Prak Metode Gravitasi dan Magnetik Page 1
Modul 6
Pengolahan lanjut data gravitasi
1. Transformasi/proyeksi ke bidang datar (metode Damney atau Ekuivalen Titik Massa) 2. Pemisahan Anomali Lokal/Residual dan Anomali Regional
a. Kontinuasi b. Moving average c. Polynomial fitting
1. Proyeksi ke Bidang Datar
Dalam proses membawa kebidang datar dapat digunakan dua metode yaitu metode sumber ekuivalen titik massa (Dampney, 1969) dan metode pendekatan deret Taylor. Proses yang ditempuh dengan metode Dampney ini adalah menentukan sumber ekuivalen titik massa diskrit pada kedalaman tertentu di bawah permukaan dengan memanfaatkan data anomali Bouguer lengkap permukaan. Kemudian dihitung medan gravitasi teoritis yang diakibatkan oleh sumber ekuivalen tersebut pada regular surface sebarang sesuai yang dikehendaki.
Persamaan dasar dari proses sumber ekuivalen titik massa ini adalah :
3/2 2 2 2)
(
)
(
)
(
)
)(
,
,
(
)
,
,
(
h
z
y
x
d
d
z
h
h
G
z
y
x
g
(6-1)dengang(x,y,z)anomali medan gravitasi Bouguer lengkap,
(
,
,h) distribusi kontras densitas yang meliputi bidang z=h,, z sumbu vertikal dengan arah positif ke bawah, dan
h
kedalaman sumber ekuivalen titik massa dari sferoida referensiTeknik sumber ekuivalen titik massa didasarkan oleh pendekatan distribusi kontinu menjadi sebuah deret massa-massa diskrit, sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk tensor
berikut :
g
i
a
ikm
k (6-2) dengan
2
3/2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( h i z k i y k i x i z h G aik
(6-3)dengan z = h merupakan bidang horizontal yang mengandung titik-titik massa
m
k pada) , ,
Prak Metode Gravitasi dan Magnetik Page 2 Dengan dihasilkannya massa-massa diskrit
m
k pada (
k,
k,h), maka anomali medan gravitasi
g
(
x
,
y
,
z
0)
pada ketinggian z tertentu dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut :
N k k i k i k h z y x z h m G z y x g 1 2 / 3 2 0 2 2 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , (
(6-4)Hal yang menarik dalam proyeksi ke bidang datar adalah masalah penentuan posisi kedalaman sumber ekuivalen titik-titik massa yang optimum.
Batas bawah dari posisi sumber ekuivalen titik massa diperoleh dari teori yang dikemukakan oleh Bullard dan Cooper (1948) dimana mereka berpendapat bahwa jika titik-titik massa diskrit terletak jauh di bawah permukaan sedemikian sehingga massa diskrit tersebut berada di bawah sumber sebenarnya maka akan terjadi osilasi yang sangat besar pada medan gravitasi hasil proyeksi ke bidang datar.
Dalam suatu survey lokal, luas arealnya dapat membatasi posisi kedalaman sumber ekuivalen titik massa. Jika (h-z) relatif lebih besar dari dimensi survey, maka koefisien aik cenderung mendekati harga a yang diberikan oleh
2 2 2
3/2 0)
(
)
(
)
(
)
(
lim
h
z
y
x
z
h
a
i k i k i i h
( ) 1 lim 0 z h h (6-5)Jadi tensor A menjadi “ill-conditioned” dan penyelesaiannya menjadi tidak realistis jika sumber ekuivalen terlalu jauh di bawah permukaan.
Berkaitan dengan syarat-syarat batas di atas maka Dampney melakukan uji coba dalam mencari posisi sumber ekuivalen titik massa yang optimum sehingga medan gravitasi hasil proyeksi ke bidang datar terhindar dari aliasing dan osilasi yang sangat besar. Dari uji coba itu disimpulkan bahwa harga-harga
(
h
z
i)
harus memenuhi :2,5x(hzi)6x (6-6) Selain metode sumber ekuivalen titik massa, proses membawa anomali medan gravitasi ke bidang datar dapat juga dilakukan dengan pendekatan deret Taylor. Metode ini menggunakan derivatif dari suatu fungsi pada suatu titik untuk mengekstrapolasi fungsi disekitar titik itu. Medan potensial pada irreguler surface,z(x,y), dapat diperoleh dengan melakukan kontinuasi terhadap medan potensial yang berada pada bidang datar (
z
0
Prak Metode Gravitasi dan Magnetik Page 3
(
,
,
)
!
)
(
)
,
,
(
0 0 0U
x
y
z
z
n
z
z
z
y
x
U
n n n n
(6-7)Dari persamaan (15), dengan mengatur suku-suku persamaannya, dapat dilakukan proses sebaliknya yaitu menghitung medan potensial pada bidang datar,
z
0, dengan melakukan kontinuasi terhadap medan potensial yang berada pada irreguler surface, z(x,y) :
(
,
,
)
!
)
(
)
,
,
(
)
,
,
(
0 1 0 0U
x
y
z
z
n
z
z
z
y
x
U
z
y
x
U
n n n n
(6-8)2. Pemisahan Anomali Lokal-Regional.
Proses pemisahan dilakukan dengan metode kontinuasi ke atas (upward continuation). Metode ini pada dasarnya dipakai untuk menghilangkan efek lokal sehingga yang didapatkan hanyalah kecenderungan regionalnya. Hasil yang diperoleh kemudian dikurangkan terhadap anomali medan gravitasi Bouguer lengkap yang sudah terpapar pada bidang datar sehingga diperoleh anomali medan gravitasi Bouguer lengkap lokal yang siap diinterpretasi.
Persamaan yang digunakan dalam melakukan kontinuasi ke atas (Blakely, 1995)
adalah
'
'
)
'
(
)
'
(
)
,
'
,
'
(
2
)
,
,
(
3/2 2 2 2dx
dy
z
y
y
x
x
z
y
x
U
z
z
z
y
x
U
O O
(6-9)Persamaan ini menunjukkan cara penghitungan harga medan potensial pada sembarang titik di atas permukaan dimana harga-harga medan yang diketahui terdapat.
Prosedur perhitungan persamaan (9) akan lebih efisien jika dibuat dalam domain Fourier. Secara sederhana persamaan (9) merupakan konvolusi dua dimensi :
) ( ', ', ) ( ', ', ) ' ' , , (x y z z U x y z x x y y z dxdy U O O
u (6-10) dimana 2 2 2 3/2 ) ( 1 2 ) , , ( z y x z z y x u
(6-11) Transformasi Fourier dari persamaan (19) dinyatakan oleh persamaan di bawah
r F z F u 1 2 1
k
e
z
z k
zke
,z
0
.
(6-12)dengan r x2 y2 z2 . Sehingga transformasi Fourier dari medan kontinuasi ke atas adalah
F
U
u
F
U
F
u (6-13)Prak Metode Gravitasi dan Magnetik Page 4 3. Pembahasan
Dalam upaya menganalisis data anomali medan gravitasi di atas sferoida referensi untuk mendapatkan anomali massa di bawah permukaan (baik di atas maupun di bawah sferoida referensi) yang menyebabkan distribusi medan gravitasi tersebut harus dipahami bahwa data medan gravitasi yang akan diinterpretasi berada di permukaan topografi. Hal ini didasari oleh suatu pemahaman bahwa dengan dilakukannya koreksi udara-bebas tidaklah menyebabkan titik observasi berpindah ke sferoida referensi tetaapi koreksi ini dimaksudkan untuk membawa medan gravitasi normal di sferoida referensi menjadi medan gravitasi normal di permukaan topografi.
Seperti halnya koreksi udara-bebas, koreksi Bouguer juga tidak menyebabkan berpindahnya posisi titik observasi ke sferoida referensi dan juga tidak menyebabkan terjadinya diskontinuitas densitas dari massa-massa yang terletak di atas dan di bawah sferoida referensi. Densitas Bouguer yang diperoleh bersamaan dengan perhitungan anomali medan gravitasi Bouguer, merupakan densitas rata-rata untuk seluruh massa baik yang berada di atas maupun di bawah sferoida referensi. Proses perhitungan densitas dilakukan secara analitik yaitu dengan menggunakan persamaan matematis untuk menghitung koefisien korelasi dari semua data pengukuran gravitasi. Berbeda dengan metode Nettleton yang menggunakan data gravitasi perlintasan, cara analitik ini sangat baik karena memasukkan semua data pengukuran gravitasi sehingga menjadi kros korelasi dua dimensi.
Anomali medan gravitasi hasil proyeksi ke bidang datar yang diperoleh dari metode sumber ekuivalen titik massa (Dampney, 1969) memberikan harga anomali yang berosilasi. Hal ini terjadi karena posisi sumber ekuivalen titik massa berada di bawah sumber sebenarnya dan seperti dikatakan oleh Dampney (1969) dalam jurnalnya bahwa jaka sumber ekuivalen titik massa ditempatkan di bawah sumber sebenarnya maka akan terjadi osilasi yang sangat besar terhadap anomali medan gravitasi hasil proyeksi ke bidang datar. Jadi penempatan sumber ekuivalen titik massa di bawah sumber sebenarnya merupakan suatu larangan dalam metode ini.
Berkaitan dengan proses pengangkatan ke bidang datar dengan grid yang teratur, Sarkowi (1998) melakukan proses tersebut dengan menggunakan metode yang diajukan oleh Dampney. Sarkowi, pada salah satu kesimpulannya, menyatakan bahwa perbedaan kedalaman sumber ekuivalen titik massa tidak mempengaruhi hasil proyeksi medan gravitasi ke bidang datar tetapi hanya mempengaruhi jumlah iterasi untuk mendapatkan ralat yang minimum. Pernyataan tersebut tentunya mengandung kesalahan karena alasan-alasan sebagai berikut :
Prak Metode Gravitasi dan Magnetik Page 5 1. Berdasarkan teori gravitasi Newton secara fisis dinyatakan bahwa jarak kuadrat antara sumber medan terhadap titik pengukurannya berbading terbalik dengan medan gravitasi sehingga memberikan pengaruh yang sangat signifikan terhadap harga medan gravitasi. Dengan demikian perbedaan kedalaman sumber ekuivalen titik massa akan mempengaruhi hasil proyeksi medan gravitasi ke bidang datar dimana semakin besar jaraknya maka semakin kecil medan gravitasinya.
2. Jika sumber ekuivalen titik massa diletakkan sangat jauh di bawah permukaan maka akan menyebabkan terjadinya „ill-conditioned’ terhadap tensor aik yang digunakan dalam perhitungan.
3. Jika sumber ekuivalen itu berada di bawah sumber sebenarnya maka akan terjadi osilasi terhadap medan gravitasi hasil proyeksi ke bidang datar.
Proyeksi ke bidang datar dengan menggunakan pendekatan deret Taylor memberikan hasil yang lebih realistis. Pola yang hampir sama ditunjukkan oleh kontur anomali Bouguer lokal.
Lampiran A: Salah satu contoh listing
Program Damney (PROYEKSI KE BIDANG DATAR) % PROGRAM PROYEKSI KE BIDANG DATAR
% Asumsi : medan gravitasi yang terukur di permukaan merupakan representasi dari suatu distribusi kontinu sejumlah massa diskrit subsurface pada kedalaman tertentu.
%*************************************************************** % G konstanta gravitasi dalam MKS
% x,y,z posisi stasiun pengukuran di topografi % xi,yi,zi posisi grid baru di bidang datar
% h kedalaman bidang sumber ekuivalen massa, menurut Xia & Sprowl h optimum=spasi pengukuran % Kedalaman (z atau h) bernilai positif ke arah pusat bumi
% Perhitungan dalam program ini berada dalam satuan MKS % Output perhitungan program dikonversi langsung ke mikrogal % Datum yang dipakai dalam penelitian ini adalah titik base (titik 1)
% Maksimum iterasi 1000, bila sebelum/sampai iterasi maksimum proses berhenti
% dan Erms=NaN (Not a Number)atau sangat besar berarti proses tidak konvergen maka koefisien % dan kedalaman bidang ekuivalen diubah sampai proses konvergen.
clear all; help dhienadampney; load('dhienadampney.txt'); load('grid.txt'); x=dhienadampney(:,1); y=dhienadampney(:,2); z=-dhienadampney(:,3); g1=dhienadampney(:,4);
Prak Metode Gravitasi dan Magnetik Page 6 xa=dhienadampney(:,1);
ya=dhienadampney(:,2); g=g1/10^5;
G=6.67e-11;
dx=input('Masukan interval stasiun dx (m)=');
h=input('Masukan kedalaman bidang ekuivalen (m)='); zi=input('Masukan zi ketinggian bidang datar (m)='); tol=input('Masukan toleransi kesalahan (dlm m/s2): '); maxit=input('Masukan iterasi maksimum: ');
alfa=xa; beta=ya; N=length(x); Na=length(xa); % tic;
h=waitbar(0,'PROSES PROYEKSI KE BIDANG DATAR')'; % Perhitungan matriks a(i,k)
for i=1:N; waitbar(i/N); for k=1:Na; a(i,k)=G*(h-z(i))/((x(i)-alfa(k))^2+(y(i)-beta(k))^2+(z(i)-h)^2)^(1.5); end end close(s); %Pencarian nilai mk [mk,flag,rr,iter] = lsqr(a,g,tol,maxit) gz=a*mk; Erms=sqrt((sum((gz-g)'*(gz-g))/N)) % Proyeksi ke bidang datar xi=grid(:,1);
yi=grid(:,2); M=length(xi);
% h=waitbar(0,'PROSES PROYEKSI KE BIDANG DATAR')'; for i=1:M; % waitbar(i/M); for k=1:Na; bb(i,k)=G*(h-zi)/((xi(i)-alfa(k))^2+(yi(i)-beta(k))^2+(zi-h)^2)^(1.5); end end % close(h);
% Nilai g di bidang datar (gbd) gbd=bb*mk*10^5;
gbidtar=[xi yi gbd];
