BAB 1
LINIER PROGRAMMING
A. Penerapan Teknik Linier Programming (LP) untuk berbagai persoalan business
Pemrograman linier atau PL adalah suatu teknik matematis yang dirancang untuk membantu para manajer operasi dalam merencanakan dan membuat keputusan yang diperlukan untuk mengalokasikan sumber daya.
Semua persoalan PL mempunyai empat sifat umum:
a. Persoalan PL bertujuan memaksimalkan atau meminimalkan kuantitas (pada umumnya berupa keuntungan atau biaya). Sifat umum ini disebut fungsi tujuan (objective function) dari suatu persoalan PL. Pada umumnya, tujuan utama suatu perusahaan adalah memaksimalkan keuntungan pada jangka panjang. Dalam kasus sistem distribusi suatu perusahaan angkutan atau penerbangan, tujuan pada umumnya berupa meminimalkan biaya.
b. Adanya batasan (constraints) atau kendala yang membatasi tingkat sampai di mana sasaran dapat dicapai. Sebagai contoh, keputusan untuk memproduksi banyaknya unit dari setiap produk pada suatu lini produk perusahaan dibatasi oleh tenaga kerja dan permesinan yang tersedia. Oleh karena itu, untuk memaksimalkan atau meminimalkan suatu kuantitas (fungsi tujuan) bergantung pada sumber daya yang jumlahnya terbatas (batasan).
c. Harus ada beberapa alternatif tindakan yang dapat diambil. Sebagai contoh, jika suatu perusahaan menghasilkan tiga produk yang berbeda, manajemen dapat menggunakan PL untuk memutuskan bagaimana cara mengalokasikan sumber dayanya yang terbatas (tenaga kerja, permesinan, dan seterusnya). Jika tidak ada alternatif yang dapat diambil, maka PL tidak diperlukan.
d. Tujuan dan batasan dalam permasalahan pemrograman linier harus dinyatakan dalam pertidaksamaan atau persamaan linier.
1. Persoalan Bauran Produk (Product Mix) dengan pendekatan Metode Grafik
Metode grafik merupakan bagian dari programasi linier yang dapat dijadikan sebagai suatu alat (tool) guna membantu mencari solusi masalah programasi linier. Metode grafik dapat digunakan untuk mencari solusi optimal terhadap masalah bauran produk (product mix problem) yang terdiri dari dua jenis produk saja, misalnya produk A dan Produk B.
Contoh Kasus
1) Shader Electronics Company menghasilkan dua produk: (1) Shader x-pod, sebuah pemutar musik portabel dan (2) Shader BlueBerry, sebuah ponsel berwarna dengan sambungan Internet. Proses produksi untuk setiap produk serupa, yaitu keduanya memerlukan waktu tertentu untuk pengerjaan elektroniknya dan waktu tertentu untuk pengerjaan perakitannya. Setiap x-pod membutuhkan waktu selama 4 jam untuk pengerjaan elektronik dan 2 jam untuk perakitan. Setiap BlueBerry memerlukan waktu selama 3 jam untuk pengerjaan elektronik dan 1 jam untuk perakitan. Sepanjang periode produksi sekarang, tersedia waktu selama 240 jam waktu pengerjaan elektronik dan 100 jam waktu perakitan. Setiap x-pod menghasilkan keuntungan $7; dan setiap BlueBerry yang diproduksi menghasilkan keuntungan $5. Permasalahan yang dihadapi Shader adalah menentukan kombinasi terbaik antara jumlah x-pod dan BlueBerry yang dibuat untuk mencapai keuntungan maksimal. Situasi bauran produk ini dapat dirumuskan sebagai masalah pemrograman linier.
Penyelesaian:
a. Langkah Pertama Menentukan Fungsi Tujuan 1) X1 = jumlah x-pod yang akan diproduksi 2) X2 = jumlah BlueBerry yang akan diproduksi
3) fungsi tujuan PL dapat dibuat dalam kaitannya dengan X1 dan X2: Memaksimalkan keuntungan = $7X1 + $5X2
b. Langkah kedua adalah membuat hubungan matematis untuk menentukan kedua batasan dalam masalah ini
1) Batasan pertama: Waktu elektronik yang diperlukan ≤ Waktu elektronik yang tersedia.
4X1 + 3X2 ≤ 240 (waktu pengerjaan elektronik)
2) Batasan kedua: Waktu perakitan yang diperlukan ≤ Waktu perakitan yang tersedia. 2X1 + 1X2 ≤ 100 (waktu pengerjaan perakitan) 4) X2 ≥ 0 (jumlah BlueBerry yang diproduksi lebih besar atau sama dengan 0)
b. Langkah pertama yang dilakukan dalam memetakan batasan dari masalah ini adalah mengubah pertidaksamaan batasan ini menjadi persamaan.
a. Batasan A: 4X1 + 3X2 = 240 b. Batasan B: 2X1 + 1X2 = 100
Mis X2 = 0 (tempat di mana garis menyentuh sumbu X2), 2X1 + 1X2 = 100
2X1 = 100
X1 = 50
Sehingga Batasan A : (dimulai dari titik (X1 = 0, X2 = 100) hingga (X2 = 60, X1 = 50)
c. Figur B.3 menggambarkan kedua batasan secara bersamaan:
1) Daerah yang diarsir merupakan bagian yang memenuhi kedua batasan.
2) Daerah gelap pada Figur B.3 disebut daerah solusi yang layak, atau secara singkat daerah yang layak (feasible region).
3) Daerah ini harus memenuhi semua kondisi yang ditetapkan oleh batasan program. 4) Setiap titik dalam daerah tersebut menjadi solusi yang layak bagi persoalan
Shader Electronics Company.
d. Metode Solusi Titik Pojok
(Pada Figur B.7) bahwa daerah yang layak untuk Shader Electronics Company adalah suatu poligon dengan empat titik pojok atau titik ekstrem. Titik-titik ini diberi label 1, 2, 3, dan 4. Untuk mencari nilai-nilai (X1, X2) yang menghasilkan keuntungan yang maksimal, harus dicari terlebih dahulu koordinat setiap titik pojok, kemudian menentukan dan membandingkan keuntungan pada titik-titik tersebut. a. Titik 1 : (X1 = 0, X2 = 0) Keuntungan $7(0) + $5(0) = $0
b. Titik 2 : (X1 = 0, X2 = 80) Keuntungan $7(0) + $5(80) = $400 c. Titik 4 : (X1 = 50, X2 = 0) Keuntungan $7(50) + $5(0) = $350
d. Titik 3 untuk sementara dilewatkan karena untuk mencari koordinatnya secara tepat, kita harus terlebih dahulu menyelesaikan perpotongan antara kedua garis batasannya.
e. Seperti pada aljabar, metode persamaan simultan dapat diterapkan pada kedua persamaan batasan:
4X1 + 3X2 = 240 (waktu pengerjaan elektronik)
2X1 + 1X2 = 100 (waktu perakitan)
f. Untuk memecahkan persamaan ini secara simultan, persamaan kedua dikalikan dengan 2:
2(2X1 + 1X2 = 100) = 4X1 + 2X2 = 200
g. Kemudian ditambahkan pada persamaan yang pertama: 4X1 + 3X2 = 240
4X1 + 2X2 = 200
1X2 = 40
h. Dengan melakukan ini, satu variabel, yaitu X1, dapat dieliminasi untuk mendapatkan nilai X2. Sekarang, X2 dapat diganti menjadi 40 pada persamaan asal dan mencari nilai X1. Kita gunakan persamaan yang pertama. Ketika X2 = 40, maka:
4X1 + 3(40) = 240
4X1 + 120 = 240
4X1 = 240 – 120
X1 = 120/4 = 30
i. Jadi, titik 3 memiliki koordinat (X1 = 30, X2 = 40). Dengan demikian, keuntungan dapat dihitung untuk melengkapi analisis:
Titik 3: (X1 = 30, X2 = 40)
Keuntungan = $7(30) + $5(40) = $410.
j. Karena titik 3 menghasilkan keuntungan yang paling tinggi dari semua titik pojok yang ada, bauran produk X1 = 30 x-pod dan X2 = 40 BlueBerry menjadi solusi optimal
k. Pada permasalahan di Shader Electronics. Solusi ini akan menghasilkan keuntungan senilai $410 pada setiap periode produksi
Metode Grafis dengan menggunakan aplikasi POM Langkah-langkah:
1) Pilih menu Module, kemudian pilih Linier Programming
2) Pilih menu File kemudian pilih New
a) Klik pada bagian <untitled> jika ingin memberi judul sesuai yang diinginkan, atau biarkan saja jika tidak ingin memberi judul (langsung pada langkah 4).
c) Isi jumlah variabel pada number of variable dengan cara mengetik langsung pada angka yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh, jumlah batasan adalah 2).
d) Pada objective dipilih sesuai fungsi tujuan, dalam permasalahan ini fungsi tujuannya adalah memaksimalkan, berarti kita pilih maximize (klik pada maximize)
e) Tekan OK, hingga muncul tampilan sebagai berikut.
f) Isi tabel pada tampilan tersebut sesuai bentuk matematis permasalahan. Variabel X1, X2 dan constraint 1-2 bisa diubah sesuai nama variabel dan batasan dengan cara mengetik seperti biasa, sehingga hasilnya adalah sebagai berikut:
h) Pilih/klik solve, untuk menampilkan hasil analisis:
j) Berdasarkan output analisis, diketahui bahwa untuk memaksimalkan keuntungan, maka perusahaan harus memproduksi x-pod(X1) sebanyak 30 unit (nilai optimalnya = 30) dan BlueBerry(X2) sebanyak 40 unit (nilai optimalnya = 40). Kombinasi produksi tersebut akan memberikan keuntungan sebesar $ 410, yang diperoleh dari sepatu x-pod(X1) sebesar $210 (30 * $7) dan dari BlueBerry(X2) sebesar $200 (40*$5).
k) Untuk memunculkan tabel ranging, daftar solusi iterasi dan grafik hasil analisis maka klik pilihan yang dimaksud, atau klik window pada menu kemudian pilih pilihan yang dimaksud hingga muncul tampilan dari masing – masing pilihan.
Pada Tabel Ranging terlihat nilai reduced cost untuk masing–masing variabel (x-pod(X1) dan BlueBerry(X2)) adalah 0 (tidak memiliki reduced cost), artinya nilai biaya yang dikurangkan adalah nol di mana hal ini menunjukkan bahwa penggunaan kedua variabel tersebut sudah optimal.
1) Original Value, Dual Value dan Slack
Pada Tabel Ranging terlihat nilai original value untuk masing–masing batasan (Elektronik dan Perakitan) adalah sebesar 240 dan 100. Dari penggunaan input tersebut yang sudah optimal (full capasity) adalah penggunaan depatement/bagian Elektronik dan Perakitan yang ditandai dengan nilai slack/sisa-nya yang mencapai nol. Ketika nilai slack sama dengan nol maka setiap penambahan input (Departemen) sebesar 1 unit (jam) akan meningkatkan keuntungan sebesar nilai dual pricenya yaitu 1.5 untuk departemen elektronik dan 0.5 untuk Departemen Perakitan.
2) Lower Bound dan Upper Bound
Nilai Lower Bound dan Upper Bound digunakan untuk melakukan analisis sensitivitas. Analisis sensitivitas merupakan analisis yang bertujuan untuk memberikan jawaban atas seberapa jauh perubahan dibenarkan tanpa merubah solusi optimum atau tanpa menghitung solusi optimum baru dari awal yang dinyatakan dengan nilai batas atas dan batas bawah (Lower Bound dan Upper Bound).
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk variabel (x-pod(X1) adalah 6.67 sampai 10, sedangkan untuk variabel BlueBerry(X2) yaitu 3.5 sampai 5.25. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai dengan batas atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan merubah nilai optimalnya.
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk batasan Departemen Elektronik adalah 200 sampai 300, dan untuk Departemen Perakitan adalah 80 sampai 120. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai dengan batas atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan merubah nilai keuntungan yang diperoleh.
b) Solution List
Berdasarkan tampilan di atas terlihat solusi optimum hasil analisis, di mana x-pod(X1) adalah sebesar 30 unit sedangkan untuk BlueBerry adalah sebesar 40 unit, hingga diperoleh nilai optimal (keuntungan) sebesar $410.
Iterasi merupakan tahapan (perhitungan, seperti perhitungan manual) yang dilalui hingga diperoleh solusi optimal. Berdasarkan tampilan di atas, pada permasalahan ini hanya terdapat 3 iterasi untuk mencapai solusi optimal.
d) Grafik
2) Pemilik perusahaan kayu CV. Ultra Jaya Abadi yang memiliki kayu dan tenaga kerja akan membuat kursi dan meja. Tersedia kayu jati sebanyak 400 board feet dan tenaga kerja 450 orang/jam. Untuk membuat kursi diperlukan 5 board feet dan 10 orang/jam serta menghasilkan keuntungan Rp45 ribu. Selanjutnya 1 meja memerlukan 20 board feet dan 15 orang/jam serta menghasilkan keuntungan Rp80 ribu. Berapa banyak menja dan kursi harus diproduksi agar jumlah keuntungan yang dicapai maksimum dengan memperhatikan pembatasan bahwa kayu tidak boleh melebihi 400 board feet dan tenaga tidak melebihi 450 orang/jam.
Max Z = 45X1+80X2 Subj. to:
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Langkah-langkah:
1) Pilih menu Module, kemudian pilih Linier Programming
2) Pilih menu File kemudian pilih New
3) Klik pada bagian <untitled> jika ingin memberi judul sesuai yang diinginkan, atau biarkan saja jika tidak ingin memberi judul (langsung pada langkah 4).
4) Isi jumlah batasan pada number of constraint dengan cara mengetik langsung pada angka yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh, jumlah batasan adalah 2).
5) Isi jumlah variabel pada number of variable dengan cara mengetik langsung pada angka yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh, jumlah batasan adalah 2).
7) Tekan OK, hingga muncul tampilan sebagai berikut.
8) Isi tabel pada tampilan tersebut sesuai bentuk matematis permasalahan. Variabel X1, X2 dan constraint 1-2 bisa diubah sesuai nama variabel dan batasan dengan cara mengetik seperti biasa, sehingga hasilnya adalah sebagai berikut:
10) Out put hasil analisis:
11) Berdasarkan output analisis, diketahui bahwa untuk memaksimalkan keuntungan, maka perusahaan harus memproduksi Kursi (X1) sebanyak 24 unit (nilai optimalnya = 24) dan Meja (X2) sebanyak 14 unit (nilai optimalnya = 14). Kombinasi produksi tersebut akan memberikan keuntungan sebesar Rp.2.200, yang diperoleh dari Kursi (X1) sebesar Rp.1.080 (24 * Rp.45) dan dari Meja (X2) sebesar Rp.1.120 (14*Rp.80). 12) Untuk memunculkan tabel ranging, daftar solusi iterasi dan grafik hasil analisis maka
klik pilihan yang dimaksud, atau klik window pada menu kemudian pilih pilihan yang dimaksud hingga muncul tampilan dari masing – masing pilihan.
a) Table Ranging
biaya yang dikurangkan adalah nol di mana hal ini menunjukkan bahwa penggunaan kedua variabel tersebut sudah optimal.
1) Original Value, Dual Value dan Slack
Pada Tabel Ranging terlihat nilai original value untuk masing–masing batasan (Kayu Jati dan Tenaga Kerja) adalah sebesar 400 dan 450. Dari penggunaan input tersebut yang sudah optimal (full capasity) adalah penggunaan depatement/bagian Elektronik dan Perakitan yang ditandai dengan nilai slack/sisa-nya yang mencapai nol. Ketika nilai slack sama dengan nol maka setiap penambahan input (Departemen) sebesar 1 unit (jam) akan meningkatkan keuntungan sebesar nilai dual pricenya yaitu Rp.1 untuk kayu jati dan Rp.4 untuk Tenaga Kerja.
2) Lower Bound dan Upper Bound
Nilai Lower Bound dan Upper Bound digunakan untuk melakukan analisis sensitivitas. Analisis sensitivitas merupakan analisis yang bertujuan untuk memberikan jawaban atas seberapa jauh perubahan dibenarkan tanpa merubah solusi optimum atau tanpa menghitung solusi optimum baru dari awal yang dinyatakan dengan nilai batas atas dan batas bawah (Lower Bound dan Upper Bound).
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk Kursi (X1) adalah 20 sampai 53.33, sedangkan untuk Meja (X2) yaitu 67.5 sampai 180. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai dengan batas atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan merubah nilai optimalnya.
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk batasan Kayu Jati adalah 225 sampai 600, dan untuk Tenaga Kerja adalah 300 sampai 800. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai dengan batas atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan merubah nilai keuntungan yang diperoleh.
b) Solution List
Berdasarkan tampilan di atas terlihat solusi optimum hasil analisis, di Kursi (X1) adalah sebesar 24 unit sedangkan untuk Meja adalah sebesar 14 unit, hingga diperoleh nilai optimal (keuntungan) sebesar Rp.2.200.
Iterasi merupakan tahapan (perhitungan, seperti perhitungan manual) yang dilalui hingga diperoleh solusi optimal. Berdasarkan tampilan di atas, pada permasalahan ini hanya terdapat 3 iterasi untuk mencapai solusi optimal.
d) Grafik
Berdasarkan grafik hasil analisis, bisa dilihat kemungkinan kombinasi produksi untuk Kursi (X1) dan Meja (X2) yaitu pada daerah yang diblock dan kombinasi yang optimal adalah pada 24 dan 14.
e) Apabila kita ingin memperbaiki data atau kembali pada tampilan ketika memasukkan data, maka klik edit data.
2. Latihan Kasus Metode Grafis
1. Suatu perusahaan memproduksi dua jenis produk yaitu P1 dan P2. Untuk menghasilkan satu unit P1 membutuhkan dua sumberdaya (SD), masing-masing SD1 sebanyak 4 jam dan SD2 sebanyak 4 meter. Sedangkan untuk menghasilkan satu unit P2 membutuhkan SD1 sebanyak 2 jam dan SD2 sebanyak 6 meter. Karena adanya keterbatasan waktu dan modal yang dimiliki perusahaan, SD1 hanya mampu disediakan tidak lebih dari 40 jam per minggu, dan SD2 sebanyak 60 meter per minggu. Berdasarkan hasil penelitian diketahui bahwa, P1 hanya dapat diserap pasar tidak lebih dari 10 unit dan P2 diserap tidak lebih dari 9 unit per minggu. Keuntungan per unit untuk P1 sebesar Rp1jt dan P2 sebesar Rp1,25 jt. Permasalahan yang dihadapi adalah, berapa unit P1 dan P2 harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimal bagi perusahaan.
Max Z = 15x1 + 10x2 pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar (lebih kecil) atau sama dari step-step sebelumnya.
Contoh Kasus:
1. Sebuah Perusahaan sepatu Merk Trendy membuat 2 macam sepatu. Sepatu pertama merek Trendy-Queen, dengan sol karet, dan merek Trendy-Princes dengan sol kulit. Dalam pembuatan sepatu tersebut diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 digunakan membuat sol karet, mesin 2 untuk membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merk Trendy-Queen mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek Trendy-Princes tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek Trendy-Queen = Rp 30.000,00 sedang merek Trendy-Princes = Rp 50.000,00. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek Trendy-Queen dan merek Trendy-Princes yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba. Berdasarkan permasalahan di atas maka bisa disusun bentuk matematisnya sebagai berikut :
Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2 Batasan (constrain)
(1) 2X1 £ 8 (2) 3X2 £ 15 (3) 6X1 + 5X2 £ 30
Di mana X1 = Sepatu Merk Trendy-Queen X2 = Sepatu Merk Trendy-Princes Langkah-langkah :
1. Pilih menu File, kemudian pilih New
3. Klik pada bagian <untitled> jika ingin memberi judul sesuai yang diinginkan, atau biarkan saja jika tidak ingin memberi judul (langsung pada langkah 4).
4. Isi jumlah batasan pada number of constraint dengan cara mengetik langsung pada angka yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh, jumlah batasan adalah 3).
5. Isi jumlah variabel pada number of variable dengan cara mengetik langsung pada angka yang ada atau dengan mengeklik/menggerakkan tanda panah (pada contoh, jumlah batasan adalah 2).
6. Pada objective dipilih sesuai fungsi tujuan, dalam permasalahan ini fungsi tujuannya adalah memaksimalkan, berarti kita pilih maximize (klik pada maximize)
7. Tekan OK, hingga muncul tampilan sebagai berikut.
9. Klik tanda panah untuk mengganti tanda batasan menjadi <=, = atau >= .
10. Pilih/klik solve, untuk menampilkan hasil analisis hingga muncul tampilan (output) sebagai berikut:
11. Berdasarkan output analisis, diketahui bahwa untuk memaksimalkan keuntungan, maka perusahaan harus memproduksi sepatu Merk Trendy-Queen sebanyak 0.83 lusin (nilai optimalnya = 0.83) dan sepatu Merk Trendy-Princes sebanyak 5 lusin (nilai optimalnya = 5). Kombinasi produksi tersebut akan memberikan keuntungan sebesar Rp 275.000,- yang diperoleh dari sepatu Trendy-Queen sebesar Rp 25.000 (0.83 * Rp 30.000) dan dari sepatu Trendy-Princes sebesar Rp 250.000 (5*50.000).
a. Table Ranging
1) Reduced
Pada Tabel Ranging terlihat nilai reduced cost untuk masing–masing variabel (sepatu Trendy-Queen dan Trendy-Princes) adalah 0 (tidak memiliki reduced cost), artinya nilai biaya yang dikurangkan adalah nol di mana hal ini menunjukkan bahwa penggunaan kedua variabel tersebut sudah optimal.
2) Original Value, Dual Value dan Slack
Pada Tabel Ranging terlihat nilai original value untuk masing–masing batasan (mesin 1, mesin 2 dan mesin 3 adalah sebesar 8, 15, 30. Dari penggunaan input tersebut yang sudah optimal (full capasity) adalah penggunaan mesin 2 dan mesin 3 yang ditandai dengan nilai slack/sisa-nya yang mencapai nol. Ketika nilai slack sama dengan nol maka setiap penambahan input (mesin) sebesar 1 unit (jam) akan meningkatkan keuntungan sebesar nilai dual pricenya yaitu 8.33 untuk mesin 2 dan 5 untuk mesin 3. Penggunaan mesin 1 masih belum optimal (idle capasity) karena dari kapasitas maksimum sebesar 8 jam, masih ada sisa sebesar 6.33 jam, dalam hal ini yang digunakan hanya sebesar 1.67
3) Lower Bound dan Upper Bound
Nilai Lower Bound dan Upper Bound digunakan untuk melakukan analisis sensitivitas. Analisis sensitivitas merupakan analisis yang bertujuan untuk memberikan jawaban atas seberapa jauh perubahan dibenarkan tanpa merubah solusi optimum atau tanpa menghitung solusi optimum baru dari awal yang dinyatakan dengan nilai batas atas dan batas bawah (Lower Bound dan Upper Bound).
Batas atas dan batas bawah koefisien fungsi tujuan untuk variabel Sepatu Trendy-Queen adalah 0 sampai 6, sedangkan untuk variabel Sepatu Trendy-Princes yaitu 2.5 sampai tak terhingga. Berdasarkan nilai tersebut, berarti nilai koefisien bisa diubah sesuai dengan batas atas dan batas bawah yang dianjurkan karena pada rentang nilai koefisien, fungsi tujuan ini tidak akan merubah nilai optimalnya.
Berdasarkan tampilan di atas terlihat solusi optimum hasil analisis, di mana Sepatu Trendy-Queen adalah sebesar 0.833 unit sedangkan untuk Sepatu Trendy-Princes adalah sebesar 5 unit, hingga diperoleh nilai optimal (keuntungan) sebesar 27.5 satuan (Rp 275.000).
c. Iterasi
Berdasarkan tampilan Iterations, terlihat bahwa ada tiga iterasi/tahapan untuk memperoleh solusi optimum. Iterasi merupakan tahapan (perhitungan, seperti perhitungan manual) yang dilalui hingga diperoleh solusi optimal. Berdasarkan tampilan di atas, pada permasalahan ini hanya terdapat 3 iterasi untuk mencapai solusi optimal.
3. Latihan Kasus Metode Simpleks Kasus 1
Suatu perusahaan menghasilkan tiga jenis produk yaitu produk A (Pa), produk B (Pb), dan Produk C (Pc). Untuk menghasilkan satu unit produk A tersebut membutuhkan proses melalui tiga mesin yaitu mesin X (Mx) selama 5 jam mesin, mesin Y (My) selama 1 jam mesin, dan mesin Z (Mz) selama 2 jam mesin. Untuk menghasilkan satu unit produk B membutuhkan Mx selama 2 jam, My selama 3 jam, dan Mz selama 1 jam. Sedangkan untuk menghasilkan satu unit produk C membutuhkan Mx selama 1 jam, My selama, My selama 2 jam, dan Mz selama 4 jam. Informasi yang diperoleh dari perusahaan menunjukkan bahwa, jam mesin yang tersedia tidak lebih dari atau sama dengan 8 jam perhari untuk Mx, 10 jam perhari untuk My, dan 9 jam perhari untuk Mz dengan mengasumsikan bahwa terdapat 25 hari kerja per bulan. Berdasarkan hasil perhitungan yang dilakukan oleh pihak manajemen perusahaan, diketahui keuntungan per unit untuk Pa sebesar Rp,70 ribu, Pb, sebesar Rp,80 ribu, dan Pc sebesar Rp,60 ribu. Permasalahan yang dihadapi oleh perusahaan adalah berapa unit Pa, Pb, dan Pc tersebut harus diproduksi perbulan agar diperoleh keuntungan maksimal bagi perusahaan?
Kasus 2
Seorang pensiunan (purnawirawan) ABRI yang sudah berhasil mengumpulkan dana ingin ikut menyukseskan pembangunan nasional dengan jalan menanamkan modalnya dalam berbagai kegiatan sektor ekonomi antara lain: (1) Membeli saham melalui PT. Dana Reksa, (2) memasukkan ke deposito, (3) Membuka lahan usaha peternakan, (4) membuka biro jasa perjalanan, dan (5) ikut aktif dalam real estate.
Tentu saja dia menginginkan agar uangnya berkembang dan hasil investasinya (returns on investmen) mencapai optimum atau maksimum.
Dalam mengambil keputusan yang berhubungan dengan penanaman uang nya, berbagai alternatif kegiatan ekonomi dia pergunakan data berikut:
Jenis Kegiatan % Hasil Lamanya
Bagaimana dia harus mengalokasikan dana yang dimilikinya agar jumlah hasil yang diperoleh maksimum. Dia memutuskan bahwa rata-rata risiko tidak lebih dari 4, penanaman uang tidak lebih dari 15 tahun. Paling tidak dia harus menanamkan uangnya direal estate sebesar 25%. Kalau X1, X2, X3, X4, X5 menunjukkan persentase penggunaan dana berbagai kegiatan ekonomi tersebut, maka tentukanlah nilai X1, X2, X3, X4, X5?
Kasus 3
Untuk kebutuhan program diet ada dua jenis makanan yang akan dibeli oleh seorang ibu rumah tangga, masing-masing sebanyak X1 dan X2 unit (satuan misalnya ons). Ada 3 jenis zat yang dikandung oleh setiap jenis makanan yaitu tiamin, fosfor, dan zat besi. Agar badan sehat tiamin mimimal 1 mg, fosfor paling sedikit 7,5 mg, dan zat besi tidak boleh kurang dari 10 mg. harga dipasaran 1 unit jenis barang 1 dan 2 masing-masing sebesar Rp2 ribu dan Rp 1,7 ribu. Banyak zat yang dikandung oleh masing-masing jenis makanan seperti terlihat dalam tel berikut:
Zat yang dikandung Jenis Barang 1 (mg/ons) Jenis Barang 2 (mg/ons)
Tiamin 0,15 0,10
Fosfor 0,75 1,70
Zat Besi 1,30 1,10
