Bilangan Berpangkat Dan Bentuk Akar

(1)

BILANGA

BILANGAN BE

N BERP

RPANGKA

ANGKAT DAN B

T DAN BENTUK

ENTUK

AKAR

Dalam suatu lomba gerak jalan, setiap regu terdiri dari 27 orang yang disusun menjadi 9 baris Dalam suatu lomba gerak jalan, setiap regu terdiri dari 27 orang yang disusun menjadi 9 baris dan tiap baris terdiri dari 3 orang. Kemudian 9 baris tersebut dibagi menjadi 3 bagian dan dan tiap baris terdiri dari 3 orang. Kemudian 9 baris tersebut dibagi menjadi 3 bagian dan tiaptiap bagian terdiri dari 3 baris, yaitu bagian depan, tengah, dan belakang. Masing-masing tiaptiap bagian terdiri dari 3 baris, yaitu bagian depan, tengah, dan belakang. Masing-masing bagian

bagian diberi diberi jarak jarak 1 1 baris. baris. Hal Hal ini ini dilakukan dilakukan untuk untuk memudahkan memudahkan dewan dewan juri juri dalam dalam mengecek mengecek jumlah

jumlah orang orang tiap tiap regu. regu. Jika Jika tiap tiap regu regu terdiri terdiri dari dari 3 3 bagian bagian dan dan tiap tiap bagian bagian terdiri terdiri dari dari 3 3 baris,baris, serta tiap baris terdiri dari 3 orang maka jumlah peserta dalam regu tersebut tepat 27 orang. serta tiap baris terdiri dari 3 orang maka jumlah peserta dalam regu tersebut tepat 27 orang. Untuk menuliskan jumlah tiap regu dalam permasalahan di atas, sebenarnya dapat dilakukan Untuk menuliskan jumlah tiap regu dalam permasalahan di atas, sebenarnya dapat dilakukan dengan cara yang lebih efektif dan efisien, yaitu dengan cara notasi bilangan berpangkat. Agar dengan cara yang lebih efektif dan efisien, yaitu dengan cara notasi bilangan berpangkat. Agar lebih memahami bilangan berpangkat dan bentuk akar, pelajarilah bab ini sehingga kalian dapat lebih memahami bilangan berpangkat dan bentuk akar, pelajarilah bab ini sehingga kalian dapat mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasi aljabar yang mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat dan bentuk akar, serta dapat memecahkan masalah sederhana melibatkan bilangan berpangkat dan bentuk akar, serta dapat memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan materi ini.

yang berkaitan dengan materi ini.

A. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat

Setiap manusia yang hidup pasti dia akan membutuhkan sesuatu atas dirinya seperti makan, Setiap manusia yang hidup pasti dia akan membutuhkan sesuatu atas dirinya seperti makan, bernafas,

bernafas, pakaian, pakaian, tempat tempat tinggal, tinggal, dan dan lain-lain. lain-lain. Kebutuhan-kebutuhan Kebutuhan-kebutuhan manusia manusia sebagian sebagian besar besar diperoleh tidak dengan cuma-cuma. Diperlukan sebuah usaha untuk mendapatkannya baik diperoleh tidak dengan cuma-cuma. Diperlukan sebuah usaha untuk mendapatkannya baik mencari, membeli, dan usaha-usaha yang lainnya.

mencari, membeli, dan usaha-usaha yang lainnya.

Untuk membeli sebuah kebutuhan, kadang manusia harus mengeluarkan uang dalam jumlah Untuk membeli sebuah kebutuhan, kadang manusia harus mengeluarkan uang dalam jumlah besar.

besar. Misal Misal untuk untuk membeli membeli rumah rumah mewah mewah manusia manusia harus harus mengeluarkan mengeluarkan uang uang sebesar sebesar 1 1 milyar milyar rupiah. Jika dalam matematika 1 milyar dapat dituliskan dengan 1.000.000.000. Agaknya untuk rupiah. Jika dalam matematika 1 milyar dapat dituliskan dengan 1.000.000.000. Agaknya untuk menuliskan jumlah tersebut terlalu panjang, dapat juga dituliskan dalam bentuk baku yaitu 1 × menuliskan jumlah tersebut terlalu panjang, dapat juga dituliskan dalam bentuk baku yaitu 1 × 109. Nah, bilangan yang dituliskan sebagai 109 inilah yang disebut sebagai bilangan berpangkat. 109. Nah, bilangan yang dituliskan sebagai 109 inilah yang disebut sebagai bilangan berpangkat. Dalam hal ini 10 disebut bilangan pokok, sedangkan 9 disebut bilangan pangkat. Karena Dalam hal ini 10 disebut bilangan pokok, sedangkan 9 disebut bilangan pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan berpangkat bilangan bulat.

pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan berpangkat bilangan bulat.

1. Bilangan

(2)

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan

faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan -bilangan sebagai berikut.-bilangan sebagai berikut.

Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas, disebut sebagai Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas, disebut sebagai perkalian

perkalian berulang. berulang. Setiap Setiap perkalian perkalian berulang berulang dapat dapat dituliskan dituliskan secara secara ringkas ringkas dengandengan menggunakan notasi bilangan berpangkat. Perkalian bilanganbilangan di atas dapat kita tuliskan menggunakan notasi bilangan berpangkat. Perkalian bilanganbilangan di atas dapat kita tuliskan dengan:

dengan:

Bilangan 2

Bilangan 233, , 3355, , 6666 disebut bilangan berpangkat sebenarnya karena bilangan-bilangan tersebutdisebut bilangan berpangkat sebenarnya karena bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang. Bilangan berpangkat a

dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang. Bilangan berpangkat ann dengan n bilangandengan n bilangan bulat positif didefinisikan sebagai berikut.

(3)

3. Bilangan Berpangkat Negatif

Apa yang terjadi jika m = 0? Dari pembahasan di atas jika dipilih m = 0, maka: Apa yang terjadi jika m = 0? Dari pembahasan di atas jika dipilih m = 0, maka:

(4)

B. Bilangan Pecahan Berpangkat

Untuk menentukan hasil pemangkatan bilangan pecahan berpangkat dapat di gunakan definisi Untuk menentukan hasil pemangkatan bilangan pecahan berpangkat dapat di gunakan definisi bilangan berpangkat. Jika a, b

(5)

(6)

C. Bentuk Akar

Dalam matematika kita mengenal berbagai jenis bilangan. Beberapa contoh jenis bilangan Dalam matematika kita mengenal berbagai jenis bilangan. Beberapa contoh jenis bilangan diantaranya adalah bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang diantaranya adalah bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n

dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n∈∈ B dan n ≠ 0. Contoh bilangan rasional seperti: ,B dan n ≠ 0. Contoh bilangan rasional seperti: ,

5, 3 dan seterusnya. Sedangkan bilangan irrasional adalah bilangan riil yang tidak dapat 5, 3 dan seterusnya. Sedangkan bilangan irrasional adalah bilangan riil yang tidak dapat

(7)

dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n

dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈∈ B dan n ≠ 0. Bilangan-bilangan seperti termasuk B dan n ≠ 0. Bilangan-bilangan seperti termasuk

bilangan irrasional, karena hasil akar dari bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional. bilangan irrasional, karena hasil akar dari bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional.

Bilangan-bilangan semacam itu disebut bentuk akar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bentuk Bilangan-bilangan semacam itu disebut bentuk akar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bentuk akar adalah akar-akar dari suatu bilangan riil positif, yang hasilnya merupakan bilangan akar adalah akar-akar dari suatu bilangan riil positif, yang hasilnya merupakan bilangan irrasional.

irrasional.

1. Operasi Hitung Bentuk Akar

Dua bilangan bentuk akar atau lebih dapat dijumlahkan, dikurangkan, maupun dikalikan. Dua bilangan bentuk akar atau lebih dapat dijumlahkan, dikurangkan, maupun dikalikan.

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Untuk memahami cara menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar, Untuk memahami cara menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar, perhatikan contoh - contoh berikut.

perhatikan contoh - contoh berikut.

Dari contoh di atas, maka untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam Dari contoh di atas, maka untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar

bentuk akar dapat dirumuskan dapat dirumuskan sebagai berikut. sebagai berikut. Untuk setiap Untuk setiap a, b, a, b, dan c dan c bilangan rasional posibilangan rasional posi tif,tif, berlaku hubungan:

(8)

b. Perkalian Bentuk Akar

Untuk sembarang bilangan bulat positif a dan

Untuk sembarang bilangan bulat positif a dan b berlaku sifat perkalian berikut.b berlaku sifat perkalian berikut.

Sifat di atas sekaligus dapat digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar. Sifat di atas sekaligus dapat digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.

(9)

c. Pemangkatan Bilangan Bentuk Akar

Bentuk akar juga dapat dipangkatkan. Adapun pemangtkatan bentuk akar akar didapat beberapa Bentuk akar juga dapat dipangkatkan. Adapun pemangtkatan bentuk akar akar didapat beberapa sifat.

sifat.

2) Pemangkatan bentuk dengan pangkat negatif 2) Pemangkatan bentuk dengan pangkat negatif Bentuk akar dengan pangkat negatif sama halnya dengan bilangan berpangkat bilangan negatif. Bentuk akar dengan pangkat negatif sama halnya dengan bilangan berpangkat bilangan negatif. Sehingga:

(10)

(11)

2. Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat Pecahan

Pada pembahasan yang lalu telah disebutkan beberapa sifat dari bilangan berpangkat bulat Pada pembahasan yang lalu telah disebutkan beberapa sifat dari bilangan berpangkat bulat positif.

positif. Sifat-sifat Sifat-sifat tersebut tersebut akan akan digunakan digunakan untuk untuk mencari mencari hubungan hubungan antara antara bentuk bentuk akar akar dengandengan pangkat pecahan. Sifat yang dimaksud adalah .

pangkat pecahan. Sifat yang dimaksud adalah .

Selain sifat tersebut terdapat sifat lain, yaitu:Jika ap = aq maka

Selain sifat tersebut terdapat sifat lain, yaitu:Jika ap = aq maka p = q dengp = q dengan a > 0, a an a > 0, a ≠ 1≠ 1

a. Hubungan dengan

Perhatikan pembahasan berikut. Perhatikan pembahasan berikut.

(12)

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka:

(13)

(14)

D. Merasionalkan Bentuk Akar Kuadrat

Dalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapat berupa bentuk akar. Pecahan adalah Dalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapat berupa bentuk akar. Pecahan adalah beberapa

beberapa contoh contoh pecahan pecahan yang pyang penyebutnya enyebutnya berbentuk berbentuk akar. Pakar. Penyebut enyebut pecahan pecahan seperti itu seperti itu dapatdapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung dari bentuk pecahan dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung dari bentuk pecahan tersebut.

tersebut.

1. Merasionalkan Bentuk

Untuk menghitung nilai ada cara yang lebih mudah daripada harus membagi 6 dengan nilai Untuk menghitung nilai ada cara yang lebih mudah daripada harus membagi 6 dengan nilai pendekatan

pendekatan dari dari 3, 3, yaitu yaitu dengan dengan merasionalkan merasionalkan penyebut. penyebut. Cara Cara ini ini dapat dapat dilakukan dilakukan dengandengan menggunakan sifat perkalian bentuk akar:

menggunakan sifat perkalian bentuk akar:

Selanjutnya pecahan diubah bentuknya dengan memanipulasi aljabar. Selanjutnya pecahan diubah bentuknya dengan memanipulasi aljabar.

(15)

2. Merasionalkan Bentuk

(16)

(17)

(18)

(19)