ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012)Hendra Gunawan∗
∗Dosen FMIPA - ITB
E-mail: [email protected].
6.1 Ruang Vektor Rn 6.2 Teorema Limit
6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak Hingga
Bila sebelumnya kita mempelajari limit barisan, maka pada bab ini kita akan mempelajari limit fungsi, dan fungsi yang akan dibahas adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan bagian dariRatau Rn dengan nilai di Ratau Rn.
Ruang Euclid
R
nRn adalah ruang vektor x= (x1, . . . ,xn), dengan x1, . . . ,xn∈R, yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar:
x+y:= (x1+y1, . . . ,xn+yn), αx:= (αx1, . . . , αxn),
serta norma dan hasil kali titik:
kxk:=
q
x12+· · ·+x2
Barisan xk di R dikatakan konvergen kex R apabila untuk setiap >0 terdapat N∈N sedemikian sehingga kxk −xk<
untukk ≥N. Dalam hal ini kita tuliskan lim
k→∞xk =x. Proposisi 0. Barisan hxki konvergen kex jika dan hanya jika
barisanhxkii konvergen ke xi untuk tiap i = 1, . . . ,n.
Sebagai akibatnya, teorema limit barisan untuk penjumlahan dan perkalian dengan skalar (seperti pada Proposisi 5 di Bab 3) berlaku pula untuk barisan diRn.
Misalkan >0. Lingkungan-dari suatu titikx∈Rn adalah bola
bukaB(x, ) :={y∈Rn : kx−yk< } yang berpusat dix dan
berjari-jari. (DiR,B(x, ) merupakan interval buka, sementara di R2 merupakan cakram lingkaran buka.)
JikaD ⊆Rn, maka x disebuttitik akumulasidari D apabila setiap
lingkungan-dari xmemuat tak terhingga banyak anggota D. Catat bahwa titik akumulasi dariD tidak harus merupakan anggotaD, dan sebaliknya anggota D pun tidak harus merupakan titik akumulasi dariD.
Misalkanf :D →Rdanx0 titik akumulasi dariD. Maka, f
dikatakan mempunyailimit L di x0 dan kita tuliskan
lim
x→x0
f(x) =L,
apabila untuk setiap >0 terdapatδ >0 sedemikian sehingga 0<kx−x0k< δdan x∈D ⇒ |f(x)−L|< .
Di sinix0 tidak harus merupakan anggota D, dan dalam hal
Proposisi 1 (Ketunggalan Limit)
Jika f :D →Rmempunyai limit di x0, maka limitnya tunggal.
Bukti. Andaikanf mempunyai limitL1 danL2 dix0. Maka, untuk
setiap >0, terdapatδ >0 sedemikian sehingga
|f(x)−L1|< /2 dan |f(x)−L2|< /2
untuk 0<kx−x0k< δdanx∈D. Akibatnya, untukxtersebut,
|L1−L2| ≤ |L1−f(x)|+|f(x)−L2|< .
Karena ini berlaku untuk >0 sembarang, maka kita simpulkan bahwaL1 =L2.
(a) Misalkanf :R→R denganf(t) = 2t. Maka, untuk sembarangt0 ∈R, kita mempunyai
lim
t→t0
f(t) = 2t0.
Di sini, untuk setiap >0, pilihδ=/2.
(b) Misalkanf(t) =t2, t∈R. Maka, untuk sembarangt0∈R, kita mempunyai
lim
t→t0
f(t) =t02.
Di sini, untuk setiap >0, pilihδ= min
n
1,1+2|t
0|
o
Contoh 3
Misalkanf =χQ menyatakan fungsi karakteristikQ, yang bernilai 1 padaQdan bernilai 0 pada R\Q. Maka,f tidak mempunyai limit di titik manapun.
(a) Misalkanf(t) = sin(1/t), t 6= 0. Maka,f tidak mempunyai limit di 0.
(b) Misalkang(t) =tsin(1/t), t6= 0. Maka, lim
t→0g(t) = 0,
karena|tsin(1/t)| ≤ |t|untuk setiap t 6= 0. Di sini, diberikan >0, pilihδ =.
Contoh 5
Misalkanf(x1,x2) =x1x2, (x1,x2)∈R2. Maka, lim (x1,x2)→(0,0) f(x1,x2) = 0. Perhatikan bahwa |f(x1,x2)−0|=|x1x2| ≤ kxk2,Misalkanf(x1,x2) = x2 1−x22 x2 1+x22 , (x1,x2)6= (0,0). Maka, f tidak mempunyai limit di (0,0).
Sepanjang garisx2=mx1, fungsi f bernilai 11+−mm22, yang bergantung pada nilaim. (Bila m= 0, maka f = 1; namun bilam= 1, maka
Soal Latihan
1 Buktikan Proposisi 0.
2 Buktikan bahwa xmerupakan titik akumulasi dariD jika dan hanya jika setiap lingkungan-dari x memuat suatu anggota
D yang tidak sama denganx.
3 Tentukan semua titik akumulasi dari (a) Zdan (b) Q. 4 Diketahui D={1
n : n ∈N}. Tentukan semua titik akumulasi
dari D.
5 Diketahui f(t) =
√
t, t ≥0. Buktikan bahwa, untuk sembarangt0 >0, lim
t→t0
f(t) =√t0.
6 Tentukan limit darif(x1,x2) = x1+x2
Misal f :D →Rdanx0 titik akumulasi dari D. Maka,
lim
x→x0
f(x) =L jika dan hanya jika untuk setiap barisanhxki di
D\ {x0} dengan lim
Bukti. Misalkan lim
x→x0
f(x) =L dan lim
k→∞xk =x0, dengan xk ∈D\ {x0}untuk tiap k∈N. Diberikan >0, pilihδ >0 sedemikian sehingga|f(x)−L|< untukx∈D dengan
0<kx−x0k< δ. Terdapat pula N∈Nsedemikian sehingga
kxk−x0k< δuntuk k ≥N. Akibatnya, untukk ≥N, berlaku
|f(xk)−L|< . Ini menunjukkan bahwa lim
k→∞f(xk) =L. Sebaliknya, misalkan lim
x→x0
f(x)6=L. Maka, terdapat >0 sedemikian sehingga untuk setiapk ∈Nterdapat xk ∈D dengan
0<kxk−x0k< k1 dan |f(xk)−L| ≥. Akibatnya lim
k→∞xk =x0 sementarahf(xk)i tidak konvergen keL.
Misal f :D →Rdanx0 titik akumulasi dari D. Maka, lim x→x0
f(x)
ada jika dan hanya jika untuk setiap barisanhxkidi D\ {x0} dengan lim
k→∞xk =x0 nilaiklim→∞f(xk)ada.
Bukti. Berdasarkan Proposisi 7, bagian ”hanya jika” jelas berlaku. Untuk bagian ”jika”, misalkan lim
k→∞xk =x0 dan limk→∞yk =x0 denganxk,yk ∈D\ {x0}, dan misalkan lim
k→∞f(xk) =L1 dan lim
k→∞f(yk) =L2. Definisikan barisan hzki denganz2k =xk dan
z2k+1 =yk. Maka lim
k→∞zk =x0, sehingga limk→∞f(zk) ada. Dalam hal iniL1=L2, dan menurut Proposisi 7 mestilah lim
x→x0
f(x) =L
Teorema 9
Jika lim x→x0 f(x) =L dan lim x→x0 g(x) =M, maka (i) lim x→x0 [f(x) +g(x)] =L+M. (ii) lim x→x0 αf(x) =αLuntukα∈R. (iii) lim x→x0 f(x)g(x) =LM (iv) lim x→x0 f(x) g(x) = L M asalkan M 6= 0.Teorema 9 merupakan akibat langsung dari Proposisi 7 dan teorema limit barisan.
Misalkan lim
x→x0
f(x) =L. Maka, terdapat M >0dan suatu lingkungan-δ dari x0 sedemikian sehingga |f(x)| ≤M untuk tiap
x∈B(x0, δ)∩D.
Bukti. Terdapatδ >0 sedemikian sehingga|f(x)−L|<1 untuk x∈D dengan 0<kx−x0k< δ. Selanjutnya, jika x0∈/ D, pilih M =|L|+ 1; dan jikax0∈D, pilih
M =maks{|f(x0)|,|L|+ 1}.
Catatan. Proposisi 10 mengatakan bahwa fungsi yang mempunyai limit di suatu titik bersifatterbatas secara lokal di sekitar titik tersebut. Fungsif dikatakan terbatas pada himpunanH apabila
Proposisi 11
Misalkan lim
x→x0
f(x) =L6= 0. Maka, terdapat m>0 dan suatu lingkungan-δ dari x0 sedemikian sehingga |f(x)| ≥m untuk tiap
x∈B(x0, δ)∩D\ {x0}.
Bukti. Terdapatδ >0 sedemikian sehingga|f(x)−L|< |L2| untuk x∈D dengan 0<kx−x0k< δ. Untukx tersebut, berlaku
Karena kita mempunyai definisi jarak diR , maka definisi limit fungsi di suatu titik dapat diperumum untuk fungsi yang bernilai vektor diRm.
Misalkanx0 adalah suatu titik akumulasi dariD ⊆Rn dan f = (f1, . . . ,fm) :D →Rm. Maka kita definisikan
lim
x→x0
f(x) =L∈Rm
jika dan hanya jika
lim
x→x0
Proposisi 12
lim
x→x0
f(x) =Ljika dan hanya jika lim
x→x0
fi(x) =Li untuk
i = 1, . . . ,m.
Sebagai akibat dari Proposisi 12, teorema limit untuk penjumlahan dan perkalian dengan skalar berlaku untuk fungsi bernilai vektor (namun tidak untuk perkalian dan pembagian karena kedua operasi ini tidak terdefinisi untuk fungsi bernilai vektor).
Jika lim x→x0 f(x) =Ldan lim x→x0 g(x) =M, maka lim x→x0 f(x)·g(x) =L·M.
Soal Latihan
1 Buktikan Teorema 9 bagian (iii) dan (iv) dengan menggunakan Proposisi 10 dan 11.
2 Buktikan Proposisi 12. 3 Buktikan Proposisi 13.
MisalD ⊆Rdan f = (f1, . . . ,fm) :D →R . Misal x0 titik akumulasi dariD∩(x0,∞) danf0 adalah pembatasan f pada D∩(x0,∞), yang didefinisikan sebagai
f0(x) :=f(x), x∈D∩(x0,∞).
Maka,f dikatakan mempunyai limit kanan di x0 apabila f0
mempunyai limit dix0. Dalam hal ini kita tuliskan
lim x→x+ 0 f(x) = lim x→x0 f0(x) =R atau f(x)→Rbila x →x0+.
Dengan cara serupa,limit kiridi x0 didefinisikan bila x0 merupakan
titik akumulasi dariD∩(−∞,x0). Dalam hal ini kita tuliskan lim
x→x0−
f(x) =L
atau
f(x)→L, bila x →x0−.
Karena limit kanan dan limit kiri merupakan kasus khusus dari limit fungsi di suatu titik, proposisi dan teorema limit untuk penjumlahan, perkalian dengan skalar, dll, berlaku pula untuk limit sepihak.
MisalI adalah suatu interval diR. Fungsi f :I →Rdikatakan
naik[naik murni] padaI apabila untuk x,y ∈I denganx <y
berlakuf(x)≤f(y) [f(x)<f(y)]. Fungsi f dikatakan turun
[turun murni] apabila −f naik [naik murni]. Proposisi 14
Misal a<x0<b dan I = (a,b). Jika f :I →R monoton pada I ,
Bukti. Akan dibuktikan jikaf naik pada I, maka f mempunyai limit kanan dix0. MisalR = inf{f(x) : x0<x, x ∈I}. Ambil
>0. Maka, terdapatx1 ∈I, x0 <x1, sedemikian sehingga
f(x1)<R+. Pilih δ=x1−x0. Akibatnya, jika 0<x−x0< δ,
maka
R≤f(x)≤f(x1)<R+.
Ini menunjukkan bahwa lim
x→x0+
f(x) =R.
Bukti untuk limit kiri serupa. Demikian pula bukti untuk kasusf
limit di tak hingga sebagai berikut.
Misalf = (f1, . . . ,fm) : [a,∞)→Rm, untuk suatua∈R. Maka,f dikatakan mempunyai limitL∈Rm di ∞ apabila untuk setiap
>0 terdapatM ≥asedemikian sehingga
kf(x)−Lk< untukx ≥M.
Dalam hal ini kita tuliskan lim
x→∞f(x) =L atau
Limit di−∞ didefinisikan secara serupa. Secara intuitif,f mempunyai limitLdi∞ (atau di −∞) apabila nilai fungsi f(x) mendekatiLuntukx yang cukup besar (atau untuk −x yang cukup besar).
Proposisi 15
Misal f : [a,∞)→Rmonoton. Maka, lim
x→∞f(x) ada jika dan
hanya jika f terbatas pada[a,∞). Dalam hal f naik,
lim
x→∞f(x) =sup{f(x) : x≥a};
dan dalam hal f turun,
lim
M ≥asedemikian sehingga untuk x ≥M berlaku |f(x)−L|<1. Akibatnyaf(a)≤f(x)≤L+ 1 untuk setiap x ≥a.
Sebaliknya, misalkanf terbatas di atas pada [a,∞). Dalam hal ini, misalkan sup{f(x) : x≥a}=A. Diberikan >0, kita dapat memilihM ≥asedemikian sehingga f(M)>A−. Akibatnya, untukx ≥M, kita mempunyai
A≥f(x)≥f(M)>A−.
Ini menunjukkan bahwa lim
MisalD ⊆Rn,x
0 titik akumulasi dariD, dan f :D→R. Kita tuliskan
lim
x→x0
f(x) =∞
apabila untuk setiapM ∈Rterdapat δ >0 sedemikian sehingga untuk setiapx∈D dengan 0<kx−x0k< δberlaku
f(x)≥M.
Misal lim
x→x0
f(x) =∞. Misal g :D →R terbatas di bawah. Maka,
lim
x→x0
Soal Latihan
1 Buktikan Proposisi 14 untuk limit kiri dan untuk kasus f turun.
2 Buktikan Proposisi 15 untuk kasusf turun.
3 Misalkan f : (a,b)→R naik dan terbatas. Buktikan bahwa lim
x→a+f(x) dan limx→b−f(x) ada.
4 Buktikan bahwa lim
x→x0
f(x) =∞ jika dan hanya jika untuk setiap barisan hxki di D\ {x0} dengan lim
k→∞xk =x0 berlaku lim
