MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2021/2022. Hendra Gunawan

(1)

MA5031 Analisis Real Lanjut

Semester I, Tahun 2021/2022

Hendra Gunawan

(2)

Reviu Materi Kuliah

1.1-1.4 Logika Kuantor, Himpunan Tak Terhingga, Bukti dan Pembuktian, Sistem Bilangan Rasional 2.1 Barisan Cauchy dan Bilangan Real

2.2 Sistem Bilangan Real sebagai Lapangan Terurut

2.3 Sifat Kelengkapan Bilangan Real

2.4 Bilangan Real Versi Lainnya

(3)

Reviu Materi Kuliah

3.1 Teori Limit

3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3 Himpunan Kompak

4.1 Konsep Kekontinuan

4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu

4.3 Beberapa Catatan tentang Fungsi Kontinu

(c) Hendra Gunawan (2015) 3

(4)

Reviu Materi Kuliah

5.1 Konsep Turunan 5.2 Sifat-Sifat Turunan 5.3 Kalkulus Turunan

5.4 Turunan ke-n dan Teorema Taylor

(5)

Reviu Materi Kuliah

6.1 Integral Fungsi Kontinu, Sifat-Sifat Integral, dan Teorema Dasar Kalkulus

6.2 Integral Riemann – Bagian I

(6)

SOAL LATIHAN BAB 1

1. Konstruksi suatu korespondensi 1-1 antara himpunan (semua) bilangan bulat Z dan

himpunan (semua) bilangan asli N. (Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa Z terhitung).

2. Buktikan bahwa 2

^N

tak terhitung. (Petunjuk.

Andaikan 2

^N

terhitung, lalu perlihatkan suatu kontradiksi.)

3. Buktikan tidak ada bilangan rasional r yang

memenuhi persamaan r

²

= 2.

(7)

SOAL LATIHAN BAB 2.1

1. Buktikan bahwa barisan bilangan N.a

₁

, N.a

₁

a

₂

, N.a

₁

a

₂

a

₃

, … merupakan barisan Cauchy. [Barisan ini merepresentasikan bilangan desimal

N.a

₁

a

₂

a

₃

a

₄

… .]

2. Buktikan bahwa barisan 0.9, 0.99, 0.999, … ekuivalen dengan barisan 1, 1, 1, … .

3. Bilangan real apakah yang direpresentasikan oleh barisan Cauchy yang suku-sukunya me- rupakan bilangan bulat?

4. Buktikan bahwa terdapat tak terhitung barisan bilangan rasional Cauchy yang ekuivalen dengan sebuah barisan bilangan rasional Cauchy (x

_k

)

yang diberikan.

7 (c) Hendra Gunawan (2015)

(8)

(9)

SOAL LATIHAN BAB 2.2

1. Buktikan jika (x

_k

) adalah barisan Cauchy yang mewakili bilangan real x, maka (|x

_k

|) adalah barisan Cauchy yang mewakili |x|.

2. Berikan contoh bilangan real x dan y, beserta barisan (x

_k

) dan (y

_k

) yang mewakilinya, yang memenuhi x ≤ y tetapi tidak terdapat m se- demikian sehingga x

_k

≤ y

_k

untuk setiap k ≥ m.

3. Buktikan bahwa himpunan semua bilangan real tak terhitung, dan mempunyai kardinalitas yang sama dengan 2

^N

.

4. Buktikan jika x adalah bilangan real, maka

terdapat barisan Cauchy (x

_k

) yang mewakili x sedemikian sehingga x

_k

< x untuk setiap k.

(10)

(11)

SOAL LATIHAN BAB 2.3

1. Buktikan jika lim x

_k

= x dan lim y

_k

= y, maka lim (x

_k

+ y

_k

) = x + y dan lim (x

_k

y

_k

) = xy.

2. Buktikan bahwa setiap bilangan real mempunyai tepat sebuah akar kubik.

3. Misalkan (x

_k

) adalah barisan bilangan real

dengan |x

_k

| ≤ 1/2

^k

untuk setiap k. Definisikan y

_n

:= x

₁

+ x

₂

+ … + x

_n

untuk setiap n. Buktikan bahwa (y

_n

) konvergen.

4. Buktikan jika lim x

_k

= x dan x

_k

≥ 0 untuk setiap k, maka lim √x

_k

= √x.

(12)

SOAL LATIHAN BAB 3.1

1. Tentukan sup, inf, limsup, liminf, dan semua titik limit dari barisan berikut:

a. ((-1)^k) b. ((-1)^k/k)

2. Diketahui barisan (x

_k

) terbatas dan suku-sukunya dapat dituliskan sebagai x

_k

= y

_k

+ z

_k

dengan (y

_k

) monoton naik dan (z

_k

) monoton turun. Apakah (x

_k

) konvergen? Bagaimana jika (y

_k

) dan (z

_k

)

terbatas?

3. Konstruksi sebuah barisan yang titik-titik limit- nya persis sama dengan himpunan semua

bilangan bulat.

4. Apakah ada barisan yang titik-titik limitnya

(13)

(14)

SOAL LATIHAN BAB 3.2

1. Diketahui himpunan A buka. Buktikan jika

sejumlah terhingga anggota A dikeluarkan dari A, maka himpunan sisanya tetap buka.

2. Misalkan (x

_k

) adalah suatu barisan dan A = {x

_k

: k ϵ N}. Buktikan bahwa titik limit dari A merupakan titik limit dari barisan (x

_k

).

3. Buktikan bahwa setiap himpunan tak terhingga mempunyai himpunan bagian terhitung yang padat.

4. Berikan contoh sebuah himpunan A yang tidak

tutup tetapi setiap anggota A merupakan titik

limit dari A.

(15)

(16)

SOAL LATIHAN BAB 3.3

1. Buktikan bahwa irisan dan gabungan sejumlah terhingga himpunan kompak tetap merupakan himpunan kompak.

2. Jika O = {S₁, …, S_n} adalah cover buka untuk suatu himpunan kompak A, mungkinkah S₁ ∪ … ∪ S_n = A?

3. Jika A ⊆ S₁ ∪ S₂ dengan S₁ dan S₂ saling lepas dan A kompak, buktikan bahwa A ∩ S₁ kompak. Apakah hal ini masih berlaku apabila S₁ dan S₂ tidak saling lepas?

4. Untuk himpunan kompak manakah anda dapat

menentukan suatu batas atas banyaknya himpunan

(17)

SOAL LATIHAN BAB 4.1

1. Buktikan bahwa f(x) = x² kontinu di setiap x₀ dengan x₀ > 0, dengan:

a. Menggunakan definisi.

b. Menggunakan teorema.

2. Diketahui f(x) = x, dengan x ϵ A := {1/n : n ϵ N}.

a. Berikan alasan mengapa f kontinu di setiap titik (pada domainnya).

b. Tentukan limit f di 0, apabila ada.

3. Misal f : A → B dgn A tutup. Buktikan f kontinu pada A jika dan hanya jika prapeta sembarang himpunan tutup merupakan himpunan tutup.

4. Berikan contoh sebuah fungsi kontinu pada R dengan prapeta suatu himpunan kompak yang tidak kompak.

(18)

SOAL LATIHAN 4.2

1. Diketahui f : (0,1) ∪ (1,2) → R dgn f(x) = 1 untuk x ϵ (0,1) dan f(x) = 2 untuk x ϵ (1,2). Buktikan bahwa f kontinu, tetapi tidak kontinu seragam.

2. Jika domain dari sebuah fungsi kontinu merupakan suatu interval, buktikan bahwa peta fungsi tsb

merupakan interval. Berikan contoh yang petanya merupakan interval buka.

3. Jika range dari sebuah fungsi kontinu pada suatu interval merupakan himpunan terhingga, buktikan bahwa fungsi tsb mestilah konstan.

4. Misalkan f monoton pada suatu interval. Buktikan jika petanya merupakan interval, maka f kontinu.

(19)

SOAL LATIHAN 4.3

1. Berdasarkan teorema, f(x) = 𝑥 kontinu seragam pada [0, 1] karena domain f, yaitu interval [0, 1], merupakan himpunan kompak. Buktikan bahwa f(x) = 𝑥 kontinu seragam pada [0, 1] dengan menggunakan definisi.

2. Buktikan bahwa f(x) = 𝑥 kontinu seragam pada [0, ∞).

3. Definisikan fungsi f : [0, 1] → R dengan rumus f(x)

=

¹

𝑛

untuk x =

^𝑚

𝑛

dengan FPB(m,n) = 1, dan f(x) = 0 untuk x irasional. Buktikan bahwa f kontinu

kecuali di setiap bilangan rasional.

(20)

SOAL LATIHAN 5.1

1. Buktikan jika f(x) = O(|x- x

₀

|

²

) untuk x → x

₀

, maka f(x) = o(|x – x

₀

|) untuk x → x

₀

.

2. Untuk bilangan asli m dan n berapakah fungsi

mempunyai turunan yang kontinu di setiap titik x

₀

ϵ R?

3. Berikan sebuah contoh fungsi yang hanya

sin

1

, 0, ( )

0, 0.

n

m

x

f x

x

 

=  

 =

(21)

SOAL LATIHAN 5.2

1. Misalkan f dan g kontinu pada [a,b] dan ter-

diferensialkan di setiap titik interiornya, dengan g(a) ≠ g(b). Buktikan bahwa terdapat x

₀

ϵ (a,b) sedemikian shg

[Petunjuk. Terapkan Teorema Nilai Rata-Rata terhadap {f(b)-f(a)}g(x) – {g(b)-g(a)}f(x).]

2. Jika f memenuhi ketaksamaan

|f(x) – f(y)| ≤ M|x – y|

^a

untuk setiap x, y dan suatu konstan M dan a > 1, buktikan bahwa f konstan.

0 0

'( ) ( ) ( )

( ) ( ) '( ) . f x f b f a

g b g a g x

− =

−

(22)

SOAL LATIHAN 5.3

1. Buktikan jika f kontinu dan merupakan fungsi satu-ke-satu pada (a,b), maka atau f naik

murni atau f turun murni pada (a,b).

2. Buktikan jika f terdiferensialkan pada (a,b) dan f’(x) ≠ 0 untuk setiap x ϵ (a,b), maka atau f’(x) > 0 atau f’(x) < 0 untuk setiap x ϵ (a,b).

3. Buktikan bahwa polinom berderajat genap (bukan nol) mempunyai nilai maksimum

global atau nilai minimum global, tetapi tidak

(23)

SOAL LATIHAN 5.4

1. Misalkan f fungsi C² pada interval (a,b) dan grafik f terletak di atas setiap ruas garis yang memotongnya di dua titik berbeda. Buktikan bahwa f’’(x) ≤ 0 untuk setiap x ϵ (a,b).

2. Buktikan jika f fungsi C² pada suatu interval buka dan x ϵ I, maka

Berikan contoh fungsi f yang tidak mempunyai turunan kedua tetapi limit di atas ada.

3. Misalkan f fungsi C^k pada interval I dan T_k(x₀,x) = f(x) untuk setiap x ϵ I. Apa yang dapat anda simpulkan tentang f?

0 2

( ) 2 ( ) ( )

lim ''( ).

h

f x h f x f x h

f x

→ h

+ − + −

=

(24)

SOAL LATIHAN 6.1A

Untuk kedua soal di bawah ini, f adalah fungsi

kontinu pada [a,b] dan P adalah partisi dari [a,b].

1. Buktikan jika P

₁

adalah perhalusan dari P, maka S

⁺

(f,P

₁

) ≤ S

⁺

(f,P) dan S

^-

(f,P

₁

) ≥ S

^-

(f,P).

2. Buktikan bahwa inf S

⁺

(f,P) = sup S

^-

(f,P), bila

keduanya dihitung terhadap semua partisi P.

(25)

SOAL LATIHAN 6.1B

Misalkan f kontinu pada [a,b].

1. Buktikan jika f(x) ≤ g(x) pada [a,b], maka…

2. Buktikan bahwa

3. Buktikan Teorema Dasar Kalkulus II dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus I.



^ ^b

a b

a

dx x

f dx

x

f ( ) ( ) .



^b ^



a

b

a

dx x

g dx

x

f ( ) ( ) .

(26)

SOAL LATIHAN 6.1C

1. Buktikan jika f kontinu pada [a,b], maka ter- dapat c ϵ (a,b) sedemikian sehingga

2. Diketahui f(x) = 1/x, dan kita ingin menaksir nilai integral f pada [1,2] dengan mengguna- kan jumlah Cauchy. Jika kita memilih a

_k

sembarang, seberapa halus partisinya untuk mendapatkan kesalahan maksimum 10

^-4

? Bagaimana bila kita memilih a

_k

= titik tengah

−



= ^b

a

dx x

a f c b

f 1 ( ) .

) (

(27)