E-learning matematika, GRATIS

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Penyusun : Edi Sutarto, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si.

A. Definisi

Istilah limit diartikan pendekatan.

Dalam penulisannya dituliskan: x →2, dibaca x mendekati 2, artinya:

nilai x = 1,999….,(2−_{) limit kiri atau bisa juga nilai x = 2,000….1,(2}+_{) limit kanan.} Contoh :

1. Diketahui fungsi f(x) = 2x +3

Untuk x = 2, maka nilai fungsi f(2) = 2(2) + 3 = 7 Untuk x →2, maka nilai fungsi:

F(1,9999) = 2(1,9999) + 3 = 3,9998 + 3 = 6,9998, atau F(2,0001) = 2(2,0001) + 3 = 4,0002 + 3 = 7,0002 Kedua nilai fungsi tersebut mendekati bilangan 7

Dapat disimpulkan untuk f(x) = 2x + 3, makalim2 3 7 2 + = → x x artinya untuk x →2, nilai f(x) mendekati 7 2. Diketahui fungsi f(x) = 3 3 2 2 − − − x x x

.Untuk x = 3, maka nilai fungsi f(3) = 3 3 3 6 9 − − − = 0 0 ( bentuk 0 0

disebut bentuk tak tentu). Pada fungsi f(x) = 3 3 2 2 − − − x x x .= ) 3 ( ) 1 )( 3 ( − + − x x x

Untuk x →3, maka nilai fungsi: f(2,9999) = 3 9999 , 2 ) 9999 , 2 )( 3 9999 , 2 ( − − = 3,9999 f(3,0001) = 3 0001 , 3 ) 1 0001 , 3 )( 3 0001 , 3 ( − + − = 4,0001. Dapat disimpulkan , untuk f(x) =

3 3 2 2 − − − x x x ., maka : 3 lim → x 3 3 2 2 − − − x x x _{= 4.}

Artinya untuk x→3, nilai f(x) = 4. Secara umum:

f x L artinya jikax a f x mendekati L

a x ) ( , , ) ( lim = → →

B. Bentuk Tentu, bentuk Tak Tentu dan bentuk yang tidak terdefinisi Dalam hasil pendekatan nilai fungsi, didapat 3 bentuk yaitu:

1. Bentuk Tentu :

Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bilangan real tertentu. Bentuk ini merupakan jawaban dari semua soal-soal limit.

2. Bentuk Tak Tentu.

Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bentuk: , 0 0 _{∞ ∞−∞} ∞ ∞ , . 0 , dan

lainnya.Bentuk tak tentu menghasilkan banyak jawaban.

Pada penyelesaian limit, bila nilai fungsi menghasilkan bentuk tak tentu maka harus diubah (bentuk fungsi) menjadi bentuk tentu.

3. Bentuk yang tidak didefinisikan

Hasil pendekatan nilai fungsi yang berbentuk 0

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

C.Teorema Limit 1. c c a x = → lim 2. n n a x a x = → lim 3. lim c f(x) c lim f(x) a x a x→ → = 4.

[

]

±_⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ± → → → ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim f x g x f x g x a x a x a x 5.

[

]

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = → → → ( ). ( ) lim ( ) lim ( ) lim f x g x f x g x a x a x a x 6. ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f a x a x a x → → → = 7.

[

]

n a x n a x x f x f ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = → → ( ) lim ( ) lim 8. n a x n a x x f x f( ) lim ( ) lim → → =

Penggunaan teorema limit Contoh. Carilah nilai dari:

a. 2 2 6 lim x x→ b. lim 2( 3) 3 + → x x x Jawaban: a. lim 6 6 lim 2 6(4)2 6(16) 96 2 2 2 = → = = = → x x x x b. lim 2( 3) 3 + → x x x = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ → → → 3 lim lim . lim 3 3 2 3 x x x x x = 9(3+3) = 54 Latihan 1 1. 2 4 6 lim x x x − → 2. 4 3 2 8 lim + → x x 3. 3 2 4 1 ( 5 ) lim x x x + → D Penyelesaian Limit

I. Penyelesaian limit aljabar di x→a a. Subtitusi langsung.

Contoh:

Tentukan nilai limit fungsi berikut: 1. lim (3 8) 3 − → x x 2. 5 6 2 lim 2 + − → x x x

3.

lim ( 3 4 3) 1 + − → x x x

4.

x x − → 3 lim 3

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Jawaban: 1. lim (3 8) 3 − → x x = 3(3)-8 = 1 2. 5 6 2 lim 2 + − → x x x = 5 2 6 ) 2 ( 2 + − = 7 2 − 3. 2 3 1 . 4 1 ) 3 4 ( lim 3 3 1 + − = + − = → x x x 4. lim 3 3 3 0 3 − = − = → x x

b. Pemfaktoran dan menyederhanakan

Jika dengan cara subtitusi langsung didapat bentuk tak tentu 0 0

,maka dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan dan menyederhanakan bentuk:

) ( ). ( ) ( ). ( lim x v a x x u a x a x − − → = ( ) ) ( lim x v x u a x→ = ) ( ) ( a v a u Contoh :

Tentukan nilai dari limit berikut: 1. 1 2 lim 2 1 + − − − → x x x x 2. 2 3 1 2 1 1 lim x x x − − − → 3. 5 25 lim 2 2 − − → x x x Jawaban:

1. Dengan subtitusi langsung:

0 0 1 1 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 = + − − − − −

(bentuk tak tentu)

1 2 lim 2 1 + − − − → x x x x = ( 1) ) 2 )( 1 ( lim 1 + − + − → x x x x = -3 2. 2 1 ₁ 2 1 1 lim x x x − − − → = 1 ₁ 2 2 1 lim x x x − − + → = (1 )(1 ) 1 lim 1 x x x x − + − → = 2 1 − 3. 5 25 lim 2 2 − − → x x x = ) 5 ( ) 5 )( 5 ( lim 2 − + − → x x x x = 10. Pemfaktoran bentuk khusus:

• 2 2 ( )( ) b a b a b a − = + − • 3 3 _{( )(} 2 2 b ab a b a b a − = − + + ) • 3 3 _{( )(} 2 2 b ab a b a b a + = + − + ) Latihan 2

Tentukan nilai setiap limit berikut: 1. 2 3 4 lim 2 2 2 _{− +} − → _{x x} x x 7. 3 3 2 lim a x ax x a x − − → 2. 6 4 4 lim 2 2 2 + − + − → _{x x} x x x 8. 3 3 lim 3 − − → x x x 3. 2 8 lim 2 3 2 _{+ −} + − → _{x x} x x 9. 4 4 2 1 lim 2 2 − − ₋ → x _x x 4. 1 1 lim 2 3 1 − − → _x x x 10. 3 ) 3 1 ( 3 ) 3 ( lim 2 2 − − + + + − → _{ax a x} a x a x a x 5. 9 12 5 3 lim 2 2 3 ₋ − − → _x x x x 11. x x x x x ₃ 18 3 lim 2 2 3 ₋ − + → 6. jika f(x) = 4 2 2 2 − − x x x

, maka nilai dari: lim ( )

2 f x x→

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

c.Mengalikan dengan faktor sekawan

Jika dalam subtitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu maka cara penyelesaian limit bentuk akar adalah dengan mengalikan faktor sekawan.

Bentuk kawan:

x - a bentuk kawan dari x + a, dan sebaliknya

x - a bentuk kawan dari x + a, dan sebaliknya x - a bentuk kawan dari x+ a, dan sebaliknya

b a

x+ − bentuk kawan dari x+a +b, dan sebaliknya

Contoh soal:

Tentukan nilai limit dari: 1. 1 1 lim 1 − − → x x x 2. x x x 4 4 2 lim 0 + − → 3. 2 2 1 1 1 3 lim x x x x − − − + → Jawaban: 1. 1 1 lim 2 − − → x x x . ) 1 )( 1 ( ) 1 ( lim 1 1 1 − + − = + + → x x x x x x = 2 1 1 1 1 ₌ + 2. ) 4 4 2 ( ) 4 4 2 ( . ) 4 4 2 ( lim 0 + + + + + − → x x x x x .= ) 4 4 2 ( ) 4 4 ( 4 lim 0 + + + − → x x x x = ) 4 4 2 ( 4 lim 0 + + − → x x x x = 1 2 2 4 ₌₋ + − 3. 2 ₂ 1 ₁ 1 3 lim x x x x − − − + → = 2 2 1 ₁ ) 1 ( 3 lim x x x x − + − + → . _{3 ( 1)} ) 1 ( 3 2 2 + + + + + + x x x x = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + − + → _{(1 )( 3 ( 1))} ) 1 ( 3 lim 2 2 2 2 1 _{x x x} x x x = )) 1 ( 3 )( 1 ( 1 2 3 lim 2 2 2 2 1 _{− + + +} − − − + → _{x x x} x x x x = 4 1 ) 4 ( 2 2 ) 1 ( 3 )( 1 )( 1 ( 1 ) 1 ( 2 lim 2 1_{− − + + + +} = = − − → _{x x x x} x x

Latihan 3. Tentukan nilai limit berikut! 1. 3 9 lim 9 − − → x x x 2. x x x→ 2− 4− lim 0 3. 2 1 4 3 lim 2 − + − → x x x 4. h x h x h − + → 0 lim 5. 3 1 5 1 3 3 lim 1 − − + − − − → x x x x x

II. Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar di x→∞ a. Membagi dengan variable pangkat tertinggi

Membagi dengan variable pangkat tertinggi digunakan saat x→∞dan ditemui bentuk tak tentu

∞ ∞

.

Diselesaikan dengan ketentuan:

n x x a ∞ → lim = 0

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Contoh soal:

Tentukan nilai dari setiap limit berikut: 1. x x x x x x x _{6 7 8} 5 5 3 lim 2 3 2 3 − + + − ∞ → = 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 8 7 6 5 5 3 lim x x x x x x x x x x x x x − + + − ∞ → = 2 2 8 7 6 5 5 3 lim x x x x x _{+ −} + − ∞ → = 6 0 0 0 0 3 − + + − = 2 1 2. x x x x x x x + + − + ∞ → 4 2 2 3 5 3 10 4 2 lim = 4 4 2 4 4 4 4 2 4 3 5 3 10 4 2 lim x x x x x x x x x x x x x + + − + ∞ → =3 0 0 0 0 0 + + − + = 0 3. 3 2 1 3 2 lim 2 2 3 + − + − ∞ → _{x x} x x x = 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 1 3 2 lim x x x x x x x x x x x + − + − ∞ → = 0 0 0 0 0 2 + − + − = =∞ 0 2

b. Perkalian sekawan (bentuk khusus yang memuat a− b)

Cara ini digunakan jika dijumpai bentuk tak tentu ∞−∞

Cara penyelesaian; kalikan dengan bentuk sekawannya sehingga berubah menjadi bentuk

∞ ∞

dan selesaikan dengan cara seperti cara bagian a. Contoh soal:

Tentukan nilai dari setiap limit berikut: 1. lim 2+6 +2− 2−4 +1 ∞ → x x x x x 2. x x x x x 3 2 lim 2− − 2+ ∞ → 3. lim 2+2 −1− 2 2+3 +1 ∞ → x x x x x Jawaban: 1. lim 2+6 +2− 2−4 +1 ∞ → x x x x x . ) 1 4 2 6 ( ) 1 4 2 6 ( 2 2 2 2 + − + + + + − + + + x x x x x x x x = 1 4 2 6 ) 1 4 ( ) 2 6 ( lim 2 2 2 2 + − + + + + − − + + ∞ → _{x x x x} x x x x x = 1 4 2 6 1 10 lim 2 2 _{+ + + − +} + ∞ → _{x x x x} x x , karena

pangkat tertinggi pembilang = 1

Dan pangkat tertinggi penyebut = 1 karena x2 = x, maka:

= 2 2 1 4 1 2 6 1 1 10 lim x x x x x x _{+ + + − +} + ∞ → = 10 = 2 5 2 x x x x x 3 2 lim 2− − 2+ ∞ → . _{( 2 3 )} ) 3 2 ( 2 2 2 2 x x x x x x x x + + − + + − = x x x x x x x x x _{2 3} ) 3 ( ) 2 ( lim 2 2 2 2 + + − + − − ∞ → = _{x x x x} x x x _{2 3} 4 lim 2 2 2 + + − − ∞

→ , karena pangkat tertinggi

pembilang = 2

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

3 2 3 2 3 1 1 2 4 1 lim x x x x x x + + − − ∞ → = 0 1 =∞ 3. lim 2+2 −1− 2 2+3 +1 ∞ → x x x x x . ) 1 3 2 1 2 ( ) 1 3 2 1 2 ( 2 2 2 2 + + + − + + + + − + x x x x x x x x 1 3 2 1 2 ) 1 3 2 ( ) 1 2 ( lim 2 2 2 2 + + + − + + + − − + ∞ → _{x x x x} x x x x x = _{2 1 2 3 1} 2 lim 2 2 2 + + + − + − − − ∞ → _{x x x x} x x x = 4 3 2 4 3 2 2 1 3 2 1 2 1 2 1 1 lim x x x x x x x x x _{+ − + + +} − − − ∞ → = 0 1 − = -∞ 4. ax bx c px qx r x→∞ + + − + + 2 2

lim , dengan cara yang sama seperti diatas di peroleh hasil (3 kemungkinan):

• Jika nilai a = p maka nilai dari limitnya =

a q b

2 − • Jika nilai a < p maka nilai dari limitnya = ∞− • Jika nilai a > p maka nilai dari limitnya = ∞ Latihan 4.

Tentukan nilai dari setiap limit berikut:

1. ₂ 2 3 4 10 5 7 6 lim x x x x x − + + − ∞ → 5. lim 2 4 1 2 2 _{+ − − +} ∞ → x x x x x 2. ) 3 4 )( 1 3 ( ) 3 2 ( lim 2 − + − ∞ → _{x x} x x 6. lim 3 2 2 _{+ − +} ∞ → x x x x 3. 3 2 3 5 7 lim ₂ − + + ∞ → _{x x} x x 7. lim (3 1) 9 2 7 2 _{− +} − + ∞ → x x x x 4. x x x x x _{2 1 4} 6 lim 2 _{+ − +} ∞ → 8. _{x x} x x x 7 ) 4 3 ( ) 3 2 ( lim ₅2 3 + − + ∞ → .

II. Limit Fungsi Trigonometri Teorema: • 1 sin lim sin lim 0 0 = → = → x x x x x x • 1 tan lim tan lim 0 0 = → = → x x x x x x

a. menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk 0 0 Contoh soal:

Tentukan nilai dari setiap limit berikut: 1. x x x 3 sin lim 0 → 2. x x x sin3 lim 0 → 3. x x x 2 6 sin lim 0 → 4. x x x 2 4 tan lim 0 → 5. x x x sin3 2 sin lim 0 → 6. x x x sin4 3 tan lim 0 → 7. x x x x 3 sin 2 cos 1 lim 0 − → 8 x a a x x − − → sin sin lim 0

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Jawab: 1. x x x 3 sin lim 0 → = 3) 1 ( 1 3 1 sin lim 0 = → x x x = 3 1 2. x x x sin3 lim 0 → = 3) 1 ( 1 3 1 . 3 sin 3 lim 0 = → x x x = 3 1 5. x x x sin3 2 sin lim 0 → = 3(1)(1) 2 3 sin 3 2 2 sin lim 3 2 3 2 2 3 . 3 sin 2 sin lim 0 0 = → = → x x x x x x x x x x = 3 2 7. x x x x 3 sin 2 cos 1 lim 0 − → = 3 2 ) 1 )( 1 ( 3 2 sin sin sin lim 3 2 sin 3 sin 2 lim 0 2 0 = → = = → x x x x x x x x x

b. menyelesaikan limit fungsi trigono bentuk (∞−∞)

Limit bentuk (∞−∞) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk 0 0 contoh soal:

Tentukan nilai dari limit berikut:

) tan (sec lim 2 x x x − → π = ) 2 sin( ) 2 ( 2 1 sin ). 2 ( 2 1 cos 2 lim ) 2 sin( sin 2 sin lim cos sin 1 lim ) cos sin cos 1 ( lim 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x − − + = − − = − = − → → → → π π π π π π π π π =2 cos 0 2 1 cos 2 1 ). 2 2 ( 2 1 π ₊π _{= π =}

c. menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk (0. ∞ ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk 0 0 . Contoh soal: 1. x x x π 2 1 tan ) 1 ( lim 1 − → = ₋ = − = − → → ₎ 2 1 2 1 sin( 2 1 sin ) 1 ( lim 2 1 cos 2 1 sin ) 1 ( lim 1 1 _x x x x x x x x _{π π} π π π 2. π π π π π 2 2 1 1 . 2 1 sin 1 ) 1 ( 2 1 sin 2 1 sin ) 1 ( lim 1 =− − = − − → _x x x x == oOo ==

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan Pilihlah salah satu jawaban yang paling

benar! 1. Nilai 4 6 5 lim ₂ 2 2 − + − → _x x x x =… A. –₄1 B. –₈1 C. ₈1 D. 1 E. ₄5 2. Nilai x x x + x x 3 18 3 3 im 2 ₂ l ₋ − → adalah … A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 6 3. Nilai 6 8 2 Lim ₂ 3 − − → t + t t t = … A. 0 B. ₃4 C. 12₅ D. ₄5 E. ∞ 4 Nilai ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − → _{2 8} 3 4 2 lim _{2 2} 2 _{x x x} x = A. ₋₁₂7 B. ₋₄1 C. ₋₁₂1 D. ₋₂₄1 E. 0 5 Jika f (x) = 4 2 2 2 − − x x x maka 2 lim → x f (x) = … A. 0 B. ∞ C. –2 D. ₂1 E. 2 6. Nilai 4 2 4 lim − − → t t t = … A. 1 B. ₄1 C. ₃1 D. ₂1 E ₄3 7. Nilai 7 4 9 lim 2 2 3 _{− +} − → _x x x = ... A. 0 B. 5 C. 6,5 D. 8 E. ∞ 8 Nilai 3 1 2 4 lim 3 − + − + → x x x x adalah … A. –₇1 7 B. –₁₄1 7 C. 0 D. ₇1 7 E. ₁₄1 7 9 Nilai x x x x x + − →0 lim = … A. 0 B. ₂1 C. 1 D. 2 E. ∞ 10 Nilai 2 2 0 _{1 1} lim x x x→ − + = … A. 2 B. 0 C. –1 D. –2 E. -3

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan x x x x x 4 3 4 5 2 2 lim + − − ∞ → adalah … A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. 8 12 Nilai ∞ → x lim (3x – 2) – 9_x2_{− x}2 ₊5 = … A. 0 B. –1₃ C. –1 D. –₃4 E. –₃5 13. Nilai Nilai

(

5 1 3 7

)

lim + − + ∞ → x x x = … A. ∞ B. 8 C. 6 D. 2 E. 0 14 Nilai x x x sin 3 5 sin Lim 0 → = … A. 1 B. 0 C. –1 D. ₅3 E. ₃5 15 Nilai t t t ₂ 3 tan 0 Lim → adalah … A. 0 B. 1 C. 3 D. ₃2 E. ₂3 16 Nilai Nilai ( ) ( ) 10 3 2 sin 6 lim ₂ 2 − − + + → _{x x} x x x =.. A. ₋₃4 B. ₋₇4 C. ₋₅2 E. 1 17 Nilai + = → x x x x x cos 3 sin sin 0 lim … A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 18 Nilai ₂ 1 ₁ 1 lim x x x − − → = … A. –₂1 B. 0 C. ₄1 D. 1 E. 4 19 Jika f(x) = x2 _{– 1, maka} ( ) ( ) p x - f x+p f p 0

lim_→ sama dengan

… A. 0 B. 1 C. 2 D. 2x E. x3 20 Diketahui f(x) = 3 1 5 2 x , maka p x f p x f p ) ( ) ( lim 0 − + → = … A. 3 4 5 2 x − B. 3 2 5 2 x − C. 3 2 15 2 x − D. 3 2 15 2 x E 3 4 15 2 x

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

Mengapa Cina Sangat Berprestasi

Dalam Olimpiade Matematika Internasional?

Sejak pertama kali mengikuti Olimpiade Matematika Internasional (International Mathematical Olympiad) tahun 1985 di Joutsa, Finlandia sampai dengan IMO tahun 2008 di Madrid, Spanyol, siswa-siswa sekolah menengah dari Cina telah berhasil mengumpulkan 101 medali emas, 26 perak dan 5 perunggu. Bandingkan dengan Indonesia yang sampai sekarang baru berhasil mendapat 3 medali perak dan 12 perunggu sejak pertama kali ikut IMO tahun 1988 di Canbera, Australia.

Faktor-faktor apa saja yang menyebabkan siswa-siswa Cina menjadi sangat luar biasa dalam IMO? Yang paling utama adalah sistem pendidikan di Cina yang dapat membuat siswa sangat tertarik dengan matematika dan dapat mengidentifikasi siswa-siswa yang potensial dalam bidang tersebut. Dalam hal inilah Cina sangat unggul.

Guru-guru matematika di Cina tidak memerlukan banyak pelatihan dalam pengembangan profesinya, tetapi mereka sangat spesialis dan mau bekerja keras dalam mendalami profesinya. Faktor lain yang sangat berpengaruh adalah banyak sekali guru matematika di Cina yang menggemari dan menggeluti kompetisi matematika. Cina mempunyai jaringan pelatih khusus untuk kompetisi matematika di seluruh negeri yang dapat mengidentifikasi dan membimbing siswa-siswa yang berbakat matematika. Setiap tahun lebih dari 10 juta siswa sekolah menengah di Cina yang berpartisipasi dalam kompetisi matematika. Menurut Zuming Feng (team leader tim IMO Amerika Serikat) yang dilahirkan dan dibesarkan di Cina sebelum berimigrasi ke Amerika Serikat, di Cina terdapat banyak sekali guru matematika sekolah menengah di Cina yang mengabdikan profesinya khususnya dalam kompetisi matematika.

Kemampuan matematika yang mendalam juga menjadi syarat dalam ujian masuk perguruan tinggi di Cina. Soal ujian tersebut selalu terdiri dari tiga atau lima soal matematika yang berbentuk pembuktian. Sebagai akibatnya siswa-siswa Cina sudah terbiasa menghadapi soal-soal matematika level olimpiade. Faktor terakhir adalah sistem pembinaan yang sangat keras untuk menghadapi IMO. Meskipun tidak melalui model pelatihan jangka panjang, siswa-siswa yang mewakili Cina di IMO paling sedikit harus melewati sepuluh tes yang selevel dengan IMO