Bukti Teorema Sisa China dengan Menggunakan Ideal Maksimal

Maksimal

Nur Erawaty

†

Abstrak

Sistem perkongruenan yang dapat dicari penyelesaiannya secara teori bilangan dasar ternyata dapat dibuktikan melalui teori-teori struktur aljabar khususnya dengan ideal maksimal.

Kata Kunci : Ideal maksimal, system kongruen, teorema sisa

1. Pendahuluan

Misalkan dipunyai system perkongruenan xr1



mod a1



, xr2



mod a2



, …



n



n a

r

x mod . Dengan teori bilangan dapat ditentukan solusinya. Dalam tulisan ini, solusi system perkongruenan di atas pun dapat ditentukan dengan menggunakan konsep-konsep struktur aljabar khususnya dengan konsep ideal maksimal pada gelanggang dengan unsur 1 dan konsep homomorfisma gelanggang.

2. Pembahasan

Definisi 1.

Misalkan

R

gelanggang. I  R ideal

I

disebut ideal maksimal jika tidak ada ideal J, J subgroup normal R sedemikian sehingga I  J R.

Teorema Isomorfisma.

1. Misalkan

f

:

R



S

homomorfisma gelanggang maka



:R ker

 

f  f

 

R terdefenisi dengan baik dan merupakan isomorfisma.

2. Jika S R dan

I



R

maka



SI



/S/SI .

3. Misalkan

I



R

maka pemetaan semua ideal

R

yang memuat

I

ke dalam himpunan semua ideal R I merupakan bijeksi. Lebih lanjut jika I  J  R maka

   

R I / J I R J.

Proposisi berikut lebih memperjelas bagaimana ideal maksimal.

Proposisi 1.

Misal

R

gelanggang dan

I



R

ideal

R

maka pernyataan berikut ekivalen a.

I

ideal maksimal.

b. I

 

x I  x R untuk setiap xR\ I.

c. R I gelanggang sederhana.

Bukti:

Jika xR\I maka I

 

x merupakan ideal yang lebih besar dan tidak sama dengan

I

, Jika

I

maksimal berarti I

 

x R. Ini menunjukkan bahwa pernyataan a mengakibatkan b. Sebaliknya, jika I

 

x  R untuk setiap xR\I maka tidak ada ideal sejati

R

yang sepenuhnya memuat

I

. Ini berarti

I

maksimal.

Terakhir ekivalensi pernyataan a dan c merupakan akibat langsung teorema isomorfisma 3 di atas.

Pada gelanggang komutatif dengan unsur 1, I

 

x  IRx.

Contoh 1.

1. Ideal maksimal dari

Z

adalah ideal-ideal p  pZdengan

p

bilangan prima.

2. MisalC

 

R gelanggang senua fungsi-fungsi kontinu

f

:

R



R

untuk setiap xR, himpunan I_x 



f C

   

R f x 0



merupakan ideal maksimal C

 

R . Lebih lanjut, pemetaan f  f

 

x merupakan homomorfisma pada C

 

R R dengan kernel I_x. Dengan demikian C

 

R /I_x R suatu lapangan dan juga gelanggang sederhana yang mengakibatkan bahwa I_x ideal maksimal.

Hasil berikut menjamin sumbangan besar ideal maksimal dalam gelanggang dengan unsur 1.

Proposisi 2.

Misal

R

gelanggang dengan unsur 1 dan

I



R

ideal

R

maka

I

termuat dalam ideal maksimal

R

.

Bukti:

Misalkan

I

ideal di

R

dengan

I



R

.

Misal µ := { J subgroup normal R | J memuat I dan J subset sejati R }







karena

I





.



merupakan himpunan terurut parsial dengan relasi



. Misal C sebarang rantai di



.

Definisikan



C J J K 

 , maka untuk setiap JC, J  K . Akan ditunjukkan

K





.

1. Untuk setiap JC, J  K dan J ideal di

R



J 





dengan demikian

K





. 2. Misalkan

x

,

y



K

dan

r



R

sebarang, maka dapat dicari J1,J2C sedemikian

sehingga xJ₁, yJ₂.

Karena C rantai, maka berlaku J₁ J₂ atau J₂ J₁. Dengan demikian terdapat



J J



C maks

Karena J3 ideal maka x,yJ3 K,rxJ3 K.

Jadi

K

ideal di

R

.

3. Untuk setiap

J



C

,

I



J



K

, jadi I K.

4. Andaikan

K



R

, maka

I



K

. Akibatnya ada J₀C sehingga IJ₀ dan R

J₀  . Hal ini bertentangan dengan J₀





J₀  R



. Jadi

K



R

.

Berdasarkan 1, 2, 3, 4 disimpulkan bahwa

K





. Karena untuk setiap

J





, J  K maka

K

merupakan batas atas C.

Berdasarkan Lemma Zorn, maka



memiliki unsur maksimal. Misalkan JM unsur maksimal di



. Perhatikan bahwa J_M ideal di

R

dengan J_M R dan I J_M. J_M ideal maksimal. Jadi

I

termuat dalam suatu ideal maksimal.

Definisi 2.

Dua ideal

I

dan J pada gelanggang

R

disebut KOMAXIMAL jika IJ  R.

Teorema Sisa Cina (Chinese Remainder Theorem).

Misalkan

R

gelanggang dan I ...,1, In ideal-ideal di

R

sedemikian sehingga

R



I

k



R

2

untuk setiap k. Jika I ...,1, In KOMAXIMAL sepasang-sepasang, yaitu jika Ir Is  R untuk

semua

r



s

, maka n I R x x I R R ... :  1





r I r In



r  1,..., 

Merupakan homomorfisma pada dengan kernel



 I1...In. Bukti:

1. Akan ditunjukkan



homomorfisma. Ambil

x

,

y



R

,



 









 



   

x

y

I

y

I

y

I

x

I

x

I

y

I

x

I

y

I

x

I

y

I

x

J

y

x

y

x

n n n n n n



















































,

...

,

...

,

...,

,

...,

,

1 1 1 1

  

 

















x

I

x

I



y

I

y

I

    

x

y

I

y

I

x

I

y

I

x

I

xy

I

xy

xy

n n n n n



































...,

,

...,

,

...,

,

...,

,

1 1 1 1 1

Jadi



pemetaan homomorfisma.

2. Akan ditunjukkan ker

 



I1I2 ...In.

Ambil xker

 



sebarang, maka



 

x 0



I1,..., In



padahal

  

x  xI1, xI2,..., xIn



akibatnya xIi untuk setiap

i

, atau xI1I2 ...In. Jadi

 

I I In

Ker



 1 2 ... .

Sebaliknya jika xI1I2 ...In maka xIi untuk setiap

i

. Dengan demikian i i I I x  untuk setiap

i

.

  

x  xI1,..., xIn





=



I1,..., In



0

Jadi xKer

 



dan I1I2 ...In Ker

 



Disimpulkan bahwa Ker

 



I1...In.

3. Akan ditunjukkan



pada.

Klaim bahwa



1 1    k k I I R . Jelas

R



I

₁



R

2



I

₁





I

₁



I

₂



I

₁



I

₃



_

3 2 1 3 2 1 2 3 1 2 1 1 I I I

I

I

I

I

I

I

I

I

  











_

_

_

_

_

_

_

_

_



2 3



1 I I I    Tetapi,

















2 3 4



1 4 3 2 4 3 2 4 1 1 4 1 3 2 1 1 2 1 4 3 2 1

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

R

I

R

I I I I



































   



























Dan seterusnya, sehingga diperoleh RI1



I2 I3 ...In



(klaim)

Dengan cara yang sama







n k k n k k k k I I I I I I R           ... 3 3 2 2 Misalkan r ,...,₁ r_n sebarang. Dapat dicari ak Ik dan



k v v k I b   sedemikian sehingga rk ak bk Maka k k n b r b b r: 1 ...   modulo Ik

yang merupakan jalan lain untuk menyatakan

  

r  r1I1,r2 I2,...,rn In





Hasil ini terlihat abstrak, tapi ketika dikhususkan untuk ideal-ideal di

Z

, diperoleh hasil penting teori bilangan dasar yang menyangkut penyelesaian dari sistem perkongruenan.

Contoh 2.

Misalkan bahwa bilangan-bilangan asli a ...,1, an relatif prim.

Diberikan sebarang bilangan bulat r ...,1, rn sehingga dapat ditentukan bilangan bulat m

 

n n

a

r

m

a

r

m

a

r

m

mod

...

*

mod

mod

2 2 1 1







Lebih jauh, jika m dan

m

' dua solusi dari sistem perkongruenan di atas

 

* maka

m



m

' mod

n

a a a_{1 2}... .

Bukti:

Dengan mengaplikasikan teorema sisa china dengan

R



Z

dan Ik akZ untuk mendapatkan

 

* . Perhatikan bahwa I1...Ina1Za2Z...anZ 



a1a2...an



Z, karena a ...,1, an

relatif prim. Sehingga diperoleh

m



m

' mod a1a2...an.

Contoh 3.

Tentukan semua bilangan bulat xZ dengan x1 (mod 2), x2 (mod 3) dan x3

(mod 5). Ideal yang terlibat I1 2Z, I2 3Z dan I3 5Z. Mengikuti bukti teorema sisa

china diperoleh bilangan-bilangan a_i,b_iZ sedemikian sehingga

1 1

1a b dengan a1I1 2Z dan b1I2 I3 15Z, 2

2

2a b dengan a2 I2 3Z dan b2 I1I3 10Z dan 3 3 3a b dengan a₃ I₃ 5Z dan . Ambil



a₁,b₁

 

 16,15





a2,b2

 

 18,20





a3,b3

 

 15,18



Maka x:b1 b2 b3 23 adalah solusi,

dan semua solusi yang lain adalah 2330k dengan kZ .

3. Kesimpulan

Dari pemaparan di atas dapat ditarik beberapa kesimpulan:

1. Lapangan pecahan dari suatu gelanggang evaluasi sama dengan lapangannya

sendiri.

2. Gelanggang evaluasi akan selalu juga merupakan gelanggang lokal.

3. Ideal-ideal dari suatu gelanggang evaluasi dapat diurutkan dengan

menggunakan urutan himpunan bagian. Begitu juga sebaliknya, jika

ideal-ideal dari suatu gelanggang dapat diurutkan, maka gelanggang tesebut adalah

gelanggang evalusi.

4. Jika suatu gelanggang sekaligus merupakan gelanggang evaluasi dan

Noetherian, maka gelanggang tersebut merupakan daerah ideal utama.

Z I I

Daftar Pustaka

1.

Lang, S., Algebra, Addison-Wesley. 1965.

2.

Passman, D. S., A Course in Ring Theory, Wadsworth., Inc Belmont, California,

1991.

3.

Spindler, K., Abstract Algebra with Applications, Volume II, Marcel Dekker, Inc.,

1994.