Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu

BAB IV

RELASI DAN FUNGSI

Tujuan Instruksional Umum

Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers fungsi, serta jenis-jenis fungsi.

Tujuan Instruksional Khusus

1) Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian suatu relasi 2) Mahasiswa dapat menentukan suatu relasi yang ekuivalen 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil ganda suatu relasi 4) Mahasiswa dapat menentukan suatu relasi invers 5) Mahasiswa dapat menentukan suatu relasi identitas 6) Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian suatu fungsi

7) Mahassiswa dapat menentukan bayangan dan bayangan invers dari suatu fungsi 8) Mahasiswa dapat menentukan jenis-jenis fungsi

Rasional 4.1 Relasi

4.1.1 Pengertian relasi

Sebelum mendefinisikan secara tepat sebagai himpunan maka pengertian relasi, untuk sementara, sebagai ancang-ancang dibicarakan dengan menggunakan contoh- contoh dari percakapan sehari-hari.

Misalkan ditentukan suatu semesta M = { a, b, . . . } maka relasi R dinyatakan determinatif pada M jhj untuk setiap a, b dalam M, kalimat aRb ( dibaca sebagai a berada dalam relasi R dengan b ) mempunyai nilai benar atau salah. Apabila M itu

himpunan bilangan-bilangan asli, maka relasi kelipatan adalah determinatif. Sebaliknya relasi mencintai tidak, sebab kalimat “ 2 mencintai 3” tidak mempunyai nilai benar.

Salahpun tidak karena ingkarannya juga tidak benar. Walaupun secara gramatika mempunyai bentuk kalimat, namun sebenarnya kalimat di atas merupakan rangkaian kata-kata tanpa arti. Yang akan dibicarakan disini hanyalah relasi-relasi yang determinatif.

Relasi yang menyangkut dua anggota disebut relasi biner, dengan notasi aRb atau R (a,b). Apabila a tidak berada dalam relasi R dengan b, maka dinyatakan dengan notasi a R b atau a R b . Apabila menyangkut tiga anggota maka relasinya disebut relasi triadik, atau relasi terner. Apabila semestanya adalah himpunan orang-orang maka kalimat “Jono irihati pada Tono karena si jelita Siti” menyajikan suatu relasi triadik, ditulis R ( J, T, S ). Demikian juga pada semesta himpunan bilangan-bilangan, maka operasi binair penjumlahan dapat dipandang sebagai relasi triadik. Misalnya 2 + 3 = 5 dapat disajikan sebagai R (2, 3, 5 ). Sedangkan 2 + 3  4 disajikan dengan R ( 2, 3, 4 ) atau

R ( 2, 3, 4 ), yaitu 2,3 dan 4 ( urutan diperhatikan ) tidak berada dalam relasi penjumlahan.

4.1.2 Relasi Ekuivalen

Definisi :

Relasi R disebut refleksif jhj untuk setiap a dari semestanya M, berlaku a R a.

R refleksif jhj (  a  M ) a R a.

Contohnya

Relasi mencintai antara orang-orang, sebab setiap orang mencintai dirinya sendiri.

Suatu relasi disebut non-refleksif jhj sekurang-kurangnya ada satu anggota a yang tidak berada dalam relasi R dengan dirinya sendiri, yaitu (a) a R a.

Contohnya : menguasai diri, sebab ada orang yang tidak bisa menguasai diri sendiri.

Suatu relasi R disebut irrefleksif jhj (a) a R a.

Contohnya : relasi  pada himpunan bilangan-bilangan.

Definisi :

Relasi R disebut simetris jhj untuk setiap a, b dari semestanya M, berlaku a R b  b R a.

R simetris jhj (a, b) a R b  b R a.

Contohnya : relasi kesejajaran antara garis-garis.

Relasi non-simetris jhj sekurang-kurangnya ada satu pasang (a, b) dengan a R b dan b R a. yaitu ( a,b) a R b  b R a.

Contohnya : Relasi mencintai.

Relasi R disebut a-simetris apabila untuk setiap pasangan (a, b) berlaku jika a R b pastilah b R a. Atau ditulis ( a,b) a R b  b R a.

Contohnya : relasi  diantara bilangan-bilangan.

Definisi :

Relasi R disebut transitif jhj untuk setiap tripel atau ganda-tiga a, b, c dari semesta M berlaku apabila a R b dan b R c maka a R c.

(a,b,c  M) a R b & b R c  a R c.

Contohnya : relasi kesejajaran diantara garis-garis lurus.

Relasi non-transitif adalah apabila sekurang-kurangnya ada satu tripel sedemikian sehingga jika a R b dan b R c maka a R c. Atau ditulis

( a,b,c ) a R b & b R c  b R c.

Contohnya : relasi mencintai diantara orang-orang.

Relasi intransitif adalah apabila untuk setiap tripel berlaku jika a R b dan b R c maka pastilah a R c atau ( a,b,c) a R b & b R c  a R c.

Contohnya : relasi tegak lurus pada bidang.

Definisi :

Relasi R yang sekaligus memiliki sifat-sifat refleksif, simetris, dan transitif disebut relasi ekuivalen.

Dalam matematika relasi ekuivalen memegang peranan yang sangat penting.

Banyak relasi merupakan relasi ekuivalan misalnya : relasi kesejajaran diantara garis- garis lurus, relasi kesebangunan bentuk-bentuk geometri dan lain-lain.

Sekarang kita bicarakan relasi kekongruenan diantara bilangan-bilangan bulat positif. Apabila semesta M terdiri atas bilangan-bilangan bulat maka relasi kekongruenan diantara anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut :

Definisi.

Misalkan M = { a, b, . . . } adalah himpunan bilangan-bilangan bulat. Maka dikatakan bahwa a kongruen b modulo m ( dimana m bilangan bulat non negatif ) jhj a - b adalah kelipatan m.

Bukti :

Disini harus dibuktikan bahwa bilangan kongruensi tersebut merupakan relasi ekuivalen yaitu :

Sifat refleksif dipenuhi sebab a - a 0 k , sehingga a  a ( mod m ) Sifat simetris juga dipenuhi.

Jika a  b (mod m) maka a - b = km b  a (mod m) maka b - a = - km

sehingga terbukti a  b (mod m)  b  a (mod m).

Sifat transitif

a  b (mod m) & b  c (mod m)  a  c (mod m) Jika a  b (mod m) maka a - b = k₁ m

b  c (mod m) maka b - c = k₂ m sehingga a - c = ( k1 - k2 ) m

a  c (mod m) Jadi terbukti sifat transitif dipenuhi.

Teorema :

Suatu relasi ekuivalen diantara amggota-anggota semesta M, mengakibatkan adanya partisi atau penggolongan (partitioning) di dalam M.

Dengan suatu partisi atau penggolongan di dalam M dimaksud bahwa M terbagi atas himpunan-himpunan bagian (golongan, kelas ) yang masing-masing tidak kosong dan yang saling asing ( mutually disjoint) , sedemikian sehingga setiap anggota dari M berada dalam satu dan hanya satu golongan dari M.

Bukti :

Misalkan telasi ekuivalen diatas disebut R , maka ditentukan bahwa R memiliki sifat-sifat refleksif, simetris, dan transitif. Kita kumpulkan semua unsur yang berada dalam relasi R dengan a dala suatu himpunan Ma . Jadi

Ma = { x / x R a , x  M }. Himpunan Ma tidaklah kosong karena R mempunyai sifat refleksif maka a R a dan Ma sekurang-kurangnya mempunyai satu anggota, yaitu a.

Dengan kata lain, setiap anggota berada dalam sekurang-kurangnya satu kelas.

Sekarang dibuktikan kalimat apabila dua kelas itu bersama-sama memiliki sekurang-kurangnya satu unsur maka dua kelas itu berimpit ( 1 )

Bukti :

Andaikan M_a dan M_b bersama memiliki unsur c . Karena c M_a maka

c R a. Karena R simetris, maka dari c R a diturunkan a R c. Dari c  Mb maka juga c R b. Dari a R c dan c R b dengan menggunakan sifat transitif didapat aRb. Ambil anggota sembarang p  Ma , maka p R a dan karena a R b juga, maka p R b . Sehingga p  Mb . Terbukti setiap anggota Ma adalah juga anggota Mb , yaitu bahwa Ma  Mb

Dengan jalan yang sama ( atau pengamatan bahwa persoalannya simetris dalam a dan b ) maka juga terbukti bahwa M  M . Dari M  M dan

M  M dapat disimpulkan M = M . Kebenaran kalimat ( 1) diatas terbukti.

Kesimpulannya : kontraposisi dari kalimat ( 1 ) diatas berbunyi apabila kelas-kelas itu tidak berimpitan maka mereka tidak bersama-sama memiliki satu unsur pun. Jadi mereka saling asing.

Kelas-kelas atau golongan-golongan itu disebut kelas ekuivalan atau golongan ekuivalen ( equivalence classes ) . Kelas-kelas itu sering disajikan dengan notasi a , b dan sebagainya dimana kelas a memuat unsur a

dan seterusnya. Keluarga himpunan M yang mempunyai kelas-kelas a, b, . . . sebagai anggota disebut himpunan kuosien.

Contohnya : relasi ekuivalen kesejajaran diantara garis-garis diantara bidang. Sebagian dari kelas-kelas ekuivalen dilukiskan dalam gambar dibawah ini.

Teorema :

Apabila dalam semesta M terdapat suatu penggolongan atau partisi (partitioning ) sedemikian sehingga setiap anggota berada dalam satu kelas dan kelas-kelas itu saling

asing, maka sekurang-kurangnya ada satu relasi R yang menakibatkan penggolongan atau partisi tadi.

Bukti :

Ambillah R sebagai relasi berada dalam satu kelas. Maka dengan mudah dapat dilihat bahwa R ini merupakan relasi ekuivalen yang mengakibatkan partisi diatas.

4.1.3 Definisi Dengan Abstraksi

Mengapa suatu relasi ekuivalen memegang peranan penting didalam matematika

?. Adanya suatu partisi dalam semesta M karena relasi ekuivalen, memungkinkan kita mendefinisikan konsep-konsep baru dalam matematika. Apa yang dimaksud dengan ini akan dijelaskan dengan beberapa contoh.

Dari relasi kesejajaran antara garis-garis lurus didapat konsep arah. Dua garis mempunyai arah yang sama jhj mereka sejajar, sehingga berada dalam satu kelas

ekuivalen. Sifat-sifat individual dari garis-garis yang berada dalam satu kelas, seperti letaknya dalam ruang dal lain-lain, kita kesampingkan. Kita pusatkan perhatian kepada sifat bersama dari garis-garis itu yang diakibatkan oleh adanyarelasi ekuivalen itu. Sifat itu secara mental ditarik keluar dari realitas untuk mendapat perhatian khusus. Proses ini disebut abstraksi. Hasil dari proses abstraksi juga disebut abstraksi. Dalam contoh ini disebut konsep arah. Perhatikan kelas ekuivalen sendiri dapat dan sering disebut arah.

Dari relasi kesebangunan diantara obyek-obyek geometri didapat konsep bentuk. Dua obyek mempunyai bentuk yang sama jhj mereka sebangun.

4.1.4 Kesamaan Dalam Matematika

Setiap cabang matematika pasti mulai dengan mendefinisikan relasi kesamaan antara anggota-anggota dari semestanya. Perhatikan bahwa setiap kali ada relasi ekuivalen, sehingga ada partisi, maka dengan definisi lewat abstraksi anggota-anggota dalam suatu partisi dapat diidentikkan di dalam matematika, kesamaan tidak perlu berarti identitas logika. ( Identitas logika sendiri oleh Leibniz didefinisikan demikian : dua obyek ( unsur ) a dan b disebut identik jhj setiap sifat yang dimiliki yang satu juga yang lain dan sebaliknya ). Dalam hitungan vektor bebas, dua vektor dinyatakan sama ( diidentikkan ) jhj panjangnya sama, arahnya dan orientasinya sama, sedangkan letaknya dalam ruang tidak perhatikan.

4.1.5 Integers Reduced Modulo m

Misalkan semesta M terdiri atas bilangan-bilangan bulat. Dalam definisi diatas dinyatakan bahwa relasi kekongruenan dan telah dibuktikan juga bahwa kekongruenan merupakan relasi ekuivalen. Sebagai contoh akan diambil kekongruenan modulo 3.

Ditentukan kelas-kelas ekuivalen secara demikian misal : himpunan bilangan bulat modulo 3

M = { . . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . } M = { 0 , 1 , 2 }

Ini disebut dengan himpunan kuosien.

0 = { 0, 3, -3, 6 , . . . }

1 = { 1, 4, -2, . . . }

2 = { 2, 5, -1, 8, . . . }

Kelas - kelas inilah disebut dengan integers reduced modulo 3.

Secara umum himpunan integers reduced modulo m disajikan dengan Zm atau juga Im , yaitu Zm = { 0 , 1, . . . m-1}.

4.1.6 Relasi Antara Anggota-Anggota Diberlainan Himpunan.

Suatu relasi bisa juga didefinisikan antara anggota-anggota yang berlainan.

Misal : S adalah himpunan siswa-siswa di kelas tiga dari suatu SMA.

T adalah himpunan siswa-siswa dari kelas dua.

Diagram Venn dibawah ini menyatakan suatu relasi . Misalkan relasi antara S dan T berdiam sekampung , yaitu dalam diagram venn tersebut terlihat misalnya a berdiam sekampung dengan g dan seterusnya. Dikatakan bahwa relasi R itu ada dari S ke T.

Perhatikan bahwa relasi R ini menentukan himpunan pasangan-pasangan terurut { (a,g) , (a,f) , (c,f) } yaitu himpunan bagian dari S x T. Keadaan ini kelak akan digunakan

sebagai pangkal definisi matematika dari relasi dari S ke T, yaitu R relasi dari S ke T jhj R  S x T.

Contoh-contoh Soal

1) Di dalam himpunan bilangan real didefinisikan relasi R dengan rumus, a R b jhj a²

= b² . Perlihatkan bahwa R itu suatu relasi ekuivalen. Manakah kelas-kelas ekuivalennya ?.

Jawab :

Untuk memperlihatkan bahwa R adalah relasi ekuivalen maka R haruslah mempunyai sifat-sifat refleksif, simetris, dan transitif dapat dibuktikan sebagai berikut :

a² + a = b² + b

Sifat refleksif dipenuhi karena, a² + a = a² + a

Sifat simetris dipenuhi karena,

Jika a² + a = b² + b maka b² + b = a ² + a Sifat transitif juga dipenuhi karena,

Jika a² + a = b² + b dan b² + b = c² + c maka jelaslah a² + a = c² + c Jadi R merupakan relasi ekuivalen.

Kelas-kelas ekuivalennya dicari dengan cara demikian. Misalkan x berada dalam satu kelas dengan a, maka x² = a² . Sehingga x² - a² = ( x + a ) ( x - a ) = 0

Pertama-tama didapat x = a . Ini jelas berarti a berada dalam kelas yang ditentukan olehnya . Kedua x = -a . Kelas-kelas ekuivalen masing-masing terdiri atas dua anggota, seperti 5 dan -5, 4 dan -4 dan seterusnya. Kelas yang memuat 0 hanya memuat satu anggota saja.

2) Berikan contoh relasi yang simetris dan transitif tetapi tidak refleksif.

Jawab :

Perhatikan gambar disamping ini . Tiga orang a, b, dan c duduk mengelilingi suatu meja bundar. Relasi R didefinisikan x R y jhj x duduk disamping y.Umpamanya a R b, sebab a duduk disamping b.

Jelas bahwa relasi diatas mempunyai sifat simetris dan transitif, tetapi tidak refleksif sebab a tidak duduk disamping a.

Rangkuman

1) Suatu relasi R dikatakan determinatif jhj (a,b  S), a R b  aR b.

2) R disebut relasi refleksif jhj (a  S), a R a ( untuk setiapamggota dari semestanya berlaku a R a.

3) R disebut relasi non reflesif jhj (a  S), aR a ( sekurang-kurangnya ada anggota a yang tidak berada dalam relasi R dengan dirinya sendiri.

4) R disebut relasi irrefleksif jhj (a  S), aR a ( setiap a tidak berada dalam relasi R dengan dirinya sendiri).

5) R disebut relasi simetris jhj (a,b  S), a R b  b R a ( untuk setiap a,b dari anggota-anggotanya apabila a R b maka b R a).

6) R disebut relasi non simetris jhj ( a,b S), a R b  bR a (apabila ada sekurang- kurangnya ada satu pasang (a,b) sedemikian sehingga jika a R b maka bR a.

7) R disebut relasi asimetris jhj (a,b  S), a R b  bR a ( untuk semua pasangan (a,b) berlaku jika a R b pastilah bR a).

8) R disebut relasi transitif jhj (a,b,c  S), a R b & b R c  a R c ( untuk setiap (a,b,c) dari anggota-anggotanya berlaku jika a R b dan b R c maka a R c).

9) R disebut relasi non transitif jhj (a,b,c  S), a R b & b R c  aR c ( apabila sekurang-kurangnya ada satu tripel sedemikan sehingga jika a R b dan b R c maka aR c).

10) R disebut relasi intransitif jhj (a,b,c  S), a R b & b R c  aR c (untuk setiap tripel berlaku jika a R b dan b R c maka pasti aR c).

11) Relasi R yang sekaligus memiliki sifat-sifat refleksif, simetris, dan transitif disebut relasi ekuivalen.

12) Suatu relasi ekuivalen diantara anggota-anggota semesta M, mengakibatkan adaya partisi atau penggolongan (partitioning), didalam M dimaksudkan bahwa M terbagi atas himpunan-himpunan bagian (golongan, kelas) yang masing-masing tidak kosong dan yang saling asing.

Latihan Soal-Soal

1) Carilah contoh relasi yang bersifat :

(1) refleksif tapi tidak simetris dan transitif.

(2) simetris tapi tidak refleksif dan transitif.

(3) transitif tapi tidak refleksif dan simetris.

2) Di dalam himpunan bilangan bulat { . . . -2, -1, 0, 1, 2, . . . } didefinisikan relasi R dengan rumus a R b jhj a² + a = b² + b.

Buktikan R suatu relasi ekuivalensi dan tentukan kelas-kelas ekuivalennya.

3) Ditentukan A adalah sebarang himpunan dan relasi R adalah relasi pada A yang didefinisikan sebagai “x = y”. Apakah R merupakan relasi ekuivalen?

4) Ditentukan R adalah relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan sebagai “x – y dapat dibagi 2”. Buktikan bahwa R merupakan relasi ekuivalen.

5) Kalimat terbuka-kalimat terbuka berikut ini mendefinisikan relasi pada himpunan bilangan asli N.

(a) “x adalah kelipatan y”

(b) “x kali y merupakan kuadrat dari suatu bilangan”

Apakah relasi-relasi diatas merupakan relasi refleksif, simetris, antisimetris, transitif atau ekuivalen ?.

6) Suatu relasi R disebut berlingkar jhj untuk setiap a, d dan c dari semestanya berlaku a R b & b R c  c R a. Buktikan bahwa R merupakan relasi ekuivalen jhj R refleksif dan berlingkar.

7) Tentukan kapan relasi R pada himpunan A adalah (a) non refleksif

(b) non simetris (c) non transitif (d) anti simetris

8) Misalkan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }. Tentukan yang mana merupakan partisi dari X.

(a) [{1,3,6 }, {2,8 }, {5,7,9 }]

(b) [{1,5,7 }, {2,4,8,9 },{3,5,6}]

(c) [{2,4,5,8}, {1,9}, {3,6,7}]

(d) [{1,2,7}, {3,5 }, {4,6,8,9}, {3,5}]

4.2 Operasi Atas Relasi

4.2.1 Relasi Sebagai Himpunan Definisi :

Suatu relasi biner R pada M didefinisikan sebagai himpunan bagian dari M x M.

Relasi terner pada M sebagai himpunan bagian dari M x M x M . Relasi R dari himpunan M ke himpunan N sebagai himpunan bagian dari M x N.

Dengan definisi di atas maka a R b dan (a,b )  R adalah ekuivalen.

Jika R dan S suatu relasi pada M, maka karena mereka merupakan himpunan bagian dari M x M, orang dapat berbicara tentang R  S , R S R  S dan R^c dimana R^c tidak lain adalah M x M - R.

Contoh :

Misalkan M = {a, b}. Maka M x M = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)}.

Misalkan relasi R = {(a,b)}. Sedangkan relasi S = { (a,a), (b,b)}.

Maka R  S. Sedangkan R  S = , R  S = { (a,b), (a,a), (b.b) }.

Dan relasi S^c = { (a,b), (b, a)}.

4.2.2 Pergandaan Relasi

Apabila R dan S adalah relasi-relasi pada M, maka dengan hasil ganda RS dimaksud relasi pada M yang didefinisikan sebagai berikut :

Definisi :

(a,b)  RS jhj ada c  M dengan ( a,c)  R & ( c, b)  S.

Teorema : Pergandaan dua relasi mempunyai sifat assosiatif.

Yaitu (RS) T = R (ST).

Bukti : (a,b)  (R S)T jhj ada c dengan (a,c)  (RS) dan

(c,b)  T jhj ada d dan ada c dengan (a,d)  R dan (c,b)  S dan (c,b)  T jhj ada d dengan (a,d)  R dan

(d,b)  ST jhj (a,b)  R(ST).

Jadi terbukti pergandaan dua relasi mempunyai sifat assosiatif.

Catatan . Pada umumnya pergandaan relasi tidak komutatif.

4.2.3 Relasi Invers, Identitas dan Relasi Kosong

Definisi :

Dengan relasi invers R dari relasi R^-1 dimaksud himpunan pasangan-pasangan terurut (b,a) sedemikian sehingga (a,b)  R.

R^-1 = df { (b,a) / (a,b)  R } Contoh :

Ditentukan M = {1, 2, 3, 4, 5 } dan R = {(1,3), (1,4), (4,4), (4,3)} adalah relasi pada M.

Tentukan relasi invers dari R ! Jawab:

R = {(3,1), (4,1), (4,4), (3,4)}

Definisi:

Dengan relasi identitas, notasi M atau E, dimaksudkan himpunan semua pasangan-pasangan terurut (a,a) dengan a  M.

E = M = df { (a,a) / a  M }.

(a,b)  M jhj a = b.

Definisi :

Dengan relasi kosong notasi 0, dimaksudkan himpunan kosong () dari M x M.

4.2.4 Komposisi Relasi

Misalkan U sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B dan V sebuah relasi dari himpunan B ke himpunan C.

Jadi U adalah subset dari A x B dan V subset dari B x C. maka relasi A ke C yang terdiri atas elemen (a,c) anggota himpunan A,C. Sehingga untuk b  B berlaku a,b

anggota U dan b,c anggota V dinamakan relasi komposisi U dan V yang dilambangkan sebagai V o U.

Jadi V o U = { (x,y) / x  A, y  C  b  B, (x,b)  U & (b,y)  V }.

Bila digambarkan sebagai berikut :

Contoh :

Misalkan U dan V relasi-relasi dalam himpunan bilangan real yang didefinisikan sebagai berikut:

U = {(x,y) / x² + y² = 1}

V = {(y,z) / 2y + 3z = 4}

Jawab :

2y + 3z = 4 2y = 4 – 3z y = 2 – 3/2 z

Sehingga : x² + y² = 1 menjadi x² + (2 – 3/2 z) ² =1 x² + ( 4 – 6z + 9/4 z² ) = 1

Kedua ruas dikalikan denga 4 menjadi : 4x² + 16 – 24z² + 9z = 0

Jadi V o U = { (x,z) / 4x² + 16 – 24z² + 9z = 0 Rangkuman

1) Relasi biner R pada M didefinisikan sebagai himpunan bagian dari M x M.

2) Relasi terner pada M sebagai himpunan bagian dari M x M x M .

3) Relasi R dari himpunan M ke himpunan N sebagai himpunan bagian dari M x N.

4) Apabila R dan S adalah relasi-relasi pada M, maka dengan hasil ganda RS dimaksudkan relasi pada M yang didefinisikan sebagai berikut :

(a,b)  RS jhj ada c  M dengan ( a,c)  R & ( c, b)  S.

5) Relasi invers R dari relasi R^-1 dimaksud himpunan pasangan-pasangan terurut (b,a) sedemikian sehingga (a,b)  R.

R^-1 = df { (b,a) / (a,b)  R }

6) Relasi identitas, notasi M atau E, dimaksudkan himpunan semua pasangan- pasangan terurut (a,a) dengan a  M.

E = M = df { (a,a) / a  M }.

7) Relasi kosong dinotasikan 0, dimaksudkan himpunan kosong () dari M x M.

8) Komposisi relasi dari dua himpunan U dan V didefinisikan

V o U = { (x,y) / x  A, y  C  b  B, (x,b)  U & (b,y)  V }.

Latihan Soal-Soal :

1) Misalkan R dan S adalah relasi-relasi pada A = {1,2,3 }sebagai berikut : R = {(1,1), (1,2), (2,3),(3,1),(3,3) }

S = {{ (1,2), (1,3), (2,1), (3,3) } Tentukan R  S, R  S dan R^c.

2) Misalkan R relasi dalam A = {1,2,3,4 } sebagai berikut : R = {(1,3), (1,4), (3,2), (3,3), (3,4) }

a) Tentukan domain dan range dari R

b) Tentukan R ^–1

c) Tentukan komposisi relasi R o R

3) Misalkan R relasi pada bilangan bulat positif yang didefinisikan sebagai R = {(x,y) / x + 3y = 12 }

a) Nyatakan R dalam himpunan pasangan berurutan b) Tentukan domain, range dari R

c) Tentukan R ^-1

d) Tentukan relasi komposisi dari R o R

4) Jika R didefinisikan sebagai { 9x² + 4y² = 36 } dan grafik dari R telah digambarkan seperti dibawah ini :

Tentukan

a) domain dari R b) range R c) R^-1

1) Kalimat terbuka x + 2y = 10 mendefinisikan suatu relasi R pada W

= {1, 2 ,3, . . . . ,8}.

Tentukan : a) domain R b) range R c) R^-1

4.3 Fungsi atau Pemetaan

Sekarang didefinisikan salah satu konsep yang amat penting dalam seluruh matematika, yaitu konsep fungsi atau pemetaan.

Definisi :

Suatu fungsi dari himpunan S ke himpunan T adalah suatu aturan yang pada setiap s  S dengan tunggal menentukan t  T.

Apabila diagram venn fungsi dari S ke T diatas, kita bandingkan dengan gambar diagram venn suatu relasi S ke T, maka terlihat bahwa suatu fungsi adalah kasus khusus dari suatu relasi. Pada suatu fungsi semua anggota S habis ( setiap s  S mempunyai mitra atau kawan ). Sedangkan kawan s  S adalah tunggal di T. Hal-hal ini tidak perlu berlaku untuk suatu relasi umum. Fungsi dari S ke T disajikan dengan notasi :

f : S  T s  f(s).

Hasil f(s) juga disajikan dengan fs atau juga (f)s.

Himpunan S disebut daerah asal (domain) dari f. Sedangkan T disebut daerah kawan (codomain) dari fungsi itu. Kawan dari S didalam T yang tunggal itu disebut bayangan ( image ) unsur s, disajikan dengan f(s), sering disingkat dengan fs saja , tanpa tanda kurung. Daerah asal suatu fungsi sering juga disebut daerah definisi fungsi itu, daerah kawan sering juga dinamakan daerah nilai fungsi tersebut. Selain dari itu, jika untuk unsur s  S ada unsur t  T tunggal yang merupakan kawan dari s dan

merupakan bayangan dari s, maka sering juga bayangan dari s disebut nilai fungsi untuk s, kawan dari s sering disebut mitra dari s.

Suatu fungsi f dari S ke T dapat juga didefinisikan dengan rumus : f : S  T jhj (s) ( !t) fs =t.

Contoh :

Ambil sebagai S himounan dadu { D₁, D₂, D₃, D₄ }, dan ambil sebagai T = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Setiap lemparan dadu menghasilkan suatu fungsi f : S  T . Jika dadu D jatuh dengan muka 3 diatas maka D  3 dan seterusnya.

Seperti halnya suatu relasi R maka fungsi f, dari S ke T yaitu f : S T

dapat juga dipandang sebagai himpunan bagian dari S x T, tetapi ia memenuhi sifat-sifat tertentu.

Definisi :

Himpunan bagian (  ) S x T disebut fungsi dari S ke T dengan notasi f : S  T jhj dipenuhi :

1) untuk semua s  S ada t  T sedemikian sehingga (s,t)  f,

2) apabila (s,t1 ) dan (s , t2 ) keduanya dalam f, maka t1 = t2 . 4.3 Bayangan dan Bayangan Invers

Misalkan f : S  T . Apabila A  S maka dengan f(A) dimaksud himpunan semua bayangan, atau nlai fungsi (images) darianggota-anggota himpunan A (lihat gambar 1 diatas).

fA = {fs T / s  A} = { t / (s  A) fs = t }

Dengan bayangan invers (inverse image) dari unsur t  T dimaksud himpunan semua s

 S yang bayangannya adalah t, yaitu himpunan semua s sedemikian sehingga fs = t f ^-1 t = { s / fs = t }.

Perhatikan bahwa pada umumnya f ^{- 1} merupakan suatu himpunan, sehingga f ^{- 1} pada umumnya bukan fungsi dari T ke S.

Apabila M  T maka dengan f ^-1 dimaksud himpunan semua bayangan-bayangan invers dari anggota-anggota M. Jadi bayangan invers untuk M adalah

f- f ^-1 M = { s / fs  M}

Langsung dari definisi dengan langkah logika yang sederhana diperoleh Rumus :

A  B  f(A)  f(B) M  N  f ^-1 (M)  f ^-1 (N).

Selanjutnya apabila a  A maka mungkin ada b  A sedemikian sehingga fb = fa ( lihat gambar 3 di bawah ini). Demikian juga jika M  T maka mungkin ada anggota-anggota M yang tidak mempunyai kawan di S ( lihat gambar 4 di bawah ini )

Rumus-rumus yang lain : A  f ^-1 f(A) f (f ^-1 (M)) = M f ^-1 f f ^-1 (M) = f ^-1 (M)

Dalam rumus-rumus diatas f ^-1 f (A) diartikan bayangan invers dari bayangan A.

Selanjutnya apabila A maupun B merupakan himpunan bagian dari S, sedemikian f : S

 T maka berlaku rumus-rumus : Rumus :

f(A  B) = f(A)  f(B) f(A  B)  f(A)  f(B)

Kita buktikan rumus f(A  B) = f (A)  (B).

Bukti:

Karena A  (A  B) maka f(A)  f(A  B) B  (A  B) maka f(B)  f(A  B) dari keduanya maka didapat :

f(A)  f(B)  f(A  B) . …………(1)

Sebaliknya akan dibuktikan bahwa f(A  B)  f(A)  f(B).

Kita ambil sembarang anggota x  f(A  B) maka ada y  (A B), sedemikian sehingga f(y) = x.

Karena y  (A  B) maka y  A atau y  B, sehingga f(y)  f(A) atau f(y)  f(B).

Kalau digabung menjadi f(y)  f(A)  f(B).

Dari f(y) =x sehingga x  f(A)  f(B).

Kesimpulannya setiap x  f (A  B) dan x  f(A)  f(B) sehingga f(A  B )  f(A)  f(B) ………(2)

Jadi dari (1) dan (2) terbukti bahwa f(A  B) = f(A)  f(B).

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan rumus f (A  B)  f(A)  f(B). Akan tetapi berlainan dengan rumus sebelumnya, tanda kesamaan tidak harus berlaku.

Diagram venn dibawah ini memperlihatkan bahwa relasi himpunan bagian murni dapat terjadi, sebab A  B = .

Dapat ditunjukkan f(A  B) =  juga. Padahal f(A)  f(B)  .

Maka f(A  B)  f(A)  f(B) dengan f(A  B)  f(A)  f(B).

Selanjutnya apabila M maupun N merupakan himpunan-himpunan bagian dari T, sedangkan f : S  T maka berlakulah rumus-rumus dibawah ini :

f ^-1 (M  N) = f ^-1(M)  f ^-1(N) f ^-1 (M  N) = f ^-1 (M)  f ^-1(N) f ^-1(M - N) = f ^-1(M) - f ^-1(N) f ^-1(M^c ) = (f ^-1M )^c

Bukti rumus yang pertama : f ^-1(M  N) = f ^-1(M)  f ^-1(N) adalah

f ^-1(M) = { s  S / f(s)  M} , dimana f(s)  M syarat keanggotaannya f ^-1(M).

Juga f ^-1(N) = { s  S / f(s)  N } dimana f(s)  N syarat keanggotaan f ^-1(N).

Sehingga f ^-1(M)  f ^-1(N) = { s  S / f(s)  M v f(s)  N}

= { s  S / f(s)  (M  N )} dimana f(s)  (M  N) syarat keanggotaan f ^-1( M  N)

= f ^-1(M  N).

Maka terbukti : f ^-1(M)  f ^-1(N) = f ^-1(M  N)

Rumus kedua dan ketiga dibuktikan dengan tehnik pembuktian yang sama . Sekarang kita buktikan rumus keempat.

Bukti rumus f (M ) = (f M) f ^-1 (M) = { s  S / f(s)  M }

(f ^-1(M))^c = { s  S / f(s)  M}

= { s  S / f(s)  M^c } Jadi terbukti (f ^-1 (M))^c = f ^-1(M^c )