Maharati Hamida, Khairurrijal, dan Mikrajuddin
Kelompok Keahlian Fisika Material Elektronik, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung, Bandung
e-mail: mahda_mh@telkom.net, e-mail: krijal@fi.itb.ac.id Diterima Juni 2005, disetujui untuk dipublikasi Desember 2005
Abstrak
Simulasi dinamika paket gelombang elektron saat menerobos penghalang potensial di dalam dioda MOS (Metal-Oksida-Semikonduktor) telah dilakukan dengan persamaan Schrödinger yang bergantung pada waktu menggunakan teknik beda hingga. Paket gelombang tersebut mula-mula berada di lapisan semikonduktor, kemudian berjalan menuju lapisan oksida serta kemungkinan menerobos dan/atau dipantulkan. Bentuk paket gelombang tersebut mengalami deformasi ketika mencapai lapisan oksida. Semakin besar energi paket gelombang, semakin cepat paket gelombang tersebut berjalan dan semakin besar kebolehjadian paket gelombang tersebut diteruskan untuk tegangan panjar yang sama. Pada energi yang rendah, penambahan tegangan panjar tidak menambah secara berarti kebolehjadian paket gelombang yang diteruskan. Namun, pada energi yang tinggi, kebolehjadian mendapatkan paket gelombang yang diteruskan semakin besar.
Kata kunci: Dioda MOS, Paket gelombang, Penghalang potensial, Teknik beda hingga
Abstract
A simulation of the dynamics of electrone wave packet tunneling through a potential barrier in a MOS (metal-oxide-semiconductor) diode was performed by solving the time-dependent Schrödinger equation using the finite difference method. The wave packet is initially located in the semiconductor layer then moves toward to the oxide layer and probably tunnels through and/or is reflected by the oxide layer. The wave packet is deformed when it reaches the oxide layer. It is found that the higher the wave packet energy, the faster the wave packet moves and the higher the probability of transmitting the wave packet for the same bias voltage. It was also found that at low energy, the increase of bias voltage does not increase significantly the probability of finding the transmitted wave packet. At high energy, however, the probability of finding the transmitted wave packet becomes higher with increasing the bias voltage.
Keywords: Finite difference technique, MOS diode, Potential barrier, Wave packet
1. Pendahuluan
Sifat gelombang dari elektron yang diamati di dalam heterostruktur sungguh menarik bagi penerapan dan analisis devais semikonduktor. Salah satu metoda yang ampuh untuk analisis teoretik tersebut adalah pemecahan persamaan Schrödinger bergantung waktu secara numerik dengan metoda beda hingga. Metoda ini memiliki keuntungan: (i) profil potensial sembarang dapat diterapkan, dan (ii) sifat-sifat dinamis dan juga statis dapat diperoleh (Endoh et al., 1999).
Huang et al. (1989) telah melakukan simulasi penerobosan paket gelombang elektron melalui penghalang segi empat dengan memecahkan persamaan Schrödinger bergantung waktu. Mereka juga menghitung waktu terobosan dan membandingkan hasil perhitungan mereka dengan hasil metoda-metoda lain. Mohaidat dan Bitar (2000) telah menghitung arus terobosan langsung (direct tunnel current) di dalam struktur metal-oksida-semikonduktor (MOS) sebagai fungsi tegangan panjar dengan memecahkan persamaan Schrödinger bergantung waktu dan membandingkan
hasil perhitungannya dengan eksperimen (Mohaidat and Bitar, 1998; Mohaidat and Bitar, 2000). Namun demikian, dinamika paket gelombang di dalam dioda MOS tersebut tidak dibahas.
Di dalam artikel ini, dinamika paket gelombang elektron yang melalui penghalang potensial di dalam dioda MOS disimulasikan. Rapat kebolehjadian mendapatkan elektron di dalam devais tersebut juga dihitung.
2. Metode
Struktur dioda MOS terdiri dari tiga daerah, yaitu metal atau polisilikon dengan pendadahan (doping) sangat tinggi, insulator (oksida) dan semikonduktor. Ketebalan daerah semikonduktor dan metal jauh lebih besar dari ketebalan oksida. Antarmuka antara oksida dan metal atau semikonduktor sangat tajam (Khairurrijal et al., 2000). Gambar 1 menunjukkan diagram pita energi dari dioda MOS ideal tersebut di bawah pengaruh tegangan panjar di lapisan oksida Vox. Semikonduktor yang digunakan adalah tipe n dengan pendadahan tinggi (n+).
Gambar 1. Diagram pita energi dari dioda MOS ideal
di bawah pengaruh tegangan panjar dalam oksida Vox. Dengan pemberian tegangan panjar positif, akumulasi elektron di sekitar permukaan semikonduktor-oksida lemah sehingga pelengkungan pita energi semikonduktor tersebut diabaikan. ФB adalah tinggi penghalang, EFs energi Fermi semikonduktor, dan ketebalan semikonduktor, oksida dan metal berturut-turut adalah ws, wox dan wp. Potensial profil karena itu diberikan oleh: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + ≤ < + − + ≤ ≤ − < ≤ = . , 0 , 0 ) ( p ox s p s ox ox s s ox ox B s w w w x w w eV w w x w x w eV V w x x V Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ (1)
Di dalam satu dimensi, perilaku elektron setiap saat di dalam ruang dilukiskan oleh persamaan Schrödinger bergantung waktu:
) , ( ) , ( xt t i t x H Ψ ∂ ∂ = Ψ η . (2) Hamiltonian H dinyatakan sebagai (BenDaniel and Duke, 1966): ) ( ) ( 1 2 2 x V x x m x H ⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − = η , (3) dengan
η
adalah tetapan Planck tereduksi, m(x) massa efektif elektron bergantung posisi, V(x) diberikan oleh Persamaan (1), dan Ψ(x,t) fungsi gelombang elektron.Untuk mendapatkan fungsi gelombang Ψ(x,t), Persamaan (2) diubah menjadi persamaan beda hingga:
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡Ψ −Ψ = Ψ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Ψ + Ψ − Ψ − Ψ − + − − − + δ ε n j n j n j j i j n j j n j j n j j n j V i m m m m , 1 , , , 1 1 , , , 1 2 2 1 2 η η (4)
dengan
ε
adalah ukuran kisi ruang, δ ukuran kisi waktu, indeks ruang, dan n indeks waktu. Akan tetapi, metoda beda hingga yang digunakan pada persamaan (4) memiliki keterbatasan, yaitu bahwa nilaij
2
2 1ε
δ ≤ dan
ε
harus sangat kecil agar akurat. Kelemahan tersebut diatasi dengan metoda Crank-Nicholson yang menerapkan (Smith, 1985):[
, , 1]
, 2 1 + Ψ + Ψ = Ψjn jn jn , (5.a)[
1]
2 1 + + = j j j m m m , (5.b)Substitusi persamaan (5.a)-(5.b) ke dalam persamaan (4) menghasilkan persamaan (6):
. 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 , 1 1 , 1 1 2 2 2 , 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 2 2 2 1 , 1 1 n j j j n j j j j j j n j j j n j j j n j j j j j j n j j j m m m m m m V i m m m m m m m m V i m m + + − + − − + + + + − + + − − Ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − Ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + Ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = Ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + Ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − − + Ψ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + η η η η ε δ ε ε δ ε (6)
Dengan menerapkan syarat batas bahwa fungsi gelombang di kedua ujung dari dioda MOS tersebut (di
x=0 dan x=ws+wox+wp) sama dengan nol, kontinuitas Ψ dan x m ∂ Ψ ∂ 1
di antarmuka, dan mengasumsikan bentuk fungsi gelombang pada kedudukan x0 dan saat awal
t=0, Ψ(x0,0), maka fungsi gelombang di setiap kedudukan x pada setiap saat t, Ψ(x,t) dapat diketahui.
3. Hasil dan Diskusi
Dioda MOS yang dipelajari memiliki struktur n+Si(100)/SiO2/metal dengan ketebalan lapisan SiO2 hanya beberapa nm. Struktur ini sangat penting bagi devais MOSFET (MOS Field-Effect Transistor) masa depan (Mohaidat and Bitar, 1998; Mohaidat and Bitar, 2000; Khairurrijal et al., 2000). Untuk mendapatkan fungsi gelombang Ψ(x,t), parameter-parameter yang diberikan di dalam Tabel 1 (Khairurrijal et al., 2000; Stern, 1972; Fischetti et al., 1995) telah digunakan.
Tabel 1. Parameter yang digunakan dalam perhitungan
Parameter Nilai
Tinggi penghalang ΦB 3,14 eV
Massa efektif elektron di dalam Si(100) ms 0,92mo Massa efektif elektron di dalam SiO2 mox 0,5mo Massa efektif elektron di dalam metal mp 0,99mo Ketebalan lapisan Si(100) ws 25 nm Ketebalan lapisan SiO2 wox 1 nm Ketebalan lapisan metal wp 25 nm mo adalah massa elektron bebas.
Solusi numerik persamaan (6) diawali dengan pemilihan ukuran kisi ruang
ε
=0,5x10-10 m dan kisi waktuδ
=2,5x10-17 s. Pada saat awal (t=0) sebuah paket gelombang elektron diletakkan di kedudukanxo=150x10-10 m di dalam lapisan Si(100) dan berbentuk Gaussian (Mohaidat, 2001):
( )
( )
(
)
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = Ψ 2 2 4 exp exp 0 , σo n ikx x x C x (7)dengan Cn adalah tetapan normalisasi, xo kedudukan sentral, dan lebar spasial paket gelombang σ = 1 x 10-10 m2. Bilangan gelombang sentral paket tersebut diberikan oleh : E m k 2 s 1 η = . (8)
Paket gelombang elektron tersebut berjalan ke kanan menuju lapisan SiO2 (penghalang potensial) yang berada di kedudukan x=500 ε dan 520 ε. Penghalang potensial tersebut akan memantulkan dan melewatkan paket gelombang tersebut. Kemudian, paket gelombang yang menerobos penghalang potensial tersebut tiba di lapisan metal.
Rapat kebolehjadian mendapatkan elektron di kedudukan x pada saat t, P
( )
x,t =Ψ( ) ( )
x,tΨ∗ x,t , telah dihitung untuk berbagai tegangan Vox dan energi elektron E dan hasilnya diperlihatkan dalam Gambar 2(a), 2(b), 2(c) dan Gambar 3(a), 3(b), 3(c).Gambar 2 memperlihatkan dinamika paket gelombang elektron dengan energi E= 1 eV di dalam dioda MOS tersebut. Ditunjukkan bahwa pada saat t= 200 δ paket gelombang elektron masih berada di lapisan Si(100). Sejalan dengan waktu, pada saat t= 600 δ paket gelombang tersebut telah mencapai antarmuka Si(100)/SiO2 namun mengalami deformasi. Pada saat berikutnya t= 1150 δ, paket gelombang tersebut dipantulkan oleh lapisan SiO2 dengan puncak yang lebih rendah namun bentuknya lebih melebar. Dinamika paket gelombang tersebut sama untuk tegangan panjar Vox= 0V maupun 1,5V seperti yang diberikan dalam Gambar 2(a) dan 2(b). Dengan pemberian tegangan panjar yang lebih besar (Vox= 3,5V) seperti diperlihatkan dalam Gambar 2(c), meskipun dinamika paket gelombang tersebut sama dengan untuk Vox= 0 dan 1,5V saat t<600 δ, namun pada saat t= 1150 δ ada sebagian kecil paket gelombang yang diteruskan dan berada di lapisan metal (tanda panah).
Dinamika paket gelombang elektron dengan energi E= 3,5 eV diperlihatkan dalam Gambar 3. Pada saat t= 200 δ paket gelombang tersebut masih berada di lapisan Si(100). Paket gelombang tersebut kemudian mencapai lapisan SiO2 pada saat t= 350 δ dengan bentuk yang telah mengalami deformasi. Sejalan dengan waktu, paket gelombang tersebut telah berada
di lapisan metal pada saat t= 700 δ namun sebagian dipantulkan oleh lapisan SiO2. Dari Gambar 3(a), 3(b), dan 3(c) terlihat bahwa penambahan tegangan panjar
Vox menyebabkan rapat kebolehjadian paket gelombang yang diteruskan semakin tinggi dan sempit serta rapat kebolehjadian paket gelombang yang dipantulkan semakin rendah dan sempit.
0 200 400 600 800 1000 Posisi x (ε) 0 1 2 3 4 5 6 7 P( x,t) x 10 8 (1 /m ) t=200 δ t=600 δ t=1150 δ Vox=0 V; E=1 eV (a) t=200 δ t=600 δ t=1150 δ 0 1 2 3 4 5 6 7 P(x,t) x 1 0 8 (1/m) 0 200 400 600 800 1000 Posisi x (ε) Vox=1,5 V; E=1 eV (b) t=200 δ t=600 δ t=1150 δ 0 1 2 3 4 5 6 7 P(x ,t ) x 1 0 8 (1 /m ) 0 200 400 600 800 1000 Posisi x (ε) Vox=3,5 V; E=1 eV (c) Penghalang Potensial
Gambar 2. Rapat kebolehjadian mendapatkan elektron
dengan energi E= 1 eV di dalam dioda MOS yang diberi tegangan panjar Vox= 0, 1,5 dan 3,5 V.
0 400 200 600 800 1000 Posisi x (ε) 0 1 2 3 4 5 6 7 P(x,t) x 10 8 (1/m) t=200 δ t=350 δ t=700 δ Vox=0 V; E=3,5 eV (a) 0 400 200 600 800 1000 Posisi x (ε) 0 1 2 3 4 5 6 7 P( x, t) x 10 8 ( 1/ m ) t=200 δ t=350 δ t=700 δ Vox=1,5 V; E=3,5 eV (b) 0 200 600 400 800 1000 Posisi x (ε) 0 1 2 3 4 5 6 7 P( x,t ) x 10 8 (1/m ) t=200 δ t=350 δ t=700 δ Vox=3,5 V; E=3,5 eV (c) Penghalang Potensial
Gambar 3. Rapat kebolehjadian mendapatkan elektron
dengan energi E= 3,5 eV di dalam dioda MOS yang diberi tegangan panjar Vox= 0, 1,5 dan 3,5 V.
Dengan membandingkan Gambar 2(a) dengan 3(a), 2(b) dengan 3(b), dan 2(c) dengan 3(c) didapatkan bahwa semakin besar energi E dari paket gelombang, maka semakin cepat paket gelombang tersebut berjalan mencapai lapisan SiO2 dan semakin besar rapat kebolehjadian paket gelombang tersebut diteruskan untuk tegangan panjar Vox yang tetap.
4. Kesimpulan
Dinamika paket gelombang elektron berbentuk Gaussian saat menerobos penghalang potensial di dalam dioda MOS telah disimulasikan. Paket gelombang tersebut berjalan dari lapisan Si(100) menuju lapisan oksida SiO2, kemungkinan menerobos dan/atau dipantulkan oleh lapisan oksida tersebut. Pada saat paket gelombang tersebut mencapai lapisan SiO2, bentuk paketnya mengalami deformasi. Untuk keadaan tegangan panjar yang sama, semakin besar energi paket gelombang, semakin cepat paket gelombang tersebut berjalan dan semakin besar kebolehjadian paket gelombang tersebut diteruskan. Dengan tegangan panjar Vox= 1,5 V, paket gelombang dengan energi E= 1 eV mencapai penghalang potensial pada saat t= 600 δ dan tidak ada yang diteruskan sedangkan penambahan energi menjadi E= 3,5 eV menyebabkan paket gelombang mencapai penghalang potensial lebih cepat yaitu pada saat t= 350 δ dan ada yang diteruskan. Pada energi yang rendah (E= 1 eV), penambahan tegangan panjar dari Vox= 0 V menjadi 3,5 V tidak menambah secara berarti kebolehjadian paket gelombang yang diteruskan. Namun pada energi yang tinggi (E= 3,5 eV), kebolehjadian mendapatkan paket gelombang yang diteruskan semakin besar dengan penambahan tegangan panjar dari Vox= 0 V menjadi 3,5 V.
Daftar Pustaka
BenDaniel D. J. and C. B. Duke, 1966, Space-Charge Effects on Electron Tunneling, Phys. Rev., 152, 683.
Endoh, A., S. Sasa, H. Arimoto, and S. Muto, 1999, Numerical Simulation of Electron Diffraction through a Narrow Constriction, J. Appl. Phys., 86, 6249.
Fischetti, M. V., S. E. Laux, and E. Crabbe, 1995, Understanding Hot-Electron Transport in Silicon Devices: Is There a Shortcut?, J. Appl. Phys., 78, 1058.
Huang, Z. H., P. H. Cutter, T. E. Feuchtwang, R. H. Good, Jr., E. Kazes, H. Q. Nguyen, and S. K. Park, 1989, Computer Simulation of a Wave Packet Tunneling through a Square Barrier, IEEE
Trans. Electron Devices, 36, 2665.
Khairurrijal, W. Mizubayashi, S. Miyazaki, and M. Hirose, 2000, Analytic Model of Direct Tunnel Current through Ultrathin Gate Oxides, J. Appl.
Phys., 87, 3000.
Mohaidat, J. M. and R. N. Bitar, 1998, Current–Voltage Characteristics of Metal-Insulator-Semiconductor Structures via Quantum Mechanical Tunneling,
Appl. Phys. Lett., 72, 2256.
Mohaidat, J. M. and R. N. Bitar, 2000, Interference-Induced Blockage of Direct Tunneling Current in
Metal-Insulator-Semiconductor Structure, Appl.
Phys. Lett., 76, 2577.
Mohaidat, J. M., 2001, Interference Induced Oscillations in the Tunneling Current through Ultrathin Gate Insulators, J. Appl. Phys., 90, 871.
Stern, F., 1972, Self-Consistent Results for n-type Si Inversion Layers, Phys. Rev. B., 5, 4891.
Smith, G. D., 1985, Numerical Solution of Partial
Differential Equations: Finite Difference Method,
