Energi total sistem A dan tandon A`

Ensambel

Ensambel

dan

Ensambel dan Sistem Interaktif

Ensambel dan Sistem Interaktif

Topik

Topik--topik yang akan dibahas:

topik yang akan dibahas:

►

►

Ensambel Mikrokanonik (tanpa interaksi,

Ensambel Mikrokanonik (tanpa interaksi,

bab IV)

bab IV)

►

►

Ensambel Kanonik (interaksi termal)

Ensambel Kanonik (interaksi termal)

►

Ensambel

Ensambel Kanonik

Kanonik ((interaksi

interaksi termal

termal))

Tinjau 2 sistem A dan A` yang berinteraksi termal, hanya ukurannya yang

sangat berlainan, tepatnya salah satu sistem jauh lebih besar dari sistem

lainnya. Sistem yang besar dapat dipandang sebagai

tandon/reservoar

Sistem yang apabila berinteraksi dengan sistem

yang lain seolah-olah tidak mengalami perubahan

apapun setelah proses berlangsung dan mencapai

A`, E`

A*

apapun setelah proses berlangsung dan mencapai

keseimbangan.

A, E

Energi total sistem A dan tandon A`

_E

*

=

_E

+

_E`

Keadaan makro sistem dengan energi E mempunyai banyak sekali keadaan

mikro. Interkasi termal menyebabkan aliran panas dari tandon ke dalam

sistem (atau sebaliknya) sampai terjadi keadaan seimbang

Dalam keadaan seimbang, berapa probabilitas P

_r

yaitu probabilitas untuk

mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergi

Dalam keadaan seimbang, berapa probabilitas P

_r

yaitu probabilitas untuk

mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergi

E

_r

?

Tinjau Sistem A*

Jumlah total keadaan yang diizinkan pada sistem A* adalah Ω*_total

Jumlah keadaan yang diizinkan pada sistem A* dimana sistem A berenergi E adalah Ω*(E)

Sehingga probabilitas untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan yang berenergi E adalah

(E) * Ω C (E) * Ω * Ω 1 * Ω (E) * Ω P(E) Tot Tot = = =

Ω*(E) dapat dinyatakan dalam bentuk jumlah keadaan yang diizinkan pada sistem A dan sistem A’

Jika sistem A berenergi E dan jumlah keadaannya adalah Ω(E), maka

sistem A’ berenergi E’ = E* ˗ E dan jumlah keadaannya adalah Ω’(E* ˗ E), sehingga

E)

*

(E

Ω'

Ω(E)

C

P(E)

sehingga

E),

*

(E

Ω'

Ω(E)

(E)

*

Ω

−

=

−

=

Contoh

Sistem A dan A’ dapat berinteraksi dan berada dalam sistem yang terisolir A*_.

Kedua sistem mengalami kesetimbangan dengan energi sistem A* _{adalah 13 satuan E.} Tabel berikut menunjukkan energi yang dimiliki sistem A dan A’ dan jumlah keadaan yang berkaitan:

No E_Total E_A E_A’ Ω (E) Ω’(E’) Ω* _(E)

1 13 3 10 2 40 80 2 13 4 9 5 26 130 3 13 5 8 10 16 160 4 13 6 7 17 8 136 4 13 6 7 17 8 136 5 13 7 6 25 3 75

Berapakah probabilitas P_r untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergi E_r = 3 satuan E ?

E)

*

(E

Ω'

Ω(E)

C

P(E)

=

−

581

80

2.40

.

581

1

P(E)

=

=

Hitung juga probabilitas untuk mendapatkan sistem A dengan energi yang lain (E_r = 4, 5, 6 dan 7 satuan E ?

Keadaan mana yang berpeluang besar mewakili sistem dalam keadaan setimbang tersebut?

Tinjau kembali sistem A dan A’ yang dapat berinteraksi dan berada dalam sistem yang terisolir A*

E)

*

(E

Ω'

Ω(E)

C

P(E)

=

−

Probabilitas P untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu yang berenergi E adalah

Selanjutnya kita ingin mengetahui kondisi seperti apa saat

terjadi keseimbangan antara sistem A dan A’

E)

*

(E

Ω'

ln

Ω(E)

ln

C

ln

P(E)

ln

E)

*

(E

Ω'

Ω(E)

C

P(E)

−

+

+

=

−

=

Saat seimbang, P(E) bernilai maksimum

E)

*

(E

Ω'

ln

Ω(E)

ln

C

ln

P(E)

ln

=

+

+

−

ln P(E) bernilai maksimum

0 P(E) ln E = ∂ ∂

{

ln

C

ln

(E

)

ln

'

(E

*

E)

}

0

E

+

Ω

+

Ω

−

=

∂

∂

0 E E) * E ( ' ln E Ω(E) ln = ∂ − Ω ∂ + ∂ ∂ 0 E' ) E' ( ' ln E Ω(E) ln = ∂ Ω ∂ − ∂ ∂ E' ) E' ( ' ln E Ω(E) ln ∂ Ω ∂ = ∂ ∂

)

'

(

'

β

)

(

β

E

=

E

)

'

(

'

β

)

(

β

E

=

E

E' ) (E' Ω' ) (E' ' 1 E' ) E' ( ' ln ) ' E ( ' β E Ω(E) ) (E 1 E Ω(E) ln ) E ( β ∂ ∂ Ω = ∂ Ω ∂ = ∂ ∂ Ω = ∂ ∂ =

Dua kuantitas penting:

ln Ω

dan

β

β

satuannya adalah: (energi)˗1

E

Ω(E)

Ω(E)

1

kT

1

β

∂

∂

=

=

k

: konstanta Boltzmann T : Temperatur Absolut

E

Ω(E)

kT

∂

T : Temperatur Absolut

ln Ω

Jadi saat setimbang:

_β

₍

_E

₎

=

_β

_'

₍

_E

_'

₎

_T

₌

_T

_'

Ω

=

k

ln

S

S : Entropi

Sistem yang Kontak Termal dengan Reservoar Kalor

A`, E`

A, E A*

A`: Reservoar Kalor A : Sistem yang Kecil

Probabilitas sistem A dalam keadaan tertentu r yang berenergi E_r adalah P_r

)

E

*

(E

Ω'

)

Ω(E

C

)

(E

P

_r

(E

_r

)

=

C

Ω(E

_r

)

Ω'

(E

*

−

E

_r

)

P

_{r r}

=

_r

−

_r r β' r r r r e *) E ( ' ) E * E ( ' E β' *) E ( ' ln E ' E ' ln *) E ( ' ln ) E * E ( ' ln − Ω = − Ω − Ω =       ∂ Ω ∂ − Ω = − Ω Sehingga r r β'E E β' r r r

(E

)

C

Ω(E

)

Ω'

(E*)e

Ke

P

=

−

=

− A : konstanta_{β‘ : karakteristik reservoar =1/kT’}

1

Ke

)

E

(

P

r βE r r r r

∑

∑

=

−

=

∑

−

=

r βE_r

e

K

1

r E β' r r

(E

)

Ke

P

=

−

Fungsi Distribusi Kanonik:

Konstanta K dapat ditentukan dari syarat normalisasi:

β

'

β

→

∑

− −

=

r kT E kT E r r _r r

e

e

)

E

(

P

Contoh Penggunaan

Distribusi Kanonik

Distribusi Kanonik

1. Paramagnetisme

Kita akan menyelidiki sifat magnetik suatu material yang terdiri N₀ atom magnetik persatuan volume yang ditempatkan dalam medan magnet luar B dan material tersebut bersuhu T

B_ext.

Kasus sederhana : tiap atom magnetiknya berspin ½ dan momen magnetiknya µ₀

Tinjau sebuah atom magnetik, berapakah momen magnetik rata-rata dari sebuah atom tersebut?

Keadaan partikel pada sistem di atas adalah sebagai berikut:

1. Ada partikel yang memiliki momen magnetik yang searah dengan medan magnet luar;

2. Ada partikel yang memiliki momen magnetik yang berlawanan arah dengan medan magnet luar.

Distribusi kanonik:

P

_r

= Ce

-βEr P₊ = Ce -βE+ _{dan P} -= Ce -β E-Energinya: E₊ = -(B) (+µ_o) = -Bµ_o E_- = -(B) (-µ_o) = Bµ_o Sehingga:

P

₊

= Ce

β Bµo

_{dan P- = Ce-}

β Bµo

Karena hanya ada dua keadaan, maka :

P_- + P₊ = 1 Ce-βBµo _{+ Ce}β Bµo _{= 1}

_,

_sehingga o o βBµ βBµ

e

e

1

C

₋

+

=

Pernyataan momen magnetik partikel rata-rata dinyatakan oleh:

∑

=

P

_r

µ

_r

µ

o o o o βBµ βBµ βBµ o βBµ o

e

e

)e

µ

(

)e

µ

(

− −

+

−

+

+

=













+

−

=

−₋ o o o o βBµ βBµ βBµ βBµ o

e

e

e

e

µ

µ

dimana secara umum harga :

tanh

θ

e

e

e

e

θ θ θ θ

=













+

−

− − sehingga

_µ

_µ

_tanh(µ

_β

_B)

o o

=

e

e



_





+

Jika digunakan definisi

kT 1

β=

maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material (Magnetisasi): µ N M =

kT

B

µ

tanh

Nµ

M

=

_o o

Deret Mc. Laurin tanh

x

adalah :       − + − +       + + +       − + − −       + + + = ... ! 2 ! 1 1 ... ! 2 ! 1 1 ... ! 2 ! 1 1 ... ! 2 ! 1 1 tanh 2 2 2 2 x x x x x x x x x . ! 2 2 2 ! 3 2 2 1 1 tanh ₂ 3 x x x x + + + − =

1

kT

B

µ

_o

<<

Kasus harga µ_oB << kT maka nilai

Maka untuk harga

x

<< 1, tanh

x

= 2

x

/2 =

x

      = kT B µ Nµ M o o sehingga













=

kT

B

Nµ

M

2 o _      = kT Nµ χ 2 o χ: suseptibilitas material

kT

B

µ

tanh

Nµ

M

=

_o o

maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material (Magnetisasi):

1

kT

B

µ

_o

>>

kT Bµ kT Bµ kT Bµ kT Bµ o o o o o e e e e kT B µ tanh − − + − = 1 e e kT B µ tanh kT Bµ kT Bµ o o o ≈ =

Kasus harga µ_oB >> kT maka nilai

maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material (Magnetisasi):

0

Nµ

M

=

(Magnetisasi):

2. Energi Total Rata-Rata Gas Ideal

Tinjau sebuah gas yang terdiri dari N buah molekul identik, masing-masing

bermassa m yang ditampatkan pada sebuah kotak 3-D dengan sisi-sisi L_x , L_y , L_z dan gas bersuhu T

Penyederhanaan Sistem (Idealisasi):

1. Energi potensial interaksi sangat kecil dibanding energi kinetik 2. Non degenerasi

3. Molekul gas monoatomik

Berapakah energi total rata-rata gas ideal tersebut?

NkT

2

3

E

=

Penggunaan Distribusi Kanonik:

Tinjau sebuah molekul dalam gas ideal tersebut (sistem kecil)

Berapakah probabilitas menemukan molekul tersebut dalam keadaan kuantum r yang energinya ε_r ? r βε r r

(E

)

Ke

P

=

−

r βε r r

(E

)

Ke

P

=

−

∑

− −

=

r kT ε kT ε r r _r r

e

e

)

(E

P

Pernyataan ε_r untuk sistem ini?

















+

+

=

₂ z 2 z 2 y 2 y 2 x 2 x 2 2 r

L

n

L

n

L

n

2m

π

ε

h

Energi rata-ratanya? r r r

ε

P

ε

=

∑

∑

∑

− −

=

kT ε βε r r r r

e

e

ε





L

x

L

y

L

z

2m

r

∑

r kT

e

( )

_β

_β

β

∂

∂

−

=













∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

∑

∑

∑

− − −

Z

r r r r r βε βε βε r r

e

e

e

ε

Perhatikan pembilangnya!

Partisi

Fungsi

:

e

Z

r βε_r

∑

−

=

Sehingga energi rata-ratanya:

β

β

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

Z

Z

Z

ln

1

ε

Fungsi partisi sebuah molekul: z y x n 2 z 2 z 2 y 2 y 2 x 2 x 2 2 n n r βε

Z

Z

Z

L

n

L

n

L

n

2m

βπ

exp

e

Z

z y x r

=

































+

+

−

=

=

∑

−

∑

∞

∑

∞

∑

∞

h

dengan:

∑

∞

























−

=

x n 2 x 2 x 2 2

L

n

2m

βπ

exp

Z

_x

h

∑

∞

























−

=

₂ 2 y 2 2

L

n

2m

βπ

exp

Z

_y

h

Karena bentuknya mirip, kita hitung salah satu saja, misal Z_x:

Aproksimasi, n_x, n_y, n_z variabel kontinu:

n

βπ

2 2 2





_

_

∞

_h

∑





















−

=

y n 2 y

L

2m

exp

Z

_y

∑

∞

























−

=

z n 2 z 2 z 2 2

L

n

2m

βπ

exp

Z

_z

h

konstanta)

:

(b

L

b

dn

L

n

2m

βπ

exp

Z

2 1 x x 0 2 x 2 x 2 2 x

β

=

























−

=

_∫

∞

h

Hal serupa untuk Z_y dan Z_z:

L

b

dan Z

L

b

Z

2 1 z z 2 1 y y

β

β

=

=

_Z

_Z

_Z

_Z

_b

L

L

L

_b

V

2 3 3 2 3 z y x 3 z y x

β

β

=

=

=

kT

3

3

lnβ

3

3lnb

lnβ

2

3

lnV

β

β

lnZ

β

Z

Z

1

ε

=

=

∂

=













+

−

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

Energi rata-rata sebuah molekul:

V

b

Z

2 3 3

β

=

kT

2

2β

β

2

=

=

∂

=

Energi rata-rata gas ideal:

NkT

2

3

ε

N

E

=

=

3. Tekanan Rata-Rata Gas Ideal

f

_r L_x y x L_y gas ideal

f

_r : Gaya dalam arah x yang diberikan oleh sebuah molekul pada dinding kanan kotak, dimana molekul tersebut dalam keadaan kuantum r dan energinya ε_r

Misalkan dinding kanan berubah secara lambat sebesar dL_x Misalkan dinding kanan berubah secara lambat sebesar dL_x

Maka, molekul melakukan usaha pada dinding sebesar f_r dL_x

Molekul kehilangan energi sebesar ‒ dε_r

x r r r x r

L

ε

f

dε

dL

f

∂

∂

−

=

→

−

=

Sehingga:

Gaya rata-rata oleh sebuah molekul pada dinding:

∑

∑

∑

∑

∑

₋ − − −













∂

∂

−

=

=

=

r βε r x r βε r βε βε r r r r r _r r r r

e

L

ε

e

e

e

f

f

P

f

Perhatikan pembilang:

L

Z

e

L

r

∂

∂

=













∂

∂

=













∂

∂

−

∑

∑

− −

β

β

βε

1

1

L

ε

e

βεr r x r x

L

e

L



_



_

=

∂

∂

=









−

∂

∑

∑

_β

_β

L

e

r x Sehingga x x x

L

lnZ

β

1

L

Z

βZ

1

Z

L

Z

β

1

f

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

=

L

L

L

b

Z

2 3 z y x 3

β

=

Diperoleh gaya rata-rata oleh sebuah molekul pada dinding:

x x

L

kT

L

=

=

∂

∂

=

β

1

L

lnZ

β

1

f

x

Gaya rata-rata oleh N molekul pada dinding: x

L

NkT

f

N

F

=

=

Tekanan rata-rata oleh N molekul pada dinding kanan seluas L_yL_z:

V

NkT

L

L

L

NkT

L

L

f

N

A

F

P

z y x z y

=

=

=

=

NkT

V

P

=

Persamaan Keadaan Gas Ideal

Catatan: Perhitungan P pada dinding yang lain, akan menghasilkan persamaan yang sama