Dasar Logika Matematika
Pertemuan 4:
Himpunan (Set) | 2
Himpunan (Set)
Objective
• Mahasiswa dapat menjelaskan himpunan (set)
• Mahasiswa dapat memodelkan himpunan dengan menggunakan diagram venn
Himpunan (Set) | 3
Definisi Himpunan
• Apa itu himpunan?
• Himpunan (set) adalah kumpulan objek yang memiliki anggota yang berbeda satu dengan lainnya.
• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau
anggota.
Contoh.
HIMA adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.
Georg Cantor
(1845-1918)
Himpunan (Set) | 4
Penyajian Himpunan
1. Setiap anggota himpunan harus dituliskan secara rinci
Contoh.
• B = {2, 4, 6, 8, 10}.
• C = {TIF, KOM, PSI, DKV, MGT}
• {2, 4, 6, 8, 10} dan {TIF, KOM, PSI, DKV, MGT} merupakan anggota dari himpunan B dan C.
Himpunan (Set) | 5
Penyajian Himpunan
2. Himpunan dapat juga dituliskan menggunakan simbol-simbol baku, sebagai berikut.
• P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
• N = himpunan bilangan asli atau alami (natural) = { 1, 2, ... }
• Z = himpunan bilangan bulat integer= { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
• Q = himpunan bilangan rasional
• R = himpunan bilangan riil
• C = himpunan bilangan kompleks
• U = semesta (universal)
Himpunan (Set) | 6
Penyajian Himpunan
3. Penyajian himpunan dapat juga direpresentasikan dalam bentuk notasi pembentukan himpunan. Format { xsyarat yang harus dipenuhi oleh x}.
Contoh.
A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5
Jawab :
A = { 1, 2, 3, 4}, jika dituliskan dengan notasi himpunan, maka penulisannya sebagai berikut,
A = { x| x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x| x P, x< 5 }
Himpunan (Set) | 7
Penyajian Himpunan
4. Diagram Venn.
Diagram venn digunakan untuk menggambarkan relasi antar satu hmpunan dengan himpunan lainnya.
Himpunan (Set) | 8
Relasi Himpunan (Set)
Relasi Himpunan (Set)
• Relasi himpunan dapat dinyatakan sebagai: – Subset(himpunan bagian)
– Disjoint(himpunan saling lepas)
Himpunan (Set) | 9
Relasi Himpunan (Set)
Subset
• Sebuah himpunan dikatakan subset dari himpunan lainnya jika dan hanya jika setiap elemen himpunan tersebut merupakan elemen dari himpunan lainnya (
).Contoh.
A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka A dikatakan subset dari B atau A B. Sedangkan B merupakan superset dari A (B A).
Himpunan (Set) | 10
Relasi Himpunan (Set)
Disjoint
• 2 buah himpunan dikatakan disjoint apabila kedua himpunan tidak memiliki elemen yang sama.
Contoh.
A = {1, 3, 5} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka A disjoint B atau A // B.
Himpunan (Set) | 11
Relasi Himpunan (Set)
Overlapping
• Dua buah himpunan dikatakan overlapping jika keduanya memiliki elemen yang sama setidaknya satu elemen.
Contoh.
A = {2, 3, 5, 7, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka {2, 3, 5} dapat dikatakan sebagai intersection/irisan A dan B atau dapat dinotasikan dengan A B = {x | xA dan x
B}
Himpunan (Set) | 12
Relasi Himpunan (Set)
Latihan.
Jelaskan dan gambarkan relasi menggunakan diagram venn:
1. Menteri dan DPR
Himpunan (Set) | 13
Kardinalitas
• Menunjukkan banyaknya elemen dalam sebuah himpunan. • Dinotasikan dengan n(simbol himpunan) atau | simbol himpunan |
Contoh.
i. B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} makaB= 8
ii. T = {kucing, a, Amir, 10, paku, pena}, makaT= 5
Himpunan (Set) | 14
Himpunan Kosong (Null Set)
• Himpunan yag memiliki nilai kardinalitas 0. • Dinotasikan dengan atau { }.
Contoh.
i. E = {x | x < x}, maka n(E) = 0
ii. P = {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka n(P) = 0
iii. A = {x | x adalah bilangan prima < 2}, n(A) = 0
himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
Himpunan (Set) | 15
Himpunan yang Sama
• Dua buah himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika setiap elemen yang satu merupakan elemen lainnya atau sebaliknya. • Atau Dua buah himpunan dikatakan sama jika himpunan satu
merupakan bagian dari himpunan lainnya dan sebaliknya. • Notasi:
A = B A B dan B A.
Himpunan (Set) | 16
Himpunan yang Sama
Contoh.
• Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B • Jika A = { 3, 5, 8} dan B = {3, 8}, maka A B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: – A = A, B = B, dan C = C
– jika A = B, maka B = A
Himpunan (Set) | 17
Himpunan yang Ekivalen
• Dua buah himpunan dikatakan ekivalen jika dan hanya jika nilai kardinalitas elemen yang satu sama dengan nilai kardinalitasb himpunan lainnya.
• Notasi: A ~ B |A| = |B|. Contoh.
Misalkan A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}, maka A ~ B sebab A= B= 4
Himpunan (Set) | 18
Operasi Himpunan
1. Intersection (Irisan).
Notasi: A B = {x | xA dan xB}
Contoh.
• Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10}
• Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B
• A = {amir, budi, ani} dan B={budi, ali, toni} maka A B = {budi}
Himpunan (Set) | 19
Operasi Himpunan
2. Union (Gabungan).
Notasi: A B = {x | xA atau xB}
Contoh.
• Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A B = {2, 5, 7, 8, 22}
• A = A
Himpunan (Set) | 20
Operasi Himpunan
3. Complement (Komplemen).
Notasi: Ā = {x | xU, xA}Contoh.
Misalkan U = {1, 2, 3, ..., 9}
• Jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ā = {2, 4, 6, 8}
Dasar Logika Matematika
Pertemuan 4:
Himpunan (Set) | 22
Operasi Himpunan
Contoh.
Misalkan:
A = Himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = Himpunan semua mobil impor
C = Himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = Himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta
E = Himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
Himpunan (Set) | 23
Operasi Himpunan
Tentukan operasi terhadap himpunan jika memiliki kondisi berikut:
1. Mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri.
2. Semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta.
3. Semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta.
E A E B atau E (A B)
A C D
Himpunan (Set) | 24
Latihan
1. Sebuah kelas terdiri 40 siswa ,diantaranya 18 siswa suka IPA, 23 suka IPS, 8 siswa suka keduanya dan sejumlah siswa tidak suka keduanya, tentukan:
a. Jumlah siswa yang tidak suka keduanya b. Gambarkan diagram venn
2. Suatu kelompok belajar berjumlah 21 siswa, diantaranya 10 siswa belajar bahasa inggris, dan 15 siswa belajar matematika. Tentukan: a. Jumlah siswa yang belajar keduanya,
Himpunan (Set) | 25
Latihan
3. Perhatikan diagram Venn di samping ini kemudian tentukan anggota himpunan A, B, M, dan N berikut notasi yang memenuhi diagram Venn tersebut jika U adalah bilangan asli!
Himpunan (Set) | 26
Latihan
4. Jika diketahui A adalah himpunan siswa yang aktif pada OSIS, B adalah himpunan siswa yang aktif pada Fotographi, C adalah himpunan siswa yang aktif pada Sains, D adalah himpunan siswa yang aktif pada Modern Dance sedangkan U adalah himpunan Semesta dan anggota-anggotanya adalah sebagai berikut:
A = {Agus, Rina, Riska, Bonny, David, Abraham, Fely, Vita, Fania} B = {Lucky, Fathur, Vita, Fanny, Budi, Firman, David}
C = {Aldo, Adnan, Benny, Monik, Fawazz, Thomas, David, Vita} D = {Natasha, Firda, Denny, Febri, Yanuar}
Himpunan (Set) | 27
Latihan
• Gambarlah sebuah diagram Venn yang merepresentasikan situasi tersebut!
• Beberapa voucher gratis masuk sebuah Taman Rekreasi akan diberikan kepada beberapa siswa dengan ketentuan seleksi adalah V = (A B C) D. Tentukanlah, siapakah siswa-siswa yang memperoleh voucher?
