• Tidak ada hasil yang ditemukan

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = ="

Copied!
17
0
0

Teks penuh

(1)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 1

VEKTOR

Notasi Vektor

Vektor ⃗ atau ⃗ di atas dapat dinyatakan dengan:  Matriks ⃗ = − Maka ⃗ = ⃗ = − − − =

 Kombinasi linear vektor basis ⃗ = − maka;

⃗ = ⃗ = ( − ) ̂ + ( − ) ̂ + ( − ) = ̂ + ̂ + = ( , , )

Panjang Vektor

Misalkan ⃗ = ̂ + ̂ + = ( , , ) = , maka panjang vektor ⃗ adalah;

| ⃗| = + +

Vektor satuan ⃗ ditulis , dengan =| ⃗|⃗ Vektor satuan panjangnya satu dan searah ⃗.

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Cara segitiga Cara jajaran genjang

 Jika ⃗ = dan ⃗= , maka ⃗ + ⃗ = + = + + +

dan panjangnya ⃗ + ⃗ = ( + ) + ( + ) + ( + )

 Jika ⃗ = dan ⃗= , maka ⃗ − ⃗ = − = − − −

dan panjangnya ⃗ − ⃗ = ( − ) + ( − ) + ( − )

Jika adalah sudut antara vektor ⃗ dan ⃗, panjang ⃗ + ⃗ dan ⃗ − ⃗ dapat ditentukan dengan aturan cosinus pada sebuah segitiga.

( , , ) ( , , ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ + ⃗ = ⃗ ⃗ + ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(2)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 2 | ⃗| = ⃗ + ⃗ = | ⃗| + ⃗ + 2| ⃗| ⃗ cos

= ⃗ − ⃗ = | ⃗| + ⃗ − 2| ⃗| ⃗ cos

Pembagian Ruas garis dengan Vektor

Jika ⃗ adalah vektor posisi dari titik yang membagi garis dengan perbandingan ∶ = ∶ , maka;

⃗ = ∙ ⃗ ∙ ⃗

Jika titik pada ruas garis , maka dan positif

Jika titik ada di perpanjangan , maka salah satu atau negatif.

Perkalian dan Sudut Dua Vektor

Untuk | |≠ 0 dan | | ≠ 0 dan sudut antara vektor ⃗ dan ⃗ maka perkalian titik (dot product) antara ⃗ dan ⃗ menghasilkan nilai skalar sebesar:

⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ ⃗ ∙ cos ⟹ cos = ⃗∙ ⃗

| ⃗|∙ ⃗

dengan ⃗ ∙ ⃗ = ∙ + ∙ + ∙ jika ⃗ tegak lurus ⃗ maka ⃗ ∙ ⃗ = 0 catatan:

⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗

Perkalian Silang Vektor

Jika ⃗ = ̂ + ̂ + dan ⃗= ̂ + ̂ + untuk |⃗| ≠ 0 dan ⃗ ≠ 0 dan sudut antara vektor ⃗ dan ⃗, berlaku rumus sebagai berikut:

⃗ × ⃗ =

Luas segitiga jika dua sisinya diketahui dan adalah ⃗ × ⃗

Proyeksi Vektor

Proyeksi skalar (panjang proyeksi) vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah; | ⃗| = ⃗∙ ⃗ ⃗ = ⃗ + ⃗ ⃗ ⃗ − ⃗ ⃗ = ⃗ − ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(3)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 3 Proyeksi orthogonal vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah;

⃗ = ⃗∙ ⃗

⃗ ∙ ⃗

CONTOH SOAL

1. Diketahui vektor-vektor ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 3 , ⃗ = 4 ̂ + 7 , ⃗ = −3 ̂ − 2 ̂ + , dan vektor ⃗ = ⃗ + 2 ⃗ − ⃗. Vektor ⃗ = . . . . a. 13 ̂ + ̂ − 16 d. 13 ̂ + ̂ + 16 b. 7 ̂ − 3 ̂ − 18 e. 7 ̂ − 3 ̂ + 18 c. 13 ̂ + 16 Pembahasan: ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 3 ⟹ ⃗ = 2 −1 3 ⃗ = 4 ̂ + 7 ⟹ ⃗ = 4 0 7 ⃗ = −3 ̂ − 2 ̂ + ⟹ ⃗ = −3 −2 1 ⃗ = ⃗ + 2 ⃗ − ⃗ ⃗ = 2 −1 3 + 2 4 0 7 − −3 −2 1 ⃗ = 2 + 8 − (−3) −1 + 0 − (−2) 3 + 14 − 1 = 13 1 16 ⃗ = 13 ̂ + ̂ + 16

2. Diketahui vektor ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 3 , ⃗ = − ̂ + 2 ̂ − 5 , dan ⃗ = 3 ̂ + ̂ + . Jika vektor ⃗ + ⃗ tegak lurus ⃗, nilai 2 = . . . .

a. −2 atau d. 3 atau 2 b. 2 atau e. −3 atau 2 c. 2 atau − Pembahasan: ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 3 ⟹ ⃗ = 2 −1 3 ⃗ = − ̂ + 2 ̂ − 5 ⟹ ⃗ = −2 −5 ⃗ = 3 ̂ + ̂ + ⟹ ⃗ = 3 1 ⃗ + ⃗ = 2 −1 3 + − 2 −5 = 1 −2

Jika ⃗ + ⃗ tegak lurus ⃗ maka ⃗ + ⃗ ∙ ⃗ = 0 ∙ 3 + 1 ∙ − 2 ∙ 1 = 0 3 + − 2 = 0 (3 − 2)( + 1) = 0 3 − 2 = 0 atau + 1 = 0 = atau = −1 Sehingga 2 = atau 2 = −2 3. Diketahui vektor ⃗ = −4 8 6 , ⃗ = −3 −2 , dan ⃗ = −2 7 −4

. Jika vektor ⃗ tegak lurus ⃗, hasil dari ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ = . . . . a. 3 3 3 −4 d. 3 3 3 4 b. −3 3 3 −4 e. 3 3 −3 −4 c. −3 3 3 4

(4)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 4 Pembahasan: ⃗ ⊥ ⃗ maka ⃗ ∙ ⃗ = 0 (−4)( ) + (8)(−3) + (6)(−2) = 0 −4 − 24 − 12 = 0 −4 = 36 = −9 Sehingga ⃗= −9 −3 −2 ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ = −4 8 6 + −9 −3 −2 − 2 −2 7 −4 ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ = −4 − 9 + 4 8 − 3 − 14 6 − 2 + 8 = −9 −9 12 ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ = −3 3 3 −4 4. Diketahui vektor ⃗ = 3 −3 4 , dan ⃗ = 1 −7 −6

. sudut antara vektor ⃗ dan ⃗ adalah . . . .

a. 135° d. 60° b. 120° e. 45° c. 90° Pembahasan: ⃗ ∙ ⃗ = 3(1) + (−3)(−7) + 4(−6) ⃗ ∙ ⃗ = 3 + 21 − 24 = 0 n

Karena ⃗ ∙ ⃗ = 0 maka ⃗ dan ⃗ saling tegak lurus atau ∠( ⃗, ⃗) = 90° 5. Diketahui vektor ⃗ = 3 0 −3 , dan ⃗ = 3 3 0

. Nilai sinus sudut antara vektor ⃗ dan ⃗ adalah . . . . a. − d. √2 b. 0 e. √3 c. Pembahasan: ⃗ ∙ ⃗ = 3(3) + 0(3) + (−3)(0) ⃗ ∙ ⃗ = 9 + 0 + 0 = 9 | ⃗| = 3 + 0 + (−3) = √18 ⃗ = √3 + 3 + 0 = √18 cos ∠ ⃗, ⃗ = ⃗∙ ⃗ | ⃗|∙ ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ = √ ∙√ = = ∠ ⃗, ⃗ = 60° sin ∠ ⃗, ⃗ = sin 60° = √3

6. Diketahui segitiga dengan titik (2, −1, −3), (−1, 1, −11), dan (4, −3, −2). Vektor proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah . . . .

a. −12 ̂ + 12 ̂ − 6 d. 12 ̂ − 12 ̂ + 6 b. −6 ̂ − 4 ̂ + 16 e. −4 ̂ + 4 ̂ − 2 c. −6 ̂ + 4 ̂ − 16 Pembahasan: Misal ⃗ = ⃗ = − ⃗ = −1 1 −11 − 2 −1 −3 = −3 2 −8 Misal ⃗ = ⃗ = − ⃗ = 4 −3 −2 − 2 −1 −3 = 2 −2 1 | ⃗| = 2 + (−2) + 1 = √9 = 3 ⃗ ∙ ⃗ = −3(2) + 2(−2) + (−8)(1) ⃗ ∙ ⃗ = −18

Vektor proyeksi ⃗ pada ⃗; ⃗ = ⃗∙ ⃗ | ⃗| ⃗ = 2 −2 1 ⃗ = −2 2 −2 1 = −4 4 −2 ⃗ = −4 ̂ + 4 ̂ − 2

(5)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 5 7. ⃗ adalah vektor proyeksi ⃗ = 2 ̂ − 2 ̂ + 4 pada ⃗ = 4 ̂ + 2 ̂ + 5 . Panjang ⃗ adalah . . . .

a. √5 d. 2√6 b. √5 e. 4√6 c. √2 Pembahasan: ⃗ = 2 ̂ − 2 ̂ + 4 ⟹ ⃗ = 2 −2 4 ⃗ = 4 ̂ + 2 ̂ + 5 ⟹ ⃗ = 42 5 ⃗ = √4 + 2 + 5 = √45 = 3√5 ⃗ ∙ ⃗ = 2(4) + (−2)(2) + 4(5) = 24

⃗ merupakan vektor proyeksi ⃗ pada ⃗, maka panjang ⃗ dapat dihitung dengan rumus proyeksi skalar; | ⃗| = ⃗∙ ⃗ = √ =√ | ⃗| = √ × √ √ = √5

8. Diketahui vektor-vektor ⃗ = −3 ̂ − 2 ̂ − dan ⃗ = − ̂ + ̂ − 2 . Sudut antara ⃗ dan ⃗ adalah dengan cos =√ . Proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah ⃗ = ̂ − ̂ + 2 . Nilai dari

= . . . . a. d. √7 b. √35 e. √35 c. √5 Pembahasan: ⃗ = −3 ̂ − 2 ̂ − ⟹ ⃗ = −3 −2 − ⃗ = − ̂ + ̂ − 2 ⟹ ⃗ = − −2 ⃗ = ̂ − ̂ + 2 ⟹ ⃗ = 1 −1 2

Vektor proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah ⃗, maka berlaku; ⃗ = ⃗ − −2 = 1 −1 2 − = ⟹ = − = − ⟹ = − − = − ⟹ = ∠( ⃗, ⃗) = cos =| ⃗|| ⃗|⃗∙ ⃗ √ = ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ = √ = Substitusi = √ = √ = √ = ( ) √6 ∙ 6 (5 + 9) = 8(3 ) 36 (5 + 9) = 24 Kuadratkan kedua ruas;

36 (5 + 9) = (24 ) 36 (5 + 9) = 576 5 + 9 = 5 + 9 = 16 5 = 7 = = ±√ √ = ± √ = ± √35 Jadi = − √35 atau = √35 9. Diketahui vektor ⃗ = (1, 2) dan vektor ⃗ = (2, 1). Jika titik terletak pada

sehingga ∶ = 1 ∶ 2, panjang vektor ⃗ = . . . .

a. √2 d. √41

b. √2 e. √41

(6)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 6 Pembahasan: ⃗ = ⃗ = 1 2 ⃗ = ⃗ = 2 1 ∶ = 1 ∶ 2 ⟹ = 1, dan = 2 Maka ⃗ = ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ = = = 4 3 5 3 panjang vektor ⃗ = | ⃗| = + | ⃗| = + = = √41

10. Diketahui (4, 9, 1), (6, 3, −2), dan (−2, 6, 3) adalah titik titik sudut suatu segitiga. Luas segitiga itu sama dengan . . . .

a. 36 d. 18 b. 30 e. c. Pembahasan: Misal ⃗ = ⃗ = − = 6 3 −2 − 4 9 1 = 2 −6 −3 ⃗ = ⃗ = − = −26 3 − 4 9 1 = −6 −3 2 ⃗ × ⃗ = 2̂ −6 −3̂ −6 −3 2 ⃗ × ⃗ = 2̂ −6 −3̂ −6 −3 2 ̂ ̂ 2 −6 −6 −3 ⃗ × ⃗ = −12 ̂ + 18 ̂ + −6 − 36 − 9 ̂ − 4 ̂ ⃗ × ⃗ = −21 ̂ + 14 ̂ + −42 Luas ∆ = ⃗ × ⃗ Luas ∆ = (−21) + 14 + (−42) Luas ∆ = √441 + 196 + 1764 Luas ∆ = √2401 =

SOAL LATIHAN

1. Jika ⃗ = 3 −2 , ⃗ = 1 0 , dan ⃗ = −5

4 maka panjang vektor ⃗= ⃗ + ⃗ − ⃗ adalah . . . .

a. √5 d. 3√13 b. 2√13 e. 2√11 c. 17 Pembahasan: ⃗ = 3 −2 , ⃗ = 1 0 , dan ⃗ = −5 4 ⃗ = ⃗ + ⃗ − ⃗ ⃗ = 3 −2 + 1 0 − −5 4 = 9 −6 Maka; ⃗ = 9 + (−6) = √81 + 36 ⃗ = √117 = 3√13

(7)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 7 2. Diketahui ⃗ = −7 ̂ + 8 ̂ dan (1, −2). Jika | | = | ⃗| dan berlawanan arah dengan ⃗

maka koordinat titik adalah . . . .

a. (6, 10) d. (8, 10) b. (6, −10) e. (8, −10) c. (6, −6) Pembahasan: ⃗ = −7 ̂ + 8 ̂ ⟹ −7 8 (1, −2), dan misalkan ( , )

| | = | ⃗| dan berlawanan arah dengan ⃗, sehingga vektor ⃗ dan ⃗ saling berlawanan, maka; ⃗ = − ⃗ − = − −7 8 − 1 −2 = 7 −8 − 1 + 2 = 7 −8  − 1 = 7 ⟹ = 8  + 2 = −8 ⟹ = −10 Jadi koordinat titik (8, −10)

3. Panjang vektor ⃗, ⃗, dan ⃗ + ⃗ berturut-turut adalah 12, 8, dan 4√7. Besar sudut antara ⃗ dan ⃗ adalah . . . . a. 45° d. 120° b. 60° e. 150° c. 90° Pembahasan: | ⃗| = 12, ⃗ = 8, dan ⃗ + ⃗ = 4√7 ⃗ + ⃗ = | ⃗| + ⃗ + 2 ∙ | ⃗| ∙ ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ 4√7 = 12 + 8 + 2 ∙ 12 ∙ 8 cos ∠ ⃗, ⃗ 112 = 144 + 64 + 192 cos ∠ ⃗, ⃗ 112 = 208 + 192 cos ∠ ⃗, ⃗ −96 = 192 cos ∠ ⃗, ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ = = − ∠ ⃗, ⃗ = 120°

4. Jika |⃗| = 2, ⃗ = 3, dan sudut ⃗, ⃗ = 120° maka 3 ⃗ + 2 ⃗ = . . . .

a. 5 d. 12 b. 6 e. 13 c. 10 Pembahasan: | ⃗| = 2, ⃗ = 3, dan sudut ⃗, ⃗ = 120° 3 ⃗ + 2 ⃗ = 9| ⃗| + 4 ⃗ + 12| ⃗| ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ 3 ⃗ + 2 ⃗ = 9(2) + 4(3) + 12(2)(3) cos 120° 3 ⃗ + 2 ⃗ = 9(4) + 4(9) + 72 − 3 ⃗ + 2 ⃗ = 36 + 36 − 36 3 ⃗ + 2 ⃗ = 36 3 ⃗ + 2 ⃗ = √36 = 6

(8)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 8 5. Diketahui titik (1, −2, −8) dan titik (3, −4, 0). Titik terletak pada perpanjangan

sehingga = −3 . Jika ⃗ vektor posisi titik , maka ⃗ = . . . . a. 4 ̂ − 5 ̂ + 4 d. −3 ̂ − ̂ − 12 b. 4 ̂ − 5 ̂ − 4 e. − ̂ − 5 ̂ − 2 c. − ̂ − 12 Pembahasan: (1, −2, −8), (3, −4, 0) ⃗ = (1, −2, −8) dan ⃗ = (3, −4, 0) = −3 ⟹ : = 3 ∶ −1 Misalkan = 3 dan = −1, maka;

⃗ = ∙ ⃗ ∙ ⃗ ⃗ = ∙ ∙ ⃗ = = ⃗ = −54 4 = 4 ̂ − 5 ̂ + 4

6. Diketahui titik (4, 9, −6) dan (−4, −3, 2). Titik membagi dengan perbandingan 1 ∶ 3. Panjang = . . . . a. √15 d. 11 b. 9 e. 3√17 c. 3√10 Pembahasan: ⃗ = (4, 9, −6) dan ⃗ = (−4, −3, 2) ⃗: ⃗ = 1 ∶ 3 ⟹ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ − ⃗ ⃗ = −4−3 2 − 4 9 −6 = −8 −12 8 ⃗ = ⃗ ⃗ = −12−8 8 = −6 −9 6 Sehingga; ⃗ = (−6) + (−9) + 6 ⃗ = √36 + 81 + 36 = √153 = 3√17 7. Jika titik , , 1 , (1, 0, 0) dan (2, 5, ) terletak pada satu garis lurus maka = . . . .

a. 0 d. 2

b. e.

c. 1

Pembahasan:

, , 1 , (1, 0, 0) dan (2, 5, ) , , dan segaris, maka berlaku;

⃗ = ⃗ − = ( − ) 1 0 0 − 3 2 5 2 1 = 2 5 − 3 2 5 2 1 − 1 2 − 5 2 −1 = 1 2 5 2 − 1 − 1 2 − 5 2 −1 = 5 2 2 − − 1 2 = 2 ⟹ = −1 ⃗

(9)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 9 −1 = − Substitusi = −1; −1 = (−1) − (−1) −1 = − + 1 = 2

8. Vektor ⃗ = (4, 3), vektor ⃗ = (1, −2), dan vektor ⃗ = (2, 7). Jika ⃗ = ⃗ + ⃗ maka = . . . . a. −3 d. 2 b. −2 e. 3 c. −1 Pembahasan: ⃗ = (4, 3), ⃗ = (1, −2), dan ⃗ = (2, 7) ⃗ = ⃗ + ⃗ 2 7 = 4 3 + 1 −2 2 7 = 4 3 + −2 × ×

+

= 1 Substitusi = 1 ke persamaan; 4 + = 2 4(1) + = 2 4 + = 2 = −2 Sehingga; = 1(−2) = −2

9. Diketahui persegi panjang dengan panjang = 12 dan = 5. Jika = ⃗ dan = ⃗ maka ⃗ ∙ ⃗ = . . . . a. 13 d. 149 b. 60 e. 156 c. 144 Pembahasan: = 12 ⟹ | ⃗| = 12 = 5 = √ + = √144 + 25 = √169 = 13 ⟹ | ⃗| = 13 cos = = ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ | ⃗| cos ⃗ ∙ ⃗ = 12 ∙ 13 ∙ = 144

10. Diketahui vektor ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 2 dan ⃗ = 4 ̂ + 10 ̂ − 8 . Vektor ⃗ + ⃗ akan tegak lurus pada vektor ⃗ jika = . . . .

a. 1 d. b. −2 e. −1 c. − pembahasan: ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 2 ⟹ ⃗ = 2 −1 2 ⃗ = 4 ̂ + 10 ̂ − 8 ⟹ ⃗ = 4 10 −8 ⃗ + ⃗ = 2 −1 2 + 4 10 −8 ⃗ + ⃗ = 2 + 4 −1 + 10 2 − 8 = 4 + 2 10 − 1 −8 + 2

( ⃗ + ⃗) tegak lurus ⃗, maka; ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = 0 (4 + 2) ∙ 2 + (10 − 1) ∙ (−1) + (−8 + 2) ∙ 2 = 0 8 + 4 − 10 + 1 − 16 + 4 = 0 −18 + 9 = 0 18 = 9 = ⃗ ⃗

(10)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 10 11. Jika ⃗ = ̂ + , ⃗ = ̂ + , ⃗ = ̂ + 4 , dan ∠ = 60° maka = . . . .

a. 3 d. −1 b. 2 e. −2 c. 1 Pembahasan: ⃗ = ̂ + ⟹koordinat titik (1, 0, 1) ⃗ = ̂ + ⟹ koordinat titik (0, 1, 1) ⃗ = ̂ + 4 ⟹ koordinat titik (0, , 4) ⃗ = − = 1 0 1 − 0 1 1 = 1 −1 0 ⃗ = − = 0 4 − 0 1 1 = 0 − 1 3 Diketahui ∠ = 60° ⟹ ∠ ⃗, ⃗ = 60° cos ∠ ⃗, ⃗ = ⃗ ∙⃗∙ ⃗ cos 60° = ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = √ = ( ) 2(1 − ) = √2 − 4 + 20 2 − 2 = √2 − 4 + 20 Kuadratkan kedua ruas;

(2 − 2 ) = √2 − 4 + 20 4 − 8 + 4 = 2 − 4 + 20 4 − 2 − 8 + 4 + 4 − 20 = 0 2 − 4 − 16 = 0

Kedua ruas dibagi 2; − 2 − 8 = 0 ( + 2)( − 4) = 0

= −2 atau = 4

12. Sudut antara vektor ⃗ = ̂ + (2 + 1) ̂ − √3 dan ⃗ adalah 60°. Jika panjang proyeksi ⃗ ke ⃗ sama dengan √5 maka = . . . .

a. 4 atau − d. atau −1 b. 1 atau 4 e. − atau 1 c. 1 atau 2 Pembahasan: ⃗ = ̂ + (2 + 1) ̂ − √3 ⟹ ⃗ = 2 + 1 − √3 ∠ ⃗, ⃗ = 60°

Misalkan panjang proyeksi ⃗ ke ⃗ adalah | ⃗|, maka |⃗| = √5 | ⃗| = ⃗∙ ⃗ =| ⃗|∙ ⃗ ∠ ⃗, ⃗ | ⃗| = | ⃗| cos ∠ ⃗, ⃗ √ = + (2 + 1) + − √3 cos 60° √ = √ + 4 + 4 + 1 + 3 ∙ kedua ruas kalikan 2;

√5 = √8 + 4 + 1 Kuadratkan kedua ruas;

√5 = √8 + 4 + 1 5 = 8 + 4 + 1 8 + 4 − 4 = 0 2 + − 1 = 0 (2 − 1)( + 1) = 0 = atau = −1

13. Vektor ⃗ = −3 ̂ + 4 ̂ + dan ⃗ = 2 ̂ + 3 ̂ − 6 . Jika panjang proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah 6 maka = . . . . a. 8 d. −4 b. 10 e. −6 c. 12 Pembahasan: ⃗ = −3 ̂ + 4 ̂ + ⟹ ⃗ = −3 4 ⃗ = 2 ̂ + 3 ̂ − 6 ⟹ ⃗ = 2 3 −6

Misalkan panjang proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah | ⃗|, maka | ⃗| = 6

| ⃗| = ⃗∙ ⃗

| ⃗|

6 = ( ) ( ) ( )

(11)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 11 6 = √ 6 = √ 6 = 42 = 6 − 6 6 = 6 − 42 6 = −36 = −6

14. Diketahui vektor ⃗ = 4 ̂ − 2 ̂ + 2 dan vektor ⃗ = 2 ̂ − 6 ̂ + 4 . Proyeksi vektor orthogonal ⃗ pada ⃗ adalah . . . .

a. 8 ̂ − 4 ̂ + 4 d. ̂ − 3 ̂ + 2 b. 6 ̂ − 8 ̂ + 6 e. ̂ − ̂ + c. 4 ̂ − 2 ̂ + 2 Pembahasan: ⃗ = 4 ̂ − 2 ̂ + 2 ⟹ ⃗ = 4 −2 2 ⃗ = 2 ̂ − 6 ̂ + 4 ⟹ ⃗ = −62 4  ⃗ = 2 + (−6) + 4 = √4 + 36 + 16 ⃗ = √56  ⃗ ∙ ⃗ = 4(2) + (−2)(−6) + 2(4) ⃗ ∙ ⃗ = 8 + 12 + 8 = 28

Proyeksi vektor orthogonal ⃗ pada ⃗ adalah; ⃗ = ⃗∙ ⃗ ⃗ ∙ ⃗ ⃗ = √ ∙ 2 −6 4 ⃗ = ∙ 2 −6 4 ⃗ = ∙ 2 −6 4 = 1 −3 2 ⃗ = ̂ − 3 ̂ + 2

15. Diberikan vektor-vektor berikut: ⃗ = 1 1 √2 , ⃗ = 2 2√2 , dan ⃗ = 0 √2 . Jika panjang

proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah 1, dan vektor ⃗ tegak lurus dengan vektor ⃗, nilai + = . . . . a. −1 d. 2 b. 0 e. 3 c. 1 Pembahasan: Diketahui; ⃗ = 1 1 √2 , ⃗ = 2 2√2 , ⃗ = 0 √2

Panjang proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah |⃗| = 1, dan ⃗ ⊥ ⃗.  |⃗| = ⃗∙ ⃗ | ⃗| 1 = ( ) √ √ ( ) √ 1 = √ √ √ 1 = ( )√ 2 = 2 + ( + 2)√2 ( + 2)√2 = 0 ( + 2) = 0 = −2  ⃗⊥ ⃗ ⟹ ⃗ ∙ ⃗ = 0 2(0) + 2√2( ) + √2 = 0 0 + 2 √2 + √2 = 0 Substitusi = −2: 2 √2 − 2√2 = 0 2 √2 = 2√2 = √ √ = 1 Sehingga; + = −2 + 1 = −1

(12)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 12 SOAL PENDALAMAN

1. (UM-UGM 2004)

Jika ⃗, ⃗, ⃗, dan ⃗ berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajar genjang dengan sejajar , maka ⃗ = . . . .

a. − ⃗ + ⃗ + ⃗ d. − ⃗ − ⃗ + ⃗ b. ⃗ − ⃗ + ⃗ e. ⃗ + ⃗ + ⃗ c. ⃗ − ⃗ − ⃗ Pembahasan: Jika ⃗ ∕∕ ⃗ maka;  Arah ⃗ = arah ⃗  ⃗ = ⃗ Sehingga ⃗ = ⃗ ⃗ − ⃗ = ⃗ − ⃗ ⃗ = ⃗ − ⃗ + ⃗ 2. (UM-UGM 2006)

Jika proyeksi vektor ⃗ = 3 ̂ + 4 ̂ ke vektor ⃗ = −4 ̂ + 8 ̂ adalah vektor ⃗, maka | ⃗| adalah . . . . a. √5 d. 1 b. 5 e. 3 c. √3 Pembahasan: ⃗ = 3 ̂ + 4 ̂ ⟹ ⃗ = 3 4 ⃗ = −4 ̂ + 8 ̂ ⟹ ⃗ = −4 8 ⃗ ∙ ⃗ = 3(−4) + 4(8) = 20 | ⃗| = (−4) + 8 = √16 + 64 | ⃗| = √80 = 4√5 Sehingga | ⃗| = ⃗∙ ⃗ | ⃗| = √ = √5 3. (UM-UGM 2008)

Panjang proyeksi vektor ( , 5, −1) pada vektor (1, 4, 8) adalah 2, maka = . . . .

a. 6 d. 3

b. 5 e. 2

c. 4

Pembahasan:

Misalkan; ⃗ = ( , 5, −1), ⃗ = (1, 4, 8), dan panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ adalah | ⃗| = 2. ⃗ ∙ ⃗ = (1) + 5(4) + (−1)(8) = + 12 | ⃗| = √1 + 4 + 8 = √81 = 9 | ⃗| = ⃗∙ ⃗ | ⃗| 2 = 18 = + 12 = 6 4. (UM-UGM 2013)

Diketahui vektor-vektor ⃗ = ( , 1, − ) dan ⃗ = (1, , ). Jika ⃗ vektor proyeksi ⃗ pada ⃗, ⃗ vektor proyeksi ⃗ pada ⃗, dan sudut antara ⃗ dan ⃗ dengan cos = , maka luas jajaran genjang yang dibentuk oleh ⃗ dan ⃗ adalah . . . .

a. √2 d. √6 b. √6 e. 2 c. √2 Pembahasan: ⃗ = ( , 1, − ), ⃗ = (1, , ), dan ∠( ⃗, ⃗) = dengan cos = | ⃗| = + 1 + (− ) = √2 + 1 | ⃗| = √1 + + = √2 + 1 ⃗ ∙ ⃗ = (1) + 1( ) + (− )( ) = 2 − cos = ⃗∙ ⃗ | ⃗|| ⃗|=

(13)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 13 = 2 + 1 = 3(2 − ) 2 + 1 = 6 − 3 5 − 6 + 1 = 0 (5 − 1)( − 1) = 0 = atau = 1

Untuk = 1, maka ⃗ = (1, 1, −1) dan ⃗ = (1, 1, 1)

| ⃗| = √2 + 1 = 2(1) + 1 = √3 | ⃗| = √2 + 1 = 2(1) + 1 = √3

⃗ ∙ ⃗ = 2 − = 2(1) − 1 = 1 Panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗;

| ⃗ | = ⃗∙ ⃗

| ⃗|=√ = √3

Panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗; | ⃗ | = ⃗∙ ⃗

| ⃗|=√ = √3

∠( ⃗, ⃗) = ∠( ⃗ , ⃗ ) = cos = ⟹ sin = √2

Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh ⃗ dan ⃗ adalah:

= | ⃗ | ∙ | ⃗ | sin

= √3 ∙ √3 ∙ √2 = √2

5. (UM-UGM 2014)

Diketahui vektor ⃗ dan ⃗ membentuk sudut sebesar . Jika panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ sama dengan 2 sin dan panjang vektor ⃗ adalah 1, maka tan 2 = . . . .

a. d. b. e. c. 1 Pembahasan: Diketahui; ∠ ⃗, ⃗ = , ⃗ = 1 cos =| ⃗|∙ ⃗⃗∙ ⃗ cos =| ⃗|∙⃗∙ ⃗ =| ⃗|⃗∙ ⃗ ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| cos

Misalkan proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ adalah ⃗, maka |⃗| = 2 sin | ⃗| = ⃗∙ ⃗ | ⃗| 2 sin =| ⃗|⃗∙ ⃗ Substitusi ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| cos ; 2 sin =| ⃗| | ⃗| 2 sin = cos = tan = tan 2 = = tan 2 = = = 6. (SIMAK UI 2009)

Jika diketahui koordinat titik (3, 1, 2), (4, 3, 0), dan (1, 2, 5), maka luas segitiga sama dengan . . . . a. √14 d. 2√26 b. √10 e. √114 c. 3√10 Pembahasan: Misal ⃗ = ⃗ = − = 43 0 − 3 1 2 = 1 2 −2 ⃗ = ⃗ = − = 12 5 − 3 1 2 = −2 1 3 ⃗ × ⃗ = 1̂ 2̂ −2 −2 1 3 ⃗ × ⃗ = 1̂ 2 −2̂ −2 1 3 ̂ ̂ 1 2 −2 1 ⃗ × ⃗ = 6 ̂ + 4 ̂ + − −4 − (−2 ̂) − 3 ̂ ⃗ × ⃗ = 8 ̂ + ̂ + 5 Luas ∆ = ⃗ × ⃗ Luas ∆ = (8) + 1 + 5 Luas ∆ = √64 + 1 + 25 Luas ∆ = √90 = √10

(14)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 14 7. (SIMAK UI 2010)

Vektor ⃗, ⃗, ⃗ adalah vektor-vektor unit yang masing-masing membentuk sudut 60° dengan vektor lainnya. Maka ⃗ − ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ adalah . . . .

a. − d.

b. − e.

c. −√ Pembahasan:

∠ ⃗, ⃗ = ∠( ⃗, ⃗) = ∠ ⃗, ⃗ = 60°

⃗, ⃗, ⃗ adalah vektor-vektor unit, maka | ⃗| = ⃗ = | ⃗| = 1  ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ ⃗ cos 60° ⃗ ∙ ⃗ = 1 ∙ 1 ∙ =  ⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ =  ⃗∙ ⃗ = ⃗ = 1 ⃗ − ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ ∙ ⃗ + ⃗ ∙ ⃗ ⃗ − ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ = − − 1 + = − 8. (SIMAK UI 2012)

Dalam segitiga , ⃗ = ⃗, ⃗ = ⃗. Jika titik adalah titik berat segitiga maka ⃗ = . . . .

a. ⃗ + ⃗ d. ⃗ + ⃗

b. ⃗ + ⃗ e. ⃗ + ⃗

c. ⃗ + ⃗ Pembahasan:

merupakan garis berat maka : = 1: 1

⃗ = ⃗ ⃗

= ⃗ + ⃗

Karena merupakan titik berat, maka; ⃗ = ⃗

⃗ = ∙ ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ 9. (UMB 2008)

Diketahui titik-titik (0, 0, 3), (4, 0, 0), dan (0, 4, 0). Jarak titik (0, 0, 0) ke bidang yang melalui titik-titik , , dan adalah . . . .

a. √34 d. √34 b. √34 e. √34 c. √34 Pembahasan: ⃗ = (0, 0, 3) ⟹ ⃗ = √0 + 0 + 9 = 3 ⃗ = (4, 0, 0) ⟹ ⃗ = √16 + 0 + 0 = 4 ⃗ = (0, 4, 0) ⟹ ⃗ = √0 + 16 + 0 = 4 Misalkan jarak titik (0, 0, 0) ke bidang yang melalui titik-titik , , dan adalah , maka;

= + + = + + = + + = + + = = = √ = √34 = √34 ⃗ ⃗

(15)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 15 10. (SNMPTN 2010)

Nilai agar vekor 2 ̂ + ̂ + dan 4 ̂ − 2 ̂ − 2 saling tegak lurus adalah . . . .

a. 6 d. −6 b. 3 e. −3 c. −1 Pembahasan: Misalkan; ⃗ = 2 ̂ + ̂ + ⟹ ⃗ = (2, , 1) ⃗ = 4 ̂ − 2 ̂ − 2 ⟹ ⃗ = (4, −2, −2) Vektor ⃗ dan ⃗ saling tegak lurus, maka;

⃗ ∙ ⃗ = 0 2(4) + (−2) + 1(−2) = 0 8 − 2 − 2 = 0 −2 = −6 = 3 11. (SNMPTN 2011)

Diketahui vektor ⃗ = ( , −2, −1) dan ⃗ = ( , , −1). Jika ⃗ tegak lurus pada ⃗ maka nilai adalah . . . . a. −1 d. 2 b. 0 e. 3 c. 1 Pembahasan: ⃗ = ( , −2, −1) ⃗ = ( , , −1)

Vektor ⃗ dan ⃗ saling tegak lurus, maka; ⃗ ∙ ⃗ = 0 ( ) + (−2)( ) + (−1)(−1) = 0 − 2 + 1 = 0 ( − 1)( − 1) = 0 = 1 12. (SNMPTN 2012)

Jika ⃗ dan ⃗ adalah dua vektor satuan yang membentuk sudut 60° maka ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = . . .

a. √ − 1 d. √ + 1

b. √ + 1 e.

√ + 1

c.

Pembahasan:

⃗ dan ⃗ adalah vektor satuan, maka | ⃗| = 1 dan |⃗| = 1, ∠( ⃗, ⃗) = 60°. ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ + ⃗ ∙ ⃗ ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ | ⃗| cos ∠( ⃗, ⃗) + | ⃗| ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = 1 ∙ 1 cos 60° + 1 ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = + 1 = 13. (SBMPTN 2013)

Diketahui (4, 0, 0), (0, −4, 0) dan (0, 0, 5). Panjang proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah . . . . a. √ d. √ b. √ e. 2√2 c. √ Pembahasan: Diketahui (4, 0, 0), (0, −4, 0) dan (0, 0, 5). ⃗ = − = 00 5 − 4 0 0 = −4 0 5 ⃗ = − = 0 −4 0 − 4 0 0 = −4 −4 0

Misalkan proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah ⃗, maka; | ⃗| = ⃗∙ ⃗ | ⃗| =( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ⃗| = √

(16)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 16 | ⃗| =

√ = √ =√ = 2√2

14. (SBMPTN 2014)

Diberikan limas . Misalkan = ⃗, = ⃗ dan = ⃗. Jika adalah titik berat ∆ maka = . . . . a. ( + + ) d. ( + + ) b. ( + + ) e. + + c. ( + + ) Pembahasan: ⃗ = ⃗ − ⃗ = − ⃗ = ⃗ − ⃗ = − ⃗ = ⃗ − ⃗ = − ⃗ = ⃗ = ( − ) ⃗ = ⃗ + ⃗ = ( − ) + − ⃗ = + −

Karena merupakan garis berat, maka; ⃗ = ⃗ ⃗ = + − ⃗ = + − Sehingga; ⃗ = ⃗ + ⃗ ⃗ = + + − ⃗ = + + ⃗ = ( + + ) 15. (SBMPTN 2015)

Misalkan ( + 1, ) dan (1, 2) sehingga panjang vektor proyeksi ⃗ terhadap ⃗ kurang dari

√ maka nilai yang mungkin adalah . . . .

a. < −1 atau > 3 d. −1 < < 3 b. < −3 atau > 1 e. 1 < < 3 c. −3 < < 1

Pembahasan:

⃗ = ( + 1, ), ⃗ = (1,2)

Misalkan vektor proyeksi ⃗ terhadap ⃗ adalah ⃗, maka; | ⃗| < √ ⃗∙ ⃗ ⃗ <√ ∙ ∙ < √ √ <√ + 2 + 1 < 4 + 2 − 3 < 0 ( − 1)( + 3) < 0 Pembuat nol: = −3 atau = 1

Jadi nilai yang mungkin adalah; −3 < < 1

16. (USM-STIS 2013)

Jika sudut antara vektor ⃗ = ̂ − √2 ̂ − dan ⃗ = ̂ + √2 ̂ − adalah 60° maka = . . . .

a. − atau d. −√5 atau √5

b. −1 atau 1 e. − √5 atau √5

(17)

Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika Hal 17 Pembahasan:  ⃗ = ̂ − √2 ̂ − ⟹ ⃗ = 1, −√2, − | ⃗| = 1 + −√2 + (− ) | ⃗| = + 3  ⃗= ̂ + √2 ̂ − ⟹ ⃗ = 1, √2, − ⃗ = 1 + √2 + (− ) ⃗ = + 3  ⃗ ∙ ⃗ = 1 ∙ 1 + −√2 ∙ √2 + (− ) ∙ (− ) ⃗ ∙ ⃗ = 1 − 2 + = − 1  ∠ ⃗, ⃗ = 60° cos ∠ ⃗, ⃗ = Dengan demikian; ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ − 1 = + 3 ∙ + 3 ∙ − 1 = ( + 3) 2 − 2 = + 3 = 5 = ±√5 = −√5 atau = √5 17. (USM-STIS 2015) Diketahui vektor-vektor ⃗ = 3 1 −1 , ⃗ = −1 2 1 , ⃗ = 2 3 1 3 0

. Pernyataan berikut yang

benar adalah . . . .

a. ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tegak lurus b. ⃗ dan ⃗ membentuk sudut lancip c. ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tumpul d. ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tegak lurus e. ⃗ dan ⃗ membentuk sudut lancip Pembahasan:

 ⃗ ∙ ⃗ = 3 ∙ (−1) + 1 ∙ 2 + (−1) ∙ 1 = −2 Karena ⃗ ∙ ⃗ hasilnya negatif maka ⃗ dan

⃗ membentuk sudut tumpul.

 ⃗ ∙ ⃗ = 3 ∙ + 1 ∙ + (−1) ∙ 0 =

Karena ⃗ ∙ ⃗ hasilnya positif maka ⃗ dan ⃗ membentuk sudut lancip.

 ⃗∙ ⃗ = (−1) ∙ + 2 ∙ + 1 ∙ 0 = 0 Karena ⃗ ∙ ⃗ = 0 maka ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tegak lurus.

Referensi

Dokumen terkait

Kompetensi Inti Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah (SMP/MTs) merupakan tingkat kemampuan untuk mencapai Standar Kompetensi Lulusan (SKL) yang harus

 Merupakan penimbunan dari hormon somatotrof dalam tubuh.  Hormon ini dihasilkan selama masa pertumbuhan sampai dengan masa pubertas, setelah melewati mas pubertas,

Toby and Percy cleared away the unhurt cars and helped James home.. Sir Topham Hatt

Pertama , auditor menggunakan materialitas dalam perencanaan audit, dengan membuat estimasi materialitas karena terdapat hubungan terbalik antara jumlah dalam laporan keuangan yang

Melalui sistem ini memberi kelebihan kepada rakyat bebas bersuara mengikut saluran yang betul. Seterusnya menjamin keadilan kepada rakyat untuk memilih wakil di peringkat

Adaptasi fisiologi terhadap kerja fisik dapat dibagi dalam adaptasi akut dan kronik. Adaptasi akut merupakan penyesuaian tubuh yang terjadi pada saat kerja

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadiran Allah SWT, berkat rahmat dan karuniaNya, penulis menyelesaikan skripsi dengan judul “PERBEDAAN KINERJA PERAWAT YANG DILAKUKAN

Diharapkan dapat menindaklanjuti hasil penelitian ini dengan cara memberikan penyuluhan kepada responden yang diketahui tidak mendukung atau sangat tidak mendukung ibu