INTEGRASI NUMERIS. Numerical Differentiation and Integration

Numerical Differentiation and Integration

INTEGRASI NUMERIS

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Integrasi Numeris

❑

Acuan

❑

Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.

◼ Chapter 15 dan 16, hlm. 459-523.

2

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Diferensial, Derivatif

x_i x_i +Δx y_i

y_i +Δy

Δx Δy

x_i x_i +Δx y_i

y_i +Δy

x_i y_i

(a) (b) (c)

( ) ( )

x

x f x x

f x

y _{i i}



−



= +





( ) ( )

x

x f x x

f x

y _{i i}

x 

−



= +

→

lim0

d d

difference approximation

f(x

_i

+Δx)

f(x

_i

)

3

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Diferensial, Derivatif

( ) ( )

x

x f x x

f x

y _{i i}



−



= +





( ) ( )

x

x f x x

f x

y _{i i}

x 

−



= +

→

lim0

d d

pendekatan beda (hingga)

difference approximation derivatif

( )

x f x y

y = =  d

d

derivatif = laju perubahan y terhadap x

4

෍

𝑛=0

∞ 𝑓^(𝑛) 𝑎

𝑛! 𝑥 − 𝑎 ^𝑛 Deret Taylor

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Diferensial

0 40 80 120 160

0 2 4 6 8 10

y

x

slope = dy/dx

0 6 12 18 24

0 2 4 6 8 10

dy/dx

x

5 .

5x1

y =

5 .

5 0

. d 7

d x

xy =

5

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Integral

0 40 80 120 160

0 2 4 6 8 10

∫y dx

x

5 .

5 0

. 7 x y =

5 .

5 1

dx x

y =





= ^xy x

0 d

luas

▪ “kebalikan” dari proses men-diferensial-kan adalah meng-integral-kan

▪ integrasi ›‹ diferensiasi 0

6 12 18 24

0 2 4 6 8 10

y

x

6

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Fungsi

❑

Fungsi-fungsi yang di-diferensial-kan atau di-integral-kan dapat berupa:

❑

fungsi kontinu sederhana: polinomial, eksponensial, trigonometri

❑

fungsi kontinu kompleks yang tidak memungkinkan didiferensialkan atau dintegralkan secara langsung

❑

fungsi yang nilai-nilainya disajikan dalam bentuk tabel [tabulasi data x vs f(x)]

7

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Cara mencari nilai integral

( )



^{2 +} ₊ ⁺

0

5 . 0 2 3

sin d 5 . 0 1

1 cos

2 e x

x

x _x

x f(x)

0.25 2.599

0.75 2.414

1.25 1.945

1.75 1.993 ⁰

1 2 3 4

0 0.5 1 1.5 2 2.5

A₁ A₂ A₃ A₄

∫f(x) dx = luas = ∑A_i

8

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Derivatif

x u u

x n

y _n

d d d

d = −₁

( )

x v f

( )

x f

u= dan = un

y =

v u y =

v y = u

x u v x v u x y

d d d

d d

d = +

2

d d d

d d

d

v

x u v x v u

x

y −

=

x

x e

x e x x x

x x x

x x x

x x x

=

=

=

−

=

=

d d

ln 1 d

d

sec d tan

d

sin d cos

d

cos d sin

d

2

a a xa

a x x

x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

a

d ln d

ln log 1

d d

cot csc

d csc d

tan sec

d sec d

csc d cot

d ₂

=

=

−

=

=

−

=

9

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Integral

( ) (

ax b

)

C

x a b ax

C x x

x

a a

a C b x a a

n n C

v u u

u v uv v

u

bx bx

n n

+ +

−

= +

+

=



 +

=

−

 + +

=

−

=













+

1cos d

sin d ln

1 ,

ln 0 d

1 1 d

d d

1

( ) ( )

( )

C a x

ab bx ab

a x

C a ax

x e e

x

a C x e e

C x x x x x

C b a ax

x b ax

ax ax

ax ax

+ + =

+

−

= +

=

+

−

=

+ +

= +



−









1 2

2

1 tan d

1 d

d

ln d

ln

1sin d

cos

10

Metode Trapesium Metode Simpson

Metode Kuadratur Gauss

Metode Integrasi Newton-Cotes

11

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Newton-Cotes

❑

Strategi

❑

mengganti fungsi kompleks dan rumit atau tabulasi data dengan yang mudah untuk diintegralkan

( )  ( )

 ⁼

=

^b

a n b

a

f x x f x x

I d d

( )

_n ⁿ _n ⁿ

n

x a a x a x a x a x

f =

₀

+

₁

+

₂ ²

+ ... +

₋₁ ⁻¹

+

polinomial tingkat n

12

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Newton-Cotes

( ) x f

x

a b

( ) x f

a b

x

Garis lurus (polinomial tingkat 1) sbg fungsi pendekatan.

Kurva parabola (polinomial tingkat 2) sbg fungsi pendekatan.

13

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Newton-Cotes

( ) x f

x

a b

Garis lurus (polinomial tingkat 1) sbg fungsi pendekatan.

1 2

3

Fungsi yang diintegralkan didekati dengan 3 buah garis lurus (polinomial tingkat 1).

Dapat pula dipakai beberapa kurva polinomial tingkat yang lebih tinggi.

14

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Trapesium

❑

Fungsi pendekatan untuk menghitung integral adalah polinomial tingkat 1

❑

Sebuah garis lurus dapat dinyatakan dengan persamaan

( )  ( )

 ⁼

=

^b

a b

a

f x x f x x

I d

₁

d

( ) ( ) ( ) ( )( x a )

a b

a f b

a f f x

f −

− + −

1

=

15

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Trapesium

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2

d b

f a

a f b

x a

a x b

a f b

a f f I

^b

a

− +



 

  −

− + −

 

Metode Trapesium

( ) x f

x

a b

error

16

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Trapesium

( )

640533 .

6 1 180 400

4 675 3

5 200 . 12 2

. 0

d 400

900 675

200 25

2 . 0

8 . 0

0 6 5

4 3

2 8

. 0 0

5 4

3 2

 =



 



 + − + − +

=

+

− +

− +

=



x x

x x

x x

x x

x x

x x

I

( ) ( )

0 0.2 dan

( )

0.8 0.232

400 900

675 200

25 2

.

0 ^{2 3 4 5}

=

=

+

− +

− +

=

f f

x x

x x

x x

f

Penyelesaian eksak

Metode Trapesium

( )

0.1728

2

232 . 0 2 . 0 0 8 .

0 + =

−

I = E_t =1.640533−0.1728=1.467733

(

89%

) [error]

17

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

0 1 2 3 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

Metode Trapesium

❑

Error atau kesalahan

❑

bentuk trapesium untuk menghitung nilai integral

mengabaikan sejumlah besar porsi daerah di bawah kurva

❑

Kuantifikasi error pada Metode Trapesium

error

( )( )

³

12

1 f b a

E_t = −   −

 adalah titik di antara a dan b

18

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Trapesium

0 1 2 3 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

error

( 0.60)(0.8 0) 2.56 12

1 − − 3 =

−

a = E

( )x 400 4050x³ 10800x² 8000x³

f =− + − +

nilai rata-rata derivatif kedua:

( )

( )

0 60 8 . 0

d 8000 10800

4050

8 400

. 0 0

3 2

3

−

− =

+

− +

= −

 _x



^{x x x x}

f

error:

order of magnitude nilai error ini sama dengan order of magnitude nilai error terhadap nilai penyelesaian eksak dan keduanya sama tanda (sama-sama positif)

19

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Trapesium multi pias

❑

Peningkatan akurasi

❑

selang ab dibagi menjadi sejumlah n pias dengan lebar seragam h

n a h = b −

20

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

0 1 2 3 4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x

f(x)

h = 0.1

Trapesium multi pias

0 1 2 3 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

h = 0.2

n a h= b−

21

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Trapesium multi pias

n a h= b−

xn

b x

a= dan =

Jika ₀

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

... 2 2

2

d ...

d d

1 2

1 1

0

1 2

1 1

0

n n

x x x

x x

x

x f x

h f x

f x

h f x

f x

h f I

x x f x

x f x

x f

I ⁿ

n

+ + + +

+ +



+ + +

=

−







₋

( ) ( ) ( )

_



 



 +





 +





⁻

= n

n

i

i f x

x f x

h f I

1

1

0 2

2

( ) ( ) ( ) ( )







 







 







rata - rata tinggi

1

1 0

lebar 2

2 n

x f x

f x

f a b I

n n

i

i +





 +

−





⁻

= 22

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Trapesium multi pias

( )  ( )

=

 

− −

= ⁿ

i

i

t f

n a E b

1 3

3

12

Error = jumlah error pada setiap pias

( )

f n f

n

i

i = 

 



=1

1

( )

n f a E b

E_t  _a =− − ₂ ³ 

12

setiap kelipatan jumlah pias, error mengecil dengan faktor kuadrat peningkatan jumlah pias

23

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Trapesium multi pias

( )

x 0.2 25x 200x² 675x³ 900x⁴ 400x⁵

f = + − + − +

n h I E_t %E_t E_a

1 0.8 0.1728 1.4677 89% 2.56

2 0.4 1.0688 0.5717 35% 0.64

4 0.2 1.4848 0.1557 9% 0.16

8 0.1 1.6008 0.0397 2% 0.04

( )

d 1.640533

8 . 0

0 =

=



^{f x x}

I

 ( )

 ^0.8

0 f1 x d x

I

(the trapezoidal rule) (exact solution)

0 20 40 60 80 100

1 2 n 4 8

%E_t vs n

24

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Simpson

❑

Fungsi pendekatan:

polinomial tingkat 1

❑

Peningkatan ketelitian dpt dilakukan dengan

meningkatkan jumlah pias

❑

Fungsi pendekatan:

polinomial:

❑

tingkat 2: Simpson 1/3

❑

tingkat 3: Simpson 3/8

The trapezoidal rule Simpson’s rules

25

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Simpson

0 1 2 3 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x) f

₂

(x)

0 1 2 3 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x) f

₃

(x)

Simpson ⅓ Simpson ⅜

26

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Simpson

❑

Polinomial tingkat 2 atau 3

❑

dicari dengan Metode Newton atau Lagrange (lihat materi tentang curve fitting)

27

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Simpson ⅓

( )  ( )



^

= ^b

a b

a f x x f x x

I d ₂ d

xn

b x

a = dan =

Jika ₀

( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )



^_^{ −}₋ ⁻₋ ⁺ ₋^{− −}₋ ⁺ ₋^{− −}₋ ^_^

 ^b

a f x x

x x x x

x x x x x

x f x x x

x x x x x

x f x x x

x x x

I x ₂ d

1 2 0 2

1 0

1 2

1 0 1

2 0

0 2

0 1 0

2 1

dan f₂(x) diperoleh dengan Metode Lagrange

( ) ( ) ( )



₀ 4 _{1 2}



3 f x f x f x

I  h + +

2 a h= b−

( ) ( ) ( ) ( )

6

4 _{1 2}

0 f x f x

x a f b

I  − + +

atau

(

−

) ( )



−

= ₄^{5 4}

180 f n a E_t b

28

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Simpson ⅓ multi pias

( )  ( )  ( )



^{+ + +} ₋

 ⁿ

n

x x x

x x

x f x x f x x f x x

I

2 4

2 2

0

d ...

d d

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 2 4

6 ...

2 4 6

2 ⁰ 4 ^{1 2 2 3 4} f x^{n 2} f x^{n 1} f xⁿ

x h f x

f x

h f x

f x

f x

h f

I  + + + + + + + ⁻ + ⁻ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n

x f x f x

f x

f a b I

n n

i

i n

i

i

3 2 4

2

6 , 4 , 2 1

5 , 3 , 1

0 + + +

−



 

⁻

=

−

=

( )

₄

4 5

180 f n a

E_a =− b−

(estimasi error,

f⁴

rata-rata derivatif ke-4)

29

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Simpson ⅜

( )  ( )



^

= ^b

a b

a f x x f x x

I d ₃ d

xn

b x

a = dan =

Jika ₀

( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )

 ^_^ ₋^{− −}₋ ⁻₋ ⁺ ₋^{− −}₋ ⁻₋ ⁺ ₋^{− −}₋ ⁻₋ ⁺ ₋^{− −}₋ ⁻₋ ^_^

 ^b

a f x x

x x x x x x

x x x x x x x

x f x x x x x

x x x x x x x

x f x x x x x

x x x x x x x

x f x x x x x

x x x x x

I x ₃ d

2 3 1 3 0 3

2 1

0 2

3 2 1 2 0 2

3 1

0 1

3 1 2 1 0 1

3 2

0 0

3 0 2 0 1 0

3 2

1

dan f₃(x) diperoleh dengan Metode Lagrange

( ) ( ) ( ) ( )



₀ 3 ₁ 3 _{2 3}



8

3h f x f x f x f x

I  + + +

3 a h= b−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )









 









 







rata rata tinggi

3 2

1 0

lebar 8

3 3

−

+ +

− +

 f x f x f x f x

a b

atau

I

30

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Simpson ⅜

(

−

) ( )



−

= ^{5 4}

6480a f E_t b

Error

( )



−

= ^{5 4}

80 3 h f

E_t

atau

31

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Simpson ⅓ dan ⅜

( )

x 0.2 25x 200x² 675x³ 900x⁴ 400x⁵

f = + − + − +

( )

d 1.640533

8 . 0

0 =

=



^{f x x}

I

(exact solution)

Metode I E_t

Simpson ⅓ (n = 2) 1.367467 0.273067 (27%) Simpson ⅜ (n = 3) 1.51917 0.121363 (7%) Simpson ⅓ (n = 4) 1.623467 0.017067 (1%)

32

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Pias tak seragam: Metode Trapesium

( )

5 4

3

2

400 900

675

200 25

2 . 0

x x

x

x x

x f

+

−

+

− +

i x_i f(x_i) I =

0 0 0.2

1 0.12 1.309729 0.090584

2 0.22 1.305241 0.130749

3 0.32 1.743393 0.152432

4 0.36 2.074903 0.076366

5 0.4 2.456 0.090618

6 0.44 2.842985 0.10598

7 0.54 3.507297 0.317514

8 0.64 3.181929 0.334461

9 0.7 2.363 0.166348

10 0.8 0.232 0.12975

1.594801

I dihitung dengan Metode Trapesium di setiap pias:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

... 2 2

2

1 1

2 2

0 1

1

+ −

+ + +

+ +

=

n n

n

x f x h f x

f x h f

x f x h f I

( )d 1.594801

8 . 0

0 =



^{f x x}

33

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Pias tak seragam: Metode Simpson

( )

5 4

3

2

400 900

675

200 25

2 . 0

x x

x

x x

x f

+

−

+

− +

i x_i f(x_i) I =

0 0 0.2

1 0.12 1.309729

2 0.22 1.305241

3 0.32 1.743393

4 0.36 2.074903

5 0.4 2.456

6 0.44 2.842985

7 0.54 3.507297

8 0.64 3.181929

9 0.7 2.363

10 0.8 0.232

I dihitung dengan Metode Simpson ⅓ dan Simpson ⅜:

PR, dikumpulkan minggu depan

34

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Integrasi Numeris

Metode Jumlah pias Lebar pias

Trapesium 1

Trapesium multi pias n > 1 seragam atau tak-seragam

Simpson ⅓ 2 seragam

Simpson ⅓ multi pias genap (2m, m = 2,3,…) seragam

Simpson ⅜ 3 seragam

Kuadratur Gauss 1

35

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kuadratur Gauss

( ) x f

x

( ) x f

error terlalu besar upaya mengurangi error

x

36

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kuadratur Gauss

( )

x f

x

( )

x₀ f

( )

x₁ f

x0 x₁

−1 1

Kuadratur Gauss 2 Titik: Gauss-Legendre

( )

₀

( )

_{0 1}

( )

₁

1

1 f x dx c f x c f x

I =



−  +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

d 0

3 2 d

0 d

2 d

1

1 1

3 1

1 0

0

1 1

2 1

1 0

0

1 1 1

1 0

0

1 1 1

1 0

0

=

= +

=

= +

=

= +

=

= +









−

−

−

−

x x x

f c x

f c

x x x

f c x

f c

x x x

f c x

f c

x x

f c x

f c

c

⁰

, c

₁

, x

₀

, x

₁

: unknowns

37

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

0 0.5 1 1.5 2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Kuadratur Gauss

( ) x f

x

( ) x = 1 f

( ) x x

f =

2 d

1

1

1

=



−

x

¹

d 0

1

=



−

x x

( ) x f

x

38

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 1 2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Kuadratur Gauss

( ) x f

x

( ) x x

²

f = f ( ) x = x

³

3 2

1

d

1

2

=



−

x x

¹

d 0

1

3

=



−

x x

( ) x f

x

39

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kuadratur Gauss

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

d 0

3 2 d

2 d

2 d

1

1 1

3 1

1 0

0

1 1

2 1

1 0

0

1 1 1

1 0

0

1 1 1

1 0

0

=

= +

=

= +

=

= +

=

= +









−

−

−

−

x x x

f c x

f c

x x x

f c x

f c

x x x

f c x

f c

x x

f c x

f c

( )

_{0 1}

( )

₁

0f x c f x

c

I  +

3 1

3 1

1

1 0

1 0

=

−

=

=

=

x x

c c

(

^{1 3}

) ( )

^{f 1 3}

f

I  − +

40

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kuadratur Gauss

Untuk batas integrasi dari a ke b:

▪ diambil asumsi suatu variabel x_dyang dapat dihubungkan dengan variabel asli x dalam suatu relasi linear

xd

a a

x = ₀ + ₁

▪ jika batas bawah, x = a, berkaitan dengan x_d = −1

▪ jika batas atas, x = b, berkaitan dengan x_d= 1

( )

1

1

0 + −

=

 a a a

( )

1

1

0 a

a b= +



2 dan 2 ¹

0

a a b

a

a = b+ = −

( ) ( )

( )

d d

a x x b

x a b a

x b

2 d d

2 −

=

− +

= +

xd

a a

x = ₀ + ₁

41

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kuadratur Gauss

( )

x 0.2 25x 200x² 675x³ 900x⁴ 400x⁵

f = + − + − +

( )

d 1.640533

8 . 0

0 =

=



^{f x x}

I

(exact solution)

Penyelesaian dengan Metode Kuadratur Gauss:

( ) ( )

d d

d d

x x

x

x x x

d 4 . 0 2 d

0 8 . d 0

4 . 0 4 . 2 0

0 8 . 0 0

8 . 0

− =

=

+

− = +

= +

42

https://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kuadratur Gauss

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

_^{ =}





















+ +

+

− +

+ +

− +

+

= +

− +

− +





− 1

1 4 5

3 2

8 . 0 0

5 4

3 2

d 4 . 4 0

. 0 4 . 0 400 4

. 0 4 . 0 900

4 . 0 4 . 0 675 4

. 0 4 . 0 200 4

. 0 4 . 0 25 2

. 0

d 400

900 675

200 25

2 . 0

d d

d

d d

d x

x x

x x

x

x x

x x

x x

( )

(

⁼d ^{=−11 33}

)

^{==10..305837516741}

d

x f x

f

( )

822578 .

1

305837 .

1 516741 .

0

8 d

. 0 0

=

+

=





^{f x x}

I

43

44