TUGAS MATA KULIAH
KALKULUS II
DOSEN : MATSUANI. S.Pd., M.Pd
“KETAKSAMAAN NILAI MUTLAK“
Oleh :
APERTIKA PRASETYATI DANDI ABDUL SYAID FAUZAN ABDURRAHMAN
PROGRAM STUDI TEKNIK KIMIA INSTITUT TEKNOLOGI INDONESIA
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia-NYA kepada kami, sehingga kami bisa berhasil menyelesaikan Makalah ini yang alhamdullilah selesai tepat pada waktunya yang berjudul “Nilai Mutlak”
Makalah ini Berisikan ringkasan materi tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak dan khususnya sifat-sifat Persamaan dan Pertidaksamaan nilai Harga Mutlak. Diharapkan makalah ini dapat memberikan informasi sebaik-baiknya tenteng materi Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak.
Kami menyadari bahwa, Makalah ini masih jauh dari sari sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan untuk penyempurnaan Makalah ini.
Akhir kata kami ucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam pembuatan Makalah ini dari awal sampai dengan akhir. Semoga Allah SWT meridhai segala usaha kita. Amien.
April 2018
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR 2
DAFTAR ISI... 3
BAB I PENDAHULUAN ... 4
1.1 Pendahuluan ... 4
1.2 Tujuan ... 4
BAB II PEMBAHASAN ... 5
NILAI MUTLAK
………... 5
A.PERSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK... 6
a. Persamaan dan Kesamaan... 6
b. Persamaan Harga Mutlak... 6
B. PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK... 7
a. Pertidaksamaan... 7
b. Sifat-sifat Pertidaksamaan... 8
c. Pertidaksamaan Harga Mutlak... 8
BAB III MASALAH ... 11
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Pendahuluan
Dalam pembuatan makalah ini, kami memilih judul “Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak” karena, Materi ini merupakan teori dasar yang biasa sering digunakan dalam kehidupan sehari - hari.
Dalam Makalah ini kita akan membahas tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak, dalam bagian makalah ini dibahas tentang Konsep Dasar Harga Mutlak, Sifat-sifat Persamaan Nilai Harga mutlak, sifat-sifat Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak. Materi ini merupakan Persyaratan dasar dalam Mempelajari Matematika Lainnya.
Dan tidak hanya itu, dalam pengambilan judul ini karena, masih banyak beberapa pembaca yang belum mengetahui dan memahami tentang materi ini. Sehingga sering membuat keliruan dalam mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari – hari.
1.2 Tujuan
Adapun tujuan dalam pembuatan Makalah ini, yakni :
Memberikan dan menambah wawasan kepada pembaca. memberikan kemudahan dalam pembelajaran
BAB II
PEMBAHASAN
NILAI MUTLAK
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita diharapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang lainya, atau jarak antara dua patok tertentu. Dalam kaitannya dengan pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini harganya selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilainya tidak pernah negatif.
Secara khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahan sesuatu itu nilainya selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai harga mutlak. Jadi, harga mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x. Untuk lebih jelasnya lagi, kita akan merancang konsep harga mutlak dari suatu bilangan real x hubungannya dengan konsep jarak secara geometri dari x ke 0. Sekarangkita perhatikan penjelasan untuk jarak pada garis bilangan seperti berikut ini
Untuk setiap bilanga real x, harga mutlak dari x ditulis │x│dan x , x > 0 A. PERSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK
a. Persamaan dan Kesamaan
Jika P(x), Q(x), dan R(x) bentuk-bentuk akar dalam x, maka untuk setiap nilai x, yang mana P(x), Q(x) dan R(x) real, kalimat terbuka P(x) = R(x) adalah ekuvalen dengan tiap-tiap dari yang berikut :
A. P(x) +R(x) = Q(x) +R(x)
Sebagaimana telah kita ketahui dalam membahas fungsi rasional, bahwa untuk setiap bilangan real x, bahwa √x2 real dan tidak negatif, dan juga jika x ≥ 0 maka √x2 = x karena x adalah satu-satunya bilangan yang tidak negatif dan kuadratnya sama dengan x2. Jika x < 0, maka √x2 = -x, karena (-x) > 0 dan (-x)2 = x2. Jadi untuk setiap bilangan real x
√x = │x│= x jika x 0 = -x jika x < 0
(Ingat bentuk-bentuk akar dan bilangan berpangkat).
Selanjutnya dengan memperhatikan definisi harga mutlak dan kaitannya dengan penarikan akar di atas, kita akan melihat beberapa teorema harga mutlak, diantaranya :
Teorema 2
Dari (1) dan (2)
│x│2 │x2 │= x2
Teorema 3
Untuk setiap x € R dan y € R (himpunan bilangan real), maka berlaku
(a) │xy│=│x│.│y│
(b) │x
y│ =
│ x │ │ y │
B. PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK
a. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu.
Contoh. 1 (a) x ≠ y (b) x < y (c) 2x ≥ 5
(d) x2 - 5 + 6 ≤. 6
(e) │1 – x│> 2,dan sebagainya , untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).
Seperti pada persamaan dalam pertidaksamaan tidak berlaku untuk setiap pengganti variabelnya. Nilai-nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan disebut penyelesaian, dan himpunan semua pengganti variabel yang menyebabkan pertidaksamaan itu menjadi kalimat tertutup yang benar disebut himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.
Pertidaksamaan mutlak ini sering pula disebut ketidaksamaan dan tentunya ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup.
Contoh :
Selain itu ada pula suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya yang disebut pertidaksamaan palsu.
Contoh :
Jika P(x), Q(x), dan R(x) adalah ungkapan-ungkapan dalam x, maka untuk semua harga-harga x, P(x), Q(x), dan R(x) yang real, kalimat terbuka P(x) < Q(x) adalah ekivalen dengan tiap-tiap dari yang berikut :
A. P(x) + R(x) < Q(x) + R(x)
demikian pula untuk kalimat terbuka P(x) ≤ Q(x) adalah ekuivalen dengan kalimat-kalimat terbuka dari bentuk A sampai bentuk E dengan mengganti < (atau >) dengan ≤ (atau ≥) dengan syarat yang sama pula, yaitu R(x) > 0 dan R(x) < 0 seperti di atas.
c. Pertidaksamaan Harga Mutlak
Teorema 5
(2). Jika -a < x < a, maka │x│ < a
Bukti :
Untuk tiap x € R,│x│ ≥ 0. Karena a > 0, maka -a < 0 Jadi untuk tiap x, -a <│x│ .
Sekarang kita pandang dulu untuk x 0.
Dalam hal ini,│x│ = x.
Karena -a < │ x │,│x│ = x, dan │x│< a, maka -a < x < a (terbukti). Sekarang kita pandang untuk x < 0
Dalam hal ini │ x│= -x. Buktinya dipersilakan kepada para pembaca yang mempelajarinya untuk mencobanya.
Contoh :
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan│ x + 1│< 3.
Penyelesaian : Menurut teorema 5, │ x + 1│< 3. Jika dan hanya jika -3 < x + 1 < 3
Tiap ruas ditambah dengan -1, didapat -4 < x < 2 Jadi himpunan penyelesaiannya
{ x / -4 < x < 2 }
Himpunan penyelesaian dapat pula ditulis dengan menggunakan simbul irisan : { x / x > -4 } ∩ { x / x < 2 }.
Teorema 7
Bukti : Jika x ≥ 0, maka x = │x│(definisi) Jika x < 0, maka x < │x │, sebab │x│≥ 0
Jadi dalam hal ini x ≤ │x│ dan –x ≤ |-x| karena |–x| = |x| = x
Teorema 8
BAB III
MASALAH
Diketahui, sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlak :
1. Persamaan Nilai Mutlak :
Untuk setiap x € R dan y € R (himpunan bilangan real), maka berlaku (a) │xy│=│x│.│y│
(b) │x
y│ =
│ x │ │ y │
2. Pertidaksamaan Nilai Mutlak : Jika x R, y R, maka
(a). │x - y│≥│x│-│y│ (b). │x +y│≤ │x│+│y│ (c). │|x| - |y|│≤│x - y│
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.
Penyelesaian Problem :
1. Persamaan Nilai Mutlak : (a) │xy│=│x│.│y│
│xy│ = √(xy)2 = √x2.y2 = √x2 . √y2
=│x│.│y│ ( Terbukti )
= √x2.y2
2. Pertidaksamaan Nilai Mutlak :
(a). │x - y│≤│x│+│y│ Menurut teorema 7 diatas
x ≤ |x| dan –x ≤ |-x| karena |–x| = |x| dan menurut teorema 8 bagian 1 │x – y│≤│x│+│y│ (Terbukti) segitiga akan dapat :
--│x – y│= -│y – x│≤│x│-│y│.Dari kedua kombinasi ini kita dapatkan yang akan
dibuktikan.
Jawaban
1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut. -9 < x+7 < 9
-9 - 7 < x < 9 - 7 -16 < x < 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}
2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian. (*) 2x - 1 >= 7
3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas. Mari selidiki menggunakan garis bilangan
Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi.
Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya. Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.
Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.
Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian.
1. Untuk batasan x >= -1/3 ...(1) (3x + 1) - (2x + 4) < 10
3x + 1 - 2x- 4 < 10 x- 3 < 10
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13
2. Untuk batasan -2<= x < -1/3 ...(1) -(3x + 1) - (2x + 4) < 10
-3x - 1 - 2x - 4 < 10 -5x - 5 < 10 -5x < 15 -x < 3 x > 3 ...(2)
Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.
3. Untuk batasan x < -2 ...(1) -(3x + 1) + (2x + 4) < 10 -3x - 1 + 2x + 4 < 10 -x + 3 < 10 -x < 7
x > -7 ...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.
BAB IV
PENUTUP
2.1 Kesimpulan
Telah kita ketahui bahwa matematika adalah ilmu dasar dari hampir semua mata pelajaran, dan sering digunakan pula dalam kehidupan sehari – hari. dalam materi nilai harga mutlak merupakan salah satu ilmu yang biasa digunakan dalam pembangunan, karena hasil nilai yang selalu positif memudahkan untuk menyelesaikan berbagi mascam masalah. dan kaerana sifat-sifatnya yang tidak terlalu banyak dan mudah dipahami. sehingga membuat materi ini sering diaplikasikan kedalam kehidupan sehari-hari.
2.2 Usul dan Saran
Dalam mempelajari materi harga mutlak ini, terlebih dahulu kita harus memahami konsep dari harga mutlak itu sendiri, sehingga kita bisa lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal baik persamaan maupun pertidaksamaan harga mutlak.dengan mempelajari materi harga mutlakjuga, kita bisa menerapkanya dalam kehidupan sehari-hari, contohnya ; jika kita ingin menghitung jarak antar kota yang satu dengan kota yang lain atau jarak antara dua patok tertentu kita bisa menggunakan konsep harga mutlak.
2.3 Penutup
DAFTAR PUSTAKA
https://aidulberbagi.files.wordpress.com/2017/09/makalah-nilai-mutlak-yosep.doc
http://imathsolution.blogspot.co.id/2015/10/menyelesaikan-persamaan-dan.html
https://ahmadthohir1089.wordpress.com/2014/08/15/insyaallah/
http://soulmath4u.blogspot.co.id/2013/10/pertidaksamaan-nilai-mutlak.html
