PEMBAHASAN UJIAN MATA KULIAH FISIKA MATE

By Mas Wawan Hermanto (Mbah Cokro) lembaran 1 PEMBAHASAN UJIAN MATA KULIAH FISIKA MATEMATIKA

KELAS INTERNASIONAL

PROGRAM STUDI FISIKA

FKIP UNIVERSITAS JEMBER

1. Tentukan deret konvergen ataukah divergen deret berikut:

Pembahasan :

Deret tersebut bila dinyatakan dalam suku ke-n



_n



n n

a

3 2 5

 dengan n = 0,1,2,3,4,5,6,7,8...

sehingga notasi deretnya adalah











 0 3

2 5

n n

n

. Langkah pertama kita uji awal dulu sebagai berikut :

 

1,5 0 1 5 3 2 3

5 lim 3

2 5

lim  

    

  



 

 

 n

n n n n

n

n karena ₃ 0

2 5

lim  



 n

n

n maka deret ini ada kemungkinan

konvergen. Selanjutnya kita gunakan uji lain misalnya pakai uji integral. Memilih pakai uji integral

karena selalu berlaku an1 an untuk n0.





5 , 1 ln

1 3 ln

5 5 , 1 ln

1 0 3

ln 5 0

3 ln 2 ln 3

2 3

ln 3

5

3 2 3

5 3

2 5

0 0

0 0

0

     

 

      



 _

       

  



 

  

  

       



 

 









n n n

n n

n n

dn dn

dn

Karena _n dn n



 _

0 3 2 5

hasilnya berhingga, maka deret











 0 3

2 5

n n

n

adalah konvergen.

Selain menggunakan uji integral kita bisa menggunakan uji banding, dengan mengambil

penbandingnya adalah deret





02 1

n

n yang telah kita buktikan pada pertemuan sebelumnya adalah

konvergen.

2. Tentukan konvergensi deret bolak balik berikut : ... ! 7 2 ! 5 2 ! 3 2 2

7 5 3

   

Pembahasan :

Deret tersebut bila dinyatakan dalam suku ke-n adalah

   

! 1 2

2 1

1 2

 

 

n a

n n

n dengan n = 0,1,2,3...

Sehingga notasi deret tak tetap positipnya adalah

   

! 1 2

2 1

1 2

0 

 







_nn

n

n

. Langkah pertama adalah

menguji apakah deret bolak balik di atas konvergen atau divergen sebagai berikut :

a.



2 1



! 22 1



 

n a

n

n dan





! 3 2

22 3 1



 



n a

n

n syarat pertama telah terpenuhi bahwa untuk an1  an ....

27 13 1 3 7

By Mas Wawan Hermanto (Mbah Cokro) lembaran 2 b. Selanjutnya kita hitung _n

na

lim sebagai berikut :





  







0

1 2 1 2

2 lim 1 2 ! 2

4 . 2 lim ! 1 2

2 lim

1 2

     

 

  





 _{n n n} n _n

n n

n

n

Karena syarat a dan b telah terpenuhi, maka deret bolak balik

   

! 1 2

2 1

1 2

0 

 







_nn

n

n

adalah konvergen.

Selanjutnya kita uji deret positipnya





0 n

n a =



2 1



! 22 1

0 

 





_nn n

konvergen ataukah divergen. Disini kita

gunakan uji rasio atau nisbah, karena uji banding terlalu mudah, sementara uji integral sudah kita gunakan. Nanti silahkan di uji sendiri pakai uji yang lain.















0

3 2 2 2

4 lim

2 ! 1 2 ! 3 2

2 lim

lim _{2 1}

3 2

1 

 

   



 _  _{ }

 

 _{n n}

n n

a a

n n

n

n n n

n karena lim 0

1 

  

n n n _a a

(kurang dari 1) maka



_

0 n

n

a adalah konvergen. Deret

   

! 1 2

2 1

1 2

0 

 







_nn

n

n

dan



2 1



! 22 1

0 

 





_nn n

maka dapat disimpulkan

bahwa deret bolak balik pada soal nomor 2 ini konvergen mutlak.

3. Uraikan f

 

x  x2 1 dalam uraian Taylor!

Pembahasan :

Misalkan kita uraikan menuju x = c. maka f

 

c  c2 1

 

 

 

 

 









 

 





... 1

1 6

3 1

1 2 1 1

1

... ...

1 1

3 ;

1 1

1 ;

1

2 2 2

3

2 2

2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

  

    

 

     

 

 

 

   

 

c c

c x c

c c

c x

c c x c c

x

yo seterusnya dan

c c

c c

f c

c c f c

c c

f

Untuk uraian Taylor menuju nol atau disekitar x = 0 maka deret maclaurin dari fungsi di atas adalah sebagai berikut :

 

... 48

3 8 2 1 1

... !

6 45 0 ! 4 3 0 2 0 1 1

6 4 2 2

6 4

2 2

     

 

       

x x x x

x x

x x

x f

Atau untuk mendapatkan uraian maclaurin fungsi f

 

x  x2 1 dapat menggunakan deret

binomial

 











...

! 3

2 1 !

2 1 1

1 y p   px p p y2  p p p y3 dengan p = ½ dan y = x2.

4. Tentukan selang konvergensi deret

 



_0 2_

1 2 n

n n n x

adalah...

Pembahasan :

 













_ 

 



 

 

    0 

1 2 2 1

0 0

2

0 2 1 n 2 2

n n n

n n

n n n

n n

x a

dan n

x

a maka diperoleh rasio

 



2



2 1 2

 

n n x r

By Mas Wawan Hermanto (Mbah Cokro) lembaran 3

Sehingga

 





2

2

2 1 2 2

1 lim

lim x

n n x r

n

n  

  _



 mari kita selesaikan pertidaksamaanya sebagai berikut :



2



2



0 0

2

0 2

2 1

2 1

2

2 2

  

 

  



x x

x

x x

jadi selang konvergensinya adalah  2x 2

5. Tentukan nilai dari :

a. 3 _{7 b.}

     

29 27 ln

Pembahasan :

a. Untuk ngerjain soal ini kita harus bisa menyatakan bentuk 3 ₇ 

 

₁₆1/3 _{sedemikian rupa}

dalam bentuk

 

x1 p dengan -1 < x <1 maka 3 3 3 3 8 1 1 2 8 7 . 8

7    _{sehingga p = 1/3 dan x}

= -1/8.

02 9129533179 ,

1 494 0435233410 ,

0 1 2 41472

5 576

1 24

1 1 2 7

... 512

1 6

3 5 3 2 3 1

64 1 2

3 2 3 1

24 1 1 2 125 , 0 1 2 7

3

3 1 3

 

    



 _{ }

 

 

   



b. Sama dengan soal a, untuk mengerjakan soal ini kita ubah      

29 27

ln sedemikian rupa sehingga

memiliki bentuk ln

 

1x . Maka    

         

29 2 1 ln 29 27

ln sehingga kita dapatkan

29 2  

x

572 0713992505 ,

0 2121843

2 73167

4 841

2 29

2 29

27 ln

... 29 24

16 29

6 8 29

2 4 29

2 29

27

ln _{2 3 4}

     



 _{  }

       

              

Jember, 12 September 2014

Pembahas