DISUSUN OLEH:
Kelompok : IV (Empat)
Anggota
: 1. Epita Oktafianti
(2011.121.004)
2. Dila Ariska
(2011.121.016)
3.Widayanti Rukmana
(2011.121.017)
4. Setilawati
(2011.121.027)
5. Evi Susanti
(2011.121.034)
6. Ahmad Gunardi
(2011.121.039)
Kelas
: 3.A
Dosen
: Ana Marnida, S.Pd, M.Si
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat, petunjuk, serta bimbingan-Nya kami dapat menyelesaikan makalah mata kuliah Statistik Matematika 1. Makalah ini kami susun berdasarkan tugas mata kuliah Statistik Matematika 1. Dengan adanya makalah ini, kami mengharapkan agar dapat membantu kami dalam proses belajar mengajar, dan juga dapat digunakan oleh kalangan lain khususnya mahasiswa Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan dengan program studi pendidikan Matematika.
Dengan berbagai sumber baik dari buku, literatur dan berbagai sumber lainnya, diharapkan makalah ini dapat dijadikan tambahan referensi untuk meningkatkan mutu pendidikan secara optimal.
Sungguh kami menyadari makalah ini masih sangat jauh dari kata sempurna, maka dari itu kami akan sangat berlapang dada dan berbesar hati apabila dosen pengajar Statistik Matematika 1 ibu Ana Marnida, S.Pd, M.Si berkenan memberikan kritik dan saran perbaikan guna menyempurnakan makalah ini.
Palembang, September 2012
DAFTAR ISI
2.3 Himpunan Semesta/Semesta Pembicaraan ... 3
2.4 Himpunan Bagian ... 4
4.2.1 Himpunan yang merupakan himpunan bagian dari yang lain ... 9
4.2.2 Kedua Himpunan Sama ... 10
4.2.3 Kedua Himpunan Tidak Saling Lepas ... 11
4.3 Menentukan banyaknya anggota dari Gabungan Dua Himpunan ... 12
4.4 Selisih Dua Himpunan / Lebih ... 13
4.5 Penjumlahan Dua Himpunan / Lebih ... 14
5. Sifat-Sifat Operasi Himpunan ... 15
5.1 Sifat – Sifat Operasi Irisan dan Gabungan Himpunan ... 15
5.1.2 Sifat Asosiatif Irisan dan Gabungan ... 16
5.1.3 Sifat Idempotent ... 17
5.1.4 Sifat Identitas ... 18
5.1.5 Sifat Komplemen ... 18
5.1.6 Sifat Distributif ... 19
5.1.7 Sifat Penyerapan ... 19
5.1.8 Hukum De’ Morgan ... 19
5.2 Pembuktian Teorema Himpunan ... ` 20
6. Hubungan Antar Himpunan ... 21
PENUTUP ... 22
Kesimpulan ... 22
Saran ... 22
LATIHAN SOAL ... 23
1. Pengertian Himpunan
1.1 Pengantar Himpunan
Seringkah kalian berbelanja di swalayan atau di warung dekat rumahmu? Coba kalian perhatikan barang-barang yang dijual, barang-barang yang dijual biasanya dihimpun sesuai dengan jenisnya. Penghimpunan jenis barang dapat memudahkan pembeli dalam memilih barang yang mereka butuhkan. Jadi, tahukan kalian apa definisi himpunan dan kegunaan himpunan? Untuk lebih jelasnya kita saksikan bersama ulasan berikut ini!
1.2 Definisi Himpunan
Himpunanadalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
Contoh 1. himpunan dari mobil ambulance
1.3 Notasi Dan Anggota Himpunan
Notasi dari suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, D,...,Z
Benda atau objek yang termasuk di dalam himpunan. ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}
1.4 Menyatakan Suatu Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut: a. Dengan kata-kata
Dengan cara menyebutkkan semua syarat/sifat keanggotaannya. contoh 2 :
P ={ himpunan bilangan prima antara 10 dan 40} Ditulis : P = {bilangan prima antara 10 dan 40} b. Dengan notasi pembentuk himpunan
Pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya. Namun anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah.
contoh 3 :
Diketahui : P ={ himpunan bilangan prima antara 10 dan 40} Ditulis: P = {10 < x < 40, x∈ bilangan prima}
c. Dengan mendaftarkan anggota-anggotanya
Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
contoh 4:
2.
Jenis-Jenis Himpunan
2.1 Himpunan Kosong
Himpunan kosongadalah himpunan yang tidak mempunyai anggota dan dinotasikan dengan {} atau φ
contoh 5 :
Diketahui : Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buah sisi. Ditanya : maka anggota p tidak ada atau kosong?
Jawab : Himpunan P disebut himpunan kosong (tidak mempunyai anggota) karena jumlah sisi persegi adalah empat
2.2 Himpunan Nol
Himpunan Nol adalah himpunan yang hanya mempunyai 1 anggota, yaitu
nol (0). contoh 6 :
Diketahui : Jika R = {x | x< 1, x∈ C}
Ditanya : Tentukan R = {0} atau n (R) = 1?
Jawab : Himpunan R disebut himpunan nol. Anggota himpunan R adalah 0. Jadi, himpunan R bukan merupakan himpunan kosong.
2.3 Himpunan Semesta atau Semesta Pembicaraan (s)
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan.
Contoh 7 :
Jawab : Himpunan P adalah himpunan S = {buah-buahan}. Maka S adalah himpunan semesta P atau S memuat semua anggota himpunan P.
2.4 Himpunan Bagian
Himpunan Bagian adalah 2 buah himpunan atau lebih yang setiap anggota himpunan terdapat di di semua himpunan.
Contoh 8:
Diketahui : Himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {1,2,3,4,5,}
Ditanya : Tentukan himpunan bagian?
Jawab : Maka dapat disimpulkan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian B ( A⊂ B)
2.5 Himpunan Berhingga
Himpunan Berhinggaadalah anggotadalamhimpunannya berhingga atau terbatas. Contoh 9:
Diketahui : L himpunanbilanganaslikurangdari 5. Ditanya : Tentukan penulisan himpunannya? Jawab : L = { 1,2,3,4}
2.6 Himpunan Tak Hingga
Himpunan Tak Hinggaadalah anggotadalamhimpunantakterhinggaatauterbatas. Contoh10 :
Diketahui : L himpunanbilanganasli.
Ditanya : Tentukan penulisan himpunannya? Jawab : L = { 1,2,3,4,5,...}
Himpunan Kuasaadalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagiian dari A, termasuk himpunan kosong dari A itu sendiri. Notasinya P(A) atau 2A.
Himpunan Ekuivalenadalah Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasinya A ~ B <—> n(A) = n(B)
Diagram Vennadalah diagram yang digunakan untuk menunjukkan hubungan antara dua himpunan atau lebih dalam himpunan semesta tertentu.
Langkah-langkah membuat diagram Venn:
a. Himpunan semesta (U) digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan notasi U ditulis pada pojok kiri atas
b. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta digambarkan dengan kurva tertutup dan nama himpunannya ditulis di dekat kurva tersebut
d. Himpunan yang mempunyai anggota sangat banyak, tidak menggunakan noktah. Bentuk-Bentuk diagram Venn:
1. Himpunan Semesta (U)
2. Himpunan A ⊂ U
3. Himpunan A ⊂ U, B ⊂ A, B ⊂ U
4. Himpunan A = B
4. Operasi Himpunan
4.1 Irisan Dari Dua Himpunan
Airisan B dinotasikan A B
Definisi : A B = {{{{x|||| x ∈∈∈∈ A dan x∈∈∈∈ B}}}}
Dalam diagram Venn, A B digambarkansebagaidaerah yangdiarsirberikutini
Jadi A Badalahhimpunandarisemuaelemen yang sekaligusterkandungdalam A danB .
Contoh 13:
Diketahui : A = { 1, 2, 3, 4 }, B = {2, 4, 6, 8 }, dan C = { 3, 4, 5, 6}.
Ditanya :Tentukan : a. A B = ………? b. A C = ……….? c. B C = ………..? d. A B C = ………. ? Jawab: a. A B = {2, 4 }
b. A C = {3, 4 } c. B C = {4, 6 }
d. (A B) C ={4} = A (B C) Dalam diagram Venn :
4.2 Gabungan Dari Dua Himpunan
A gabungan B dinotasikanA∪ B
Definisi :A ∩ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
Dalam diagram Venn, A ∪ B kitagambarkansebagaidaerah yang diarsirberikutini.
C
A
. 6
B
. 2 . 8
. 1
A B U
4.2.1 Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari yang lain
Jika A ⊂ B maka A ∪ B = B
Dalam diagram Venn :
Contoh14 :
Diketahui :A = {1, 3, 4, 5 } B = { 1, 5 }
Ditanya: a. Tentukan A ∪ B = ……… ?
B
U
b. Gambarkan diagram Venn = ………… ? Jawab :
a. A ∪ B = {1, 3, 4, 5}
b. Gambar diagram Venn :
4.2.2 Kedua himpunan sama
Jika A = B maka A ∪ B = A = B
Contoh15 :
Diketahui: A = { 1, 2, 3 }, B = {1, 2, 3 }
Ditanya : a. Tentukan A ∪ B = …………. ?
b .Diagram Venn = ……….?
Jawab :a. A ∪ B = {1, 2, 3 }
b. Diagram Venn :
4.2.3 Kedua Himpunan Tidak saling Lepas (Berpotongan)
Jika A ≠ B maka A ∪ B
Contoh 16:
Diketahui : A = {4, 5, 8, 9 }, B = { 1, 2, 3, 4 }
Ditanya :Tentukan A ∪ B = ……… ?
Jawab :
a. A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 8, 9 }
A = B
. 1
. 2 . 3 U
Atau
A B
U
4.3 MenentukanBanyaknyaAnggota Dari GabunganDuaHimpunan
Rumus : n ( A ∪∪∪∪ B ) = n (A) + n (B) – n (A ∩∩∩∩ B)
keterangan :
n = banyaknyaanggotahampunan Contoh17 :
Diketahui :K = { 5, 8, 9, 10 }, L = {1, 2, 5, 8, 9 }
Ditanya : a. Tentukananggota K ∩ L = …………. ? b. Tentukananggota K∪ L = …………. ? c. n (K ∪L ) = ……… ?
Jawab :
a. K ∩ L = { 5, 8, 9 } n (K ∩L) = 3
b. (K ∪L ) = {1, 2, 5, 8, 9, 10 } n ( A ∪ B ) = 6 c. n( K ) = 4, n ( L ) = 5 , n (K ∩L) = 3
Sehinggadiperoleh :
n( K ∪L ) = n (K) + n (L) – n (K ∩L) 6 = 4 + 5 – 3
6 = 6 ( Terbukti )
4.4 Selisih (Difference) Dua Himpunan atau Lebih
Misalkan A dan B duahimpunan.Selisih A dan B, ditulis A – B. Definisi : A – B = {x| x ∈ A, x ∉ B}
Dalam diagram Venn berikut, A – B digambarkansebagaidaerah yang diarsir :
Contoh 18 :
Diketahui :A = {1, 2, 3, 4 }, B= { 2, 4, 6, 8}, dan C = { 3, 4, 5, 6 }.
Ditanya: Tentukan : a. A – B = ………… ? b. A – C = ………… ? c. B – C = ……….. ?
Jawab:
a. A – B = {1, 3}, B – A = {6, 8 } b. A – C = { 1, 2 }, C – A = { 5, 6 } c. B – C = {2, 6 }, C – B = { 3, 5 } Catatan :
( i ) (A – B) ⊂ A dan (B – A) ⊂ B
( ii ) Himpunan- himpunan (A – B), A B, dan (B – A) ( iii ) salinglepassatusama lain.
Notasi penjumlahan 2 himpunan:
(A + B) = {{{{X |||| X ∈∈∈∈ A atau X ∈∈∈∈ B dan X ∉∉∉∉ (A ∩∩∩∩ B}}}}
Notasi penjumlahan 3 himpunan:
(A + B + C)={{{{X |||| X ∈∈∈∈ A atau X ∈∈∈∈ B atau X ∈∈∈∈ C dan X∉∉∉∉(A ∩∩∩∩ B ∩∩∩∩ C}}}}
Contoh 19:
Diketahui: A={1,2,3,4,5,6,7} B={1,3,5,7,9,11,13} Ditanya : a. A + B=...?
b. diagram Venn? Jawab:
a. A+B={2,4,6,9,11,13} b. Diagram Venn
Contoh 20:
Jawab:
(A+B)+C = {a,g}+{a,b,c,d} ={b,d,c,d,g}
5. Sifat – Sifat Operasi Himpunan
5.1 Sifat - Sifat-Sifat Operasi Irisan dan GabunganHimpunan
5.1.1 Sifat Komutatif Irisan dan Gabungan
Sifat Komutatifadalah sifat yang menunjukkan bahwa pada operasi himpunan berlaku sifat pertukaran
untuk Irisan : A ∩∩∩∩ B = B ∩∩∩∩ A
contoh 21:
Diketahui: jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 4, 5} Ditanya: Buktikan bahwa A ∩∩∩∩ B = B ∩∩∩∩ A!
Jawab: maka A ∩ B = {2, 3, 4} dan B ∩ A = {2, 3, 4} untuk Gabungan : A ∪∪∪∪ B = B ∪∪∪∪ A
contoh 22:
Diketahui: jika A = {apel, pisang, jambu} dan B = {mangga, jeruk} Ditanya: Buktikan bahwa A ∪∪∪∪ B = B ∪∪∪∪ A!
Jawab: maka A ∪ B = {apel, pisang, jambu, mangga, jeruk} dan B ∪ A = {apel, pisang, jambu, mangga, jeruk}
Sifat Asosiatifadalah sifat yang menunjukkan bahwa pada operasi himpunan berlaku sifat pengelompokkan.
untuk Irisan : (A ∩∩∩∩ B) ∩∩∩∩ C = A ∩∩∩∩ (B ∩∩∩∩ C)
Contoh 23:
Diketahui: jika A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5} C = {4, 5, 6}
Ditanya: Tunjukkan bahwa himpunan A, B, C memiliki sifat asosiatif! Jawab: maka (A ∩ B) ∩ C = {3, 4}∩{4, 5, 6}
Ditanya: Tunjukkan bahwa himpunan A, B, C memiliki sifat asosiatif! Jawab: maka (A ∪ B) ∪ C = {g, i, p, r, s, t}∪{q, r, s, t}
Untuk Idempotent Irisan :A ∩ A = A Untuk Idempotent Gabungan: A ∪ A = A Contoh 25 :
Diketahui: B = {apel, anggur, strawberry, mangga} Ditanya : Tentukan B ∩ B dan B ∪ B =....?
Jawab: B ∩ B = {apel, anggur, strawberry, mangga}∩{apel, anggur, strawberry, mangga}
= {apel, anggur, strawberry, mangga}
B ∪ B = {apel, anggur, strawberry, mangga}∪{apel, anggur, strawberry, mangga}
= {apel, anggur, strawberry, mangga}
= {a, e, i, u, o}
5.1.5 Sifat Komplement
Sifat komplementadalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan anggota himpunan tersebut.
Rumusnya: 1. A ∩ AC = ∅ 2. A ∪ AC = S 3. (AC)C = A Contoh 27 :
Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A = {x | 1 ≤ x ≤ 10 , x ∈ ganjil} Ditanya : Tentukan: a. A ∩ AC !
b. A ∪ AC ! c. (AC)C ! Jawab:
a. A ∩ AC = {1, 3, 5, 7, 9}∩{2, 4, 6, 8, 10, 11, 12} = {}
b. A ∪ AC = {1, 3, 5, 7, 9}∪{2, 4, 6, 8, 10, 11, 12} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} c. (AC)C = ({2, 4, 6, 8, 10, 11, 12}) C
= {1, 3, 5, 7, 9}
Sifat distributifadalah sifat yang menyatakan bahwa 2 atau lebih himpunan dapat menggunakan sifat penyebaran.
Rumusnya :Untuk Irisan : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Untuk Gabungan: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
5.1.7 Sifat Penyerapan
Rumusnya: Untuk Irisan : A ∩ (A ∪ B) = A Untuk Gabungan : A ∪ (A ∩ B) = A
5.1.8 Hukum De’ Morgan
Hukum De’ Morganadalah dalil yang berhubungan dengan komplement suatu himpunan.
Rumusnya: Untuk Irisan : (A ∩ B)C = AC∪ BC Untuk gabungan: (A ∪ B)C = AC∩ BC Contoh 28:
Diketahui : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A ={x | 1 ≤ x ≤ 10 , x ∈ ganjil}
B = {1, 4, 9}
Ditanya : Tentukan : a. AC =...? b. BC =...? c. (A ∪ B)C =...? Jawab :
c. (A ∪ B)C = AC ∩ BC
= {2, 4, 6, 8, 10, 11, 12}∩{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12} = {2, 6, 8, 10, 11, 12}
5.2 Pembuktian Teorema Himpunan
Bukti teorema A ∪ B = B ∪ A
Pilih sebarang elemen x. Kemudian menurut definisi himpunan gabungan A ∪ B = x ∈ (A ∪ B ) = x ∈ A V x ∈ B
x ∈ A V x ∈ B ... Menurut definisi komutatif x ∈ B V x ∈ A
x ∈ B ∪ A ... Menurut definisi dari himpunan gabungan.
Akibatnya setiap elemen merupakan anggota A ∪ B dan juga B ∪ A Sehingga A ∪ B = B ∪ A
6. Hubungan Antar Himpunan
Terdapat 4 hubungan antar himpunan yaitu:
1. Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A
2. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.
3. Dua himpunan dikatakan sama, apabila kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.
BAB III
PENUTUP
1. Kesimpulan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan
dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
Terdapat 8 jenis-jenis himpunan yaitu: himpunan kosong, himpunan nol, himpunan semesta, himpunan bagian, himpunan berhingga, himpunan tak hingga, himpunan kuasa, dan himpunan ekuivalen
Terdapat 8 sifat – sifat operasi himpunan yaitu: sifat komutatif, sifat asosiatif, sifat idempotent, sifat identitas, sifat komplement, sifat distributif, sifat penyerapan, Hukum De’ Morgan.
2. Saran
LATIHAN SOAL
1. Diantara 50 mahasiswa di sebuahkelas, 26 memperolehnilaiAdariujianpertamadan
21 memperolehnilai A dariujiankedua. Jika 17
mahasiswatidakmemperolehnilaiApadaujianpertamadankedua,
berapabanyakmahasiswa yang memperoleh 2 kali nilai A darikeduaujianitu.
2. Jikabanyaknyamahasiswamemperoleh A
dariujianpertamasamadenganbanyaknyamahasiswa yang memperoleh A dariujiankedua, Jikabanyaknyamahasiswa yang memperolehsatunilai A darikeduaujianituadalah 40, danjikabanyaknyamahasiswa yang tidakmemperolehsatupunnilai A darikeduaujianitu, tentukanbanyaknyamahasiswa yang memperoleh A dariujianpertamasaja, dan yang memperoleh A baikdariujianpertamadankedua.
3. Setelah dilakukan pencatatan terhadap 35 orang warga di suatu kampung diperoleh hasil sebagai berikut.
18 orang suka minum teh 14 orang suka minum kopi 14 orang suka minum susu 8 orang suka minum teh dan kopi 7 orang suka minum teh dan susu 5 orang suka minum kopi dan teh 3 orang suka minum ketiganya
a. buatlah diagram Venn dari keterangan diatas
b. tentukan banyaknya warga yang gemar minum teh, gemar minum susu, gemar minum kopi dan tidak gemar ketiga-tiganya
4. Diketahui A= {1,2,3,4} , B= {2,4,6,8}, dan C = {3, 4, 5, 6}. Dengan mendaftarkan anggota-anggotanya, tentukan:
b. A ∪ C c. A ∩ B ∩ C d. A ∩ (B ∪ C)C e. AC∪ (B ∩ C)
5. Dari 50 siswa di suatu kelas diketahui 25 siswa gemar matematika, 20 siswa gemar fisika, dan 7 siswa gemar kedua-duanya. Tentukan banyaknya siswa yang tidak gemar matematika dan fisika?
6. Pada sebuah kelas yang terdiri atas 46 siswa dilakukan pendataan pilihan ekstrakurikuler. Hasil sementara diperoleh 19 siswa memilih KIR, 23 siswa memilih PMR, dan 16 siswa belum menentukan pilihan. Tentukan banyaknya siswa yang hanya memilih PMR saja dan KIR saja.
7. Syarat lulus bagi peserta ujian adalah nilai Bahasa Inggris dan Matematika harus lebih dari 4,5. Dari 50 siswa peserta ujian terdapat 15 siswa yang nilai Bahasa Inggrisnya kurang dari 4,5. Dan terdapat 20 siswa yang mendapatkan nilai Matematika dan Bahasa Inggrisnya lebih dari 4,5. Jika banyaknya siswa yang tidak lulus ada 8 orang, tentukan:
a. Berapa siswa yang nilai matematikanya kurang dari 4,5?
b. Berapa siswa yang nilai matematikanya saja kurang dari 4,5 dan nilai bahasa inggrisnya lebih dari 4,5?
c. Berapa siswa yang nilai bahasa inggrisnya saja kurang dari 4,5 dan nilai matematikanya lebih dari 4,5?
d. Berapa siswa yang nilai matematikanya lebih dari 4,5? e. Berapa siswa yang nilai bahasa inggrisnya lebih dari 4,5? f. Buatlah diagram Vennnya!
9. Penderita demam berdarah maupun muntaber yang dirawat di rumah sakit sebanyak 86 orang, 35 orang menderita demam berdarah, dan 15 orang menderita demam berdarah juga muntaber. Banyak penderita yang hanya menderita muntaber adalah . . .
DAFTAR PUSTAKA
Nuharani, Dewi, Dkk. 2008.MatematikaKonsep. Jakarta: PusatPerbukuanDepartemenPendidikanNasional
Tim Kreatif Putra Nugraha. 2011. ZamrudMatematika. Surakarta
Drs. A. Kurman, Fatkul, M.Sidkk. 1999. Rumus-RumusMatematika 2 Lengkap. Surabaya: Apollo
Setiadji. 2009. HimpunandanLogika Samar Serta Aplikasinya. Yogyakarta: GrahaIlmu
Yudawan, Aji Geri, SE. 2010. RumusJituMatematika SMA. Jakarta Selatan: Rumah Ide
