LAMPIRAN III
BAHAN AJAR
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA
Pernahkan kamu melempar sebuah bola tenis atau bola voli ke atas? Apa lintasan yang terbuat dari lemparan bola tersebut ketika bola itu jatuh ke tanah. Tentunya lintasan bola tersebut membentuk sebuah kurva atau parabola. Dan ketika bola tersebut dilemparkan ada bola yang menyinggung net atau tiang net. Atau ketika kamu melempar bola tersebut bola itu menyinggung kabel listrik atau menyinggung benda lain. Net, dan kabel tersebutlah yang dinamakan garis singgung. Net atau kabel listrik tersebut menyinggung lintasan bola yang berbentuk kurva tersebut dan dinamakan garis singgung kurva. Atau ketika bermain badminton bola tersebut di lempar ke lawan main dan menyinggung raket lawan. Raket itu lah yang di namakan garis singgung.
Perhatikan gambar di bawah ini
y 𝑦= 𝑓(𝑥)
𝑦2 𝐵 (𝑥2,𝑦2) S 𝑦1 𝐴(𝑥1,𝑦1)
𝑥1 𝑥2 x
Pada gambar seorang anak melemparbola di pantulkan keatas dan membentuk kurva 𝑓(𝑥), kemudian lintasan bola tersebut menyinggung sebuah tonggak listrik yang putus yang dinamakan dengan garis S. garis S itu lah yang dinamakan garis singgung.
Berdasarkan gambar di atas persamaan garis singgung pada kurva 𝑦= 𝑓(𝑥) di titik 𝐴(𝑥1,𝑥2) adalah 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Keterangan:
y = ordinat (posisi anak itu) x = absis (tanah)
y1 = titik singgung kurva 𝑦 =𝑓(𝑥) dengan garis singgung AB pada
koordinat y (titik singgung kabel listrik pada ordinat 𝑦= 𝑦1) x1 = titik sinngung kurva 𝑦 =𝑓(𝑥) dengan garis AB pada absis x (titik
Contoh 1 :
Diketahui kurva 𝑦 = 𝑥2 – 3𝑥 + 4 menyinggung sebuah garis di titik A (3,4) . Carilah Persamaan garis singgung di titik A!
Jawab: Diketahui:
𝑦 = 𝑥2 – 3𝑥 + 4 Titik singgung : 3,4
Ditanya : persamaan garis singgung kurva? Langkah-langkah:
Kurva 𝑦 = 𝑥2– 3𝑥 + 4
Untuk mencari persamaan garis singing terlebih dulu mencari gradient garis singgung di titik A:
𝑦’ = 2𝑥– 3
Gradien di titik A (3,4)
𝑚 = 𝑦′(𝑥=3) = 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3 Penyelesaian:
Persamaan garis singgung di titik A (3,4)
Penyelesaian: sehingga diperoleh:
−1
2−𝑎 =−1 𝑥= 𝑎
2− 𝑎 = 1 dikuadratkan 2− 𝑎 = 1
𝑎= 1
𝑓 1 =𝑏= 2 2−1 = 2 Kesimpulan:
BAHAN AJAR
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
Sebuah peluru bergerak naik dari titik A ke titik B, kemudian bergerak turun dari titik B ke titik C. maka gambar dari ilustrasi tersebut adalah :
1. Dikatakan fungsi f naik untuk x < 0.
Jika 𝑥 < 0 maka 𝑓′(𝑥) > 0, gradien garis singgung kurva pada setiap titik di 𝑥< 0 positif.
2. Dikatakan fungsi f turun untuk 𝑥 > 0
Jika 𝑥 > 0 maka 𝑓′ (𝑥) < 0, gradien garis singgung kurva pada setiap titik di 𝑥> 0 negatif.
3. Dikatakan fungsi f mempunyai nilai stasioner (nilai ekstrem) 𝑓 (0) = 1 Jika 𝑥= 0 maka 𝑓′(𝑥) = 0, dan garis singgung pada titik (0,1) sejajar sumbu x. Dalam hal ini fungsi f tidak naik dan tidak turun.
Menentukan interval-interval (selang) dimana fungsi f naik atau turun langkah-langkahnya adalah :
1. Tentukan 𝑓′(𝑥)
Contoh :
Tentukan pada interval mana fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥3+ 9𝑥2 + 15𝑥+ 4 merupakan : a. Fungsi naik
b. Fungsi turun Jawab:
Diketahui: 𝑓 𝑥 = 𝑥3+ 9𝑥2+ 15𝑥+ 4 Ditanya : Interval fungsi naik dan turun Penyelesaian:
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 18𝑥+ 15 Syarat fungsi naik
𝑓′(𝑥) > 0
3𝑥2+ 18𝑥+ 15 > 0
𝑥2+ 6𝑥+ 5 > 0
𝑥+ 1 (𝑥+ 5) > 0 Harga Batas
𝑥= −1,𝑥= −5
Kesimpulan:
Jadi fungsi naik pada interval 𝑥<−5 atau 𝑥>−1 dan fungsi turun pada interval
−5 <𝑥< −1
-5 -1
Syarat fungsi turun
𝑓′(𝑥) < 0
3𝑥2 + 18𝑥+ 15 < 0
𝑥2+ 6𝑥+ 5 < 0
𝑥+ 1 (𝑥+ 5) < 0 Harga batas
𝑥= −1,𝑥= −5
Jadi fungsi naik pada interval
BAHAN AJAR
NILAI STASIONER DAN JENISNYA
Pada pelajaran sebelumnya kita telah mempelajari persamaan garis singgung pada kurva. Jika kita melemparkan sebuah bola kasti atau bola lain akan terbentuk sebuah kurva atau parabola. Saat dilempar ada saatnya bola itu naik dan ada saatnya bola itu turun dan ada pula saat nya bola tersebut tidak naik dan tidak turun yaitu saat kecepatan dari bola itu adalah nol. Saat bola tidak naik dan tidak turun itulah yang di namakan titik stasioner. Dan dalam titik tersebut terdapat nilai dari titik itu.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Misalkan sebuah lintasan bola yang berbentuk kurva dengan persamaan 𝑦 =
𝑓(𝑥) = 𝑥2– 2.
Lintasan 𝑦 =𝑓(𝑥) =𝑥2–2 mempunyai nilai minimum pada
𝑥 = 0 sebab 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) = 02– 2 = –2.
Turunan fungsi 𝑓(𝑥) =𝑥2–2adalah
𝑓′(𝑥) = 2𝑥.
𝑓′(𝑥) < 0 untuk 𝑥 < 0
𝑓′(𝑥) > 0 untuk 𝑥 > 0
𝑓′(0) = 0 pada 𝑥 = 0.
𝑓(𝑥) turun untuk 𝑥 < 0 dan 𝑓 (𝑥) naik untuk 𝑥 > 0.
𝑓(𝑥) di 𝑥= 0 tidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner. Jika 𝑓‘ 𝑎 = 0, 𝑓 (𝑎) adalah nilai stationer f pada 𝑥= 𝑎
Untuk menentukan jenis-jenis nilai stasioner harus diselidiki di sekitar
𝑥= 𝑎. Terdapat 4 kemungkinan di sekitar 𝑥=𝑎, yaitu 1. Titik (𝑎,𝑓(𝑎)) adalah titik balik maksimum
f(x) titik balik maksimum f ‘ = 0
f ‘ + - f ‘
2. Titik (𝑎,𝑓(𝑎)) adalah titik balik minimum f(x)
f ‘ - + f’
f ‘ = 0
titik balik minimum
3. Titik (𝑎,𝑓(𝑎)) adalah titik belok naik dan turun
f(x) f(x)
titik belok titik belok
naik turun
+ 𝒇‘ < 0 0 𝑓’> 0 + 𝑓‘ = 0
Defenisi :
Jika fungsi f mencapai titik ekstrim pada (a, f(a)) dan terdiferensialkan pada titik itu maka titik (a, f(a)) merupakan titik stasioner atau f '(x) = 0 Jenis titik stationer dapat ditentukan dengan uji turunan pertama dan uji turunan kedua.
Langkah-langkah untuk menentukan jenis stationer adalah
1. Dari persamaan f ‘(x) = 0 telah diperoleh absis titik stationer x=2. Gambarlah absis stasioner ini pada garis bilangan.
-1 0 1 2 3 4
2. Tentukan absis titik-titik uji di sebelah kiri dan kanan absis stationer. Misalnya : untuk titik uji di kiri x = 2 adalah x = 0 dan di kanannya adalah x = 3
Absis titik uji
0 3
3. Periksa tanda dari f ‘(0) dan f ‘(3) dengan menyubstitusikannya ke dalam 𝑓‘(𝑥) = −2𝑥 + 4
𝑓‘ (0) = −2 (0) + 4 (positif)
𝑓’ (3) = −2 (3) + 4 = −2 (negatif)
Bubuhkan tanda-tanda positif/negatif tersebut pada selang yang memuat absis titik uji yang bersesuaian.
f ‘(x) + 0 - Gradien
Contoh :
Diketahui persamaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥– 𝑥3, Tentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y , nilai stasioner dan titik stasioner.
Jawab:
Diketahui: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥– 𝑥3
Ditanya : Titik potong sumbu x dan y, Nilai stasioner dan titiknya? Penyelesaian:
Grafik memotong sumbu x, bila y = 0.
𝑦 = 0 = 3𝑥– 𝑥3 0 = 𝑥 (3 – 𝑥2)
0 = 𝑥 ( 3 − 𝑥 ) ( 3 + 𝑥) Titik potong sumbu x adalah (0,0), ( 3, 0), (− 3, 0) Garfik memotong sumbu y, jika x = 0
𝑦 = 3𝑥– 𝑥3 𝑦 = 3.0 − 03 𝑦 = 0 titik potong sumbu y adalah (0,0) Nilai dan titik Stasioner
Syarat stasioner adalah : 𝑓’ (𝑥) = 0 𝑓’ (𝑥) = 3 – 3𝑥2 3 (1 − 𝑥2)
3 (1 – 𝑥) (1 + 𝑥) 𝑥 = 1, 𝑥 = −1 untuk 𝑥 = 1 𝑓 1 = 3 1 – −1 3 = 2
𝑥 = −1 𝑓(−1) = 3(−1) – (−1)3 = −2 nilai stasionernya : 𝑦 = 2 dan 𝑦 = −2
titik stasioner : Titik balik Maksimum di(1,2) dan Titik balik minimum di (−1,−2)
Kesimpulan:
Tipot sumbu x: Titik potong sumbu x adalah (0,0), ( 3, 0), (− 3, 0) Tipot sumbu y : (0,0)
BAHAN AJAR
NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM DALAM
INTERVAL TERTUTUP
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutup dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Menentukan nilai fungsi pada batas interval. b. Menentukan nilai stasioner
𝑥= 0 di dalam interval(dicari nilai fungsinya)
Untuk 𝑥= 2 maka:
𝑓 2 = 6𝑥2− 𝑥3 = 6 2 2 − 2 3 = 16
Untuk 𝑥= 3 maka:
𝑓 3 = 6𝑥2− 𝑥3 = 6 3 2 − 3 3 = 27
BAHAN AJAR
PENGGUNAAN NILAI MAKSIMUM DAN
MINIMUM
Dalam matematika terapan sering kali berhadapan dengan soal yang harus diterjemahkan dalam bahasa matematika yang disebut membuat model matematika kemudian dianalisis.
Contoh :
1. Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari untuk peternakan ayam. Jika pagar kawat yang tersedia panjangnya 500 m dan peternakan itu dibuat berbentuk persegi panjang, tentukan ukurannya agar terdapat daerah peternakan yang seluas-luasnya !
Jawab :
Diketahui : panjang pagar kawat : 500 m
Ditanya: ukuran daerah peternakan seluas-luasnya? Langkah-langkah:
Misalkan lebar kandang = x meter panjangnya = (500−2𝑥) meter
Jika 𝑥 0 dan (500 – 2𝑥) 0 maka 0 x250 Luas kandang = 𝐿 (𝑥) = 𝑥(500 −2𝑥)
= 500𝑥 − 2𝑥2
𝐿‘ (𝑥) = 500 – 4 𝑥 = 4 (125 – 𝑥) Penyelesaian:
Nilai ekstrem diperoleh jika 𝐿‘ (𝑥) = 0 4 (125 – 𝑥) = 0
𝑥 = 125 Nilai ekstrem diperoleh dari f ’= 0 atau
dx dy
500 −2𝑥
x L x
Jadi, untuk x = 125 terdapat nilai ekstrem maksimum 𝐿(125) = 125 (500−250)
= 31.250 Kesimpulan:
Jadi, untuk membuat kandang dengan lebar = 125 m dan panjang = 250 m, akan terdapat luas kandang yang sebesar-besarnya, yaitu 31.250 m2.
2. Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8000𝜋 𝑐𝑚3. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin.
Jawab:
Diketahui: Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8000𝜋 𝑐𝑚3
Ditanyakan : Tinggi dan jari-jari alas silinder agar luas aluminium minimal? Langkah-langkah:
Misalkan volume silinder = V (r), tinggi silinder = t , jari-jari alas silinder = r dan luas permukaan silinder adalah L (r)
𝑉 𝑟 =𝑙𝑢𝑎𝑠𝑎𝑙𝑎𝑠×𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 8000𝜋= 𝜋𝑟2×𝑡
𝑡
=
8000𝑟2
…..1)
𝐿 𝑟 = 𝑙𝑢𝑎𝑠𝑎𝑙𝑎𝑠+𝑙𝑢𝑎𝑠𝑠𝑒𝑙𝑢𝑏𝑢𝑛𝑔
= 𝜋𝑟2+ 2𝜋𝑟𝑡 ……2) Substitusikan pers 1 ke pers 2, sehingga diperoleh
𝐿 𝑟 = 𝜋𝑟2+ 2𝜋𝑟𝑡
=𝜋𝑟2+ 2𝜋𝑟(8000
𝑟2 ) Agar silinder mempunyai luas yang minimum, maka
𝐿′ 𝑟 = 0
2𝜋𝑟 −16.000𝜋
𝑟2 = 0 2𝜋𝑟 =16.000𝜋
𝑟2
𝑟3 = 8000
𝑟= 20 …..3) Penyelesaian:
Substitusikan 3) ke persamaan 1)
𝑡 =8000
𝑟2 =8000
202 = 20 Kesimpulan:
BAHAN AJAR
Kecepatan yaitu kecepatan sebagai perubahan jarak yang ditempuh benda terhadap waktu.
Apabila jarak yang ditempuh suatu benda dalam t detik dinyatakan dengan h(t), maka kecepatan sesaat benda tersebut pada detik ke – t adalah:
𝑎 = 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎𝑎𝑛𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛
𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢𝑦𝑎𝑛𝑔𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑙𝑢𝑘𝑎𝑛 = ∆𝑣 ∆𝑡
t
1. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah x detik memenuhi persamaan 𝑓 𝑥 = 6𝑥3+𝑥2 , dengan 𝑓(𝑥) dinyatakan dalam meter. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu 2≤ 𝑥 ≤3 dan kecepatan sesaat benda saat x = 2!
Jawab:
Diketahui : persamaan benda 𝑓 𝑥 = 6𝑥3 +𝑥2 ∆𝑥 = 1
Ditanya : Kecapatan rata-rata pada 2≤ 𝑥 ≤3 dan kecepatan sesaat bensa saat x = 2
Penyelesaian:
Untuk mencari kecepatan rata-rata gunakan rumus
𝑓 𝑥+∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Kecepatan sesaat pada saat x = 2
2. Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah? Jawab:
Diketahui: fungsi 𝑡 = 5 + 20𝑡 −5 4𝑡
2 .
Ditanya :Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut ? Langkah
Penyelesaian:
jika t = 8 adalah
𝑡 = 5 + 20𝑡 −5 4𝑡
2
8 = 5 + 20(8)−5 4(8)
2
8 = 5 + 160−80
8 = 85 𝑚 Kesimpulan:
