Partial Differential Equations

(1)

PERSAMAAN DIFERENSIAL

PARSIAL

– PDE

(2)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

2

q 

Acuan

q 

Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers,

2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.

(3)

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

3

q 

Suatu fungsi u yang bergantung pada x dan y: u(x,y)

q 

Diferensial u terhadap x di sembarang titik (x,y)

q 

Diferensial u terhadap y di sembarang titik (x,y)

(

)

(

)

x

y

x

u

y

x

u

x

u

x

Δ

−

Δ

+

=

∂

→ Δ

,

lim

0

(

)

(

)

y

x

u

y

x

u

y

u

y

Δ

−

Δ

+

=

∂

→ Δ

,

lim

(4)

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

4

Contoh arti fisik:

u elevasi tanah pada peta situasi.

u ditunjukkan oleh garis-garis (kontour) elevasi tanah.

X

Y

buat potongan memanjang di sepanjang garis ini _à apa yang akan Sdr lihat?

(5)

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

5

q  Tingkat (order) PDE adalah tingkat tertinggi suku

derivatif

q  PDE merupakan fungsi linear apabila

q  fungsi tsb linear pada u dan derivatif u, dan

(6)

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

6

0

2 2 2

2 2

=

− ∂ ∂

+

∂ ∂

∂

+

∂ ∂

D y

u C y x

u B x

u A

q  PDE yang dibahas pada mk Matek di sini

hanya PDE linear bertingkat dua

q  PDE linear bertingkat dua dan fungsi dua

variabel bebas (x,y) dapat dikelompokkan menjadi:

q  eliptik

q  parabolik

q  hiperbolik

B2₋₄_AC _kategori

< 0 eliptik

= 0 parabolik

> 0 hiperbolik

A, B, C : fungsi x dan y

(7)

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

7

B2 ₋₄_AC _Kategori _Nama _Persamaan

< 0 Eliptik Persamaan Laplace (permanen, 2D spasial)

= 0 Parabolik Persamaan konduksi panas (tak-permanen, 1D spasial)

> 0 Hiperbolik Persamaan gelombang (tak-permanen, 1D spasial)

0

2 2

=

∂

+

∂

y

T

x

T

t

T

x

T

k

∂

=

∂

2 2

2

1 t

y

c

x

y

∂

=

(8)

PDE Eliptik (Persamaan Laplace)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

8

(9)

Persamaan Laplace

9

∆_z

X Y

q  Sebuah plat logam persegi tipis

q  kedua permukaan dilapisi dengan isolator panas

q  sisi-sisi plat diberi panas dengan temperatur tertentu

q  transfer panas hanya

dimungkinkan pada arah x

dan y

q  Ditinjau pada saat transfer

(10)

Persamaan Laplace

10

∆_x

∆_y

q(x)+q(x+∆_x)

q(y)+q(y+∆_y)

q(y)

X

Y q  Pada steady-state condition, aliran kedalam

sebuah elemen (lihat gambar di samping)

selama periode ∆_t_{haruslah sama dengan aliran}

yang keluar dari elemen tsb:

( )

(

x x

)

y z t q

(

y y

)

x z t q

t z x y q t z y x q

Δ Δ Δ Δ

+ +

Δ Δ Δ Δ

+

=

Δ Δ Δ

+

Δ Δ Δ

q(x) dan q(y) berturut-turut adalah fluks panas arah x dan arah y, dalam satuan kal/cm2_/s.

(11)

Persamaan Laplace

11

∆_x

∆_y

q(x)+q(x+∆_x)

q(y)+q(y+∆_y)

q(y)

X

Y q  Jika semua suku pada persamaan tsb dibagi

dengan ∆_z ∆_t_{, maka:}

( )

x y q

( )

y x q

(

x x

)

y q

(

y y

)

x

q Δ + Δ = +Δ Δ + +Δ Δ

q  Pengelompokan suku dan perkalian dengan ∆x/ ∆_x_atau∆_y_/∆_y_{menghasilkan:}

( )

(

)

( )

(

)

₀

= Δ Δ Δ

Δ + −

+ Δ Δ Δ

Δ + −

x y y

y y

q y q y x x

x x

(12)

Persamaan Laplace

12

∆_x

∆_y

q(x)+q(x+∆_x)

q(y)+q(y+∆_y)

q(y)

X

Y q  Pembagian dengan ∆x ∆y menghasilkan:

q  Mengambil nilai limit persamaan tsb dan

memperhatikan definisi diferensial parsial, maka diperoleh:

0

= ∂ ∂ − ∂ ∂ −

y q x

q

( )

(

)

( )

(

)

₀

=

Δ

+

−

+

Δ

+

−

y

y y

q y q x

x x

q x q

(13)

Persamaan Laplace

13

∆_x

∆_y

q(x)+q(x+∆_x)

q(y)+q(y+∆_y)

q(y)

X Y

q  Penyelesaian PDE tsb membutuhkan syarat batas

fluks panas q; padahal syarat batas yang diketahui adalah temperatur T.

q  Oleh karena itu, PDE di atas diubah menjadi PDE

dalam T dengan menerapkan Hukum Fourier untuk konduksi panas.

0

= ∂ ∂ − ∂ ∂ −

y q x

q

(Fourier’s law of heat conduction)

i T k

i T C k q_i

∂ ∂ ʹ′ − =

∂ ∂ ρ − =

(14)

Persamaan Laplace

14

∆_x

∆_y

q(x)+q(x+∆_x)

q(y)+q(y+∆_y)

q(y)

X Y

i T k i

T C k q_i

∂ ∂ ʹ′ −

=

∂ ∂ ρ −

=

q(x)

q_i : fluks panas arah i (kal/cm2_/s) k : koefisien difusi thermal (cm2_/s)

ρ : rapat massa medium (g/cm3₎

C : kapasitas panas medium (kal/g/°C)

T : temperatur (°C)

k´ : konduktivitas thermal (kal/s/cm/°C)

q  Persamaan di atas menunjukkan bahwa fluks

(15)

Persamaan Laplace

15

∆_x

∆_y

q(x)+q(x+∆_x)

q(y)+q(y+∆_y)

q(y)

X Y

0

2 2

=

∂ ∂

+

∂ ∂

y T x

T

q(x)

q  Dengan memakai Fick’s Law, maka persamaan

konservasi energi dapat dituliskan sbb.

(

x y

)

f y

T x

T

,

2 2

=

∂ ∂

+

∂ ∂

q  Jika ada source atau sink:

(Persamaan Laplace)

(16)

Persamaan Laplace

16

∆_x

∆_y

q(x)+q(x+∆_x)

q(y)+q(y+∆_y)

q(y)

X Y

i H K q_i

∂ ∂ −

=

q(x)

q_i : debit aliran arah i (m3_/m/s) K : konduktivitas hidraulik (m2_/s) H : tinggi energi hidraulik (m)

i : panjang lintasan, panjang aliran (m) q  Persamaan tsb sama dengan persamaan aliran

melalui medium porus (Hukum Darcy).

0

2 2

= ∂ ∂ + ∂ ∂

y H x

(17)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

17

q 

Penyelesaian persamaan Laplace, dan berbagai PDE di bidang enjiniring,

hampir tidak pernah dilakukan secara analitis, kecuali untuk kasus-kasus

yang sederhana.

q 

Penyelesaian hampir selalu dilakukan dengan cara numeris.

q 

Teknik penyelesaian PDE secara numeris

q  Metode beda hingga (finite difference approximation, FDA)

q  Metode elemen hingga (finite element method, FEM)

(18)

Finite Difference Approach – FDA

18

∆_x

∆_y

X

Y q  Langkah pertama dalam FDA

q  Domain fisik plat persegi dibagi menjadi sejumlah pias atau grid titik-titik diskrit.

q  PDE Laplace diubah menjadi persamaan beda hingga di setiap titik hitung (i,j).

q  Di titik hitung interior (simbol bulat hitam):

0 1 2 3 4 0

1 2 3 4

2

1 , ,

1 , 2

2

, 1 ,

, 1 2

2

2 2

y T T

T y

T

x T T

T x

T

j i j i j

i

j i j i j

i

Δ

+

− ≈

∂ ∂

Δ

+

− ≈

∂ ∂

−

+

−

+ _§ _{diferensi tengah}

(central difference)

§  error = O[(∆_x)2_{] &}

(19)

Finite Difference Approach – FDA

19

∆_x

∆_y

X

Y q  Persamaan Laplace dalam bentuk beda hingga:

0 1 2 3 4 0

1 2 3

4 1, 2 ,₂ 1, , 1 2 ,₂ , 1 = 0

Δ + −

+ Δ

+

− ₋ ₊ ₋

+

y T T

T x

T T

T_i _j _i _j _i _j _i _j _i _j _i _j

q  Jika ukuran grid seragam, ∆x = ∆y, maka:

0 4 _,

1 , 1 , ,

1 ,

1 + − + + + − − =

+ j i j i j i j i j

i T T T T

(20)

Finite Difference Approach – FDA

20

0 75 4

0 4

1 , 2 2 , 1 1 , 1

1 , 1 0

, 1 2 , 1 1 , 0 1 , 2

− − = +

+ −

= −

+ +

+

T T

T

T T

T

q  Di titik-titik yang berada di batas domain (simbol bulat putih), berlaku syarat batas (boundary

conditions) _à temperatur diketahui/ditetapkan.

q  BC semacam itu dikenal dengan nama Dirichlet boundary condition.

q  Di titik (1,1):

50°C

75°C

0°C 100°C

q  Di 8 titik interior yang lain pun dapat dituliskan persamaan beda hingga diskrit semacam di atas. X

Y

0 1 2 3 4 0

(21)

Finite Difference Approach – FDA

21

q  Dari 9 titik interior diperoleh sistem persamaan

aljabar linear yang terdiri dari 9 persamaan dengan 9 unknowns.

50°C

75°C

0°C 100°C

X Y

0 1 2 3 4 0

(22)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

22

150 4

100 4

175 4

(23)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

23

150 100 175 50

(24)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

24

q 

Sistem persamaan aljabar yang dihasilkan dari penerapan persamaan

beda hingga di semua titik interior

q  diselesaikan dengan salah satu Metode yang telah dibahas pada kuliah sebelum

UTS

q  untuk 9 persamaan, penyelesaian masih dapat dilakukan dengan mudah memakai

cara tabulasi spreadsheet

q  untuk jumlah persamaan yang banyak, seperti biasa ditemui dalam permasalahan

civil engineering, perlu bantuan program komputer

n  MatLab (program aplikasi berbayar)

n  SciLab (mirip MatLab, program aplikasi open source, platform Windows, MacOS, Linux)

n  Numerical Recipes

(25)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

25

q 

Metode iteratif: Gauss-Seidel iteration method

q  Dipakai SOR (Successive Over Relaxation) method untuk mempercepat konvergensi

q  Kriteria konvergensi

4

hitungan dilakukan dengan bantuan tabulasi spreadsheet

( )

( ) 1%

max

(26)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

26

iterasi, n T1,1 T2,1 T3,1 T1,2 T2,2 T3,2 T1,3 T2,3 T3,3 ∆Tmax

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ---

1 28.1250 10.5469 22.7051 38.6719 18.4570 34.1858 80.1270 74.4690 96.9955 100.0%

2 32.5195 22.3572 28.6011 55.8311 60.8377 71.5700 74.4241 87.3620 67.3517 69.7%

3 41.1859 37.8056 45.4653 71.2290 70.0686 51.5471 87.8846 78.3084 71.2700 40.9%

4 48.4201 42.5799 31.3150 66.3094 54.4950 51.8814 75.9144 73.9756 67.8114 45.2%

5 44.7485 27.6695 32.9241 59.9274 52.7977 50.3842 77.8814 74.9462 69.3432 53.9%

6 38.5996 32.7858 33.4767 60.5401 55.5973 52.9643 77.4916 75.9389 69.9171 15.9%

7 43.8224 33.4432 34.4145 63.6144 56.9367 52.7435 79.2117 76.8051 69.8722 11.9%

8 42.6104 33.5140 33.8893 62.4499 56.0988 52.3259 78.2398 75.6765 69.3148 2.8%

9 42.8062 33.0409 33.8179 62.3681 55.7299 52.1605 78.2718 75.9054 69.6173 1.4%

(27)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

27

Y

0 1 2 3 4 0

1 2 3 4

50°C

75°C

0°C 100°C

42.50 32.99 33.77 62.24 55.87 52.39 78.29 75.96 69.57

0 20 40 60 80 100

0 1 2 3 4

T°C T°C

i T°C

j = 1 j = 2 j = 3

X

0 20 40 60 80 100

0 1 2 3 4

T°C T°C

j T°C

i = 3 i = 1

(28)

PDE Parabolik

Penyelesaian PDE Parabolik

FDA Skema Eksplisit

FDA Skema Implisit

FDA Skema Crank-Nicolson

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

(29)

PDE Parabolik

29

panas dingin

Batang logam pipih-panjang dibungkus isolator panas, kecuali di kedua ujung batang yang diberi panas dengan temperatur berbeda, panas dan dingin.

X

q  Heat balance di dalam batang A

( )

x A t q

(

x x

)

A t xA C T q Δ − +Δ Δ = Δ ρ Δ

input output storage

( )

(

)

t T C x

x x

q x q

Δ Δ ρ

=

Δ

+

−

q  limit persamaan tsb untuk ∆x, ∆t à 0

t T C x

q

∂ ∂ ρ

=

∂ ∂ −

(30)

PDE Parabolik

30

panas dingin

Batang logam pipih-panjang dibungkus isolator panas, kecuali di kedua ujung batang yang diberi panas dengan temperatur berbeda, panas dan dingin.

X

q  Hukum Fourier untuk konduksi panas A

2 2

x T k t T

∂ ∂

=

∂ ∂

x T C k q

∂ ∂ ρ −

=

q  Persamaan heat balance menjadi

Persamaan konduksi panas

q  Persamaan di atas merupakan persamaan

difusi

q  transpor polutan

(31)

FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit

31

2 2

x

T

k

t

T

∂

=

∂

q 

Temperatur batang merupakan fungsi waktu dan ruang

q  terhadap waktu, T berupa suku derivatif pertama

q  terhadap ruang, T berupa suku derivatif kedua

q 

Langkah hitungan pada FDA

q  T pada waktu t+∆t dihitung berdasarkan T pada waktu t

q  T pada waktu t sudah diketahui dari nilai/syarat awal (initial

condition) atau dari hasil hitungan langkah sebelumnya

q  saat menghitung T di suatu titik pada suku derivatif ruang, T

yang mana yang dipakai?

(32)

FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit

32

k konstan di sepanjang batang dan di sepanjang waktu

Skema Eksplisit

Skema Implisit

(33)

FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit

33

(34)

FDA: Skema Eksplisit

34

t

X n

n+1

8 2

(

n n

)

i n

i _x T T Ti

t k T

T 1 ₂ ⎟ ₁−2 + ₊₁

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

Δ Δ

+

= ₋

+ Skema Eksplisit

10 6

0 4 x (cm)

q 

Konduksi panas di sebuah batang aluminium

pipih panjang

q  panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm

q  time step, ∆t = 0.1 s

q  koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s

q  syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan

T(x=20,t) = 50°C

q  nilai awal: T(x,t=0) = 0°C

2 2

x T k t T

∂ ∂

=

∂ ∂

100°C

T

=

5

0

°C

4

1 3 5

(35)

FDA: Skema Eksplisit

35

iterasi waktu (s) temperatur (°C) di titik hitung

n t T0 T1 T2 T3 T4 T5

0 0 100 0 0 0 0 50

1 0.1 100 2.0875 0 0 1.0438 50

2 0.2 100 4.0878 0.0436 0.0218 2.0439 50

3 0.3 100 6.0056 0.1275 0.0645 3.0028 50

4 0.4 100 7.8450 0.2489 0.1271 3.9225 50

5 0.5 100 9.6102 0.4050 0.2089 4.8052 50

(

2

)

1,2,3,4

1 1

2 1

= +

− ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

Δ Δ

+ =

−

+ +

i T

T T

x t k T

T_in _in _in _in _in

(36)

FDA: Skema Eksplisit

36

0 20 40 60 80 100 120

0 2 4 6 8 10

Temperatur (°C)

Jarak (cm)

t = 3 s

t = 12 s

t = 9 s

(37)

FDA: Skema Eksplisit

37

q 

Konvergensi dan stabilitas hitungan

q  Konvergensi berarti bahwa jika ∆x dan ∆t mendekati nol, maka penyelesaian FDA mendekati penyelesaian eksak.

q  Stabilitas berarti bahwa kesalahan hitungan di setiap tahap hitungan tidak mengalami amplifikasi, tetapi mengecil seiring dengan berjalannya hitungan.

q 

Skema eksplisit konvergen dan stabil jika:

2 1 2 ≤

Δ Δ

x t k

k x t

2

2 1 Δ ≤ Δ

≤ ½_{dapat terjadi oskilasi kesalahan}

hitungan

≤ ¼_{tidak terjadi oskilasi kesalahan}

hitungan

= 1/6 meminimumkan truncation error

2

x t k

(38)

FDA: Skema Eksplisit

38

q 

Konvergensi dan stabilitas hitungan

q  untuk mendapatkan akurasi hasil hitungan, dibutuhkan ∆x kecil, namun

q  konsekuensi ∆x kecil adalah ∆t pun harus kecil untuk menjamin konvergensi dan kestabilan hitungan

q  jika ∆x dikalikan faktor ½, maka ∆t perlu dikalikan faktor ¼ untuk mempertahankan konvergensi dan kestabilan hitungan

q  skema eksplisit menjadi mahal, dalam arti beban hitungan bertambah besar

2 1 2 ≤

Δ Δ

(39)

FDA: Skema Eksplisit

39

t

X n

n+1

8 2

Skema Eksplisit

10 6

0 4

x (cm)

q 

Konduksi panas di sebuah batang aluminium

pipih panjang

T(x=20,t) = 50°C

2 2

x T k t T

∂ ∂

=

∂ ∂

100°C

T

=

5

0

°C

Hitung dengan skema eksplisit:

2 1

2 >

Δ Δ

x t k

(40)

FDA: Skema Implisit

40

Skema Implisit

10 6

0 4 x (cm)

q 

Konduksi panas di sebuah batang aluminium

pipih panjang

(41)

FDA: Skema Implisit

41

020875 .

0 04175

. 1 020875

. 0 :

4 node

020875 .

0 04175

. 1 020875

. 0 :

3 node

020875 .

0 04175

. 1 020875

. 0 :

2 node

020875 .

0 020875

. 0 04175

. 1 :

1 node

T 020875

(42)

FDA: Skema Implisit

42

04375 .

1 0 0 0875 .

2

04175 .

1 020875

. 0 0

0

020875 .

0 04175

. 1 020875

. 0 0

0 020875

. 0 04175

. 1 020875 .

0

0 0

020875 .

0 04175

.

q  Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns

matriks tridiagonal

q  Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan bantuan

program komputer.

(43)

FDA: Skema Implisit

43

04375 .

1 0 0 0875 .

2

04175 .

1 020875

. 0 0

0

020875 .

0 04175

. 1 020875

. 0 0

0 020875

. 0 04175

. 1 020875 .

0

0 0

020875 .

0 04175

.

q  Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan dengan bantuan spreadsheet MSExcel

[A] {T} {RHS}

{T} = [A]−1_{RHS}

(44)

FDA: Skema Implisit

44

0023 .

1

0209 .

0

0406 .

0

0047 .

2

04375 .

1 0 0 0875 .

2

960309 .

0 0192508 .

0 0003859 .

0 0

0192508 .

0 960309 .

0 0192508 .

0 0003859 .

0

0003859 .

0 0192508 .

0 960309 .

0 0192508 .

0

0 0003859

. 0 0192508 .

0 960309 .

q  Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel adalah:

[A]−1

(45)

FDA: Skema Implisit

45

0461 .

2

0209 .

0

0406 .

0

1750 .

4

020875 .

0

020875 .

0

RHS

5

q  Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah

q  Matriks di sebelah kanan tanda “=“ berubah dan merupakan fungsi T pada saat n=1

⎪

9653 .

1

0619 .

0

1206 .

0

0101 .

4

0461 .

2

0209 .

0

0406 .

0

1750 .

4

960309 .

0 0192508 .

0 0003859 .

0 0

0192508 .

0 960309 .

0 0192508 .

0 0003859 .

0

0003859 .

0 0192508 .

0 960309 .

0 0192508 .

0

0 0003859

. 0 0192508 .

(46)

FDA: Skema Implisit

46

Konduksi atau perambatan panas hasil hitungan

dengan skema implisit tampak lebih cepat daripada hasil hitungan

dengan skema eksplisit (pada

t = 3 s).

0 20 40 60 80 100 120

0 2 4 6 8 10

Temp

er

a

tu

r

(°

C)

Jarak (cm)

t = 3 s

implisit

(47)

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit

q  Persamaan dan teknik

penyelesaiannya straight-forward, penyelesaian dilakukan node per

node

q  Rentan terhadap konvergensi dan

stabilitas hitungan

q  Time step terkendala oleh

konvergensi dan stabilitas hitungan

q  Persamaan dan teknik penyelesaian

lebih “rumit”, penyelesaian dilakukan secara simultan untuk seluruh node

q  Konvergensi dan stabilitas hitungan

lebih mudah dijaga

q  Time step tidak terkendala oleh

konvergensi dan stabilitas hitungan 47

(48)

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit

48

t

X

Skema Eksplisit

1) Saat menghitung T di i, hanya titik-titik hitung (nodes) di dalam segitiga ini yang berpengaruh dalam hitungan. 2) Saat menghitung T di i, titik-titik hitung

(nodes) di kedua zona ini tidak

diperhitungkan, padahal secara fisik, justru node-node di sini berpengaruh thd T di titik i.

(49)

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit

49

2 2

x

T

k

t

T

∂

=

∂

2

1 1

1 1 1

1

2 x

T

k

t

T

in n

n i n

i n

i i

Δ

+

−

=

Δ

−

++ + +

+

−

Skema Implisit

1st order accurate 2nd order accurate

1) Skema implisit menjamin konvergensi dan stabilitas hitungan, namun aproximasi suku derivatif waktu dan suku derivatif ruang memiliki akurasi berbeda.

(50)

FDA: Metode Crank-Nicolson

50

Skema Crank-Nicolson

n+½

q  Aproksimasi suku derivatif waktu ditempatkan

pada waktu n+½

q  Aproksimasi suku derivatif ruang pada waktu n

+½_{dianggap sbg nilai rata-rata derivatif pada}

(51)

FDA: Metode Crank-Nicolson

51

Skema Crank-Nicolson

n+½

q  Bentuk beda hingga persamaan parabola dengan

demikian dapat dituliskan sbb.

(52)

FDA: Skema Crank-Nicolson

52

t

X n

n+1

8

2 6 10

0 4 x (cm)

q 

Konduksi panas di sebuah batang aluminium

pipih panjang

T(x=20,t) = 50°C

2 2

x T k t T

∂ ∂

=

∂ ∂

100°C

T

=

5

0

°C

4

1 3 5

0 2 i

(53)

FDA: Skema Crank-Nicolson

53

q  Hitungan pada saat n+1=1 atau t+∆t = 0.1 s:

0875 .

2 04175

. 2 020875

. 0 :

4 node

0 020875

. 0 04175

. 2 020875

. 0 :

3 node

0 020875

. 0 04175

. 2 020875

. 0 :

2 node

1750 .

4 020875

. 0 04175

. 2 :

1 node

1

(54)

FDA: Skema Implisit

54

0875 .

2 0 0 1750 .

4

04175 .

2 020875

. 0 0

0

020875 .

0 04175

. 2 020875

. 0 0

0 020875

. 0 04175

. 2 020875

. 0

0 0

020875 .

0 04175

.

q  Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns

matriks tridiagonal

q  Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan bantuan

program komputer.

(55)

FDA: Skema Implisit

55

q  Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan dengan bantuan

spreadsheet MSExcel

[A] {T} {RHS}

{T} = [A]−1_{RHS}

Gunakan fungsi =MINVERSE(…) dan =MMULT(…) dalam MSExcel

⎪

0875 .

2 0 0 1750 .

4

04175 .

2 020875

. 0 0

0

020875 .

0 04175

. 2 020875

. 0 0

0 020875

. 0 04175

. 2 020875

. 0

0 0

020875 .

0 04175

(56)

FDA: Skema Implisit

56

0225 .

1

0107 .

0

0210 .

0

0450 .

2

0875 .

2 0 0 0450 .

4

4898271 .

0 0050086 .

0 0000512 .

0 0

0050086 .

0 4898271 .

0 0050086 .

0 0000512 .

0

0000512 .

0 0050086 .

0 4898271 .

0 0050086 .

0

0 0000512

. 0 0050086 .

0 4898271 .

q  Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel adalah:

[A]−1

(57)

FDA: Skema Crank-Nicolson

57

0901 .

4

0427 .

0

0841 .

0

1797 .

8

RHS

q  Hitungan pada saat n+1=2 atau t+∆t = 0.2 s:

q  Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah

q  Matriks di sebelah kanan tanda “=“ berubah dan merupakan fungsi T pada saat n=1

⎪

0036 .

2

0422 .

0

0826 .

0

0071 .

4

0901 .

4

0427 .

0

0841 .

0

1797 .

8

4898271 .

0 0050086 .

0 0000512 .

0 0

0050086 .

0 4898271 .

0 0050086 .

0 0000512 .

0

0000512 .

0 0050086 .

0 4898271 .

0 0050086 .

0

0 0000512

. 0 0050086 .

(58)

FDA: Skema Crank-Nicolson

58

Konduksi atau perambatan panas hasil hitungan

dengan skema Crank-Nicolson tampak mirip dengan hasil hitungan

dengan skema eksplisit (pada

t = 3 s).

0 20 40 60 80 100 120

0 2 4 6 8 10

Temp

er

a

tu

r

(°

C)

Jarak (cm)

t = 3 s

implisit

Crank-Nicolson

(59)

FDA: Skema Crank-Nicolson

59

2 2

x T k t T

∂ ∂

=

∂ ∂

(

)

_⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

Δ

+

− φ

−

+

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

Δ

+

− φ

=

Δ

− ₊+ + ₋+ ₊ ₋

+

2

1 1

2

1 1 1

2 1

2

x T T T

k x

T T

T k t

T

T_in _in _in _in _in _in _in _in

q 

Skema FDA

q  φ = 0 : skema eksplisit q  φ = 1 : skema implisit

(60)

FDA Persamaan Parabolik

60

q 

Bentuk umum FDA persamaan diferensial parsial parabolik

(61)

FDA: Persamaan Parabolik

61

t

X n

n+1

8

2 6 10

0 4 x (cm)

q 

Konduksi panas di sebuah batang aluminium

pipih panjang

q  panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 1 cm (!!)

T(x=20,t) = 50°C

100°C

T

=

5

0

°C

8

2 6 10

0 4 i

q 

Hitung sampai steady-state condition

q  Skema eksplisit

q  Skema implisit

q  Skema Crank-Nicolson

PR/ Tugas 1

2 2

x T k t T

∂ ∂

=

∂ ∂

5 7 9 3

(62)