SOLUSI PERSAMAAN GELOMBANG DUA DIMENSI PADA MEMBRAN PERSEGI DENGAN KOEFISIEN BERBEDA

SOLUSI PERSAMAAN GELOMBANG DUA DIMENSI PADA MEMBRAN PERSEGI DENGAN KOEFISIEN BERBEDA

SOLUTION OF THE TWO-DIMENSIONAL WAVE EQUATION ON RECTANGULAR MEMBRANE WITH DIFFERENT

COEFFICIENT

Muhammad Ridwan, Jeffry Kusuma, Amiruddin

Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin

Alamat Korespondensi:

Muhammad Ridwan

Komp. Bukit Garaganti Graha A2 No.2 Email: muhammadridwan@yahoo.com HP: 085255708333

ABSTRAK

Beberapa literatur ilmiah telah menyelesaikan persamaan gelombang pada membran persegi namun hanya menyajikan penyelesaian biasa, tidak meninjau beberapa aspek yang dapat terjadi. Penelitian ini ditujukan untuk menganalisa bagaimana gelombang merambat pada membran persegi apabila koefisien pada sisi-sisinya berbeda. Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi literatur (tinjauan pustaka). Penelitian ini mengkaji beberapa literatur ilmiah dan hasil olah pikir yang berkaitan dengan persamaan gelombang. Ada tiga macam kemungkinan yang dapat terjadi untuk nilai koefisien yang berbeda yaitu (1) solusi yang diperoleh sama dengan solusi persamaan gelombang satu dimensi jika salah satu koefisien sama dengan nol, (2) Solusi persamaan menjadi tidak menarik jika koefisien c1 = c2, (3) untuk c1 c2 0 diperoleh solusi yang ekivalen dengan solusi persamaan gelombang koefisien sama, perbedaan hanya terletak pada nilai kmn. Namun perbedaaan yang terletak pada nilai kmn memberi dampak pada animasi gelombang yang terjadi pada membran persegi. Untuk nilai c1=1/2 > c2 =1/8 gelombang bergerak sepanjang sumbu-x sisi sebelah kiri menuju sisi sebelah kanan sejajar sumbu-y hingga sumbu-x sebelah kanan pada saat t=0..8. Sedangkan untuk c1=1/8 < c2 =1/2 gelombang bergerak sepanjang sisi sebelah kiri sejajar sumbu-y menuju sisi sebelah kanan yang sejajar dengan sumbu-x kemudian berlajut sepanjang sisi sebelah kanan pada saat t=0..8.

Kata Kunci: Persamaan Gelombang, Membran, Koefisien

ABSTRACT

There are some scientific literatures that resolve wave equation on a square membrane, but only presenting ordinary resolution, not reviewing some aspects that may occur. The research aimed to analyze how the waves propagate in a square membrane when the coefficients on different sides. The methodology used in this research is the study of literature. The research examines some of the scientific literature and the result of a thought which is related to the wave equation. There are three kinds of possibilities that can occur when different coefficients are (1) the solution obtained with a solution of one-dimensional wave equation if one of the coefficients equal to zero, (2) Solutions equation becomes interesting if the coefficient c1 = c2, (3) for c1 c2 0 obtained a solution which is equivalent to the wave equation solution coefficients equal, the only difference lies in the value kmn. However, differences in the value of kmn to impact on the wave animation that occurs on a square membrane. For coefficients c1=1/2 > c2 =1/8 wave moves along the left side (x-axis) to the right side parallel to the y-axis to the right of the x-axis at time t=0..8. As for the c1=1/8 < c2 =1/2 wave moves along the left side of the y-axis is parallel to the right side parallel to the x-axis, then continue along the right side at the t=0..8.

PENDAHULUAN

Perkembangan ilmu pengetahuan sangat pesat seiring dengan pesatnya perkembangan teknologi. Kebutuhan dan kreativitas manusia merupakan salah satu pemicu kemajuan teknologi sampai saat ini. Kebutuhan manusia yang semakin rumit dan mendesak ikut pula mendorong kemajuan ilmu pengetahuan, terutama dasar ilmu pengetahuan yaitu matematika. Sehingga semakin lama semakin banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dimodelkan dalam model matematika untuk menjawab dan menyelesaikan kebutuhan manusia yang semakin rumit. Pemodelan merupakan proses yang penting dalam berbagai bidang untuk menerjemahkan situasi fisik atau beberapa pengamatan lain menjadi model matematika (Kreyszig, 2011).

Salah satu masalah yang sering muncul dalam kehidupan sehari-hari adalah masalah fisik, apabila situasi fisik dan geometri yang ditemui dimodelkan sebagai suatu fungsi yang melibatkan satu atau lebih variabel bebas maka matematika dengan mudah akan menjawab masalah tersebut karena situasi fisik sangat erat hubungannya dengan persamaan diferensial. Persamaan diferensial (PD) merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika yang termasuk topik penting karena persamaan diferensial memiliki peranan yang besar dalam kehidupan sehari-hari. Secara umum dapat diungkapkan bahwa setiap situasi fisik yang berhubungan dengan kecepatan perubahan suatu variabel lainnya akan menuju ke suatu diferensial, situasi seperti ini sangat sering ditemukan (Alonso dkk., 1994)

Banyak literatur ilmiah yang membahas penyelesaian persamaan gelombang pada membran persegi namun hanya menyajikan penyelesaian yang baku, tidak meninjau beberapa aspek yang dapat terjadi. Menyelesaikan persamaan gelombang dapat menggunakan metode gelombang-polinomial untuk getaran yang merambat pada membran persegi dan membran bulat (Maciag dkk., 2005). Metode pemisahan variabel digunakan untuk mencari solusi persamaan gelombang pada membran persegi seperti yang ditunjukkan (Asmar, 2005), (Finisio dkk., 2008), dan (O’neil, 1983). Sedangkan (Renaut dkk., 1996) memperlihatkan gelombang yang merambat pada membran persegi dengan

kondisi batas yang menyerap gelombang. Berdasarkan uraian latar belakang masalah penelitian ini ditujukan untuk menganalisa bagaimana gelombang merambat pada membran persegi apabila koefisien pada sisi-sisinya berbeda.

METODE DAN BAHAN

Secara umum desain penelitian ini adalah menentukan nilai koefisien yang berbeda pada sisi yang sejajar sumbu-x dan yang sejajar sumbu-y pada membran persegi. Persamaan gelombang dua dimensi selajutnya diselesaikan dengan metode pemisahan variabel untuk memperoleh solusi. Perilaku gelombang pada membran dengan koefisien berbeda dapat dilihat melalui gambar yang buat menggunakan alat bantu komputasi software Maple.

HASIL

Sebuah membran segi empat yang sisi-sisinya dijepit dan sisi-sisinya mempunyai panjang a dan lebar b. Misalkan u



x,y,t



menyatakan pergeseran melintang pada waktu t dalam membran tersebut. Jika koefisien pada sisi yang sejajar sumbu-x disebut c berbeda dengan koefisien yang sejajar dengan sumbu-y ₁ disebut c . Membran tersebut dilepaskan dengan kecepatan awal ₂ g(x,y) dan pergeseran melintang awal f



x,y



yang kontinyu dan bernilai nol pada batas dari sisi-sisinya, maka persamaan untuk gerakan melintang ini adalah:









u



x y t



y c t y x u x c t y x u t , , , , 2 , , 2 2 2 2 2 2 1 2 2         (1) dimana 0 x a, 0 y b, t 0

dengan syarat batas:

















       ; 0 , , ; 0 , 0 , ; 0 , , ; 0 , , 0 t b x u t x u t y a u t y u 0 , 0 0 , 0       t a x t b y (2)

dengan syarat awal:

















         y x g y x u t y x f y x u , 0 , , , 0 , , (3)

Solusi diperoleh dengan menggunakan metode pemisahan variabel. Dengan menggunakan metode perkalian solusi atau pemisahan variabel yang berbentuk;



x y t



X

     

xY yT t

u , ,  (4)

persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk

T XY c YT X c XYT" ₁2 "  ₂2 " (5)

Solusi untuk persamaan gelombang dua dimensi (1) yang memenuhi syarat awal (2) dan syarat batas (3) adalah;









b y n a x m t k E t k E t y x u n m mn mn mn mn mn   sin sin sin cos , , 1 1 , 2 , 1   

_

    (6) dimana: ₂ 2 2 2 2 1 b n c a m c k_mn   ; 

_{ }





 b a mn dxdy b y n a x m y x f ab E 0 0 , 1 , sin sin 4   dan 

_{ }





 b b mn mn dxdy b y n a x m y x g abk E 0 0 , 2 , sin sin 4  

Jika diberikan membran persegi a b5, m n0..3; g



x,y



0;



x,y



 x



x 1

 

y y 1



f ; c ₁ c₂ yaitu 1₂ 1  c dan 1₈ 2  c , diperoleh gambar pergerakan membran yang di plot dengan software maple seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1. Berdasarkan gambar 1 diperoleh bahwa untuk nilai

8 1 2 2 1 1   c 

c simpangan gelombang yang terbesar bergerak sepanjang

sumbu-x sisi sebelah kiri menuju sisi sebelah kanan sejajar sumbu-y hingga sumbu-x sebelah kanan pada saat t 0...8.

Jika diberikan membran persegi a b5, m n0..3; g



x,y



0;



x,y



 x



x 1

 

y y 1



f ; c ₁ c₂ yaitu 8 1 1  c dan 2 1 2  c , diperoleh gambar pergerakan membran yang di plot dengan software maple seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2. Berdasarkan gambar 2 untuk 1₂

2 8 1

1  c  c

simpangan gelombang yang terbesar bergerak sepanjang sisi sebelah kiri yang sejajar sumbu-y menuju sisi sebelah kanan yang sejajar dengan sumbu-x kemudian berlajut sepanjang sisi sebelah kanan tersebut sampai t0...8.

PEMBAHASAN

Penelitian ini menunjukkan bahwa solusi yang diperoleh pada persamaan (6) ekuivalen dengan solusi persamaan gelombang koefisien c₁  c₂ 0, dimana

1 1 1 T _ c  dan 1 1 1 T _

c  adalah konstanta yang selalu bernilai positif karena T

menyatakan tegangan yang selalu bernilai positif dan  menyatakan massa jenis yang bernilai positif (Nagayasu, 2007). Solusi persamaan gelombang dengan koefisien yang sama telah ditunjukkan oleh Kreyszig (2011). Apabila salah satu koefisien pada persamaan (5) sama dengan nol dan koefisien yang lain tidak sama dengan nol c ₁ c₂ yaitu c₁ 0 dan c₂ 0 atau c₁ 0 dan c₂ 0 maka persamaan (5) menjadi;

YT X c

XYT" ₁2 " atau XYT"c₂2XY"T (7) Persamaan (7) ekuivalen dengan persamaan gelombang satu dimensi dan akan diperoleh solusi persamaan gelombang satu dimensi. Hal ini dapat diselesaikan dengan mudah seperti yang telah ditunjukkan oleh Atangana (2003).

Apabila dua koefisien pada persamaan (5) tidak sama dengan nol yaitu 0

1 

c dan c₂ 0 maka tidak menarik jika c ₁ c₂, karena akan diperoleh persamaan gelombang dua dimensi yang biasa dan mudah diselesaikan. Namun solusi persamaan gelombang menjadi menarik jika kedua koefisiennya berbeda dan tidak sama dengan nol, yaitu c₁ 0, c₂ 0 dan c ₁ c₂. Sehingga apabila kedua ruas persamaan (5) dibagi dengan XYT, masing-masing ruas akan tergantung pada satu variabel menjadi;

Y Y c X X c T T" " 2 " 2 2 1   ... (8)

Pada ruas kiri hanya fungsi t dan di ruas kanan hanya fungsi x dan y, maka masing-masing ruas haruslah sama dengan sebuah konstanta k.

2 " k T T   atau T"k2T 0 ... (9) 2 2 2 2 1 " " k Y Y c X X c   atau ₁2 " ₂2 " k2 Y Y c X X c   ... (10)

Pada persamaan (10) terdapat dua PD yang masing-masing ruas hanya tergantung pada satu variabel, sehingga masing-masing ruas sama dengan sebuah konstanta.

2 2 1 "    X X c atau " 0 2 1         X c X  (11) 2 2 2 2 "      k Y Y c atau " 0 2 2         Y c v Y dimana v2  k2 2 (12)

Menurut Falletta (2012) Solusi untuk persamaan (9), (11) dan (12) dapat ditulis menjadi;

 

1 2 1 1cos sin c x A c x A x X     (13)

 

2 2 2 1cos sin c vy B c vy B y Y   (14)

 

t E kt E kt T  ₁cos  ₂sin (15)

Berdasarkan syarat batas X dan Y maka diperoleh A₁ 0 dan B₁ 0, sehingga nilai  dan v dapat ditulis sebagai:

a m c m    _{ } 1 _{; dimana m1,2,3,... (16)} b n c v v_{ n } 2  _{dimana n1,2,3,... (17)}

dengan mensubtitusi nilai  dan v maka konstanta k dapat ditulis menjadi;

2 2 2 2 2 1 b n c a m c k k  _mn   (18)

Subtitusi nilai  , _m v dan _m k_mn masing-masing ke persamaan (13), (14), dan (15).

 

x a m x X_m sin  (19)

 

y b n y Y_n sin  (20)

 

t E k t E k t T_mn  _1,mncos _mn  _2,mnsin _mn (21) Dimana ₂ 2 2 2 2 1 b n c a m c

k_mn   . Solusi yang diinginkan untuk u



x,y,t



 XYT adalah





y



E k t E k t



b n x a m t y x

Peng (2012) menggunakan prinsip superposisi untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial, sehingga berdasarkan prinsip superposisi maka solusi (22) dapat ditulis;









y b n x a m t k E t k E t y x u n m mn mn mn mn   sin sin sin cos , , 1 1 , 2 , 1   



    (23) Koefisien E_1,mn dan E_2,mn adalah koefisien Fourier (Hu, 2012). Koefisien ini dapat diperoleh dengan mensubtitusi pergeseran dan kecepatan awal (3) yang memenuhi persamaan (23).





 

  b a mn dxdy b y n a x m y x f ab E 0 0 , 1 , sin sin 4   (24)





 

  b b mn mn dxdy b y n a x m y x g abk E 0 0 , 2 , sin sin 4   (25)

KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan hasil penelitian diperoleh solusi persamaan gelombang dua dimensi dengan koefisien berbeda ekivalen dengan solusi persamaan gelombang koefisien sama. Namun perbedaaan yang terletak pada nilai k_mn memberi dampak yang cukup besar pada animasi gelombang yang terjadi pada membran persegi.

Untuk nilai 1₈

2 2 1

1  c 

c simpangan gelombang yang terbesar bergerak

sepanjang sumbu-x sisi sebelah kiri menuju sisi sebelah kanan sejajar sumbu-y hingga sumbu-x sebelah kanan pada saat t 0...8. Sedangkan untuk

2 1 2 8 1 1  c 

c simpangan gelombang yang terbesar bergerak sepanjang sisi

sebelah kiri sejajar sumbu-y menuju sisi sebelah kanan yang sejajar dengan sumbu-x kemudian berlajut sepanjang sisi sebelah kanan tersebut sampai t 0...8. Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan memberi perlakuan yang lain misalnya dengan memberikan kecepatan awal (g



x,y



0) dan mengubah bentuk membran menjadi persegi panjang (a b) atau memberikan keadaan awal yang lain.

DAFTAR PUSTAKA

Alonso M. and Finn J.E. (1994). Dasar-dasar Fisika Universitas. Jilid 2 Medan dan Gelombang. Erlangga. Jakarta.

Asmar N. H. 2005. Partial Differential Equations, With Fourier Series and Boundary Value Problems, Pearson Prentice Hall. USA.

Atangana, A. dan Kilicman, A. (2013). A Possible Generalization of Acoustic Wave Equation Using The Concept of Pertubed Derivative Order. Mathematical Problems in Engineering. 2013. 1 – 6.

Falletta, S., Monegato G. dan Scudery, L., (2012) A Spaces-time BIE Method for Wave Equation Problems: The (two-dimensional) Neuman Case. IMA J. Numer Anal.

Finizio N. and Ladas G. (1982). An Introduction toDifferential Equations with Difference Equations, Fourier Series, and Partial Differential Equations. Wadsworth. California.

Hu, M. S., Agarwal, R. P. dan Yang, X. J. (2011). Local Fractional Fourier Series with Application to Wave Equation in Fractal Vibrating String. Abstract and Appl Anal. 2012: 1 – 15.

Kreyzig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics. 9th edition. Wiley Jhon Sons. Colombus.

Nagayasu, S. (2007) An Inverse Problem for The One-dimensional Wave Equation in Multilayer Media. Osaka J. Math. 44: 415-439

Maciag A. and Wauer J. (2005). Solution of the two-dimensional wave equation by using wave polynomials. Springer. 51. 339-350.

O’neil, P.V., (1983), Advanced Engineering Mathematics, Wadsworth Publishing Company, California

Peng, L., Keying, L., Zuliang, P. dan Weizhou, Z. (2012). A Class of PDEs with Nonlinier Superposition Principles. Journal of Apllied Mathematics. 2012: 1 – 15.

Renaut, R. dan Frohlich, J. (1996). A Pseudospectral Chebychev Method for the 2D Wave Equation with Domain Stretching and Absorbing Boundary Conditions. Journal of Computational Physics. 124. 324-336.

Gambar 1. Pergerakan Membran pada t 0...8