Selamat Datang di Media Pembelajaran Berbasis Website. Pada materi Barisan dan deret geometri

Created : Novialdi

Bengkalis, 12 November 1993 L O A D I N G ...

Selamat Datang di Media Pembelajaran

Berbasis Website

Pada materi

B. Barisan Geometri Apa anda sudah mengetahui tentang

barisan Geometri?

Misalnya , pada saat praktikum biologi kamu melakukan pengamatan tentang perkembangbiakan bakteri tersebut dapat membelah diri menjadi 2 setiap 5 menit. Jika pada saat mula pengamatan terdapat 10 bakteri, apakah bisa kamu menghitung

Karena pada awalnya, banyak bakteri adalah 10 bakteri, dan setiap 5 menit kemudian bakteri akan membelah dirinya menjadi 2. maka banyaknya bakteri akan bertambah 2

kali lipat dari sebelumnya setiap 5 menit sekali. Berarti dapat kita buat barisan bilangannya: 10, 20, 40, 80,…dan seterusnya.

Nah. Dari barisan bilangan diatas merupakan Barisan Geometri yang mempunyai rasio yang sama atau tetap = 2

Secara umum dapat dikatakan bahwa barisan : U1, U2, U3, …Un-1, Un

Merupakan barisan geomateri jika : 𝑈₂ 𝑈₁ = 𝑈₃ 𝑈₂=….= 𝑈_𝑛 𝑈_𝑛−1 = rasio = r

Rumus umum suku ke – n barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r dapat

ditentukan sebagai berikut :

Berdasarkan uraian tersebut, suku ke n dari barisan geometri dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan : a : suku pertama

r : rasio atau perbandingan

SILAKAN KLIK MULAI DIBAWAH INI

START

UJI PEMAHAMAN 2 BACA DAN ISI DENGAN TELITI

SOAL 1

Apakah dari barisan bilangan berikut : 20, 40, 80, 160. termasuk barisan geometri?

A. YA

SOAL 2

Berapakah suku dari barisan bilangan berikut : 20, 40, 80, 160.

A. 4

B. 5 BACA DAN ISI DENGAN TELITI

SOAL 3

Berapakah nilai rasio dari barisan bilangan berikut : 20, 40, 80, 160.

A. 5

SOAL 4

Apakah sama nilai 𝑈_𝑈2

1 =

𝑈₃

𝑈₂ dari barisan bilangan 20, 40, 80, 160.

A. YA

B. TIDAK BACA DAN ISI DENGAN TELITI

SOAL 5

Barisan giometri adalah barisan yang mempunyai …

A. Beda yang tetap

SILAKAN KLIK TOMBOL DI BAWAH INI UNTUK MELIHAT SKOR ANDA

JIKA ANDA MENDAPATKAN HASIL TIDAK MEMUASKAN BERARTI ANDA TIDAK MEMPERHATIKAN SEWAKTU BELAJAR

Contoh soal 1

Diketahui barisan geometri 3, 9, 27, 81. tentukan suku pertama, rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-6 Suku pertama = 𝑈₁ = 𝑎 = 3 Rasio = 𝑟 = 𝑈2 𝑈₁ = 𝑈₃ 𝑈₂ = 3 Rumus suku ke-n :

𝑈_𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 𝑈_𝑛 = 3(3)𝑛−1 𝑈_𝑛 = 3(3𝑛)(3−1) 𝑈_𝑛 = 3𝑛 Suku ke-6 : 𝑈_𝑛 = 3𝑛 𝑈₆ = 36 𝑈₆ = 729

Cek pengerjaan dengan

menggunakan rumus 𝑈_𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1

𝑈₆ = 3(3)6−1 𝑈₆ = 3(3)5

𝑈₆ = 36 𝑈₆ = 729

Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah a = 3, rasio adalah r = 3,rumusan suku ke-n nya adalah 𝑈_𝑛 = 3𝑛 dan suku ke-6 nya adalah 𝑈₆ = 729

Contoh soal 2

Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah 1₃, dan rasio = 1₃, maka suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah…

MATEMATIKA ADALAH PELAJARAN YANG MENYENANGKAN

Langkah awal : mencari nilai a

𝑈_𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 𝑈₅ = 𝑎(1 3)5−1 = 1 3 𝑎(1 3)4 = 1 3 𝑎 = (1 3)−2 suku ke-9 𝑈_𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 𝑈₉ = (1 3)−2( 1 3)9−1 𝑈₉ = (1 3)−2( 1 3)8 𝑈₉ = (1 3)5 𝑈₉ = 1 243

Suku ke-3 dan suku ke -7 suatu barisan geometri berturut-turut 16 dan 256. suku ke-10 barisan tersebut adalah…

Contoh soal 3

𝑈₃ = 16 𝑈₇ = 256 𝑈_𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1

Langkah awal mencari nilai a dan r

𝑈₃ = 𝑎𝑟3−1 = 16 𝑎𝑟2 = 16 𝑎 = 16 𝑟2 = 16𝑟−2… … … 1 Kemudian 𝑈₇ = 𝑎𝑟7−1 = 256 𝑎𝑟6 = 256 … … … 2

Cara yang digunakan untuk mencari nilai a dan r adalah menggunakan metode subsitusi

Substitusikan nilai 𝑎 = 16_𝑟2 = 16𝑟−2 ke dalam persamaan (2) 𝑎𝑟6 = 256 (16𝑟−2)𝑟6 = 256 16𝑟4 = 256 𝑟4 = 16 𝑟 = 2

MATEMATIKA ADALAH PELAJARAN YANG MENYENANGKAN

Untuk mencari nilai a, maka kita

substitusikan nilai r=2 ke dalam

persamaan(1)

𝑎 = 16𝑟

−2

𝑎 = 16(2)

−2

𝑎 = 16

1

4

𝑎 = 4

Karena yang ditanya adalah

suku ke-10 barisan tersebut,

maka

𝑈

_𝑛

= 𝑎𝑟

𝑛−1

𝑈

₁₀

= 𝑎𝑟

10−1

𝑈

₁₀

= 4(2)

9

𝑈

₁₀

= 4 512

𝑈

₁₀

= 2048

Deret Geometri

Banyaknya tim pada kepanitian adalah 5 tim, yaitu tim A, B, C, D, dan E. karena, jumlah anggota tim B tiga kali anggota tim A

dan tim C tiga kali tim B, begitu seterusnya, maka jumlah anggota tim adalah 3 kali banyak anggota tim sebelumnya. Karena banyak anggota tim A adalah 2 orang. Maka barisan

geometri yang dapat terbentuk : 2, 6, 18, 54, 162

Jumlah seluruh anggota panitia adalah: 2 + 6 + 18 + 54 + 162

Penjumlahan tersebut dinamakan Deret Geometri. Apakah anda mengetahui tentang

deret geometri setelah belajar barisan geometri.

Secara umum dapat dinyatakan definisi deret geometri

Jika 𝑈₁, 𝑈_2,𝑈₃, 𝑈_𝑛−1, 𝑈_𝑛 merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri maka

𝑈₁ + 𝑈₂ + 𝑈₃ + 𝑈_𝑛−1 + 𝑈_𝑛

Disebut “Deret Geometri”, Dengan 𝑈_𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1

Jika 𝑆_𝑛 merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka rumus untuk 𝑆_𝑛 dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

𝑆_𝑛 = 𝑈₁ + 𝑈₂ + 𝑈₃ + ⋯ + 𝑈_𝑛−1 + 𝑈_𝑛. Maka 𝑆_𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−2 + 𝑎𝑟𝑛−1 Kalikan 𝑆_𝑛 dengan r 𝑟𝑆_𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−2 + 𝑎𝑟𝑛−1 Kurangkan 𝑟𝑆_𝑛 terhadap 𝑆_𝑛 𝑆_𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−2 + 𝑎𝑟𝑛−1 𝑟𝑆_𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−2 + 𝑎𝑟𝑛−1 _ 𝑆_𝑛 − 𝑟𝑆_𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟𝑛 𝑆_𝑛 1 − 𝑟 = 𝑎 1 − 𝑟𝑛 𝑆_𝑛 = 𝑎 1 − 𝑟𝑛 (1 − 𝑟)

MATEMATIKA ADALAH PELAJARAN YANG MENYENANGKAN

Dari uraian tersebut, diperoleh kesimpulan berikut:

𝑆_𝑛 = 𝑎 1 − 𝑟 𝑛 1 − 𝑟 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 < 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑆_𝑛 = 𝑎 𝑟 𝑛 _{− 1} 1 − 𝑟 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 > 1.

𝑎 adalah suatu suku pertama dan r adalah rasio dan untuk mencari

𝑈_𝑛 dengan menggunakan 𝑆_𝑛 adalah :

𝑈_𝑛 = 𝑆_𝑛 − 𝑆_𝑛−1 Keterangan 𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑈_𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 − 𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑆_𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛

𝑈_𝑛 = 𝑆_𝑛 − 𝑆_𝑛−1 𝑆_𝑛 = 𝑎 𝑟𝑛 − 1 𝑟 − 1 𝑆_𝑛−1 = 𝑎 𝑟 𝑛−1 _{− 1} 𝑟 − 1 = 𝑎 𝑟𝑛𝑟−1 − 1 𝑟 − 1 = 𝑎 𝑟 𝑛 𝑟 − 1 𝑟 − 1 = 𝑎 𝑟𝑛 − 𝑟 𝑟 𝑟 − 1 = 𝑎 𝑟𝑛 − 𝑟 𝑟 𝑟 − 1 𝑆_𝑛 − 𝑆_𝑛−1 = 𝑎(𝑟 𝑛 _{− 1)} 𝑟 − 1 − 𝑎(𝑟 𝑛 _{− 𝑟)} 𝑟(𝑟 − 1) = 𝑎𝑟(𝑟 𝑛 _{− 1) − (𝑎(𝑟}𝑛 _{− 𝑟))} 𝑟(𝑟 − 1) = 𝑎(𝑟𝑟 𝑛 _{− 1) − (𝑎(𝑟}𝑛 _{− 𝑟))} 𝑟(𝑟 − 1) = 𝑎(𝑟𝑟 𝑛 _{− 𝑟 − 𝑟}𝑛 _{+ 𝑟} 𝑟(𝑟 − 1) = 𝑎(𝑟𝑟 𝑛 _{− 𝑟}𝑛₎ 𝑟(𝑟 − 1) = 𝑎𝑟𝑛(𝑟 − 1) 𝑟(𝑟 − 1) = 𝑎𝑟𝑛 𝑟 = 𝑎𝑟𝑛−1 = 𝑈_𝑛

Suku ke-3 dan suku ke -7 suatu deret geometri berturut 16 dan 256. jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah…

MATEMATIKA ADALAH PELAJARAN YANG MENYENANGKAN

𝑈_𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 𝑈₃ = 𝑎𝑟3−1 = 16 𝑎𝑟2 = 16 𝑎 = 16 𝑟2 = 16𝑟−2… … … 1 𝑈₇ = 𝑎𝑟7−1 = 256 𝑎𝑟6 = 256 … … … 2 Substitusikan nila 𝑎 = 16𝑟−2 kedalam persamaan (2) 𝑎𝑟6 = 256 (16𝑟−2)𝑟6= 256 16𝑟4 = 256 𝑟4 = 16 𝑟 = 2 Contoh soal 1

Diketahui deret geometri 1

2 + 1 + 2 + 4 + ⋯

a. Tentukan rasio

b. Hitunglah jumlah 8 suku pertamanya.

Contoh soal 2

Rasio = 𝑟 = 𝑈_𝑈2

1 =

𝑈₃

𝑈₂ = 2 Jumlah 8 suku pertama

𝑆_𝑛 = 𝑎 𝑟𝑛 − 1 𝑟 − 1 𝑆₈= ( 1 2 (2)8−1 2 − 1 = 1₂(256 − 1) = 127.5

Jadi, nilai rasio dari barisan tersebut adalah 2 dan jumlah 8 suku pertama barisan tersebut 𝑆₈= 127.5

MATEMATIKA ADALAH PELAJARAN YANG MENYENANGKAN

Untuk mencari nila

𝑎,

maka

kita substitusikan nilai r = 2

ke dalam persamaan(1)

𝑎 = 16𝑟

−2

= 16(2)

−2

= 16(

1 4

)

= 4

Karena yang ditanya jumlah

7 suku pertama deret

tersebut, maka

𝑆

_𝑛

=

𝑎 𝑟

𝑛

− 1

𝑟 − 1

𝑆

₇

=

4 2

7

− 1

2 − 1

= 4 128 − 1

= 4 127

= 508

Umur aldi, rozi dan dudi membentuk barisan geometri. Jumlah usia mereka adalah 14 tahun. Perbandingan usia yoga dan rozi adalah 2 : 1 puji berumur paling muda. Usia puji adalah ….

𝑆_𝑛 = 𝑎 𝑟 𝑛 _{− 1} 𝑟 − 1 𝑆₃ = 𝑎 2 3 _{− 1} 2 − 1 = 14 𝑎 8 − 1 = 14 7𝑎 = 14 𝑎 = 2

Karena puju berumur paling muda, berarti usia puji adalah 2 tahun.

MATEMATIKA ADALAH PELAJARAN YANG MENYENANGKAN

RANGKUMAN

Barisan Geometri

Suatu barisan bilangan 𝑈₁, 𝑈₂, 𝑈₃, …, 𝑈_𝑛−1, 𝑈_𝑛 disebut barisan geometri jika berlaku

𝑈₂ 𝑈₁ = 𝑈₃ 𝑈₂ = ⋯ = 𝑈_𝑛 𝑈_𝑛−1 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜 = 𝑟

Rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah

𝑈_𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1

Deret Geometri

Jumlah n suku petama dari suatu barisan geometri adalah:

𝑆_𝑛 = 𝑎 1 − 𝑟𝑛

1 − 𝑟 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 < 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑆_𝑛 = 𝑎 𝑟

𝑛 _{− 1}

1 − 𝑟 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 > 1

dan untuk mencari 𝑈_𝑛 dengan menggunakan rumus 𝑆_𝑛 adalah:

𝑈_𝑛 = 𝑆_𝑛 − 𝑆_𝑛−1 Keterangan 𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑈_𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒 − 𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑆_𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛