Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 1
VEKTOR
Notasi Vektor
Vektor ⃗ atau ⃗ di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks ⃗ = − Maka ⃗ = ⃗ = − − − =
Kombinasi linear vektor basis ⃗ = − maka;
⃗ = ⃗ = ( − ) ̂ + ( − ) ̂ + ( − ) = ̂ + ̂ + = ( , , )
Panjang Vektor
Misalkan ⃗ = ̂ + ̂ + = ( , , ) = , maka panjang vektor ⃗ adalah;
| ⃗| = + +
Vektor satuan ⃗ ditulis , dengan =| ⃗|⃗ Vektor satuan panjangnya satu dan searah ⃗.
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Cara segitiga Cara jajaran genjang
Jika ⃗ = dan ⃗= , maka ⃗ + ⃗ = + = + + +
dan panjangnya ⃗ + ⃗ = ( + ) + ( + ) + ( + )
Jika ⃗ = dan ⃗= , maka ⃗ − ⃗ = − = − − −
dan panjangnya ⃗ − ⃗ = ( − ) + ( − ) + ( − )
Jika adalah sudut antara vektor ⃗ dan ⃗, panjang ⃗ + ⃗ dan ⃗ − ⃗ dapat ditentukan dengan aturan cosinus pada sebuah segitiga.
( , , ) ( , , ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + ⃗ = ⃗ ⃗ + ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 2 | ⃗| = ⃗ + ⃗ = | ⃗| + ⃗ + 2| ⃗| ⃗ cos
⃗ = ⃗ − ⃗ = | ⃗| + ⃗ − 2| ⃗| ⃗ cos
Pembagian Ruas garis dengan Vektor
Jika ⃗ adalah vektor posisi dari titik yang membagi garis dengan perbandingan ∶ = ∶ , maka;
⃗ = ∙ ⃗ ∙ ⃗
Jika titik pada ruas garis , maka dan positif
Jika titik ada di perpanjangan , maka salah satu atau negatif.
Perkalian dan Sudut Dua Vektor
Untuk | |≠ 0 dan | | ≠ 0 dan sudut antara vektor ⃗ dan ⃗ maka perkalian titik (dot product) antara ⃗ dan ⃗ menghasilkan nilai skalar sebesar:
⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ ⃗ ∙ cos ⟹ cos = ⃗∙ ⃗
| ⃗|∙ ⃗
dengan ⃗ ∙ ⃗ = ∙ + ∙ + ∙ jika ⃗ tegak lurus ⃗ maka ⃗ ∙ ⃗ = 0 catatan:
⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗
Perkalian Silang Vektor
Jika ⃗ = ̂ + ̂ + dan ⃗= ̂ + ̂ + untuk |⃗| ≠ 0 dan ⃗ ≠ 0 dan sudut antara vektor ⃗ dan ⃗, berlaku rumus sebagai berikut:
⃗ × ⃗ =
Luas segitiga jika dua sisinya diketahui dan adalah ⃗ × ⃗
Proyeksi Vektor
Proyeksi skalar (panjang proyeksi) vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah; | ⃗| = ⃗∙ ⃗⃗ ⃗ = ⃗ + ⃗ ⃗ ⃗ − ⃗ ⃗ = ⃗ − ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 3 Proyeksi orthogonal vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah;
⃗ = ⃗∙ ⃗
⃗ ∙ ⃗
CONTOH SOAL
1. Diketahui vektor-vektor ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 3 , ⃗ = 4 ̂ + 7 , ⃗ = −3 ̂ − 2 ̂ + , dan vektor ⃗ = ⃗ + 2 ⃗ − ⃗. Vektor ⃗ = . . . . a. 13 ̂ + ̂ − 16 d. 13 ̂ + ̂ + 16 b. 7 ̂ − 3 ̂ − 18 e. 7 ̂ − 3 ̂ + 18 c. 13 ̂ + 16 Pembahasan: ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 3 ⟹ ⃗ = 2 −1 3 ⃗ = 4 ̂ + 7 ⟹ ⃗ = 4 0 7 ⃗ = −3 ̂ − 2 ̂ + ⟹ ⃗ = −3 −2 1 ⃗ = ⃗ + 2 ⃗ − ⃗ ⃗ = 2 −1 3 + 2 4 0 7 − −3 −2 1 ⃗ = 2 + 8 − (−3) −1 + 0 − (−2) 3 + 14 − 1 = 13 1 16 ⃗ = 13 ̂ + ̂ + 16
2. Diketahui vektor ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 3 , ⃗ = − ̂ + 2 ̂ − 5 , dan ⃗ = 3 ̂ + ̂ + . Jika vektor ⃗ + ⃗ tegak lurus ⃗, nilai 2 = . . . .
a. −2 atau d. 3 atau 2 b. 2 atau e. −3 atau 2 c. 2 atau − Pembahasan: ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 3 ⟹ ⃗ = 2 −1 3 ⃗ = − ̂ + 2 ̂ − 5 ⟹ ⃗ = −2 −5 ⃗ = 3 ̂ + ̂ + ⟹ ⃗ = 3 1 ⃗ + ⃗ = 2 −1 3 + − 2 −5 = 1 −2
Jika ⃗ + ⃗ tegak lurus ⃗ maka ⃗ + ⃗ ∙ ⃗ = 0 ∙ 3 + 1 ∙ − 2 ∙ 1 = 0 3 + − 2 = 0 (3 − 2)( + 1) = 0 3 − 2 = 0 atau + 1 = 0 = atau = −1 Sehingga 2 = atau 2 = −2 3. Diketahui vektor ⃗ = −4 8 6 , ⃗ = −3 −2 , dan ⃗ = −2 7 −4
. Jika vektor ⃗ tegak lurus ⃗, hasil dari ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ = . . . . a. 3 3 3 −4 d. 3 3 3 4 b. −3 3 3 −4 e. 3 3 −3 −4 c. −3 3 3 4
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 4 Pembahasan: ⃗ ⊥ ⃗ maka ⃗ ∙ ⃗ = 0 (−4)( ) + (8)(−3) + (6)(−2) = 0 −4 − 24 − 12 = 0 −4 = 36 = −9 Sehingga ⃗= −9 −3 −2 ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ = −4 8 6 + −9 −3 −2 − 2 −2 7 −4 ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ = −4 − 9 + 4 8 − 3 − 14 6 − 2 + 8 = −9 −9 12 ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ = −3 3 3 −4 4. Diketahui vektor ⃗ = 3 −3 4 , dan ⃗ = 1 −7 −6
. sudut antara vektor ⃗ dan ⃗ adalah . . . .
a. 135° d. 60° b. 120° e. 45° c. 90° Pembahasan: ⃗ ∙ ⃗ = 3(1) + (−3)(−7) + 4(−6) ⃗ ∙ ⃗ = 3 + 21 − 24 = 0 n
Karena ⃗ ∙ ⃗ = 0 maka ⃗ dan ⃗ saling tegak lurus atau ∠( ⃗, ⃗) = 90° 5. Diketahui vektor ⃗ = 3 0 −3 , dan ⃗ = 3 3 0
. Nilai sinus sudut antara vektor ⃗ dan ⃗ adalah . . . . a. − d. √2 b. 0 e. √3 c. Pembahasan: ⃗ ∙ ⃗ = 3(3) + 0(3) + (−3)(0) ⃗ ∙ ⃗ = 9 + 0 + 0 = 9 | ⃗| = 3 + 0 + (−3) = √18 ⃗ = √3 + 3 + 0 = √18 cos ∠ ⃗, ⃗ = ⃗∙ ⃗ | ⃗|∙ ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ = √ ∙√ = = ∠ ⃗, ⃗ = 60° sin ∠ ⃗, ⃗ = sin 60° = √3
6. Diketahui segitiga dengan titik (2, −1, −3), (−1, 1, −11), dan (4, −3, −2). Vektor proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah . . . .
a. −12 ̂ + 12 ̂ − 6 d. 12 ̂ − 12 ̂ + 6 b. −6 ̂ − 4 ̂ + 16 e. −4 ̂ + 4 ̂ − 2 c. −6 ̂ + 4 ̂ − 16 Pembahasan: Misal ⃗ = ⃗ = − ⃗ = −1 1 −11 − 2 −1 −3 = −3 2 −8 Misal ⃗ = ⃗ = − ⃗ = 4 −3 −2 − 2 −1 −3 = 2 −2 1 | ⃗| = 2 + (−2) + 1 = √9 = 3 ⃗ ∙ ⃗ = −3(2) + 2(−2) + (−8)(1) ⃗ ∙ ⃗ = −18
Vektor proyeksi ⃗ pada ⃗; ⃗ = ⃗∙ ⃗ | ⃗| ⃗ = 2 −2 1 ⃗ = −2 2 −2 1 = −4 4 −2 ⃗ = −4 ̂ + 4 ̂ − 2
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 5 7. ⃗ adalah vektor proyeksi ⃗ = 2 ̂ − 2 ̂ + 4 pada ⃗ = 4 ̂ + 2 ̂ + 5 . Panjang ⃗ adalah . . . .
a. √5 d. 2√6 b. √5 e. 4√6 c. √2 Pembahasan: ⃗ = 2 ̂ − 2 ̂ + 4 ⟹ ⃗ = 2 −2 4 ⃗ = 4 ̂ + 2 ̂ + 5 ⟹ ⃗ = 42 5 ⃗ = √4 + 2 + 5 = √45 = 3√5 ⃗ ∙ ⃗ = 2(4) + (−2)(2) + 4(5) = 24
⃗ merupakan vektor proyeksi ⃗ pada ⃗, maka panjang ⃗ dapat dihitung dengan rumus proyeksi skalar; | ⃗| = ⃗∙ ⃗⃗ = √ =√ | ⃗| = √ × √ √ = √5
8. Diketahui vektor-vektor ⃗ = −3 ̂ − 2 ̂ − dan ⃗ = − ̂ + ̂ − 2 . Sudut antara ⃗ dan ⃗ adalah dengan cos =√ . Proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah ⃗ = ̂ − ̂ + 2 . Nilai dari
= . . . . a. d. √7 b. √35 e. √35 c. √5 Pembahasan: ⃗ = −3 ̂ − 2 ̂ − ⟹ ⃗ = −3 −2 − ⃗ = − ̂ + ̂ − 2 ⟹ ⃗ = − −2 ⃗ = ̂ − ̂ + 2 ⟹ ⃗ = 1 −1 2
Vektor proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah ⃗, maka berlaku; ⃗ = ⃗ − −2 = 1 −1 2 − = ⟹ = − = − ⟹ = − − = − ⟹ = ∠( ⃗, ⃗) = cos =| ⃗|| ⃗|⃗∙ ⃗ √ = ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ = √ = Substitusi = √ = √ = √ = ( ) √6 ∙ 6 (5 + 9) = 8(3 ) 36 (5 + 9) = 24 Kuadratkan kedua ruas;
36 (5 + 9) = (24 ) 36 (5 + 9) = 576 5 + 9 = 5 + 9 = 16 5 = 7 = = ±√ √ = ± √ = ± √35 Jadi = − √35 atau = √35 9. Diketahui vektor ⃗ = (1, 2) dan vektor ⃗ = (2, 1). Jika titik terletak pada
sehingga ∶ = 1 ∶ 2, panjang vektor ⃗ = . . . .
a. √2 d. √41
b. √2 e. √41
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 6 Pembahasan: ⃗ = ⃗ = 1 2 ⃗ = ⃗ = 2 1 ∶ = 1 ∶ 2 ⟹ = 1, dan = 2 Maka ⃗ = ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ = = = 4 3 5 3 panjang vektor ⃗ = | ⃗| = + | ⃗| = + = = √41
10. Diketahui (4, 9, 1), (6, 3, −2), dan (−2, 6, 3) adalah titik titik sudut suatu segitiga. Luas segitiga itu sama dengan . . . .
a. 36 d. 18 b. 30 e. c. Pembahasan: Misal ⃗ = ⃗ = − = 6 3 −2 − 4 9 1 = 2 −6 −3 ⃗ = ⃗ = − = −26 3 − 4 9 1 = −6 −3 2 ⃗ × ⃗ = 2̂ −6 −3̂ −6 −3 2 ⃗ × ⃗ = 2̂ −6 −3̂ −6 −3 2 ̂ ̂ 2 −6 −6 −3 ⃗ × ⃗ = −12 ̂ + 18 ̂ + −6 − 36 − 9 ̂ − 4 ̂ ⃗ × ⃗ = −21 ̂ + 14 ̂ + −42 Luas ∆ = ⃗ × ⃗ Luas ∆ = (−21) + 14 + (−42) Luas ∆ = √441 + 196 + 1764 Luas ∆ = √2401 =
SOAL LATIHAN
1. Jika ⃗ = 3 −2 , ⃗ = 1 0 , dan ⃗ = −54 maka panjang vektor ⃗= ⃗ + ⃗ − ⃗ adalah . . . .
a. √5 d. 3√13 b. 2√13 e. 2√11 c. 17 Pembahasan: ⃗ = 3 −2 , ⃗ = 1 0 , dan ⃗ = −5 4 ⃗ = ⃗ + ⃗ − ⃗ ⃗ = 3 −2 + 1 0 − −5 4 = 9 −6 Maka; ⃗ = 9 + (−6) = √81 + 36 ⃗ = √117 = 3√13
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 7 2. Diketahui ⃗ = −7 ̂ + 8 ̂ dan (1, −2). Jika | | = | ⃗| dan berlawanan arah dengan ⃗
maka koordinat titik adalah . . . .
a. (6, 10) d. (8, 10) b. (6, −10) e. (8, −10) c. (6, −6) Pembahasan: ⃗ = −7 ̂ + 8 ̂ ⟹ −7 8 (1, −2), dan misalkan ( , )
| | = | ⃗| dan berlawanan arah dengan ⃗, sehingga vektor ⃗ dan ⃗ saling berlawanan, maka; ⃗ = − ⃗ − = − −7 8 − 1 −2 = 7 −8 − 1 + 2 = 7 −8 − 1 = 7 ⟹ = 8 + 2 = −8 ⟹ = −10 Jadi koordinat titik (8, −10)
3. Panjang vektor ⃗, ⃗, dan ⃗ + ⃗ berturut-turut adalah 12, 8, dan 4√7. Besar sudut antara ⃗ dan ⃗ adalah . . . . a. 45° d. 120° b. 60° e. 150° c. 90° Pembahasan: | ⃗| = 12, ⃗ = 8, dan ⃗ + ⃗ = 4√7 ⃗ + ⃗ = | ⃗| + ⃗ + 2 ∙ | ⃗| ∙ ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ 4√7 = 12 + 8 + 2 ∙ 12 ∙ 8 cos ∠ ⃗, ⃗ 112 = 144 + 64 + 192 cos ∠ ⃗, ⃗ 112 = 208 + 192 cos ∠ ⃗, ⃗ −96 = 192 cos ∠ ⃗, ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ = = − ∠ ⃗, ⃗ = 120°
4. Jika |⃗| = 2, ⃗ = 3, dan sudut ⃗, ⃗ = 120° maka 3 ⃗ + 2 ⃗ = . . . .
a. 5 d. 12 b. 6 e. 13 c. 10 Pembahasan: | ⃗| = 2, ⃗ = 3, dan sudut ⃗, ⃗ = 120° 3 ⃗ + 2 ⃗ = 9| ⃗| + 4 ⃗ + 12| ⃗| ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ 3 ⃗ + 2 ⃗ = 9(2) + 4(3) + 12(2)(3) cos 120° 3 ⃗ + 2 ⃗ = 9(4) + 4(9) + 72 − 3 ⃗ + 2 ⃗ = 36 + 36 − 36 3 ⃗ + 2 ⃗ = 36 3 ⃗ + 2 ⃗ = √36 = 6
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 8 5. Diketahui titik (1, −2, −8) dan titik (3, −4, 0). Titik terletak pada perpanjangan
sehingga = −3 . Jika ⃗ vektor posisi titik , maka ⃗ = . . . . a. 4 ̂ − 5 ̂ + 4 d. −3 ̂ − ̂ − 12 b. 4 ̂ − 5 ̂ − 4 e. − ̂ − 5 ̂ − 2 c. − ̂ − 12 Pembahasan: (1, −2, −8), (3, −4, 0) ⃗ = (1, −2, −8) dan ⃗ = (3, −4, 0) = −3 ⟹ : = 3 ∶ −1 Misalkan = 3 dan = −1, maka;
⃗ = ∙ ⃗ ∙ ⃗ ⃗ = ∙ ∙ ⃗ = = ⃗ = −54 4 = 4 ̂ − 5 ̂ + 4
6. Diketahui titik (4, 9, −6) dan (−4, −3, 2). Titik membagi dengan perbandingan 1 ∶ 3. Panjang = . . . . a. √15 d. 11 b. 9 e. 3√17 c. 3√10 Pembahasan: ⃗ = (4, 9, −6) dan ⃗ = (−4, −3, 2) ⃗: ⃗ = 1 ∶ 3 ⟹ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ − ⃗ ⃗ = −4−3 2 − 4 9 −6 = −8 −12 8 ⃗ = ⃗ ⃗ = −12−8 8 = −6 −9 6 Sehingga; ⃗ = (−6) + (−9) + 6 ⃗ = √36 + 81 + 36 = √153 = 3√17 7. Jika titik , , 1 , (1, 0, 0) dan (2, 5, ) terletak pada satu garis lurus maka = . . . .
a. 0 d. 2
b. e.
c. 1
Pembahasan:
, , 1 , (1, 0, 0) dan (2, 5, ) , , dan segaris, maka berlaku;
⃗ = ⃗ − = ( − ) 1 0 0 − 3 2 5 2 1 = 2 5 − 3 2 5 2 1 − 1 2 − 5 2 −1 = 1 2 5 2 − 1 − 1 2 − 5 2 −1 = 5 2 2 − − 1 2 = 2 ⟹ = −1 ⃗
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 9 −1 = − Substitusi = −1; −1 = (−1) − (−1) −1 = − + 1 = 2
8. Vektor ⃗ = (4, 3), vektor ⃗ = (1, −2), dan vektor ⃗ = (2, 7). Jika ⃗ = ⃗ + ⃗ maka = . . . . a. −3 d. 2 b. −2 e. 3 c. −1 Pembahasan: ⃗ = (4, 3), ⃗ = (1, −2), dan ⃗ = (2, 7) ⃗ = ⃗ + ⃗ 2 7 = 4 3 + 1 −2 2 7 = 4 3 + −2 × ×
+
= 1 Substitusi = 1 ke persamaan; 4 + = 2 4(1) + = 2 4 + = 2 = −2 Sehingga; = 1(−2) = −2
9. Diketahui persegi panjang dengan panjang = 12 dan = 5. Jika = ⃗ dan = ⃗ maka ⃗ ∙ ⃗ = . . . . a. 13 d. 149 b. 60 e. 156 c. 144 Pembahasan: = 12 ⟹ | ⃗| = 12 = 5 = √ + = √144 + 25 = √169 = 13 ⟹ | ⃗| = 13 cos = = ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ | ⃗| cos ⃗ ∙ ⃗ = 12 ∙ 13 ∙ = 144
10. Diketahui vektor ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 2 dan ⃗ = 4 ̂ + 10 ̂ − 8 . Vektor ⃗ + ⃗ akan tegak lurus pada vektor ⃗ jika = . . . .
a. 1 d. b. −2 e. −1 c. − pembahasan: ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 2 ⟹ ⃗ = 2 −1 2 ⃗ = 4 ̂ + 10 ̂ − 8 ⟹ ⃗ = 4 10 −8 ⃗ + ⃗ = 2 −1 2 + 4 10 −8 ⃗ + ⃗ = 2 + 4 −1 + 10 2 − 8 = 4 + 2 10 − 1 −8 + 2
( ⃗ + ⃗) tegak lurus ⃗, maka; ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = 0 (4 + 2) ∙ 2 + (10 − 1) ∙ (−1) + (−8 + 2) ∙ 2 = 0 8 + 4 − 10 + 1 − 16 + 4 = 0 −18 + 9 = 0 18 = 9 = ⃗ ⃗
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 10 11. Jika ⃗ = ̂ + , ⃗ = ̂ + , ⃗ = ̂ + 4 , dan ∠ = 60° maka = . . . .
a. 3 d. −1 b. 2 e. −2 c. 1 Pembahasan: ⃗ = ̂ + ⟹koordinat titik (1, 0, 1) ⃗ = ̂ + ⟹ koordinat titik (0, 1, 1) ⃗ = ̂ + 4 ⟹ koordinat titik (0, , 4) ⃗ = − = 1 0 1 − 0 1 1 = 1 −1 0 ⃗ = − = 0 4 − 0 1 1 = 0 − 1 3 Diketahui ∠ = 60° ⟹ ∠ ⃗, ⃗ = 60° cos ∠ ⃗, ⃗ = ⃗ ∙⃗∙ ⃗⃗ cos 60° = ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = √ = ( ) 2(1 − ) = √2 − 4 + 20 2 − 2 = √2 − 4 + 20 Kuadratkan kedua ruas;
(2 − 2 ) = √2 − 4 + 20 4 − 8 + 4 = 2 − 4 + 20 4 − 2 − 8 + 4 + 4 − 20 = 0 2 − 4 − 16 = 0
Kedua ruas dibagi 2; − 2 − 8 = 0 ( + 2)( − 4) = 0
= −2 atau = 4
12. Sudut antara vektor ⃗ = ̂ + (2 + 1) ̂ − √3 dan ⃗ adalah 60°. Jika panjang proyeksi ⃗ ke ⃗ sama dengan √5 maka = . . . .
a. 4 atau − d. atau −1 b. 1 atau 4 e. − atau 1 c. 1 atau 2 Pembahasan: ⃗ = ̂ + (2 + 1) ̂ − √3 ⟹ ⃗ = 2 + 1 − √3 ∠ ⃗, ⃗ = 60°
Misalkan panjang proyeksi ⃗ ke ⃗ adalah | ⃗|, maka |⃗| = √5 | ⃗| = ⃗∙ ⃗⃗ =| ⃗|∙ ⃗ ⃗ ∠ ⃗, ⃗ | ⃗| = | ⃗| cos ∠ ⃗, ⃗ √ = + (2 + 1) + − √3 cos 60° √ = √ + 4 + 4 + 1 + 3 ∙ kedua ruas kalikan 2;
√5 = √8 + 4 + 1 Kuadratkan kedua ruas;
√5 = √8 + 4 + 1 5 = 8 + 4 + 1 8 + 4 − 4 = 0 2 + − 1 = 0 (2 − 1)( + 1) = 0 = atau = −1
13. Vektor ⃗ = −3 ̂ + 4 ̂ + dan ⃗ = 2 ̂ + 3 ̂ − 6 . Jika panjang proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah 6 maka = . . . . a. 8 d. −4 b. 10 e. −6 c. 12 Pembahasan: ⃗ = −3 ̂ + 4 ̂ + ⟹ ⃗ = −3 4 ⃗ = 2 ̂ + 3 ̂ − 6 ⟹ ⃗ = 2 3 −6
Misalkan panjang proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah | ⃗|, maka | ⃗| = 6
| ⃗| = ⃗∙ ⃗
| ⃗|
6 = ( ) ( ) ( )
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 11 6 = √ 6 = √ 6 = 42 = 6 − 6 6 = 6 − 42 6 = −36 = −6
14. Diketahui vektor ⃗ = 4 ̂ − 2 ̂ + 2 dan vektor ⃗ = 2 ̂ − 6 ̂ + 4 . Proyeksi vektor orthogonal ⃗ pada ⃗ adalah . . . .
a. 8 ̂ − 4 ̂ + 4 d. ̂ − 3 ̂ + 2 b. 6 ̂ − 8 ̂ + 6 e. ̂ − ̂ + c. 4 ̂ − 2 ̂ + 2 Pembahasan: ⃗ = 4 ̂ − 2 ̂ + 2 ⟹ ⃗ = 4 −2 2 ⃗ = 2 ̂ − 6 ̂ + 4 ⟹ ⃗ = −62 4 ⃗ = 2 + (−6) + 4 = √4 + 36 + 16 ⃗ = √56 ⃗ ∙ ⃗ = 4(2) + (−2)(−6) + 2(4) ⃗ ∙ ⃗ = 8 + 12 + 8 = 28
Proyeksi vektor orthogonal ⃗ pada ⃗ adalah; ⃗ = ⃗∙ ⃗ ⃗ ∙ ⃗ ⃗ = √ ∙ 2 −6 4 ⃗ = ∙ 2 −6 4 ⃗ = ∙ 2 −6 4 = 1 −3 2 ⃗ = ̂ − 3 ̂ + 2
15. Diberikan vektor-vektor berikut: ⃗ = 1 1 √2 , ⃗ = 2 2√2 , dan ⃗ = 0 √2 . Jika panjang
proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah 1, dan vektor ⃗ tegak lurus dengan vektor ⃗, nilai + = . . . . a. −1 d. 2 b. 0 e. 3 c. 1 Pembahasan: Diketahui; ⃗ = 1 1 √2 , ⃗ = 2 2√2 , ⃗ = 0 √2
Panjang proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah |⃗| = 1, dan ⃗ ⊥ ⃗. |⃗| = ⃗∙ ⃗ | ⃗| 1 = ( ) √ √ ( ) √ 1 = √ √ √ 1 = ( )√ 2 = 2 + ( + 2)√2 ( + 2)√2 = 0 ( + 2) = 0 = −2 ⃗⊥ ⃗ ⟹ ⃗ ∙ ⃗ = 0 2(0) + 2√2( ) + √2 = 0 0 + 2 √2 + √2 = 0 Substitusi = −2: 2 √2 − 2√2 = 0 2 √2 = 2√2 = √ √ = 1 Sehingga; + = −2 + 1 = −1
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 12 SOAL PENDALAMAN
1. (UM-UGM 2004)
Jika ⃗, ⃗, ⃗, dan ⃗ berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajar genjang dengan sejajar , maka ⃗ = . . . .
a. − ⃗ + ⃗ + ⃗ d. − ⃗ − ⃗ + ⃗ b. ⃗ − ⃗ + ⃗ e. ⃗ + ⃗ + ⃗ c. ⃗ − ⃗ − ⃗ Pembahasan: Jika ⃗ ∕∕ ⃗ maka; Arah ⃗ = arah ⃗ ⃗ = ⃗ Sehingga ⃗ = ⃗ ⃗ − ⃗ = ⃗ − ⃗ ⃗ = ⃗ − ⃗ + ⃗ 2. (UM-UGM 2006)
Jika proyeksi vektor ⃗ = 3 ̂ + 4 ̂ ke vektor ⃗ = −4 ̂ + 8 ̂ adalah vektor ⃗, maka | ⃗| adalah . . . . a. √5 d. 1 b. 5 e. 3 c. √3 Pembahasan: ⃗ = 3 ̂ + 4 ̂ ⟹ ⃗ = 3 4 ⃗ = −4 ̂ + 8 ̂ ⟹ ⃗ = −4 8 ⃗ ∙ ⃗ = 3(−4) + 4(8) = 20 | ⃗| = (−4) + 8 = √16 + 64 | ⃗| = √80 = 4√5 Sehingga | ⃗| = ⃗∙ ⃗ | ⃗| = √ = √5 3. (UM-UGM 2008)
Panjang proyeksi vektor ( , 5, −1) pada vektor (1, 4, 8) adalah 2, maka = . . . .
a. 6 d. 3
b. 5 e. 2
c. 4
Pembahasan:
Misalkan; ⃗ = ( , 5, −1), ⃗ = (1, 4, 8), dan panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ adalah | ⃗| = 2. ⃗ ∙ ⃗ = (1) + 5(4) + (−1)(8) = + 12 | ⃗| = √1 + 4 + 8 = √81 = 9 | ⃗| = ⃗∙ ⃗ | ⃗| 2 = 18 = + 12 = 6 4. (UM-UGM 2013)
Diketahui vektor-vektor ⃗ = ( , 1, − ) dan ⃗ = (1, , ). Jika ⃗ vektor proyeksi ⃗ pada ⃗, ⃗ vektor proyeksi ⃗ pada ⃗, dan sudut antara ⃗ dan ⃗ dengan cos = , maka luas jajaran genjang yang dibentuk oleh ⃗ dan ⃗ adalah . . . .
a. √2 d. √6 b. √6 e. 2 c. √2 Pembahasan: ⃗ = ( , 1, − ), ⃗ = (1, , ), dan ∠( ⃗, ⃗) = dengan cos = | ⃗| = + 1 + (− ) = √2 + 1 | ⃗| = √1 + + = √2 + 1 ⃗ ∙ ⃗ = (1) + 1( ) + (− )( ) = 2 − cos = ⃗∙ ⃗ | ⃗|| ⃗|=
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 13 = 2 + 1 = 3(2 − ) 2 + 1 = 6 − 3 5 − 6 + 1 = 0 (5 − 1)( − 1) = 0 = atau = 1
Untuk = 1, maka ⃗ = (1, 1, −1) dan ⃗ = (1, 1, 1)
| ⃗| = √2 + 1 = 2(1) + 1 = √3 | ⃗| = √2 + 1 = 2(1) + 1 = √3
⃗ ∙ ⃗ = 2 − = 2(1) − 1 = 1 Panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗;
| ⃗ | = ⃗∙ ⃗
| ⃗|=√ = √3
Panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗; | ⃗ | = ⃗∙ ⃗
| ⃗|=√ = √3
∠( ⃗, ⃗) = ∠( ⃗ , ⃗ ) = cos = ⟹ sin = √2
Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh ⃗ dan ⃗ adalah:
= | ⃗ | ∙ | ⃗ | sin
= √3 ∙ √3 ∙ √2 = √2
5. (UM-UGM 2014)
Diketahui vektor ⃗ dan ⃗ membentuk sudut sebesar . Jika panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ sama dengan 2 sin dan panjang vektor ⃗ adalah 1, maka tan 2 = . . . .
a. d. b. e. c. 1 Pembahasan: Diketahui; ∠ ⃗, ⃗ = , ⃗ = 1 cos =| ⃗|∙ ⃗⃗∙ ⃗ cos =| ⃗|∙⃗∙ ⃗ =| ⃗|⃗∙ ⃗ ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| cos
Misalkan proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ adalah ⃗, maka |⃗| = 2 sin | ⃗| = ⃗∙ ⃗ | ⃗| 2 sin =| ⃗|⃗∙ ⃗ Substitusi ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| cos ; 2 sin =| ⃗| | ⃗| 2 sin = cos = tan = tan 2 = = tan 2 = = = 6. (SIMAK UI 2009)
Jika diketahui koordinat titik (3, 1, 2), (4, 3, 0), dan (1, 2, 5), maka luas segitiga sama dengan . . . . a. √14 d. 2√26 b. √10 e. √114 c. 3√10 Pembahasan: Misal ⃗ = ⃗ = − = 43 0 − 3 1 2 = 1 2 −2 ⃗ = ⃗ = − = 12 5 − 3 1 2 = −2 1 3 ⃗ × ⃗ = 1̂ 2̂ −2 −2 1 3 ⃗ × ⃗ = 1̂ 2 −2̂ −2 1 3 ̂ ̂ 1 2 −2 1 ⃗ × ⃗ = 6 ̂ + 4 ̂ + − −4 − (−2 ̂) − 3 ̂ ⃗ × ⃗ = 8 ̂ + ̂ + 5 Luas ∆ = ⃗ × ⃗ Luas ∆ = (8) + 1 + 5 Luas ∆ = √64 + 1 + 25 Luas ∆ = √90 = √10
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 14 7. (SIMAK UI 2010)
Vektor ⃗, ⃗, ⃗ adalah vektor-vektor unit yang masing-masing membentuk sudut 60° dengan vektor lainnya. Maka ⃗ − ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ adalah . . . .
a. − d.
b. − e.
c. −√ Pembahasan:
∠ ⃗, ⃗ = ∠( ⃗, ⃗) = ∠ ⃗, ⃗ = 60°
⃗, ⃗, ⃗ adalah vektor-vektor unit, maka | ⃗| = ⃗ = | ⃗| = 1 ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ ⃗ cos 60° ⃗ ∙ ⃗ = 1 ∙ 1 ∙ = ⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ = ⃗∙ ⃗ = ⃗ = 1 ⃗ − ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ ∙ ⃗ + ⃗ ∙ ⃗ ⃗ − ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ = − − 1 + = − 8. (SIMAK UI 2012)
Dalam segitiga , ⃗ = ⃗, ⃗ = ⃗. Jika titik adalah titik berat segitiga maka ⃗ = . . . .
a. ⃗ + ⃗ d. ⃗ + ⃗
b. ⃗ + ⃗ e. ⃗ + ⃗
c. ⃗ + ⃗ Pembahasan:
merupakan garis berat maka : = 1: 1
⃗ = ⃗ ⃗
= ⃗ + ⃗
Karena merupakan titik berat, maka; ⃗ = ⃗
⃗ = ∙ ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ 9. (UMB 2008)
Diketahui titik-titik (0, 0, 3), (4, 0, 0), dan (0, 4, 0). Jarak titik (0, 0, 0) ke bidang yang melalui titik-titik , , dan adalah . . . .
a. √34 d. √34 b. √34 e. √34 c. √34 Pembahasan: ⃗ = (0, 0, 3) ⟹ ⃗ = √0 + 0 + 9 = 3 ⃗ = (4, 0, 0) ⟹ ⃗ = √16 + 0 + 0 = 4 ⃗ = (0, 4, 0) ⟹ ⃗ = √0 + 16 + 0 = 4 Misalkan jarak titik (0, 0, 0) ke bidang yang melalui titik-titik , , dan adalah , maka;
= ⃗ + ⃗ + ⃗ = + + = + + = + + = = = √ = √34 = √34 ⃗ ⃗
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 15 10. (SNMPTN 2010)
Nilai agar vekor 2 ̂ + ̂ + dan 4 ̂ − 2 ̂ − 2 saling tegak lurus adalah . . . .
a. 6 d. −6 b. 3 e. −3 c. −1 Pembahasan: Misalkan; ⃗ = 2 ̂ + ̂ + ⟹ ⃗ = (2, , 1) ⃗ = 4 ̂ − 2 ̂ − 2 ⟹ ⃗ = (4, −2, −2) Vektor ⃗ dan ⃗ saling tegak lurus, maka;
⃗ ∙ ⃗ = 0 2(4) + (−2) + 1(−2) = 0 8 − 2 − 2 = 0 −2 = −6 = 3 11. (SNMPTN 2011)
Diketahui vektor ⃗ = ( , −2, −1) dan ⃗ = ( , , −1). Jika ⃗ tegak lurus pada ⃗ maka nilai adalah . . . . a. −1 d. 2 b. 0 e. 3 c. 1 Pembahasan: ⃗ = ( , −2, −1) ⃗ = ( , , −1)
Vektor ⃗ dan ⃗ saling tegak lurus, maka; ⃗ ∙ ⃗ = 0 ( ) + (−2)( ) + (−1)(−1) = 0 − 2 + 1 = 0 ( − 1)( − 1) = 0 = 1 12. (SNMPTN 2012)
Jika ⃗ dan ⃗ adalah dua vektor satuan yang membentuk sudut 60° maka ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = . . .
a. √ − 1 d. √ + 1
b. √ + 1 e.
√ + 1
c.
Pembahasan:
⃗ dan ⃗ adalah vektor satuan, maka | ⃗| = 1 dan |⃗| = 1, ∠( ⃗, ⃗) = 60°. ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ + ⃗ ∙ ⃗ ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ | ⃗| cos ∠( ⃗, ⃗) + | ⃗| ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = 1 ∙ 1 cos 60° + 1 ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = + 1 = 13. (SBMPTN 2013)
Diketahui (4, 0, 0), (0, −4, 0) dan (0, 0, 5). Panjang proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah . . . . a. √ d. √ b. √ e. 2√2 c. √ Pembahasan: Diketahui (4, 0, 0), (0, −4, 0) dan (0, 0, 5). ⃗ = − = 00 5 − 4 0 0 = −4 0 5 ⃗ = − = 0 −4 0 − 4 0 0 = −4 −4 0
Misalkan proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah ⃗, maka; | ⃗| = ⃗∙ ⃗⃗ | ⃗| =( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ⃗| = √
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 16 | ⃗| =
√ = √ =√ = 2√2
14. (SBMPTN 2014)
Diberikan limas . Misalkan = ⃗, = ⃗ dan = ⃗. Jika adalah titik berat ∆ maka = . . . . a. ( + + ) d. ( + + ) b. ( + + ) e. + + c. ( + + ) Pembahasan: ⃗ = ⃗ − ⃗ = − ⃗ = ⃗ − ⃗ = − ⃗ = ⃗ − ⃗ = − ⃗ = ⃗ = ( − ) ⃗ = ⃗ + ⃗ = ( − ) + − ⃗ = + −
Karena merupakan garis berat, maka; ⃗ = ⃗ ⃗ = + − ⃗ = + − Sehingga; ⃗ = ⃗ + ⃗ ⃗ = + + − ⃗ = + + ⃗ = ( + + ) 15. (SBMPTN 2015)
Misalkan ( + 1, ) dan (1, 2) sehingga panjang vektor proyeksi ⃗ terhadap ⃗ kurang dari
√ maka nilai yang mungkin adalah . . . .
a. < −1 atau > 3 d. −1 < < 3 b. < −3 atau > 1 e. 1 < < 3 c. −3 < < 1
Pembahasan:
⃗ = ( + 1, ), ⃗ = (1,2)
Misalkan vektor proyeksi ⃗ terhadap ⃗ adalah ⃗, maka; | ⃗| < √ ⃗∙ ⃗ ⃗ <√ ∙ ∙ < √ √ <√ + 2 + 1 < 4 + 2 − 3 < 0 ( − 1)( + 3) < 0 Pembuat nol: = −3 atau = 1
Jadi nilai yang mungkin adalah; −3 < < 1
16. (USM-STIS 2013)
Jika sudut antara vektor ⃗ = ̂ − √2 ̂ − dan ⃗ = ̂ + √2 ̂ − adalah 60° maka = . . . .
a. − atau d. −√5 atau √5
b. −1 atau 1 e. − √5 atau √5
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 17 Pembahasan: ⃗ = ̂ − √2 ̂ − ⟹ ⃗ = 1, −√2, − | ⃗| = 1 + −√2 + (− ) | ⃗| = + 3 ⃗= ̂ + √2 ̂ − ⟹ ⃗ = 1, √2, − ⃗ = 1 + √2 + (− ) ⃗ = + 3 ⃗ ∙ ⃗ = 1 ∙ 1 + −√2 ∙ √2 + (− ) ∙ (− ) ⃗ ∙ ⃗ = 1 − 2 + = − 1 ∠ ⃗, ⃗ = 60° cos ∠ ⃗, ⃗ = Dengan demikian; ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ − 1 = + 3 ∙ + 3 ∙ − 1 = ( + 3) 2 − 2 = + 3 = 5 = ±√5 = −√5 atau = √5 17. (USM-STIS 2015) Diketahui vektor-vektor ⃗ = 3 1 −1 , ⃗ = −1 2 1 , ⃗ = 2 3 1 3 0
. Pernyataan berikut yang
benar adalah . . . .
a. ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tegak lurus b. ⃗ dan ⃗ membentuk sudut lancip c. ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tumpul d. ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tegak lurus e. ⃗ dan ⃗ membentuk sudut lancip Pembahasan:
⃗ ∙ ⃗ = 3 ∙ (−1) + 1 ∙ 2 + (−1) ∙ 1 = −2 Karena ⃗ ∙ ⃗ hasilnya negatif maka ⃗ dan
⃗ membentuk sudut tumpul.
⃗ ∙ ⃗ = 3 ∙ + 1 ∙ + (−1) ∙ 0 =
Karena ⃗ ∙ ⃗ hasilnya positif maka ⃗ dan ⃗ membentuk sudut lancip.
⃗∙ ⃗ = (−1) ∙ + 2 ∙ + 1 ∙ 0 = 0 Karena ⃗ ∙ ⃗ = 0 maka ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tegak lurus.