UNIVERSITAS BINA NUSANTARA
Program Studi Ganda
Teknik Informatika dan Matematika
Skripsi Sarjana Program Ganda
Semester Genap 2005/2006
PERBANDINGAN SOLUSI PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA
NONLINIER DENGAN METODE VOLTERRA-RUNGE-KUTTA
DAN METODE ITERASI
Citrahadi NIM : 0500583561
ABSTRAK
Banyak masalah nyata di alam ini yang dapat dibuat model matematikanya. Persamaan diferensial adalah salah satu model matematika yang banyak digunakan pada masalah nyata ini. Dalam mencari penyelesaian persamaan diferensial kadang kala ditemui suatu kesulitan, terutama pada masalah yang tak linier, oleh karena itu persamaan integral dapat merupakan bentuk persamaan yang dapat membantu memudahkan penyelesaian persamaan diferensial, salah satunya adalah persamaan integral Volterra nonlinier.
Metode yang akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra nonlinier adalah metode Volterra-Runge-Kutta dan metode iterasi. Metode Volterra-Runge-Kutta berdasarkan pada aturan Simpson, sedangkan metode iterasi berdasarkan pada aturan trapesium.
Dalam perancangan algoritma ini, penulis membuat program perbandingan hasil perhitungan kedua metode tersebut. Hasilnya adalah pada N-kali iterasi tertentu kedua metode menunjukkan waktu proses yang hampir sama. Namun semakin besar N, semakin jelas terlihat perbedaan waktu proses di antara kedua metode ini. Dari segi hasil, metode Volterra-Runge-Kutta menunjukkan hasil yang lebih teliti dibandingkan metode iterasi.
Kata kunci :
Persamaan integral, Volterra nonlinier, Volterra-Runge-Kutta, Iterasi, Simpson, Trapesium, perbandingan.
PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah membimbing penulis dalam menyusun skripsi yang berjudul Perbandingan Solusi Persamaan Integral Volterra Nonlinier dengan Metode Volterra-Runge-Kutta dan Metode Iterasi, sehingga penyusunan skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik. Skripsi ini disusun untuk memenuhi syarat gelar Sarjana S1 pada Program Studi Ganda Teknik Informatika – Matematika Universitas Bina Nusantara.
Selama menyelesaikan skripsi ini, penulis menghadapi banyak sekali hambatan atau rintangan. Namun demikian karena berbagai bantuan dan petunjuk dari beberapa pihak, skripsi ini dapat diselesaikan. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terima kasih sebesar–besarnya kepada:
1. Bapak Prof Dr. Drs Gerardus Polla, M. App. Sc selaku Rektor Universitas Bina Nusantara, Jakarta, Bapak Wikaria Gazali, S.Si, M.T selaku Dekan Fakultas MIPA dan Bapak Ngarap Im. Manik, Drs, M.Kom selaku Ketua Jurusan Matematika yang telah banyak memberikan kepercayaan dan kesempatan kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak Abraham Salusu, Drs, M.M, selaku Dosen Pembimbing yang telah banyak menyediakan waktu, membantu, memberikan pengarahan dan membimbing penulis dalam menyelesaikan masalah–masalah yang dihadapi
3. Bapak Saulus Silitonga, Drs, M.Sc selaku Dosen Pembimbing yang telah banyak menyediakan waktu, membantu, memberikan pengarahan dan membimbing penulis dalam menyelesaikan masalah–masalah yang dihadapi selama penulis menyusun skripsi ini.
4. Seluruh dosen Universitas Bina Nusantara, atas bimbingan dan pengajaran yang telah diberikan selama ini.
5. Keluarga dari penulis yang telah memberikan dukungan baik moral maupun finansial untuk menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
6. Rekan–rekan mahasiswa yang secara langsung maupun tidak langsung yang telah memberikan dukungan kepada penulis.
Penulis juga menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, namun penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Saran dan kritik pembaca bagi penyempurnaan skripsi ini diterima dengan senang hati. Terima kasih.
Jakarta, Agustus 2006 Penulis
Citrahadi 0500583561
DAFTAR ISI
Abstrak iv Prakata v
Daftar Isi vii
Daftar Tabel ix
Daftar Gambar x
Daftar Lampiran xi
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah 1
1.2 Rumusan Rancangan 2
1.3 Spesifikasi Rancangan 2
1.4 Ruang Lingkup Masalah 2
1.5 Tujuan dan Manfaat 3
1.6 Metodologi 4
1.7 Penelitian yang Relevan 4
1.8 Sistematika Penulisan 5
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Flow Chart atau Diagram Alir 6
2.2 State Transition Diagram (STD) 7
2.3 Persamaan Integral Volterra 8
2.4 Konvergensi dan Ketunggalan Solusi 10 2.4.1 Persamaan Integral Volterra Linier 10 2.4.2 Persamaan Integral Volterra Nonlinier 18
2.5 Metode-Metode Penyelesaian 25
2.5.1 Metode Iterasi 25
2.5.2 Metode Volterra-Runge-Kutta 26
2.6. Teorema-Teorema Penunjang 29
2.6.1 Teorema Ketaksamaan Schwarz untuk Integral 29 2.6.2 Teorema Picard untuk Persamaan Diferensial 31
3.1.2 Metode Volterra-Runge-Kutta 36 3.2 Perancangan Program 38 3.2.1 Tahapan-Tahapan Program 38 3.2.1.1 Tahap Input 39 3.2.1.2 Tahap Proses 39 3.2.1.3 Tahap Output 39
3.2.2 Diagram Alir Modul 40
3.2.2.1 Diagram Alir Modul Proses Iterasi 41 3.2.2.2 Diagram Alir Modul Proses VRK 42
3.2.3 Struktur Menu 42
3.2.4 Diagram STD (State Transition Diagram) 43
3.2.4.1 Diagram STD Form Main 43
3.2.4.2 Diagram STD Form Input 44
3.2.4.3 Diagram STD Form Output 44
3.2.4.4 Diagram STD Form Rules 45
3.2.4.5 Diagram STD Form About 45
3.3 Rancangan Layar Tampilan 46
3.3.1 Rancangan Layar Form Main 46
3.3.2 Rancangan Layar Form Input 48
3.3.3 Rancangan Layar Form Output 49
3.3.4 Rancangan Layar Form Keterangan 50 3.3.4.1 Rancangan Layar Form Rules 51 3.3.4.2 Rancangan Layar Form About 52 BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI
4.1 Spesifikasi Sistem 53
4.1.1 Spesifikasi Kebutuhan Perangkat Keras 53 4.1.2 Spesifikasi Kebutuhan Perangkan Lunak 54
4.2 Tampilan Layar 54
4.3 Hasil Evaluasi 60
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 66
5.2 Saran 67
DAFTAR PUSTAKA 68
RIWAYAT HIDUP 69
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Hasil perhitungan fungsi pada titik x = 1 dengan metode VRK 61 Tabel 4.2 Hasil perhitungan fungsi pada titik x = 1 dengan metode iterasi 62 Tabel 4.3 Perbedaan waktu proses pada titik x = 1 dengan metode iterasi dan
metode VRK 62
Tabel 4.4 Error absolut pada titik x = 1 dengan metode VRK 64 Tabel 4.5 Error absolut pada titik x = 1 dengan metode iterasi 64
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Gambar Diagram Alir Modul Proses Iterasi 41 Gambar 3.2 Gambar Diagram Alir Modul Proses VRK 42
Gambar 3.3 Struktur Menu dari program 42
Gambar 3.4 Diagram STD Form Main 43
Gambar 3.5 Diagram STD Form Input 44
Gambar 3.6 Diagram STD Form Output 44
Gambar 3.7 Diagram STD Form Rules 45
Gambar 3.8 Diagram STD Form About 45
Gambar 3.9 Rancangan Layar FormMain dengan tampilan submenu Output 46 Gambar 3.10 Rancangan Layar FormMain dengan tampilan submenu Keterangan 47
Gambar 3.11 Rancangan Layar Form Input 48
Gambar 3.12 Rancangan Layar Form Output 49
Gambar 3.13 Rancangan Layar Form Rules 51
Gambar 3.14 Rancangan Layar Form About 52
Gambar 4.1 Tampilan Layar Menu Utama 54
Gambar 4.2 Tampilan Layar Menu Utama saat menu output dipilih 55 Gambar 4.3 Tampilan Layar Menu Utama saat menu keterangan dipilih 55 Gambar 4.4 Tampilan Layar Menu Input Persamaan 56 Gambar 4.5 Tampilan Layar Menu solusi dengan metode VRK 57 Gambar 4.6 Tampilan Layar Menu solusi dengan metode Iterasi 58 Gambar 4.7 Tampilan Layar perbandingan metode VRK dan metode iterasi 59 Gambar 4.8 Tampilan Layar aturan penulisan rumus 59
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1 : Listing Program Modul Main.pas L1 Lampiran 2 : Listing Program Modul Input.pas L3 Lampiran 3 : Listing Program Modul Output.pas L5 Lampiran 2 : Listing Program Modul Rules.pas L14 Lampiran 2 : Listing Program Modul About.pas L15
