bila nilai parameter sesungguhnya adalah. Jadi, K( ) P( SU jatuh ke dalam WP bila nilai parameter sama dengan )

Kuasa Uji dan Lema Neyman-Pearson

 Kebaikan suatu uji sering diukur oleh



dan



.  Di dalam praktek, biasanya



ditetapkan, dan

akibatnya wilayah penolakan (WP) menjadi tertentu pula.

 Kinerja suatu uji juga sering diukur oleh apa yang disebut kuasa uji (power of the test).

 Kuasa suatu uji adalah peluang uji tersebut akan menolak H₀.

 Definisi: Andaikan SU adalah statistik uji dan WP adalah wilayah penolakan uji yang

menyangkut nilai parameter



. Maka kuasa uji, yang dilambangkan K( )



, adalah peluang uji tersebut akan menolak H₀ bila nilai parameter sesungguhnya adalah



. Jadi,

( ) ( jatuh ke dalam bila nilai parameter sama dengan )

K



P SU WP





 Andaikan kita ingin menguji hipotesis nol

0 : 0

H

 

 dan



_a adalah sembarang nilai



yang diambil dari H_a. Maka

0 0 0

( ) (menolak | benar)

Untuk sembarang nilai



lain yang diambil dari

a

H , kuasa uji mengukur kemampuan uji untuk mendeteksi hipotesis nol yang salah. Jadi, untuk

a

 

 , 0 0 0 ( ) (menolak | salah) (menolak bila ) a a K P H H P H



 

  

 Bila peluang terjadinya Galat Jenis II



pada

a

 

 dilambangkan

 

( )_a , maka 0 0 0 ( ) (menerima | salah) (menerima bila ) a a P H H P H

 

 

  

 Jadi, ada hubungan sangat erat antar kuasa uji dan Galat Jenis II, yaitu

( _a) 1 ( _a)

K



 

 

dengan catatan



_a adalah nilai yang diambil dari

a

H .

 Andaikan kita ingin menguji hipotesis nol

sederhana H₀ :

 

 ₀ lawan hipotesis tandingan sederhana H_a :

 

 _a. Karena di sini hanya ada dua nilai



, maka kita ingin memperoleh

wilayah penolakan yang membuat



 K( )



₀

mempunyai nilai tertentu yang diinginkan dan kuasa uji K( )



_a sebesar mungkin. Dengan kata

lain kita ingin mencari kuasa uji bertaraf nyata



yang paling kuasa (the most powerful test).  Lema Neyman-Pearson Andaikan kita ingin

menguji hipotesis nol sederhana H₀ :

 

 ₀

lawan hipotesis tandingan sederhana H_a :

 

 _a

berdasarkan contoh acak X X₁, ₂,..., X_n yang diambil dari populasi dengan parameter



.

Kalau L( )



adalah fungsi kemungkinan contoh bila nilai parameter adalah



, maka, untuk  tertentu yang ditetapkan nilainya, uji yang memaksimumkan kuasa pada



_a mempunyai wilayah penolakan WP yang ditentukan oleh

0 ( ) ( _a) L c L







Nilai c harus dicari sehingga menghasilkan nilai



yang diinginkan. Uji yang dihasilkan

merupakan uji paling kuasa bagi H₀ lawan H_a. Teladan 1. Andaikan X adalah contoh berukuran

1

n  dari populasi dengan fungsi kepekatan peluang

1 , 0 1 ( | ) 0, selainnya x x f x 





_{ }    

Carilah uji paling kuasa yang bertaraf nyata

0.05



 untuk menguji H₀ :



 2 lawan H_a :



1. Jawab

Dapat ditunjukkan bahwa kedua hipotesis yang diuji adalah sederhana. (Tunjukkan.) Dengan demikian 0 0 1 2 1 1 1 0 ( ) ( | 2) ( ) ( | 1) 2 2 2 , 0 1 1 a L f x L f x x x x x x x









         

Sehingga wilayah penolakannya berbentuk

2 atau 2 c x  c x  Karena



 0.05, maka 0 0 2 2 ₂ 2 2 0 0 (menolak | benar) 0.05 | 2 2 0.05 2 2 4

|

c c P H H c P X c c xdx y





    _   _        _{ }   



Jadi, 0.05 2

c

 , sehingga uji paling kuasanya mempunyai wilayah penolakan



0.05 0.2236



WP  x  

Ini berarti, di antara semua uji dengan taraf nyata

0.05



 untuk menguji H₀ :



 2 lawan H_a :



1, uji di atas, dengan WP 



x  0.2236



, merupakan uji yang paling kuasa, yang berarti juga



terkecil. Sebagai uji paling kuasa, kiranya menarik untuk mengetahui besarnya kuasa uji.

0 0 0.2236 0 (1) (menolak | salah) ( 0.2236 | 1) 1 0.2236 K P H H P X dx



    





Jadi, kuasa ujinya sebesar 0.2236 yang ekivalen dengan peluang galat jenis II sebesar 0.7764, yang masih sangat besar.

 Perhatikan bahwa Lema Neyman-Pearson

Wilayah penolakan yang sesungguhnya ditentukan oleh besarnya taraf nyata yang digunakan.

 Untuk sebaran diskret, seringkali tidak mungkin memperoleh uji dengan taraf nyata persis sama dengan yang ditetapkan sebelumnya. Dalam hal demikian, diambil taraf nyata terbesar yang

masih belum melampaui nilai yang ditetapkan.  Andaikan kita mengambil contoh dari populasi

yang sudah terspesifikasi sepenuhnya kecuali oleh satu saja parameter. Sayangnya tidak ada teorema seperti Lema Neyman-Pearson yang dapat menentukan bentuk wilayah penolakan untuk menguji hipotesis H₀ :

 

 ₀ lawan

0 : 0

H

 

 bila salah satu atau kedua hipotesis majemuk.

 Akan tetapi Lema Neyman-Pearson dapat

digunakan untuk memperoleh uji paling kuasa (most powerful test) bagi H₀ :

 

 ₀ lawan

0 : a

 Bila suatu uji berdasarkan Lema Neyman-Pearson memaksimumkan kuasa uji untuk

setiap nilai



yang lebih besar dari



₀, uji yang demikian itu disebut uji paling kuasa seragam (uniformly most powerful test) untuk H₀ :

 

 ₀ lawan H₀ :

 

 ₀.

 Catatan serupa berlaku bagi H₀ :

 

 ₀ lawan

0 : 0

H

 

 .

Teladan . Andaikan contoh acak X X₁, ₂,..., X _n diambil dari populasi normal N



 

, 2



dengan



tidak diketahui tetapi



2 diketahui. Temukan uji paling kuasa seragam untuk menguji H₀ :

 

 ₀ lawan H_a :

 

 ₀ dengan taraf nyata sebesar



. Jawab

Kita mulai dengan mencari uji paling kuasa

bertaraf nyata



bagi H₀ :

 

 ₀ lawan H_a* :

 

 _a

untuk satu nilai tertentu



_a,



_a 



₀. Karena

2 1 1 ( | ) exp , 2 2 x f x





x







 _{  }   _ _{  }            maka

1 2 1 ( ) ( | )... ( | ) 1 1 exp 2 2 n n _n i i L f x f x x















   _       _{  } _{  }     _



_ Karena H dan ₀ H_a* keduanya sederhana, maka menurut Lema Neyman-Pearson uji paling kuasa untuk menguji kedua hipotesis itu ditentukan oleh nisbah (ratio) 0 ( ) ( _a) L c L





 2 0 1 2 1 1 1 exp 2 2 1 1 exp 2 2 n _n i i n _n i a i x c x

















   _    _    _{ }    _{ }   _ _{ }  _    _    _{ }    _{ }   _{ }





2 2 0 2 1 1 1 exp ( ) ( ) 2 n n i i a i i x



x



c



_{ }  _{ }       _{ }   





 2 2 0 2 1 1 1 ( ) ( ) ln( ) 2 n n i i a i i x



x



c



_{ }    _    _  







2 2 2 0 1 1 ( ) ( ) 2 ln( ) n n i i a i i x



x





c    _{  }  _{ }   





 2 2 2 2 2 0 0 1 1 2 2 2 ln( ) n n i i a a i i x nx



n



x nx



n





c         





2 2 2 0 0 2 ln( ) ( ) 2 a a c n n x n













    Karena



_a 



₀ maka 2 2 2 0 0 2 ln( ) 2 ( ) a a c n n x c n











      

Jadi, uji paling kuasa untuk H₀ :

 

 ₀ lawan

*

:

a a

H

 

 mempunyai wilayah penolakan

{ *}

WP  x  c

Untuk menentukan nilai c* kita ingat bahwa

0 0 0 0 0 0 (menolak | benar) ( * | ) * * P H H P X c X c c P P Z n n n



 













     _{ }   _   _  _  _  _    

0 0 * * c z n z c n  









   

Jadi, uji bertaraf nyata



bagi H₀ :

 

 ₀ lawan

* :

a a

H

 

 yang mempunyai kuasa terbesar didasarkan pada statistik X dan mempunyai wilayah penolakan x ₀ z n 





 _{ }     . Perhatikan

bahwa baik statistik uji maupun wilayah

penolakannya tidak bergantung pada nilai



_a. Jadi, berapa pun nilai



_a,



_a 



₀, akan selalu diperoleh wilayah penolakan yang sama. Jadi uji bertaraf

nyata



dengan wilayah penolakan itu mempunyai kuasa terbesar untuk setiap



_a 



₀. Dengan kata lain ia merupakan uji paling kuasa.

Soal-soal Latihan

1. Andaikan X dan ₁ X adalah dua peubah acak ₂ yang bebas dan tersebar secara identik

( ,

 

1). Untuk menguji H₀ :



 0 lawan

: 0

a

H



 , ada dua uji yang dipertimbangkan: Uji 1: Tolak H bila ₀ X₁  0.95

Uji 2: Tolak H bila ₀ X₁  X₂  c

Tentukan c sehingga Uji 2 mempunyai



yang sama dengan Uji 1.

2. (Lanjutan #1) Hitunglah kuasa Uji 1 bila (a)

0.1



 , 0.4, 0.7, 1. (b) Gambarkan sketsa grafik fungsi kuasanya.

3. (Lanjutan #1) (a) Hitunglah kuasa Uji 2 untuk masing-masing alternatif



 0.1, 0.4, 0.7, 1. (b) Gambarkan sketsa fungsi kuasanya. (c) Bandingkan fungsi pada bagian (b) dengan fungsi kuasa Uji 1. Apa yang dapat anda simpulkan tentang kuasa kedua uji untuk semua



 0.

4. Andaikan X X₁, ₂,..., X adalah suatu contoh ₂₀ acak dari sebaran normal dengan rataan

populasi



yang tidak diketahui dan ragam

2

5



 . Akan diuji hipotesis H₀ :



 7 lawan

: 7

a

H



 . (a) Carilah uji paling kuasa

seragam dengan taraf nyata 0.05. (b) Untuk uji dalam bagian (a) itu, hitunglah kuasanya

pada masing-masing alternatif berikut: 7.5

a



 , 8.0, 8.5 dan 9.0. (c) Gambarkan sketsa fungsi kuasa itu.

5. (Lanjutan # 4) Tentukan ukuran contoh

terkecil sehingga uji bertaraf nyata



 0.05 mempunyai kuasa sedikitnya 0.80 bila



 8. 6. Untuk sebaran normal dengan rataan



dan

ragam



2  25, seorang peneliti ingin menguji

0 : 10

H



 lawan H_a :



 5. Tentukan ukuran contoh n sehingga uji yang paling kuasa

mempunyai

 

  0.025.

7. Andaikan kita mempunyai suatu berukuran empat yang diambil dari populasi dengan fungsi kepekatan 2 3 1 0 ( | ) ₂ 0 selainnya x x e x f x 



_

   _       

(a) Tentukan wilayah penolakan bagi uji paling kuasa bagi H₀ :

 

 ₀ lawan

:

a a

H

 

 ,



_a 



₀. (b) Apakah uji tersebut merupakan uji paling kuasa seragam bagi alternatif

 

 ₀?