BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Himpunan Fuzzy
Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi, dan sebagainya. Pada himpunan orang tinggi, misalnya, tidak dapat ditentukan secara tegas apakah seseorang adalah tinggi atau tidak. Anggap didefinisikan bahwa “orang tinggi” adalah orang yang tingginya lebih besar atau sama dengan 1.75 meter, maka orang yang tinnginya 1.74 meter menurut definisi tersebut termasuk orang yang tidak tinggi. Sulit diterima bahwa orang yang tingginya 1.74 meter itu tidak termasuk orang tinggi. Hal ini menunjukkan bahwa memang batas antara kelompok orang tinggi dan kelompok orang yang tidak tinggi tidak dapat ditentukan secara tegas.
Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas itu, Zadeh mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang menyatakan nilai keanggotaan pada suatu himpunan tak kosong sebarang dengan mengaitkan pada interval [0,1]. Fungsi ini disebut fungsi keanggotaan (membership function) dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan tak kosong tersebut, yang selanjutnya disebut himpunan fuzzy.
Himpunan fuzzy (fuzzy set) adalah generalisasi dari konsep fungsi karakteristik. Dengan kata lain himpunan fuzzy didefinisikan sebagai berikut :
Jika Ω sebarang himpunan tak kosong, himpunan fuzzy pada Ω adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada himpunan Ω yang bernilai pada interval [0,1]. Yang dinotasikan dengan → [0,1].
Nilai pada x menyatakan nilai keanggotaan dari x pada Ω. Jika menyatakan nilai keanggotaan yang hanya mengambil dua nilai yaitu 0 dan 1 ;
Dengan untuk
untuk
Maka fungsi seperti ini disebut fungsi karakteristik.
Secara matematis suatu himpunan fuzzy pada Ω dapat dinyatakam sebagai himpunan pasangan terurut
Dimana adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur , yang merupakan suatu pemetaan dari himpunan Ω ke selang tertutup [0,1]. Apabila himpunan Ω adalah himpunan yang diskrit, maka fuzzy seringkali dinyatakan dengan
Dimana lambang ∑ disini tidak melambangkan operasi penjumlahan seperti yang dikenal dalam aritmatika, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur
bersama dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan fuzzy .
Contoh 2.3 : Dalam himpunan Ω = { -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}, himpunan fuzzy dapat dinyatakan sebagai
Bilangan 5 dan -5 mempunyai derajat keanggotaan 0, yang biasanya tidak ditulis dalam penyajian himpunan fuzzy diskrit.
2.1.1 Alpha-Cuts (α-cuts)
Suatu cara lain untuk menyatakan suatu himpunan fuzzy, yaitu dengan menggunakan alpha-cuts. Alpha-Cuts adalah suatu himpunan yang nilai keanggotaannya lebih besar
atau sama dengan α dari suatu elemen anggota [0,1]. Himpunan seperti ini dinotasikan
dengan . Dan didefinisikan sebagai berikut:
Sedangkan alpha-cuts kuat dari himpunan fuzzy yaitu
Contoh 2.1.1: pada contoh 2.1, alpha-cuts dari dengan α = 0.5 adalah , sedangkan alpha-cuts kuatnya adalah .
Pada himpunan fuzzy dapat direpresentasikan melalui kurva-kurva berikut: a. Representasi Linear
Pada representasi linear, pemetaan input ke derajat keanggotaannya digambarkan sebagai suatu garis lurus. Ada dua keadaan himpunan fuzzy yang linear. Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol [0] bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat kenggotaan lebih tinggi.
Gambar 2.1 Representasi Linear Naik Fungsi keanggotaan:
b. Representasi Kurva Segitiga
Kurva segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara 2 garis (linear) seperti terlihat pada gambar 2.2
Gambar 2.2 Representasi kurva segitiga Fungsi Keanggotaan :
c. Representasi Kurva Trapesium
Kurva Trapesium pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai keanggotaan 1.
Gambar 2.3 Kurva Trapesium Fungsi Keanggotaan:
2.1.2 Bentuk Persamaan Regresi Fuzzy
Bentuk hubungan linear antara variable Y mempunayai hubungan dengan dua variable bebas dan , maka model matematika multiple regresi fuzzy adalah :
Untuk dengan merupakan bilangan fuzzy dan merupakan bilangan real.
adalah penaksir bilangan fuzzy untuk rata-rata dari E(Y) diberikan untuk dengan notasi .
Nilai baru yang diperoleh untuk untuk memprediksi nilai fuzzy yang baru untuk E(Y) yaitu
Dan
Semua perhitungan fuzzy dilakukan menggunakan α-cuts dan interval aritmatik.
dan
Untuk semua dengan α-cuts adalah selang kepercayaan .
2.2 Metode Analisis Regresi
Dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebih variable yang hubungannya tidak dapat dipisahkan, dan hal tersebut biasanya diselidiki sifat hubungannya. Analisis regresi adalah sebuah teknik statistika untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara variable-variabel. Tahapan regresi terdiri dari 2 yaitu regresi sederhana dan multiple regresi. Penerapannya dapat dijumpai secara luas di banyak bidang seperti teknik, ekonomi, manajemen, ilmu-ilmu biologi, ilmu-ilmu social, dan ilmu-ilmu pertanian. Analisis regresi berguna dalam menelaah hubungan dua variable atau lebih, dan terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna, sehingga dalam penerapannya lebih bersifat eksploratif.
2.2.1 Regresi Linear Sederhana
Regresi linear sederhana adalah suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan matematis dalam bentuk suatu persamaan antara variable dependent tunggal dengan variable independent tunggal. Hubungan antara variable dependent dengan variable independent ini dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk hubungan fungsional sebagai berikut:
, untuk i = 1,2,…,n Dengan : = variable terikat ke-i
= variable bebas ke-i
a = intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y) b = kemiringan (slope) kurva linear
Diketahui hubungan antara dua (atau lebih) variable acak. Anggap kasus yang dipilih adalah hubungan antara berat dan tinggi orang, hubungan antara tekanan dan suhu udara, dan lain-lain. Untuk mendapatkan suatu persamaan antara dua variable X dan Y, mula-mula dikumpulkan data (X,Y). Anggap X menyatakan tinggi dan Y berat
seorang pria dewasa, maka dipandang ( , masing-masing
pasangan bebas dan X serta Y didefinisikan pada ruang sampel yang sama, yaitu kumpulan orang pria dewasa, yang sedang diselidiki.
2.2.2 Metode Kuadrat Terkecil
Untuk mendapatkan garis regresi yang paling baik yaitu garis regresi yang memiliki deviasi atau kesalahan terkecil, maka digunakan metode kuadrat terkecil. Metode
kuadrat terkecil ialah suatu metode untuk menghitung , sedemikian sehingga jumlah kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa matematika, maka dinyatakan sebagai berikut:
Jadi metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung
sedemikian rupa sehingga = terkecil (minimum). Caranya ialah dengan membuat turunan parsial (partial differensial) dari mula-mula terhadap kemudian terhadap dan menyamakannya dengan nol.
…(2.1)
…(2.2)
Persamaan (2.1) dibagi dengan n
Sehingga
Sehingga
2.2.3 Regresi Kuadrat Terkecil
Metode ini didasarkan pada pemilihan sehingga meminimalkan jumlah kuadrat deviasi titik-titik data dari garis yang dicocokkan.
Jumlah dari kuadrat deviasi (SSD) dari garis adalah
…(2.3) Kemudian akan dipilih taksir sehingga jika taksiran ini disubstitusikan ke dalam persamaan (2.3) maka jumlah deviasi kuadrat menjadi minimum. Dengan mendeferensialkan persamaan (2.3) terhadap dengan menetapkan derivative parsial yang dihasilkan sama dengan nol, diperoleh
…(2.4)
Dan karenanya
…(2.5)
Dari persamaan (2.5), diperoleh
Persamaan (2.6) disebut dengan persamaan normal. Dari persamaan (2.6) diperoleh
Dan , dimana dan adalah dan . dan yang
diperoleh dengan cara ini disebut taksiran kuadrat terkecil masing-masing dari dan . Dengan demikian, taksiran persamaan regresi dapat ditulis sebagai, , yang disebut persamaan prediksi kuadrat terkecil.
2.3 Selang Kepercayaan 2.3.1 Estimasi Tunggal
Suatu Estimasi tunggal pada sebuah parameter populasi adalah nilai tunggal numeric pada sebuah statistik yang berhubungan dengan parameter tersebut. Estimasi tunggal adalah sebuah pemilihan yang tunggal untuk sebuah nialai parameter populasi yang tidak diketahui. Lebih jelasnya, jika X sebuah variable random dengan distribusi probabilitas f(x), mempunyai parameter θ yang tidak diketahui, dan jika
sebuah sampel random yang besarnya n dari X, maka statistic
yang berhubunga dengan θ disebut estimator θ. Perhatikan bahwa estiamator adalah sebuah variable random yaitu variable yang mempunyai harga dan probabilitas, karena estimator tersebut merupakan sebuah fungsi data sampel. Setelah sampel dipilih, diperoleh berdasarkan nilai tertentu yang disebut perkiraan tunggal θ.
2.3.2 Estimasi Interval
Dalam pengambilan sampel dari populasi, diharapkan memperoleh lebih banyak pengetahuan mengenai populasi dari sampel besar relative dari pada sampel kecil. Dalam prakteknya, pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya. Itulah sebabnya sering digunakan pendugaan interval (selang), yaitu suatu pendugaan berupa interval yang dibatasi dua nilai, yang disebut nilai batas bawah dan nilai batas atas.
Untuk mendapatkan ukuran ketepatan suatu penaksir a dan b parameter θ yang diestimasi, yang tidak diketahui nilainya, dengan didasarkan pada informasi sampel, maka
Hal ini menunjukkan peluang selang a dan b memuat θ ialah 1-α. Penaksiran seperti
ini disebut panaksir selang (interval estimation) untuk θ dengan kepercayaan 1-α. Misalnya θ adalah parameter yang akan diestimasi berdasarkan hasil penelitian sampel. Untuk membuat pendugaan interval, harus ditentukan terlebih dahulu besarnya koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan, yang diberi symbol 1-α. Besarnya nilai 1-α, misalnya
atau angka lainnya.
2.3.3 Selang Kepercayaan pada Koefisien Multipel Regresi
( berdistribusi normal dengan mean dan varians ). merupakan suatu distribusi dengan derajat kebebasan n-k. Sebab itu, dari definisi distribusi t diperoleh :
Persamaan diatas merupakan distribusi t dengan derajat kebebasan n-k dimana adalah elemen diagonal dari suatu matriks .
Untuk menguji hipotesis bahwa , ini menyatakan bahwa tidak mempunyai hubungan linear terhadap Y, maka perhitungan uji statistiknya yaitu :
2.3.4 Prediksi Selang Kepercayaan pada Multiple Regresi
Salah satu tujuan dari estimasi hubungan pada multiple regresi yaitu memungkinkan membuat prediksi dari (E(Y)). Andaikan kita mengharapkan nilai X pada periode (n+1) ditunjukkan dengan vector kolom yaitu
Karena adalah predictor tak bias linear terbaik dari . Jadi predictor titik tersebut yakni
karena Dan varians dari adalah
Sehingga adalah berdistribusi normal yakni
Dengan distribusi t
Dimana
Merupakan distribusi t dengan derajat kebebasan (n-k). Oleh karena itu, dengan tingkat kepercayaan sebesar 100(1-α)%, maka selang kepercayaan untuk
adalah
Sedangkan nilai sebenarnya adalah
Dimana menunjukkan nilai sebenarnya pada periode ramalan. Ketidaksesuaian antara nilai ramalan dan nilai sebenarnya yaitu:
Sehingga didapat E(d) = 0
Karena dan
Dan
Merupakan distribusi dengan derajat kebebasan (n-k). Oleh karena itu, dengan tingkat kepercayaan sebesar 100(1-α)%, maka selang kepercayaan untuk yakni
