݔ െ Ͳǡ͹ሻሺݔ െ Ͷǡ͵ሻ ൌ Ͳ

Akar 1 dan 2 didapat dari perhitungan berikut :

ݎ_ଵ ൌെݑ േ ξݑ ଶ_{െ Ͷݒ} ʹ ൌ െͲǡ͵ ൅ ඥሺͲǡ͵ሻଶ_{െ ͶሺെͲǡ͹ሻ} ʹ ݎଵ ൌ െͲǡ͵ ൅ ඥͲǡͲͻ െ ሺെʹǡͺሻ ʹ ൌ െͲǡ͵ ൅ ͳǡ͹ ʹ ൌ Ͳǡ͹ ݎ_ଶ ൌെݑ േ ξݑ ଶ_{െ Ͷݒ} ʹ ൌ െͲǡ͵ െ ඥሺͲǡ͵ሻଶ_{െ ͶሺെͲǡ͹ሻ} ʹ ݎ_ଶ ൌെͲǡ͵ െ ඥͲǡͲͻ െ ሺെʹǡͺሻ ʹ ൌ െͲǡ͵ െ ͳǡ͹ ʹ ൌ െͳ

(12)

commit to user

Pencarian akar 3

Akar 3 didapat dari sisa (remainder) pada saat pembentukkan polinomial tereduksi yaitu (x – 4,3) sehingga nilai ݎ_ଷ ൌ Ͷǡ͵

4.2.3 Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Empat

a. Pencarian akar kompleks polinomial ݔସ_{െ ͷݔ}ଷ_{൅ ͳ͵ݔ}ଶ_{െ ͳͻݔ ൅ ͳͲ}

menggunakan algoritma Bairstow Pencarian akar 1 dan 2

Iterasi 1

1. Menentukan ݑ_ଵ ൌ ݒ_ଵ ൌ Ͳ

2. Menghitung nilai ܾଵǡ ܾଶǡ ǥ ǡ ܾ௡ menggunakan rumus ܾ௞ൌ ܽ௞െ

ܾ_௞ିଵݑ െ ܾ_௞ିଶݒ dengan pembagian sintesis : ܾ_଴ ൌ ܽ_଴ ൌ ͳ

ܾ_ଵ ൌ ܽ_ଵെ ܾ_଴ݑ ൌ െͷ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ െͷ

ܾଶ ൌ ܽଶെ ܾଵݑ െ ܾ଴ݒ ൌ ͳ͵ െ ሺെͷ כ Ͳሻ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ ͳ͵

ܾ_ଷ ൌ ܽ_ଷെ ܾ_ଶݑ െ ܾ_ଵݒ ൌ െͳͻ െ ሺͳ͵ כ Ͳሻ െ ሺെͷ כ Ͳሻ ൌ െͳͻ ܾ_ସ ൌ ܽ_ସെ ܾ_ଷݑ െ ܾ_ଶݒ ൌ ͳͲ െ ሺെͳͻ כ Ͳሻ െ ሺͳ͵ כ Ͳሻ ൌ ͳͲ

ܿ_଴ ൌ ܾ_଴ ൌ ͳ

ܿଵ ൌ ܾଵെ ܿ଴ݑ ൌ െͷ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ െͷ

ܿ_ଶ ൌ ܾ_ଶെ ܿ_ଵݑ െ ܿ_଴ݒ ൌ ͳ͵ െ ሺെͷ כ Ͳሻ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ ͳ͵ ܿ_ଶ ൌ ܾ_ଶെ ܿ_ଵݑ െ ܿ_଴ݒ ൌ െͳͻ െ ሺͳ͵ כ Ͳሻ െ ሺെͷ כ Ͳሻ ൌ െͳͻ 4. Nilai οݑ dan οݒ didapat dengan menghitung persamaan berikut:

οݑ ൌฬ ௕೙ ௖೙షమ ௕೙షభ ௖೙షయฬ ቚ௖_௖೙షభ ௖೙షమ ೙షమ ௖೙షయቚ ൌ ฬ ௕ర ௖మ ௕య ௖భฬ ቚ௖_௖య ௖మ మ ௖భቚ ൌ ቚ ଵ଴ ଵଷ ିଵଽ ିହቚ ቚିଵଽ ଵଷ ଵଷ ିହቚ οݑ ൌሺଵ଴ήሺିହሻሻିሺሺିଵଽሻήଵଷሻ ൫ሺିଵଽሻήሺିହሻ൯ିሺଵଷήଵଷሻൌ ଵଽ଻ ି଻ସൌ െʹǡ͸͹ οݒ ൌฬ ௖೙షభ ௕೙ ௖೙షమ ௕೙షభฬ ቚ௖_௖೙షభ ௖೙షమ ೙షమ ௖೙షయቚ ൌฬ ௖య ௕ర ௖మ ௕యฬ ቚ௖_௖య ௖మ మ ௖భቚ ൌቚ ିଵଽ ଵ଴ ଵଷ ିଵଽቚ ቚିଵଽ_ଵଷ _ିହଵଷቚ

(13)

commit to user

οݒ ൌሺሺିଵଽሻήሺିଵଽሻሻିሺଵଷήଵ଴ሻ

൫ሺିଵଽሻήሺିହሻ൯ିሺଵଷήଵଷሻ ൌ

ଶଷଵ

ି଻ସൌ െ͵ǡͳʹ

5. Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :ݑ௜ାଵ ൌ ݑ௜ ൅ οݑ௜݀ܽ݊ݒ௜ାଵൌ ݒ௜ ൅ οݒ௜.

ݑଶ ൌ ݑଵ൅ οݑଵ ൌ Ͳ ൅ Ͳǡʹͺ ൌ െʹǡ͸͹

ݒ_ଶ ൌ ݒ_ଶ൅ οݒ_ଶ ൌ Ͳ ൅ ሺെͲǡͺͻሻ ൌ െ͵ǡͳʹ

6. Melakukan pengecekkan terhadap ȁοݑ௜ାଵȁ ൅ ȁοݒ௜ାଵȁ ൏ ߝ

ȁοݑଵȁ ൅ ȁοݒଵȁ ൏ ߝ

ȁെʹǡ͸͹ȁ ൅ ȁെ͵ǡͳʹȁ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ→ belum terpenuhi

Karena persamaan di atas belum terpenuhi, maka dilakukan iterasi kedua dengan mengulang langkah 2 hingga 6. Di bawah ini merupakan hasil perhitungan iterasi berikutnya :

Tabel 4.4 Nilai u, v, οݑ, dan οݒ Masing-Masing Iterasi Menggunakan Algoritma Bairstow pada Penyelesaian Polinomial Derajat Empat

Iterasi ke- u v ο࢛ ο࢜ 1 0 0 -2.66216216 -3.12162162 2 -2.7 -3.1 -0.06977005 3.14694849 3 -2.7 0.02 -0.13655869 1.44655453 4 -2.8 1.5 -0.11275151 0.47476358 5 -2.9 1.9 -0.01855564 0.05273624 6 -3.0 2.0 -2.01893667E-4 6.1868688E-4 7 -3.0 2.0 -2.78227877E-8 8.01465508E-8 8 -3.0 2.0 -7.54951656E-16 1.421085471E-16

Berdasarkan Tabel 4.4, diketahui bahwa pada iterasi ke 8 persamaan ȁοݑ௜ାଵȁ ൅ ȁοݒ௜ାଵȁ ൏ ߝ telah terpenuhi, sehingga iterasi dihentikan. Nilai u

dan v yang telah didapat kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan berikut untuk mendapatkan polinomial tereduksi:

ሺݔଶ_{൅ ݑݔ ൅ ݒሻሺݔ}௡ିଶ_{൅ ܾ}

ଵݔ௡ିଷ൅ ܾଶݔ௡ିସ൅ ڮ ൅ ܾ௡ିଷݔ ൅ ܾ௡ିଶሻ ൅

(14)

commit to user

Maka,

ሺݔଶെ ͵ݔ ൅ ʹሻሺݔଶെ ʹݔ ൅ ͷሻ ൌ Ͳ

Dimana ሺݔଶ_{െ ʹݔ ൅ ͷሻ merupakan polinomial tereduksi.}

Akar 1 dan 2 didapat dari perhitungan berikut :

ݎ_ଵ ൌ െݑ േ ξݑ ଶ_{െ Ͷݒ} ʹ ൌ ͵ ൅ ඥሺെ͵ሻଶ_{െ Ͷሺʹሻ} ʹ ൌ ͵ ൅ ξͻ െ ͺ ʹ ൌ ͵ ൅ ͳ ʹ ൌ ʹ ݎ_ଶ ൌെݑ േ ξݑ ଶ_{െ Ͷݒ} ʹ ൌ ͵ െ ඥሺെ͵ሻଶ_{െ Ͷሺʹሻ} ʹ ൌ ͵ െ ξͻ െ ͺ ʹ ൌ ͵ െ ͳ ʹ ൌ ͳ

Pencarian akar 3 dan 4

Akar 3 dan 4 didapat dari polinomial tereduksi yaitu ሺݔଶെ ʹݔ ൅ ͷሻ. Dengan demikian, maka perhitungan akar 3 dan 4 dimana nilai u = -2 dan v = 5 adalah : ݎ_ଷൌ െݑ ൅ ξݑ ଶ_{െ Ͷݒ} ʹ ൌ ʹ ൅ ඥሺെʹሻଶ_{െ Ͷሺͷሻ} ʹ ൌ ʹ ൅ ξͶ െ ʹͲ ʹ ݎ_ଷൌ ʹ ൅ ξെͳ͸ ʹ ൌ ʹ ൅ Ͷ݅ ʹ ൌ ͳ ൅ ʹ݅ ݎ_ସ ൌെݑ െ ξݑ ଶ_{െ Ͷݒ} ʹ ൌ ʹ െ ඥሺെʹሻଶ_{െ Ͷሺͷሻ} ʹ ൌ ʹ െ ξͶ െ ʹͲ ʹ ݎ_ସ ൌʹ െ ξെͳ͸ ʹ ൌ ʹ ൅ Ͷ݅ ʹ ൌ ͳ െ ʹ݅

Dari perhitungan di atas, maka diketahui akar-akar polinomial dari persamaan ݔସ_{െ ͷݔ}ଷ_{൅ ͳ͵ݔ}ଶ_{െ ͳͻݔ ൅ ͳͲ ൌ Ͳ adalah 1, 2, 1+2i, dan 1-2i.}

b. Pencarian akar kompleks polinomial ݔସ_{െ ͷݔ}ଷ_{൅ ͳ͵ݔ}ଶ_{െ ͳͻݔ ൅ ͳͲ}

menggunakan revisi algoritma Bairstow Pencarian akar 1 dan 2

Iterasi 1

1. Menentukan nilai ݑ_ଵ ൌ ݒ_ଵ ൌ Ͳ

2. Menghitung nilai ܾଵǡ ܾଶǡ ǥ ǡ ܾ௡ menggunakan rumus ܾ௞ൌ ܽ௞െ

ܾ_௞ିଵݑ െ ܾ_௞ିଶݒ dengan pembagian sintesis : ܾ_଴ ൌ ܽ_଴ ൌ ͳ

(15)

commit to user

ܾଶ ൌ ܽଶെ ܾଵݑ െ ܾ଴ݒ ൌ ͳ͵ െ ሺെͷ כ Ͳሻ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ ͳ͵

ܾ_ଷ ൌ ܽ_ଷെ ܾ_ଶݑ െ ܾ_ଵݒ ൌ െͳͻ െ ሺͳ͵ כ Ͳሻ െ ሺെͷ כ Ͳሻ ൌ െͳͻ ܾ_ସ ൌ ܽ_ସെ ܾ_ଷݑ െ ܾ_ଶݒ ൌ ͳͲ െ ሺെͳͻ כ Ͳሻ െ ሺͳ͵ כ Ͳሻ ൌ ͳͲ

ܿ_଴ ൌ ܾ_଴ ൌ ͳ

ܿଵ ൌ ܾଵെ ܿ଴ݑ ൌ െͷ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ െͷ

ܿ_ଶ ൌ ܾ_ଶെ ܿ_ଵݑ െ ܿ_଴ݒ ൌ ͳ͵ െ ሺെͷ כ Ͳሻ െ ሺͳ כ Ͳሻ ൌ ͳ͵ ܿ_ଶ ൌ ܾ_ଶെ ܿ_ଵݑ െ ܿ_଴ݒ ൌ െͳͻ െ ሺͳ͵ כ Ͳሻ െ ሺെͷ כ Ͳሻ ൌ െͳͻ 4. Nilai οݑ dan οݒ didapat dengan menghitung persamaan berikut:

οݑ ൌ ฬ ௕೙షభ ௖೙షయ ௕೙ ௖೙షమฬ ቚ_ሺ௖ ௖೙షమ ௖೙షయ ೙షభି௕೙షభሻ ௖೙షమቚ ൌ ฬ ௕య ௖భ ௕ర ௖మฬ ቚ_௖௖మ ௖భ యି௕య ௖మቚ ൌቚ ିଵଽ ିହ ଵ଴ ଵଷቚ ቚଵଷ ିହ ଴ ଵଷቚ οݑ ൌሺିଵଽήሺଵଷሻሻିሺሺିହሻήଵ଴ሻ_{ሺଵଷήଵଷሻିሺିହή଴ሻ} ൌିଵଽ଻ ଵ଺ଽ ൌ െͳǡͳ͹ οݒ ൌฬ ௖೙షమ ௕೙షభ ሺ௖೙షభି௕೙షభሻ ௕೙ ฬ ቚ_ሺ௖ ௖೙షమ ௖೙షయ ೙షభି௕೙షభሻ ௖೙షమቚ ൌฬ ௖మ ௕య ௖యି௕య ௕రฬ ቚ_௖௖మ ௖భ యି௕య ௖మቚ ൌ ቚ ଵଷ ିଵଽ ଴ ଵ଴ቚ ቚଵଷ ିହ ଴ ଵଷቚ οݒ ൌሺଵଷήଵ଴ሻିሺ଴ήሺିଵଽሻሻ_{ሺଵଷήଵଷሻିሺିହή଴ሻ} ൌ ଵଷ଴ ଵ଺ଽൌ Ͳǡ͹͹

5. Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :ݑ_௜ାଵ ൌ ݑ_௜ ൅ οݑ_௜݀ܽ݊ݒ_௜ାଵൌ ݒ_௜ ൅ οݒ_௜.

ݑ_ଶ ൌ ݑ_ଵ൅ οݑ_ଵ ൌ Ͳ ൅ ሺെͳǡͳ͹ሻ ൌ െͳǡͳ͹ ݒ_ଶ ൌ ݒ_ଶ൅ οݒ_ଶ ൌ Ͳ ൅ Ͳǡ͹͹ ൌ Ͳǡ͹͹

6. Melakukan pengecekkan terhadap ȁοݑ௜ାଵȁ ൅ ȁοݒ௜ାଵȁ ൏ ߝ

ȁοݑଵȁ ൅ ȁοݒଵȁ ൏ ߝ

ȁͳǡͳ͹ȁ ൅ ȁͲǡ͹͹ȁ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ

ͳǡͻͶ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi

Karena persamaan di atas belum terpenuhi, maka dilakukan iterasi berikutnya yaitu iterasi ke 2, 3, dan seterusnya dengan mengulang langkah

(16)

commit to user

ȁοݑଵȁ ൅ ȁοݒଵȁ ൏ ߝ telah terpenuhi. Hasil perhitungan masing-masing iterasi

ditampilkan dalam Tabel 4.5.

Tabel 4.5 Nilai u, v, οݑ, dan οݒ Masing-Masing Iterasi Menggunakan Revisi Algoritma Bairstow pada Penyelesaian Polinomial Derajat Empat

Iterasi ke- u v ο࢛ ο࢜ 1 0 0 -1.17 0.77 2 -1.17 0.77 -1.17165517 0.92034965 3 -2.34 1.69 -0.92093913 0.56265879 4 -3.26 2.25 0.23101677 -0.22547716 5 -3.03 2.03 0.02695486 -0.02646247 6 -3.0 2.0 3.03114375E-4 -2.99554673E-4 7 -3.0 2.0 3.71394534E-8 3.68663724E-8

Berdasarkan hasil perhitungan pada Tabel 4.5, diketahui bahwa pada iterasi ke 7 iterasi dihentikan karena telah memenuhi persamaan ȁοݑ_௜ାଵȁ ൅ ȁοݒ௜ାଵȁ ൏ ߝ. Nilai u dan v yang telah didapat kemudian disubtitusikan ke

dalam persamaan berikut:

ሺݔଶ൅ ݑݔ ൅ ݒሻሺݔ௡ିଶ൅ ܾଵݔ௡ିଷ൅ ܾଶݔ௡ିସ൅ ڮ ൅ ܾ௡ିଷݔ ൅ ܾ௡ିଶሻ ൅

ݎ݁݉ܽ݅݊݀݁ݎ Maka,

ሺݔଶെ ͵ݔ ൅ ʹሻሺݔଶെ ʹݔ ൅ ͷሻ ൌ Ͳ

Dimana ሺݔଶെ ʹݔ ൅ ͷሻ merupakan polinomial tereduksi. Akar 1 dan 2 didapat dari:

ݎ_ଵ ൌ െݑ ൅ ξݑ ଶ_{െ Ͷݒ} ʹ ൌ ͵ ൅ ඥሺെ͵ሻଶ_{െ Ͷሺʹሻ} ʹ ൌ ͵ ൅ ξͻ െ ͺ ʹ ൌ ͵ ൅ ͳ ʹ ൌ ʹ ݎ_ଶ ൌെݑ െ ξݑ ଶ_{െ Ͷݒ} ʹ ൌ ͵ െ ඥሺെ͵ሻଶ_{െ Ͷሺʹሻ} ʹ ൌ ͵ െ ξͻ െ ͺ ʹ ൌ ͵ െ ͳ ʹ ൌ ͳ Pencarian akar 3 dan 4

Akar 3 dan 4 didapat dari polinomial tereduksi yang dihasilkan yaitu ሺݔଶെ ʹݔ ൅ ͷሻ. Perhitungan akar 3 dan 4 dimana u = -2 dan v = 5 adalah :

(17)

commit to user ݎ_ଷ ൌെݑ ൅ ξݑ ଶ_{െ Ͷݒ} ʹ ൌ ʹ ൅ ඥሺെʹሻଶ_{െ Ͷሺͷሻ} ʹ ൌ ʹ ൅ Ͷ݅ ʹ ൌ ͳ ൅ ʹ݅ ݎ_ସ ൌെݑ െ ξݑ ଶ_{െ Ͷݒ} ʹ ൌ ʹ െ ඥሺെʹሻଶ_{െ Ͷሺͷሻ} ʹ ൌ ʹ ൅ Ͷ݅ ʹ ൌ ͳ െ ʹ݅

Dari perhitungan di atas, maa diketahui akar-akar polinomial dari persamaan ݔସെ ͷݔଷ൅ ͳ͵ݔଶെ ͳͻݔ ൅ ͳͲ ൌ Ͳ adalah 1, 2, 1+2i, dan 1-2i.

c. Pencarian akar kompleks polinomial ݔସെ ͷݔଷ൅ ͳ͵ݔଶെ ͳͻݔ ൅ ͳͲ menggunakan algoritma Muller

Pencarian akar 1 Iterasi 1

1. Menentukkan tiga poin tebakan awal yaitu ݔ_଴ǡ ݔ_ଵǡ ݔ_ଶ yaitu 1, 2, 3. 2. Kemudian menghitung nilai ݄_଴ǡ ݄_ଵǡ ݄_ଶ berikut :

݄_଴ ൌ ݔ_଴െ ݔ_ଶ ൌ ͳ െ ͵ ൌ െʹ ݄ଵ ൌ ݔଵെ ݔଶ ൌ ʹ െ ͵ ൌ െͳ

݄_ଶ ൌ ݄_଴כ ݄_ଵכ ሺ݄_଴െ ݄_ଵሻ

݄_ଶ ൌ ሺെʹሻ כ ሺെͳሻ כ ൫ሺെʹሻ െ ሺെͳሻ൯ ݄_ଶ ൌ ʹ כ ሺെͳሻ ൌ െʹ

3. Menghitung masing-masing persamaan fungsi dari ketiga tebakan awal tersebut, ݂ሺݔ_଴ሻǡ ݂ሺݔ_ଵሻǡ ݂ሺݔ_ଶሻ. x ݂ሺݔ_଴ሻ ൌ ݂ሺͳሻ ൌ ሺͳሻସ_{െ ͷሺͳሻ}ଷ _{൅ ͳ͵ሺͳሻ}ଶ_{െ ͳͻሺͳሻ ൅ ͳͲ} ݂ሺͳሻ ൌ ͳ െ ͷ ൅ ͳ͵ െ ͳͻ ൅ ͳͲ ݂ሺͳሻ ൌ Ͳ x ݂ሺݔ_ଵሻ ൌ ݂ሺʹሻ ൌ ሺʹሻସ_{െ ͷሺʹሻ}ଷ_{൅ ͳ͵ሺʹሻ}ଶ _{െ ͳͻሺʹሻ ൅ ͳͲ} ݂ሺʹሻ ൌ ͳ͸ െ ͶͲ ൅ ͷʹ െ ͵ͺ ൅ ͳͲ ݂ሺʹሻ ൌ Ͳ x ݂ሺݔ_ଶሻ ൌ ݂ሺ͵ሻ ൌ ሺ͵ሻସ_{െ ͷሺ͵ሻ}ଷ _{൅ ͳ͵ሺ͵ሻ}ଶ_{െ ͳͻሺ͵ሻ ൅ ͳͲ} ݂ሺ͵ሻ ൌ ͺͳ െ ͷ כ ʹ͹ ൅ ͳ͵ כ ͻ െ ͳͻ כ ͵ ൅ ͳͲ ݂ሺ͵ሻ ൌ ͺͳ െ ͳ͵ͷ ൅ ͳͳ͹ െ ͷ͹ ൅ ͳͲ ݂ሺ͵ሻ ൌ ͳ͸

(18)

commit to user 4. Menghitung nilai x ܽ ൌ௛భ൫௙ሺ௫బሻି௙ሺ௫మሻ൯ି௛బ൫௙ሺ௫భሻି௙ሺ௫మሻ൯ ௛మ ൌ ିଵሺ଴ିଵ଺ሻିሺିଶሻሺ଴ିଵ଺ሻ ିଶ ܽ ൌଵ଺ିଷଶ ିଶ ൌ ͺ x ܾ ൌ௛బమ൫௙ሺ௫భሻି௙ሺ௫మሻ൯ି௛భమ൫௙ሺ௫బሻି௙ሺ௫మሻ൯ ௛మ ൌ ሺିଶሻమሺ଴ିଵ଺ሻିሺିଵሻమ_{ሺ଴ିଵ଺ሻ} ିଶ ܾ ൌସכሺିଵ଺ሻାଵ଺ ିଶ ൌ ି଺ସାଵ଺ ିଶ ൌ ʹͶ ܿ ൌ ݂ሺݔଶሻ ൌ ͳ͸

5. Menghitung nilai diskriminan dari perhitungan di atas

ܦ ൌ ඥܾଶ_{െ Ͷܽܿ ൌ ඥʹͶ}ଶ_{െ ሺͶ כ ͺ כ ͳ͸ሻ ൌ ξͷ͹͸ െ ͷͳʹ ൌ ξ͸Ͷ ൌ ͺ}

6. Menghitung akar polinomial ݔ_ଷ. Nilai b lebih dari nol, sehingga tanda operator yang digunakan yaitu “+”.

ݔଷ ൌ ݔଶെ ʹܿ ܾ ൅ ܦൌ ͵ െ ʹ כ ͳ͸ ʹͶ ൅ ͺ ൌ ͵ െ ͵ʹ ͵ʹൌ ʹ ݕ ൌ ܿ ൌ ͳ͸

7. Melakukan pengecekkan terhadap nilai y ݕ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ

ͳ͸ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi

Pada langkah 6 persamaan belum terpenuhi sehingga dilakukan iterasi kedua dengan mengulang langkah 2 hingga 7 dimana nilai yang digunakan sebagai tebakan awal adalah nilai ݔ_଴ ൌ ʹǡ ݔ_ଵ ൌ ͵ dan ݔ_ଶ ൌ ʹ.

Iterasi 2 ݔ_଴ ൌ ʹǢݔ_ଵ ൌ ͵Ǣݔ_ଶ ൌ ʹ ݄_଴ ൌ ͲǢ݄_ଵ ൌ ͳǢ݄_ଶ ൌ Ͳ ݂ሺݔ଴ሻ ൌ ͲǢ ݂ሺݔଵሻ ൌ ͳ͸Ǣ ݂ሺݔଶሻ ൌ Ͳ ݕ ൌ ܿ ൌ ݂ሺݔ_ଷሻ ൌ Ͳ Pengecekkan terhadap y : ݕ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ Ͳ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → terpenuhi

(19)

commit to user

Karena persamaan di atas terpenuhi, maka iterasi dihentikan dan akar polinomial didapat yaitu nilai ݔ_ଶ = 2. Dengan demikian, akar 1 polinomial tersebut adalah 2.

Sebelum dilakukan pencarian akar kompleks kedua, persamaan polinomial ݔସ _{െ ͷݔ}ଷ _{൅ ͳ͵ݔ}ଶ_{െ ͳͻݔ ൅ ͳͲ terlebih dahulu direduksi menjadi}

polinomial tereduksi. Reduksi polinomial dilakukan dengan membagi polinomial dengan akar yang didapat sebelumnya. Reduksi polinomial lebih mudah dilakukan menggunakan metode Horner :

Berdasarkan perhitungan di atas, maka persamaan hasil reduksi adalah ݔଷ _െ

͵ݔଶ ൅ ͹ݔ െ ͷ ൌ Ͳ.

Langkah selanjutnya adalah mengulang langkah 1 hingga 7 untuk mendapatkan akar kedua menggunakan persamaan polinomial hasil reduksi. Hasil perhitungan untuk pencarian akar kedua adalah sebagai berikut : Iterasi 1 ݔ_଴ ൌ ͳǢ ݔ_ଵ ൌ ʹǢݔ_ଶ ൌ ͵ ݄଴ ൌ െʹǢ݄ଵ ൌ െͳǢ݄ଶ ൌ െͳ ݂ሺݔ_଴ሻ ൌ ͲǢ ݂ሺݔଵሻ ൌ ͷǢ ݂ሺݔଶሻ ൌ ͳ͸ ܽ ൌ ͵Ǣ ܾ ൌ ͳͶǢ ܿ ൌ ͳ͸ ܦ ൌ ʹ ݔ_ଷ ൌ ͳ ݕ ൌ ܿ ൌ ݂ሺݔ_ଷሻ ൌ ͳ͸ Pengecekkah terhadap y : ݕ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ

ͳ͸ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi, lakukan iterasi dengan mengulang langkah 2 hingga 7

(20)

commit to user Iterasi 2 ݔ଴ ൌ ʹǢ ݔଵ ൌ ͵Ǣݔଶ ൌ ͳ ݄_଴ ൌ ͳǢ݄_ଵ ൌ ʹǢ݄_ଶ ൌ െʹ ݂ሺݔ_଴ሻ ൌ ͲǢ ݂ሺݔ_ଵሻ ൌ ͳ͸Ǣ ݂ሺݔ_ଶሻ ൌ Ͳ ܽ ൌ ͺǢ ܾ ൌ െͺǢ ܿ ൌ Ͳ ܦ ൌ ͺ ݕ ൌ ܿ ൌ ݂ሺݔ_ଷሻ ൌ Ͳ Pengecekkan terhadap y : ݕ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ

Ͳ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → terpenuhi, iterasi dihentikan

Dengan demikian, maka nilai akar polinomial kedua adalah ݔଶ ൌ ͳ.

Mereduksi polinomial sebelumnya yaitu ݔଷ _{െ ͵ݔ}ଶ_{൅ ͹ݔ െ ͷ ൌ Ͳ, dengan}

membagi persamaan tersebut dengan akar yang ditemukan :

1 -3 7 -5 →koefisien polinomial Akar ← 1 1 -2 5 1 -2 5 0

Polinomial tereduksi yang didapat yaitu ݔଶ_{െ ʹݔ ൅ ͷ ൌ Ͳǡkemudian}

mengulang langkah 1 hingga 7 menggunakan persamaan baru dengan tiga tebakan awal ݔ_଴ǡ ݔ_ଵǡ ݔ_ଶ yaitu 1, 2, 3. Berikut hasil perhitungan :

Iterasi 1 ݔ_଴ ൌ ͳǢݔ_ଵൌ ʹǢݔ_ଶ ൌ ͵ ݄଴ ൌ െʹǢ݄ଵ ൌ െͳǢ݄ଶ ൌ െͳ ݂ሺݔ_଴ሻ ൌ ͶǢ ݂ሺݔଵሻ ൌ ͷǢ ݂ሺݔଶሻ ൌ ͺ ܽ ൌ ͳǢ ܾ ൌ ͶǢ ܿ ൌ ͺ ܦ ൌ ʹǡͶͷͲʹͻ͸ͻͲͻͺͳ͹Ͷܧ െ ͳ͸ ൅ Ͷ݅ ݔ_ଷ ൌ ͳ ൅ ʹ݅ ݕ ൌ ܿ ൌ ݂ሺݔଷሻ ൌ ͺ Pengecekkan terhadap y : ݕ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ

(21)

commit to user

ͺ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi, dilakukan iterasi dengan mengulang langkah 2 hingga 7 Iterasi 2 ݔ_଴ ൌ ʹǢݔ_ଵ ൌ ͵Ǣݔ_ଶ ൌ ͳ ൅ ʹ݅ ݄_଴ ൌ ͳ െ ʹ݅Ǣ݄_ଵ ൌ ʹ െ ʹ݅Ǣ݄_ଶ ൌ ʹ ൅ ͸݅ ݂ሺݔ଴ሻ ൌ ͲǢ ݂ሺݔଵሻ ൌ ͳ͸Ǣ ݂ሺݔଶሻ ൌ Ͳ ܽ ൌ Ͷ ൅ Ͷ݅Ǣ ܾ ൌ െͳʹ ൅ Ͷ݅Ǣ ܿ ൌ Ͳ ܦ ൌ ͳʹ െ Ͷ݅ ݕ ൌ ܿ ൌ ݂ሺݔଷሻ ൌ Ͳ Pengecekkan terhadap y : ݕ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ

Ͳ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → terpenuhi, iterasi dihentikan

Pada iterasi kedua, proses dihentikan karena persamaan di atas telah terpenuhi. Dengan demikian, akar polinomial ketiga adalah ݔ_ଶ ൌ ͳ ൅ ʹ݅.

Akar keempat didapat dari hasil pembagian polinomial yang telah direduksi sebelumnya yaitu ݔଶ_{െ ʹݔ ൅ ͷ ൌ Ͳdengan akar yang telah didapat yaitu}

ͳ ൅ ʹ݅. 1 -2 5 →koefisien polinomial Akar ← ͳ ൅ ʹ݅ 1+2i -5 1 -1+2i 0

Berdasarkan perhitungan di atas, maka didapat polinomial tereduksi yaitu ݔ െ ͳ ൅ ʹ݅ ൌ Ͳǡsehingga nilai akar polinomial terakhir adalah ͳ െ ʹ݅.

4.3 Pembangunan Program Kalkulator Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat N

Sebelum program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n dibangun, terlebih dahulu dilakukan analisa dan perancangan program agar program yang dibuat sesuai dengan kebutuhan. Di bawah ini merupakan pembahasan analisa kebutuhan serta perancangan program kalkulator:

(22)

commit to user

4.3.1 Analisa Kebutuhan Program Kalkulator

Analisa kebutuhan program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n dilakukan dengan mendefinisikan kebutuhan-kebutuhan program, baik kebutuhan fungsional maupun kebutuhan non fungsional. Hasil analisa kebutuhan akan menjadi dasar pembangunan program kalkulator.

4.3.1.1 Deskripsi Sistem

Program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n merupakan sebuah perangkat lunak berbasis dekstop yang digunakan khusus untuk mencari akar-akar kompleks polinomial derajat dua, tiga, empat, dan n. Program kalkulator dibangun dengan menggunakan bahasa pemrograman Java. Program kalkulator dilengkapi dengan berbagai algoritma khusus pencarian akar kompleks polinomial seperti rumus kuadrat, algoritma Viete’s, Cardano, Bairstow, Revisi Bairstow, dan Muller. Program kalkulator dapat menyelesaikan persamaan polinomial derajat dua, tiga, empat, dan juga n. Input program berupa koefisien variabel x, sedangkan outputnya berupa nilai akar-akar kompleks polinomial hasil perhitungan menggunakan algoritma yang dipilih dan pendekatan Matlab, galat yang dihasilkan, dan jumlah iterasi yang dilakukan. Dengan program kalkulator ini diharapkan dapat menjadi media pembelajaran untuk orang awam, sehingga dapat memudahkan dalam menyelesaikan persamaan polinomial derajat n.

4.3.1.2 Kebutuhan Fungsional

Tabel 4.6 menampilkan kebutuhan-kebutuhan fungsional dari program kalkulator pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat n.

Tabel 4.6 Kebutuhan Fungsional Kalkulator Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n

Kode Kebutuhan Fungsional

F.1 Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat dua F.2 Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat tiga F.3 Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat empat F.4 Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat n F.5 Pengguna dapat melihat petunjuk peggunaan dan informasi program

(23)

commit to user

4.3.1.3 Kebutuhan Non Fungsional

Berikut ini merupakan kebutuhan non-fungsional pada program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n :

Tabel 4.7 Kebutuhan Non Fungsional Kalkulator Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n

Kode Kebutuhan Non Fungsional

NF.1 Desain antarmuka yang user friendly dan sederhana, sehingga mudah digunakan untuk orang awam

NF.2 Program dapat terkoneksi dengan program Matlab

NF.3 Program dapat menyelesaikan persamaan polinomial dalam waktu singkat

4.3.2 Perancangan Program Kalkulator

Perancangan sistem dilakukan berdasarkan hasil analisa kebutuhan program sebelumnya. Kebutuhan fungsional program kalkulator dimodelkan menggunakan

use case diagram, kemudian diidentifikasi aktor dan masing-masing use case.

Setelah dimodelkan menggunakan use case diagram, dilakukan perancangan prototipe antarmuka program kalkulator. Masing-masing use case kemudian dimodelkan dengan model analisis yaitu dengan membuat sequence diagram dan

class diagram sehingga memudahkan dalam implementasi program kalkulator. 4.3.2.1 Model Use Case

Berikut ini merupakan pemodelan kebutuhan fungsional menggunakan model use case serta pembahasannya :

4.3.2.1.1 Diagram Use Case

Use case diagram menggambarkan masing-masing fungsional yang

terdapat pada program kalkulator. Gambar 4.1 menunjukkan use case diagram untuk program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n.

(24)

commit to user

Gambar 4.1 Use case diagram Kalkulator

4.3.2.1.2 Identifikasi Pengguna

Pada program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n hanya terdapat satu pengguna. Pengguna mencakup semua golongan seperti orang awam, pelajar, mahasiswa, dan lain sebagainya.

4.3.2.1.3 Definisi Use Case

Definisi use case berdasarkan use case diagram yang tertera pada Gambar 4.1 dijabarkan dalam Tabel 4.8 berikut ini :

Tabel 4.8 Use Case dan Deskripsi Use Case

Kode Use Case Deskripsi

UC.1 Mencari akar kompleks

polinomial derajat 2

Melakukan pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat dua

UC.2

Mencari akar kompleks polinomial derajat 3

Melakukan pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat tiga menggunakan algoritma yang dipilih

UC.3

Melakukan pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat empat menggunakan algoritma yang dipilih

System

Pengguna

Mencari akar kompleks polinomial derajat 2

Mencari akar kompleks polinomial derajat n

(25)

commit to user

Tabel 4.7 Lanjutan Use Case dan Deskripsi Use Case

Kode Use Case Deskripsi

UC.4 Mencari akar kompleks polinomial derajat n

Melakukan pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat n menggunakan

algoritma yang dipilih UC.5 Melihat petunjuk

penggunaan dan informasi program

Melihat petunjuk peggunaan program kalkulator dan informasi program kalkulator pencarian akar polinomial derajat n

4.3.2.1.4 Kesesuaian Use Case Diagram dengan Kebutuhan Fungsional

Tabel 4.9 berikut menunjukkan kesesuaian antara use case yang dibuat dengan kebutuhan fungsional program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n.

Tabel 4.9 Kesesuaian Use Case dengan Kebutuhan Fungsional Kode

Kebutuhan Kebutuhan Fungsional

Kode

Use case

Use Case

F.1

Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat dua

UC.1

F.2

Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat tiga

UC.2

F.3

Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat empat

UC.3

F.4

Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat n

UC.4

Mencari akar kompleks polinomial derajat n

F.5

Pengguna dapat melihat petunjuk peggunaan dan informasi program

UC.5

Melihat petunjuk penggunaan dan informasi program

(26)

commit to user

4.3.2.1.5 Use Case Scenario

Di bawah ini dijabarkan use case scenario untuk masing-masing use case:

Nama use case : Mencari akar kompleks polinomial derajat 2

Kode use case : UC.1

Tabel 4.10 Scenario UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2

Field Name Field Description

Name Mencari akar kompleks polinomial derajat 2

Assumption Program kalkulator telah berjalan,

Program kalkulator terkoneksi dengan Matlab

Actors Pengguna

Pre-condition Program menampilkan tabulasi ‘Polinomial Derajat 2’

Use case Initiation

Use case berfungsi apabila pengguna menginputkan koefisien variabel x dan mengklik ‘Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat’

Use Case Dialog Sistem meminta pengguna untuk membuka tabulasi

‘Polinomial Derajat 2’

Sistem menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat 2’ Sistem meminta pengguna untuk mengisi koefisien variabel x dan mengklik button ‘Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat’

Sistem melakukan validasi terhadap koefisien yang diinputkan

Sistem menentukan input Matlab

Sistem menghitung akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menghitung akar kompleks dengan rumus kuadrat Sistem menghitung galat

Sistem menampilkan akar kompleks hasil perhitungan dengan rumus kuadrat

Sistem menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menampilkan galat

(27)

commit to user

Tabel 4.10 Lanjutan Scenario UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2

Field Name Field Description

Use Case Termination

Program menampilkan akar-akar kompleks hasil

perhitungan dengan Rumus Kuadrat, akar-akar kompleks pendekatan Matlab, dan galat perhitungan

Tabel 4.11 Combine Scenario UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2

Use Case Name Mencari akar kompleks polinomial derajat 2

Actors Pengguna

Pre-condition Program menampilkan tabulasi ‘Polinomial

Derajat 2’

Actor System

1. Mengklik tabulasi ‘Polinomial Derajat 2’

2. Menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat 2’ 3. Menginputkan koefisien variabel x 4. Mengklik ‘Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat’

5. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan

6. Menentukan input perhitungan Matlab 7. Menghitung akar kompleks dengan

pendekatan Matlab

8. Menghitung akar kompleks dengan rumus kuadrat

(28)

commit to user

Tabel 4.11 Lanjutan Combine Scenario UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2

9. Menghitung galat

10. Menampilkan akar kompleks perhitungan rumus kuadrat

11. Menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab

12. Menampilkan galat 1st_alternative

5. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan, input tidak tepat

6. Menampilkan notifikasi ‘Input tidak tepat’

Berikut ini merupakan activity diagram untuk use case UC.1 yaitu mencari akar kompleks polinomial derajat 2 :

(29)

commit to user

Gambar 4.2 Activity Diagram UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2

Pengguna Sistem

Mengklik tab 'Polinomial Derajat 2' Menampilkan tab 'Polinomial Derajat 2'

Menginputkan koefisien variabel x

Mengklik 'Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat'

Menentukan input Matlab

Menghitung pendekatan Matlab

Mencari akar-akar kompleks dengan Rumus Kuadrat Validasi

Notifikasi 'Input tidak tepat'

Menghitung galat

Menampilkan akar kompleks tidak

ya

Menampilkan pendekatan Matlab

(30)

commit to user

Actors Pengguna

Use case berfungsi apabila pengguna menginputkan koefisien variabel x, memilih algoritma penyelesaian, dan mengklik ‘OK’

Sistem menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat 3’ Sistem meminta pengguna untuk mengisi koefisien variabel x

Sistem meminta pengguna memilih algoritma penyelesaian

Sistem meminta pengguna mengklik button ‘OK’ Sistem melakukan validasi terhadap koefisien yang diinputkan

Sistem menghitung akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menghitung akar kompleks dengan algoritma Sistem menghitung galat

Sistem menampilkan akar kompleks hasil perhitungan dengan algoritma terpilih

Sistem menampilkan jumlah iterasi Use Case

Termination

perhitungan dengan algoritma terpilih, akar-akar kompleks pendekatan Matlab, galat perhitungan, dan jumlah iterasi

(31)

commit to user

Actors Pengguna

Derajat 3’

2. Menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat 3’ 3. Menginputkan

koefisien variabel x 4. Memilih algoritma

penyelesaian 5. Mengklik ‘OK’

6. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan 7. Menentukan input perhitungan Matlab

8. Menghitung akar kompleks dengan pendekatan Matlab

9. Menghitung akar kompleks dengan algoritma terpilih

10. Menghitung galat

11. Menampilkan akar kompleks perhitungan algoritma terpilih

13. Menampilkan galat

(32)

commit to user

1st_alternative

Pengguna Sistem

Memilih algoritma

Validasi

Mencari akar-akar kompleks dengan algoritma yang dipilih

Menghitung galat

Menampilkan akar kompleks

Menampilkan galat

Menampilkan iterasi Mengklik 'OK'

tidak ya

(33)

commit to user

Sistem menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat 4’ Sistem meminta pengguna untuk mengisi koefisien variabel x

Sistem menampilkan akar kompleks hasil perhitungan dengan algoritma terpilih

(34)

commit to user

Use Case Termination

Actors Pengguna

Derajat 4’

2. Menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat 4’ 3. Menginputkan

koefisien variabel x 4. Memilih algoritma

penyelesaian 5. Mengklik ‘OK’

9. Menghitung akar kompleks dengan algoritma 10. Menghitung galat

(35)

commit to user

11. Menampilkan akar kompleks perhitungan algoritma

14. Menampilkan jumlah iterasi 1st_alternative

Berikut ini merupakan activity diagram untuk use case UC.3 yaitu mencari akar kompleks polinomial derajat 4 :

(36)

commit to user

Pengguna Sistem

Memilih algoritma

Validasi

Menghitung galat

Menampilkan galat

tidak

(37)

commit to user

Nama use case : Mencari akar kompleks polinomial derajat n

Tabel 4.16 Scenario UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n

Name Mencari akar kompleks polinomial derajat n

Pre-condition Program menampilkan tabulasi ‘Polinomial Derajat n’

‘Polinomial Derajat n’

Sistem menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat n’ Sistem meminta pengguna untuk menginputkan derajat polinomial

Sistem meminta pengguna untuk mengklik ‘OK’ Sistem melakukan validasi derajat polinomial yang diinputkan

Sistem menampilkan pilihan algoritma

Sistem meminta pengguna untuk mengisi koefisien variabel x

(38)

commit to user

Tabel 4.16 Lanjutan Scenario UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n

Use Case Dialog Sistem menampilkan akar kompleks hasil perhitungan

dengan algoritma terpilih

Sistem menampilkan jumlah iterasi Use Case

Termination

Tabel 4.17 Combine Scenario UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat

n

Actors Pengguna

Derajat n’

1. Mengklik tabulasi ‘Polinomial Derajat n’

2. Menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat n’ 3. Menginputkan derajat

polinomial 4. Mengklik ‘OK’

5. Melakukan validasi derajat polinomial 6. Menampilkan pilihan algoritma

(39)

commit to user

Tabel 4.17 Lanjutan Combine Scenario UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n Actor System 7. Menginputkan koefisien variabel x 8. Memilih algoritma penyelesaian 9. Mengklik ‘OK’

13. Menghitung akar kompleks dengan algoritma terpilih

14. Menghitung galat

15. Menampilkan akar kompleks perhitungan algoritma

18. Menampilkan jumlah iterasi 1st_alternative

5. Melakukan validasi derajat polinomial yang diinputkan, input tidak tepat

2nd_alternative

Berikut ini merupakan activity diagram untuk use case UC.4 yaitu mencari akar kompleks polinomial derajat n :

(40)

commit to user

Gambar 4.5 Activity Diagram UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat

n

Pengguna Sistem

Mengklik tab 'Polinomial Derajat n' Menampilkan tab 'Polinomial Derajat n'

Memilih algoritma

Validasi

Menghitung galat

Menampilkan galat

tidak

ya Menginputkan derajat polinomial

Menampilkan pilihan algoritma

Mengklik 'OK' _Validasi

Notifikasi 'Input tidak tepat' tidak

(41)

commit to user

Nama use case : Melihat petunjuk penggunaan dan informasi program

Tabel 4.18 Scenario UC.5 : Melihat Petunjuk Penggunaan dan Informasi Program

Name Melihat petunjuk penggunaan dan informasi program

Pre-condition Program menampilkan tabulasi ‘About’

Use case berfungsi apabila pengguna mengklik tabulasi ‘About’

‘About’

Sistem menampilkan halaman ‘About’ Use Case

Termination

Program menampilkan halaman ‘About’

Tabel 4.19 Combine Scenario UC.5 : Melihat Petunjuk Penggunaan dan Informasi Program

Use Case Name Melihat petunjuk penggunaan dan informasi

program

Actors Pengguna

Pre-condition Program telah berjalan

1. Mengklik tabulasi ‘About

2. Menampilkan halaman ‘About

Berikut ini merupakan activity diagram untuk use case UC.5 yaitu melihat petunjuk penggunaan dan informasi program :

(42)

commit to user

Gambar 4.6 Activity Diagram UC.5 : Melihat Petunjuk Penggunaan dan Informasi Program

4.3.2.1.6 Flowchart Program Kalkulator

Gambar 4.7 menunjukkan diagram alur (flowchart) program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n. Berikut ini merupakan penjelasan Gambar 4.7 :

1. Program memiliki empat tabulasi berdasarkan masing-masing derajat polinomial yakni polinomial derajat dua, tiga, empat, dan n.

2. Input masing-masing algoritma berupa koefisien masing-masing variabel x. 3. Proses yang dilakukan dalam program kalkulator yaitu menghitung nilai

pendekatan akar kompleks dengan menggunakan Matlab dan mencari akar-akar kompleks polinomial menggunakan algoritma yang dipilih.

4. Nilai galat masing-masing akar kompleks polinomial didapat dari perhitungan galat relatif. Perhitungan galat relatif yang mengunakan formula yang diusulkan dalam penelitian ini. Perhitungan galat relatif suatu akar kompleks polinomial menggunakan Persamaan 2.64.

Dalam perhitungan galat, nilai eksak diubah menjadi nilai pendekatan numerik yang didapat dari perhitungan Matlab. Penggunaan solusi numerik hasil perhitungan Matlab ini dikarenakan beberapa sampel polinomial yang

Pengguna Sistem

Mengklik tab 'About' Menampilkan tab 'About'

(43)

commit to user

digunakan dalam penelitian tidak disertai dengan solusi eksak. Selain itu, penyelesaian polinomial berderajat tinggi sulit diselesaikan dengan metode analitik. Oleh karena itu, digunakan alternatif lain untuk mendapatkan nilai eksak persamaan polinomial yaitu dengan menggunakan solusi numerik yang mendekati solusi eksak yang didapat dari perhitungan perangkat lunak matematika, Matlab.

Seperti yang disebutkan dalam situs MathWorks (2016), Matlab merupakan perangkat lunak matematika berbasis matriks yang dapat mengekspresikan komputasi matematika. Matlab telah digunakan oleh jutaan insinyur dan ilmuwan di seluruh dunia untuk melakukan analisa dan desain.

5. Output dari perhitungan dalam program kalkulator adalah akar-akar kompleks polinomial ሺݔଵǡ ݔଶ,ݔଷǡ ǥ ǡ ݔ௡ሻ, masing-masing galat yang dihasilkan

ሺ݃_ଵǡ ݃_ଶ,ݔ_ଷǡ ǥ ǡ ݃_௡ሻ, serta jumlah iterasi yang dilakukan untuk penyelesaian polinomial menggunakan algoritma Bairstow, revisi algoritma Bairstow, dan Muller ሺ݅_ଵǡ ݅_ଶ,ݔ_ଷǡ ǥ ǡ ݅_௡ሻǤ

(44)

commit to user 95 Mulai Polinomial derajat 2 Polinomial derajat 3 tidak Polinomial derajat 4 tidak Polinomial derajat n tidak Rumus Kuadrat ya

Revisi Rumus Kuadrat

tidak Cardano ya Viete’s tidak Bairstow tidak Revisi Bairstow tidak Bairstow ya Revisi Bairstow tidak Muller tidak R e v is i R u R m u s K u K a d ra t Revisi Rumus Kuadrat x1, x2 g1, g2 Algoritma Cardano x1, x2, x 3 g1, g2, g 3 n, bilangan ganjil n, bilangan genap tidak Pilihan algoritma ya Algoritma 1 a, b, c Algoritma 2 Algoritma Algoritma Selesai a, b, c, koefisien a, b Perhitungan Matlab ya Perhitungan galat R e v is i R u R m u s K u KK a d ra t Revisi Rumus Kuadrat x1, x2 g1, g2 Perhitungan Matlab Perhitungan galat ya a, b, c Perhitungan Matlab ya Perhitungan galat Algoritma Viete’s x1, x2, x 3 g1, g2, g 3 Perhitungan Matlab Perhitungan galat ya Algoritma Bairstow x1, x2, x 3 g1, g2, g 3 i1, i2, i3 Perhitungan Matlab Perhitungan galat ya Revisi Algoritma Bairstow x1, x2, x3 g1, g2, g3 i1, i2, i3 Perhitungan Matlab Perhitungan galat ya a, b, c, d Algoritma Bairstow x1, x2, x 3, x4 g1, g2, g 3, g4 i1, i2, i3, i4 Perhitungan Matlab Perhitungan galat ya Revisi Algoritma Bairstow

x1, x2, x3, x4 g1, g2, g3, g4 i1, i2, i3, i4

Perhitungan Matlab Perhitungan galat ya Muller

x1, x2, x3, x4 g1, g2, g3, g4 i1, i2, i3, i4

Perhitungan Matlab Perhitungan galat ya derajat ya Pilihan algoritma koefisien ya Perhitungan Matlab Perhitungan Matlab Perhitungan galat Perhitungan galat x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , .. ., x n g 1 , g 2 , g 3 , g 4 , .. ., g n i1 , i2 , i3 , i4 , .. ., i n

x1, x2, x3, x4, ..., xn g1, g2, g3, g4, ..., gn i1, i2, i3, i4, ..., in

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , .. ., x n g 1 , g 2 , g 3 , g 4 , .. ., g n i 1 , i 2 , i 3 , i 4 , .. ., i n

x1, x2, x3, x4, ..., xn g1, g2, g3, g4, ..., gn i1, i2, i3, i4, ..., in

Keterangan : a, b, c, d = koefisien polinomial r = akar kompleks g = galat i = iterasi Ga mbar 4.7 Di ag ra m Alu r K alkulator Polinomial