TRANSFORMASI CITRA: PROSES KONVOLUSI. Bertalya Universitas Gunadarma

TRANSFORMASI CITRA:

PROSES KONVOLUSI

TRANSFORMASI CITRA:

PROSES KONVOLUSI

Bertalya

Universitas Gunadarma

PROSES KONVOLUSI

PROSES KONVOLUSI

• Formula Konvolusi:

= dummy variable of integration

• Mekanisme konvolusi dalam bentuk integral

ini tidak mudah untuk digambarkan

(Gonzales and Woods, 1992)

Konvolusi pada Domain Kontinue

Konvolusi dan Transformasi Fourier

Konvolusi dan Transformasi Fourier

• Konvolusi merupakan proses penting pada

analisis domain frekwensi karena f(x)*g(x)

dan F(u)G(u) membentuk suatu pasangan

transformasi Fourier (Fourier transform pair)

• Teori konvolusi:

f(x)*g(x) ÅÆ

F(u)G(u)

f(x)g(x) ÅÆ

F(u)*G(u)

Konvolusi pada Domain Diskrit (1)

Konvolusi pada Domain Diskrit (1)

• Bila A adalah periode dalam diskritisasi f(x) dan B

adalah periode dalam diskritisasi g(x), maka hasil

konvolusi akan mempunyai periode M dimana M=A+B

• Periode f(x) dan g(x) masing-masing dibesarkan

menjadi M dengan menyisipkan 0

f(x) = f(x) bila

dan f(x) = 0 bila

g(x) = g(x) bila

dan g(x) = 0 bila

• Konvolusi diskrit: (dilakukan melalui proses flip and

Konvolusi pada Domain Diskrit (2):

pendekatan shift kernel operator

Konvolusi pada Domain Diskrit (2):

pendekatan shift kernel operator

f(x) = [0 0 1 2 3 4 0]

Æ

[ 0 0 1 2 3 4 0 0 0]

g(x) = [-1 4 –1] karena simetri di-flip tetap [-1 4 –1]

Æ

[-1 4 –1 0 0 0 0 0 0]

maka f(x)*g(x) =

0x-1 + 0x4 + 1x-1 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = -1 0x0 + 0x-1 + 1x4 + 2X-1 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 +0x0 = 2 0x0 + 0x0 + 1x-1 + 2x4 + 3x-1 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 4 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x-1 + 3x4 + 4x-1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 6 0x0 +0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x-1 + 4x4 + 0x-1 + 0x0 + 0x0 = 13 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x-1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = -4 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x-1 + 0x4 + 0x-1 = 0 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x-1 + 0x4 = 0 0x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x-1 = 0

Konvolusi pada Domain Diskrit (3):

Pendekatan Rumus Konvolusi

Konvolusi pada Domain Diskrit (3):

Pendekatan Rumus Konvolusi

• Kita lihat kembali rumusan konvolusi:

• f(0) =0; f(1)=0; f(2)=1; f(3)=2; f(4)=3; f(5)=4; f(6)=0; … f(9)=0

g(7)=0; … g(1)=0; g(0)=-1; g(-1)=4; g(-2)=-1;

f(0)*g(0) = f(0)g(0) + f(1)g(-1) + f(2)g(-2) + dst = -1

f(1)*g(1) = f(0)g(1) + f(1)g(0 ) + f(2)g(-1) + dst = 2

f(2)*g(2) = f(0)g(2) + f(1)g(1) + f(2)g(0) + dst = 4

Proses Konvolusi pada Citra 2-D

Proses Konvolusi pada Citra 2-D

• Bentuk Kontinue dan Diskrit:

Contoh : citra f(x,y) berukuran 5 X 5

dengan kernel atau mask 3 X 3

• f(x,y) * g(x,y)

• Operasinya :

Tempatkan kernel pada sudut kiri atas kemudian hitung nilai piksel pada posisi (0,0) dari kernel

Geser kernel satu piksel ke kanan kemudian hitung nilai piksel

pada posisi (0,0) kernel, begitu seterusnya hingga geser satu piksel ke bawah, lalu mulai lagi melakukan konvolusi dari sisi kiri citra.

• Dengan cara yang sama, setiap baris piksel dikovolusi

Hasil konvolusi :

• Jika nilai piksel (-), nilai tsb dijadikan 0, jika nilai > nilai max gray level maka dilakukan clipping

• Untuk masalah piksel pinggir, solusi untuk masalah ini adalah :

– Piksel pinggir diabaikan, tidak dikonvolusi

– Duplikasi elemen citra, elemen kolom ke-1 disalin ke kolom M+1, begitu juga sebaliknya lalu konvolusikan.

– Elemen yang ditandai dengan (?) diasumsikan bernilai 0 atau

konstanta yang lain sehingga konvolusi piksel pinggir dapat dilakukan.

• Konvolusi piksel pinggir tidak memperlihatkan efek yang kasat mata.

Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (1)

Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (1)

• Blurring merupakan efek pemerataan (integrasi),

sedangkan deblurring / sharpening / outlining

merupakan efek differensiasi

• Proses blurring dapat diperoleh dengan

mengaplikasikan low pass filter dan sebaliknya,

proses sharpening dapat diperoleh dengan

mengaplikasikan high pass filter

• Filtering akan dipelajari pada proses peningkatan

Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (2)

Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (2)

• Contoh efek blurring (bayangkan bila terjadi pada

piksel citra 2-dimensi)

point response function ideal response (averaging)

TRANSFORMASI CITRA

• Mengapa perlu transformasi ?

– Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu teknik analisis dengan transformasi untuk menyederhanakan

penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974] – Contoh: penyelesaian fungsi y = x/z

• Analisa konvensional : pembagian secara manual • Analisa transformasi : melakukan transformasi

– log(y) = log(x) – log(z)

– look-up table Æ pengurangan Æ look-up table

• Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatu informasi tertentu yang tidak tersedia sebelumnya

Transformasi Citra

• Contoh :

– jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita memerlukan transformasi Fourier

– Jika ingin mengetahui informasi tentang kombinasi skala dan frekuensi kita memerlukan transformasi wavelet

• Transformasi citra, sesuai namanya, merupakan proses perubahan

bentuk citra untuk mendapatkan suatu informasi tertentu

• Transformasi bisa dibagi menjadi 2 :

– Transformasi piksel/transformasi geometris – Transformasi ruang/domain/space

Transformasi Piksel dan Ruang

• Transformasi piksel masih bermain di ruang/domain yang sama (domain spasial), hanya posisi piksel yang kadang diubah

• Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll.

• Transformasi jenis ini relatif mudah diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dll)

• Transformasi ruang merupakan proses perubahan citra dari suatu ruang/domain ke ruang/domain lainnya, contoh: dari ruang spasial ke ruang frekuensi

• Ada beberapa transformasi ruang yaitu : – Transformasi Fourier (basis: cos-sin)

– Transformasi Hadamard/Walsh (basis: kolom dan baris yang ortogonal)

Transformasi Fourier (FT)

• Pada tahun

1822,

Joseph Fourier, ahli matematika

dari Prancis menemukan bahwa: setiap fungsi

periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan

gelombang-gelombang sinus/cosinus.

• Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus berikut

f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 …

Fungsi kotak sebagai penjumlahan

fungsi-fungsi sinus

• Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat

sampai batas n berapa fungsi yang dihasilkan sudah

berbentuk fungsi kotak.

– function kotak(n)

t = 0:pi/200:8*pi; kot = sin(t);

for i = 3 : 2: n

kot = kot + (sin(i*t))/i; end

Gambar a) n = 1, b) n =3, c) n = 7, d) n = 99

(a)

(c) (d)

FT - Motivasi

• Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam

penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus, pertanyaan

berikutnya yang muncul adalah:

– Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang, bagaimana saya tahu fungsi-fungsi cos – sin apa yang membentuknya ?

• Atau dengan kata lain

– Berapakah frekuensi yang dominan di sinyal tersebut ?

• Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menghitung

nilai F(u) dari sinyal tersebut. Dari nilai F(u) kemudian

dapat diperoleh kembali sinyal awal dengan menghitung

f(x), menggunakan rumus:

Rumus FT – 1 D

• Rumus FT kontinu 1 dimensi

ux

j

ux

ux

j

du

ux

j

u

F

x

f

dx

ux

j

x

f

u

F

π

π

π

π

π

2

sin

2

cos

]

2

exp[

:

formula

s

Euler'

]

2

exp[

)

(

)

(

]

2

exp[

)

(

)

(

−

=

−

=

−

=

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ −

• Rumus FT diskret 1 dimensi

∑

∑

− − =

=

−

=

1 1 0

]

/

2

exp[

)

(

1

)

(

]

/

2

exp[

)

(

1

)

(

N N x

N

ux

j

u

F

x

f

N

ux

j

x

f

N

u

F

π

π

Contoh FT 1 D

Contoh berikut diambil dari Polikar

(http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html)

Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb:

x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) +

cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t)

Sinyal ini memiliki empat komponen frekuensi yaitu

5,10,20,50

Contoh sinyal 1 Dimensi x(t)

Gambar sinyal satu dimensi dengan rumus

x(t)= cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t) (Sumber: Polikar)

FT dari sinyal tersebut

FT dari sinyal tersebut. Terlihat bahwa FT dapat menangkap frekuensi-frekuensi yang dominan dalam sinyal tersebut, yaitu 5,10, 20, 50

(nilai maksimum F(u) berada pada angka 5,10, 20, 50)

Contoh Penghitungan FT 1 dimensi

(Gonzalez hlm 90-92)

j j F F j j j j j j x j x x f F f f f f N x j N x x f N F f f f f contoh N ux j N ux x f N N ux j x f N u F x N x N x N x 25 . 0 5 . 0 ] 2 [ 1 ) 3 ( 25 . 0 ] 1 [ 1 ) 2 ( 25 . 0 5 . 0 ) 2 ( 4 1 ) 4 4 3 2 ( 4 1 ) 0 ( 4 ) 0 1 ( 4 ) 0 ( 3 ) 0 1 ( 2 [ 4 1 ))] 4 / 2 sin( ) 4 / 2 )(cos( ( 4 1 ) 1 ( 25 . 3 )] 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( [ 4 1 ))] / 0 2 sin( ) / 0 2 )(cos( ( 1 ) 0 ( 4 ) 3 ( , 4 ) 2 ( , 3 ) 1 ( , 2 ) 0 ( : ))] / 2 sin( ) / 2 )(cos( ( 1 ] / 2 exp[ ) ( 1 ) ( 3 0 1 0 1 0 1 0 − − = + − = − = − = + − = + − = + − − = + + − − + − + − = − = = + + + = − = = = = = − = − =

∑

∑

∑

∑

= − = − = − = π π π π π π π

Contoh Penghitungan FT

• Hasil penghitungan FT biasanya mengandung bilangan

real dan imajiner

• Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua

bilangan tersebut shg|F(u)| = [R

2

_{(u) + I}

2

_(u)]

1/2

• Untuk contoh di halaman sebelumnya, Fourier

Spectrumnya adalah sebagai berikut:

• |F(0)| = 3.25 |F(1)| = [(-0.5)2_+(0.25)2_]1/2 _{= 0.5590}

Rumus FT – 2 D

• Rumus FT 2 dimensi

kolom)

(jumlah

citra

lebar

N

baris)

(jumlah

citra

tinggi

M

)]

/

/

(

2

exp[

)

,

(

)

,

(

:

)]

/

/

(

2

exp[

)

,

(

1

)

,

(

:

1 0 1 0 1 0 1 0

=

=

+

=

+

−

=

∑∑

∑∑

− = − = − = − = M u N v M x N y

N

vy

M

ux

j

v

u

F

y

x

f

InversFT

N

vy

M

ux

j

y

x

f

MN

v

u

F

FT

π

π

Contoh FT 2 Dimensi

Sumber: http://www.icaen.uiowa.edu/~dip/LECTURE/LinTransforms.html

Sifat-sifat FT 2 dimensi

• Separable :

– Pemrosesan FT 2 dimensi dapat dilakukan

dengan melakukan FT 1 dimensi terhadap kolom,

kemudian dilanjutkan dengan FT 1 dimensi

terhadap baris

• Translasi :

]

/

)

(

2

exp[

)

,

(

)

,

(

)

,

(

]

/

)

(

2

exp[

)

,

(

0 0 0 0 0 0

N

vy

ux

j

v

u

F

y

y

x

x

f

v

v

u

u

F

N

y

v

x

u

j

y

x

f

+

−

⇔

−

−

−

−

⇔

+

−

π

π

Sifat-sifat FT 2 dimensi

• Periodik

– FT dan IFT bersifat periodik dengan periode N (N

adalah jumlah titik)

• Rotasi

– Jika kita merotasikan f(x,y) sebanyak θ

0

_{. maka F(u,x)}

juga akan berotasi sebanyak θ

0

_{, demikian pula}

sebaliknya.

• Distributif

– FT dan IFT bersifat distributif terhadap penjumlahan

tapi tidak terhadap perkalian

Sifat-sifat FT 2 dimensi

• Penskalaan

)

/

,

/

(

1

)

,

(

)

,

(

)

,

(

b

v

a

u

F

ab

by

ax

f

v

u

aF

y

x

af

⇔

⇔

• Nilai rata-rata

∑ ∑

− = − = = = 1 0 1 0 2 (0,0) 1 ) , ( 1 ) , ( N x N y F N y x f N y x f

Fast Fourier Transform (FFT)

• Merupakan algoritma penghitungan yang

mengurangi kompleksitas FT biasa dari N

2

menjadi N log

₂

N saja

• Pada implementasinya, FFT merupakan cara

yang umum digunakan untuk menghitung FT

diskret

• InversFT juga dapat dihitung dengan

kompleksitas N log

₂

N (IFFT)

– Di Matlab : fft(x) atau fft2(X) untuk FT dan ifft(x) atau

ifft2(X) untuk invers FT