MATEMATIKA EKONOMI. S1 Manajemen. Dosen Pengampu: Djayadi Nugroho, S.Kom, M.Kom. Website: nugroho.stiemj.ac.id

(1)

MATEMATIKA

EKONOMI

Program Studi : Program Studi : S1 Manajemen S1 Akuntansi S1 Akuntansi Dosen Pengampu:

Djayadi Nugroho, S.Kom, M.Kom

(2)

PERSYARATAN KULIAH

PERSYARATAN

KULIAH

• Kehadiran minimal 80 %Kehadiran minimal 80 %

• Tugas terstruktur

• Tugas mandiri

• Ujian tengah semester Uji khi t

• Ujian akhir semester

• Di kelas nada dering HP dinonaktifkan

• Wajib pakai sepatu

(3)

Buku Referensi

• Dumairy, “Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi”,

Edisi ke‐2, Penerbit BPFE, Yogyakarta

• Chiang, Alpha C., “Dasar‐dasar Matematika Ekonomi”, Edisi ke‐4, Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta

• Kalangi, Josep Bintang, “Matematika Ekonomi dan Bisnis”,

Buku 1, Penerbit Salemba Empat, Jakarta

• Soeprapto, “Matematika (Kalkulus)”Soeprapto, Matematika (Kalkulus)

• Assauri, Sofyan, ”Pengantar Matematika Ekonomi”

• H.Johannes & Budiono Sri Handoko, “Pengantar Matematika untuk Ekonomi” LP3S Jakarta

Matematika untuk Ekonomi , LP3S, Jakarta

• Weber, Jean E., “Matemathical Analysis: Business and

(4)

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

SATUAN

ACARA

PERKULIAHAN

Tatap Muka

Pokok Bahasan Materi Referensi Muka

I ‐II Pendahuluan 1. Sifat‐sifat matematika Ekonomi 2. Model ekonomi

3. Himpunan

4 Bilangan Pangkat akar dan logaritma

• Dumairy (Bab 1 & 3) • Chiang (Bab 1& 2) • Kalangi (Bab 1 & 2) 4. Bilangan Pangkat, akar dan logaritma

III Limit & Kesinambungan Fungsi

1. Pengertian limit 2. Kaidah‐kaidah limit 3. Kesinambungan 4. Penerapan Ekonomi • Dumairy (Bab 8) • Chiang (Bab 6) • Kalangi (Bab 13) e e apa o o IV ‐V Deferensial Fungsi Sederhana & Deferensial Fungsi Majemuk 1. Derivatif

2. Kaidah‐kaidah deferensial

3. Deferensial parsial & derivatif parsial 4. Nilai Ekstrim (max & min)

• Dumairy (Bab 9 ) • Chiang (Bab 6) • Kalangi (Bab 13)

VI ‐VII Aplikasi Deferensial Dalam Ekonomi 1. Elastisitas permintaan 2. Elastisitas penawaran 3. Elastisitas produksi 4. Biaya marjinal • Dumairy (Bab 10 ) • Chiang (Bab 7) • Kalangi (Bab 15) 5. Penerimaan marjinal VIII U T S U T S

(5)

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

SATUAN

ACARA

PERKULIAHAN

Tatap Muka

Pokok Bahasan Materi Referensi Muka

IX Fungsi Dan

Penggambaran Grafik

1. Pengertian & unsur‐unsur Fungsi 2. Jenis‐jenis Fungsi

3. Penggambaran fungsi Linear & non linear

• Dumairy (Bab 5 ) • Kalangi (Bab 3)

X ‐XI Fungsi Linear 1. Pembentukan persamaan 2. Hubungan dua garis lurus 3. Mencari akar fungsi

• Dumairy (Bab 6 ) • Kalangi (Bab 4)

XII ‐XIII Aplikasi Fungsi Linear D l Bi i (Mik )

1. Fungsi permintaan,penawaran dan

K i b

• Dumairy (Bab 6 ) K l i (B b 6) Dalam Bisnis (Mikro) Keseimbangan pasar

2. Pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar

3. Pengaruh keseimbangan dua komoditi 4. Fungsi biaya, penerimaan, break even

• Kalangi (Bab 6)

point (titik pulang pokok) XIV ‐XV Aplikasi Fungsi Linear

Dalam Bisnis (Makro)

1. Fungsi konsumsi, tabungan dan multiplier

2. Pendapatan disposible

• Dumairy (Bab 6 ) • Kalangi (Bab 6) 3. Fungsi pajak, investasi, impor

4. Analisis Pendapatan Nasional

(6)

SIFAT SIFAT MATEMATIKA

SIFAT

SIFAT MATEMATIKA

EKONOMI

(7)

• Matematika Ekonomi bukan merupakan cabang tersendiri dari ilmu ekonomi, tidak seperti keuangan negara atau perdagangan internasional.

• _{Matematika ekonomi lebih merupakan pendekatan}_{Matematika ekonomi lebih merupakan pendekatan}

untuk analisis ekonomi.

• Para ahli ekonomi (Ekonom) menggunakan simbol simbol matematis untuk menyatakan permasalahan simbol matematis untuk menyatakan permasalahan dan juga menggunakan dalil dalil matematis yang terkenal untuk membantu didalam pembahasannya.

M ik k i d di k d l i

• Matematika ekonomi dapat digunakan dalam teori ekonomi makro atau mikro, keuangan negara, ekonomi perkotaan, dll

(8)

Perbedaan Mendasar

No Matematika Ekonomi Non Matematika Ekonomi

.

1 Asumsi dan Kesimpulan

di k d l i b l

Asumsi dan kesimpulan

di k d l k k dinyatakan dalam simbol

matematis

dinyatakan dalam kata‐kata 2 Mengandung Persamaan‐ Mengandung kalimat‐kalimat 2 Mengandung Persamaan

persamaan

Mengandung kalimat kalimat 3 Permasalahan diselesaikan Permasalahan diselesaikan

(9)

Perbedaan Mendasar

No Matematika Ekonomi Ekonometrika

.

1 Penerapan Matematis pada

k i i i d i

Pengukuran data ekonomi aspek teoritis murni dari

analisa ekonomi

2 Mengabaikan masalah Pengamatan Empiris (Analisa 2 Mengabaikan masalah

Statistik

Pengamatan Empiris (Analisa

Empiris)

3 Bahan Teori (Analisa Teoritis) Penaksiran dg Metode

Statistik

(10)

Hubungan Antara Matematika

k

Ekonomi Dan

Ekonometrika

• Teori harus diuji terhadap data empiris untukTeori harus diuji terhadap data empiris untuk kebenarannya sebelum diterapkan.

• Sedangkan Statistik memerlukan Teori EkonomiSedangkan Statistik memerlukan Teori Ekonomi untuk dapat menentukan arah penelitian yang paling relevan dan bermanfaat.

paling relevan dan bermanfaat.

• Jadi Matematika Ekonomi sebagai prasyarat untuk mempelajarai Statistik dan Ekonometrika untuk mempelajarai Statistik dan Ekonometrika

(11)

Sifat

‐

sifat Matematika Ekonomi

Sifat sifat Matematika Ekonomi

• Bahasa yang dipergunakan ringkas dan tepatBahasa yang dipergunakan ringkas dan tepat

• Kaya akan dalil ‐ dalil matematis sehingga mempermudah pemakaiannya

mempermudah pemakaiannya

• Mendorong kita untuk menyatakan asumsi‐

asumsi secara jelas sebagai prasyarat asumsi secara jelas sebagai prasyarat mempergunakan dalil matematis

• Memungkinkan kita untuk mempergunakan

• Memungkinkan kita untuk mempergunakan sebanyak n Variabel

(12)

(13)

• Model Ekonomi = Penyederhanaan hubunganModel Ekonomi Penyederhanaan hubungan antara variabel ‐ variabel ekonomi

• Model Ekonomi dapat berbentukModel Ekonomi dapat berbentuk modelmodel matematika dan Non Matematika

• Apabila berbentuk model matematika maka akan

• Apabila berbentuk model matematika maka akan terdiri atas satu atau sekumpulan persamaan

• Persamaan terdiri atas sejumlah variabel

• Persamaan terdiri atas sejumlah variabel, konstanta, koefisien dan atau parameter

(14)

Variabel,

Konstanta,

Koefisien,

dan

Parameter

• Variabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubahVariabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah‐

ubah dalam suatu masalah tertentu

• Misalnya : Harga (Price) = P, Jumlah yangy g ( ) , y g diminta/ditawarkan (Quantity) = Q, Biaya (Cost) = C, Penerimaan (Revenue) = R, Investasi (Investment) = I, Tingkat Bunga (Interest Rate) = I, dan lain‐lain.

• Akan tetapi, jika telah dinyatakan bahwa P = 3 atau C

k l b l d h “ ”

= 18, maka nilai variabel ini sudah “tertentu”, yaitu 3 untuk P dan 18 untuk C (dalam satuan yang dipilih secara tepat)

(15)

• Variabel terdiri dari :Variabel terdiri dari :

• Variabel Endogen = variabel yang nilai penyelesaiannya diperoleh dari dalam model

penyelesaiannya diperoleh dari dalam model

• Variabel Eksogen (variabel yang nilai nilainya diperoleh dari luar model atau sudah ditentukan diperoleh dari luar model atau sudah ditentukan berdasarkan data yang ada.

• Konstanta adalah suatu bilangan nyata tunggal

• Konstanta adalah suatu bilangan nyata tunggal yang nilainya tidak berubah‐ubah dalam suatu masalah tertentu

(16)

• Koefisien adalah angka pengali terhadapKoefisien adalah angka pengali terhadap variabelnya, misal 5R; 4P atau 0.3C

• Parameter adalah suatu nilai tertentu dalam • Parameter adalah suatu nilai tertentu dalam

suatu masalah tertentu dan mungkin akan menjadi nilai yang lain pada suatu masalah menjadi nilai yang lain pada suatu masalah

yang lainnya. (Biasanya dilambangkan dengan huruf awal abjad Yunani atau Arab) misalnya huruf awal abjad Yunani atau Arab), misalnya

(17)

Persamaan dan Pertidaksamaan

• Persamaan adalah penyataan bahwa duaPersamaan adalah penyataan bahwa dua lambang adalah sama. Disimbolkan dengan tanda = (dibaca : “sama dengan”)

tanda = (dibaca : sama dengan )

• Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan yang

menyatakan bahwa dua lambang adalah tidak menyatakan bahwa dua lambang adalah tidak sama. Disimbolkan dengan tanda < (baca

(18)

Persamaan dalam Matematika Ekonomi dan Bisnis terdiri dari 3 (Tiga) Macam, yaitu:

1. Persamaan Definisi (Identity, =) adalah suatu bentuk kesamaan diantara dua pernyataan yang mempunyai arti yang sama diantara dua pernyataan yang mempunyai arti yang sama. Contoh : π = R – C (Total Laba adalah selisih antara total pendapatan dan total biaya).

2. Persamaan Perilaku (behavioral equation) adalah suatu persamaan yg menunjukkan bahwa perubahan perilaku suatu variabel sebagai akibat dari perubahan variabel lainnya yg adag p y yg hubungannya. Contoh : C = 75 + 10Q , C = 110 + Q2

3. Persamaan Bersyarat (conditional equation) adalah suatu persamaan yang menggambarkan persyaratan untuk persamaan yang menggambarkan persyaratan untuk pencapaian keseimbangan (equilibrium). Misalnya; Q_d = Q_s (jumlah yang diminta = jumlah yang ditawarkan) dan S = I

( b dih k i i dih k )

(19)

Sistem Bilangan Nyata

Bilangan Bilangan Nyata Bil. Rasional Bil. Irrasional

Bil. Bulat Bil.

Pecahan

Bil.

Negatif Nol Bil. Positif

(20)

(21)

HIMPUNAN

(22)

• Konsep Himpunan adalah suatu konsep yang • Konsep Himpunan adalah suatu konsep yang paling mendasar bagi ilmu matematika modern pada umumnya dan dibidang ilmu modern pada umumnya dan dibidang ilmu ekonomi dan bisnis pada khususnya. Karena dalam hal pembentukan model kita harus dalam hal pembentukan model kita harus menggunakan himpunan/sekelompok data observasi dari lapangan

(23)

Pengertian Himpunan

• Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yangp p j y g didefinisikan (diterangkan) dengan jelas.

• Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu

• Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, …,Z dan objek‐objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma

tanda koma

• Contoh : A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

(24)

SOAL :

1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan

k t d 15

kurang atau sama dengan 15

2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan ‐5 tetapi kurang dari 10

Jawaban :

1. B = { x | 3 < x ≤ 15} 2 C = { x | ‐5 ≤ x < 10} 2. C = { x | ‐5 ≤ x < 10}

(25)

Keanggotaan Suatu Himpunan

Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5 Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6

(26)

Contoh soal :

Andaikan kita memiliki data beberapa himpunan sebagai berikut: • U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} • A = {0,1,2,3,4} • B {5 6 7 8 9} • B = {5,6,7,8,9} • C = {0,1,2,3,4}

Kesimpulan yang bisa ditarik berkenaan data diatas adalah : Kesimpulan yang bisa ditarik berkenaan data diatas adalah : 1. x ∈ U, dimana 0 ≤ x ≤ 9 2. y ∈ A, dimana 0 ≤ y ≤ 4 5. A ⊂ U B ⊂ U C ⊂ U 6. A = C A ≠ B B ≠ C 3. z ∈ B, dimana 5 ≤ z ≤ 9 4. y ∈ C, dimana 0 ≤ y ≤ 4

(27)

Himpunan Kosong

• Himpunan Kosong adalah himpunan yangHimpunan Kosong adalah himpunan yang

tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau ∅

dengan { } atau ∅

• D = { x | x orang yang tingginya lebih dari 5 m}

F { | bil i 7 d 11 }

• F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }

• Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang

tingginya lebih dari 5 meter dan adakah

(28)

Himpunan Lepas

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepasp y g g g p jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama

h { }

Contoh: L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 }, G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

C b k li h tik d k h t hi L

• Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ?

• Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yangKarena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas.

(29)

Himpunan Tidak Saling Lepas

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama. Contoh :

P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } P { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8.

(30)

Himpunan Bagian

A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiapp g p p p anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A ⊂ B.

C t h Contoh:

• S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

• A = { 0 1 2 3 4 5 6 7 } ; B = { 1 2 3 4 } ; C = { 6 7 8 9 }A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }

a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

(31)

• Karena setiap anggota himpunan B jugaKarena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B ⊂ A

• Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 • Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C ⊄ A

(32)

Rumus Banyaknya Himpunan Bagian

Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka

b k hi b i d i A d l h b k 2n(A)

banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A) _.

Contoh : Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut : 1 A { a b c } 1. A = { a, b, c } 2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 } 3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } J b Jawab :

1. n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 _{= 2 x 2 x 2 = 8}

2 n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B 2. n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B

adalah 25 _{= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32}

3. n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 27 _{= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128}

(33)

Himpunan Sama

Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya jumlahnya. Contoh : A { i } • A = { a, i, u, e, o } ; • B = { u, a, i, o, e }

Kedua himpunan A dan B anggota‐anggotanya sama yaitu a,i,u,e, dan o maka himpunan A = By , , , , p

(34)

Himpunan Ekuivalen

Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlahua pu a d ata a u a e apab a ju a anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama.

Contoh :

• P = { a, i, u, e, o }

• Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Kedua himpunan P dan Q anggota‐anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )

(35)

Irisan Dua Himpunan (Interseksi)

Irisan himpunan A dan B ditulis A ∩ B adalah Irisan himpunan A dan B ditulis A ∩ B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B.

Contoh :

• Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P ∩ Q

Jawab :

(36)

Gabungan Dua Himpunan (

Union)

Gabungan himpunan A dan B ditulis A ∪ B Gabungan himpunan A dan B ditulis A ∪ B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B.

Contoh :

• Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P ∪ Q

Jawab :

(37)

Diagram Venn

Diagram

Venn

Langkah‐langkah menggambar diagram venn

• Daftarlah setiap anggota dari masing‐masing himpunan

• Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama‐

sama

kk h d l k b d h h

• Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah‐tengah

• Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi

Li k dib t t di dit d i d hi

• Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama‐nama himpunan

• Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu

• Buatlah segiempat yang memuat lingkaran lingkaran itu dimana

• Buatlah segiempat yang memuat lingkaran‐lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

(38)

Contoh :

• Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 };

A = { 1,2,3,4,5,6 }; B = { 2,4,6,8,10 }; C = { 3,6,9,12 }

• Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas !

Jawab : Jawab :

(39)

(40)

Contoh :

Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya.

a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis? b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari? c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya? Jawab :

( ) l

N(S) = 32 , Misalnya :

A = {siswa gemar melukis} Æ n(A) = 21

B { i i} Æ (B) 16

B = {siswa gemar menari} Æ n(B) = 16

(41)

Jawab :

N(S) = 32, Misalnya :

A = {siswa gemar melukis} Æ n(A) = 21 B = {siswa gemar menari} Æ n(B) = 16

(42)

• Diagram Venn

a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis b Ada 6 siswa yang hanya gemar menari b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari.

(43)

Contoh :

• Diketahui :

• S = { x | 10 < x ≤ 20, x ∈ B },

• M = { x | x > 15, x ∈ S },

• N = { x | x > 12, x ∈ S }

• _{Gambarkanlah Diagram Ven}_‐_{nya !}

(44)

Jawab : • S = { x | 10 < x ≤ 20, x ∈ B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 } • M = { x | x > 15, x ∈ S } = { 16,17,18,19,20} • N = { x | x > 12, x ∈ S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20} • M ∩ N = { 16,17,18,19,20 } Di V d l h bb Diagram Vennya adalah sbb:

(45)

Contoh :

• Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.

a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay? b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?

c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay? Jawab : N(S) = 60 , Misalnya :

{ k b k } Î ( )

A = {siswa suka bakso} Î n(A) = 20

B = {siswa suka siomay} Î n(B) =46

(A B)C _{{ id k} _{k k d} _} Î _((A _B)C₎ ₅

(A ∩ B)C _{= {tidak suka keduanya}} Î _n((A ∩ _B)C_{) =} ₅

(46)

{siswa suka bakso saja} = 20 ‐ x {siswa suka siomay saja} = 46 ‐ x Perhatikan Diagram Venn berikut :

n(S) = (20 ‐ x) + x + (46 ‐ x) + 5

60 = 71 ‐ x Æ x = 71 ‐ 60 = 11

a. siswa yang suka keduanya adalah x = 11 orang b. siswa suka bakso saja = 20 ‐ x = 20 ‐ 11 = 9 orang c. siswa suka siomay saja = 46 ‐ x = 46 ‐ 11 = 35 orang