MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut

Semester I, Tahun 2015/2016

2.2 Sistem Bilangan Real

sebagai Lapangan Terurut

Operasi Aritmetika. Sifat-sifat dasar urutan dan aritmetika dari Sistem Bilangan Rasional dapat diperluas ke Sistem Bilangan Real secara “suku demi suku” pada barisan Cauchy.

Catatan. Di sini, frasa “barisan Cauchy” berarti barisan bilangan rasional Cauchy, kecuali nanti ketika Sistem Bilangan Real telah selesai

Lemma

(a) Jika (x_k) dan (y_k) adalah barisan Cauchy, maka (x_k + y_k) juga merupakan barisan Cauchy.

(b) Sebagai tambahan, jika (x_k’) dan (y_k’) adalah barisan Cauchy yang ekuivalen dengan (x_k) dan (y_k) berturut-turut, maka (x_k’ + y_k’)

ekuivalen dengan (x_k + y_k).

Catatan. Bukti bagian (b) mirip dengan bukti bagian (a). [Dijelaskan di papan tulis.]

Operasi Penjumlahan

Definisi. Misalkan (x_k) dan (y_k) adalah barisan

Cauchy yang mewakili bilangan real x dan y. Kita definisikan x + y sebagai kelas ekuivalen yang

memuat barisan (x_k + y_k).

Catatan. Lemma bagian (b) tadi menjamin bhw definisi x + y tidak bergantung pada pemilihan barisan Cauchy yang mewakili x dan y.

Untuk mendefinisikan perkalian, kita memerlu-kan lemma berikut.

Lemma. Setiap barisan Cauchy (x_k) terbatas, yakni terdapat bilangan asli M sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli k berlaku |x_k| ≤ M.

Ide Pembuktian. Bilangan M dapat diperoleh sebagai bilangan asli yang lebih besar daripada |x₁|, …, |x_m-1|, dan |x_m| + 1, untuk suatu m

yang ‘menangkap’ ekor barisan (x_k) dengan ‘jala’ yang lebarnya 1.

Lemma

(a) Jika (x_k) dan (y_k) adalah barisan Cauchy, maka (x_ky_k) juga merupakan barisan Cauchy.

(b) Sebagai tambahan, jika (x_k’) dan (y_k’) adalah barisan Cauchy yang ekuivalen dengan (x_k) dan (y_k) berturut-turut, maka (x_k’y_k’) ekui-valen dengan (x_ky_k).

Definisi. Misalkan (x_k) dan (y_k) adalah barisan Cauchy yang mewakili bilangan real x dan y.

Kita definisikan xy sebagai kelas ekuivalen yang memuat barisan (x_ky_k).

Lapangan

Himpunan F dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (∙) yang didefinisikan padanya disebut lapangan apabila

(a) (F,+) membentuk grup komutatif dengan unsur identitas 0.

(b) (F,∙) membentuk grup komutatif dengan unsur identitas 1 ≠ 0.

(c) Untuk setiap x, y, dan z di F berlaku x∙(y + z) = xy + xz (hukum distributif).

Sifat Lapangan

Teorema. Sistem Bilangan Real membentuk suatu lapangan.

Ide Pembuktian

a. Unsur identitas penjumlahannya adalah kelas ekuivalen 0 yang memuat barisan (0), dan unsur identitas perkaliannya adalah kelas ekuivalen 1 yang memuat barisan (1).

b. Jika x ≠ 0 diwakili oleh barisan Cauchy (x_k), maka x mempunyai kebalikan, yaitu x-1_{, yang diwakili}

oleh barisan Cauchy (x_k-1_{) dengan (x}

Lemma. Misalkan x adalah bilangan real yang tidak sama dengan 0. Maka terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga untuk setiap barisan Cauchy (x_k) yang mewakili x terdapat m sedemi-kian sehingga |x_k| ≥ 1/N untuk setiap k ≥ m.

Catatan. Bilangan m bergantung pada barisan Cauchy (x_k), tetapi N tidak!

Lemma berikut merupakan bagian dari bukti teorema di atas berkenaan dengan eksistensi unsur kebalikan x-1_.

Urutan (1)

Jika r adalah bilangan rasional, maka hanya satu di antara tiga kemungkinan berikut berlaku:

atau r > 0 (positif), atau r < 0 (negatif), atau r = 0.

Sehubungan dengan itu, jika r dan s bilangan rasional, maka:

atau r – s > 0, atau r – s < 0, atau r – s = 0; yang setara dengan:

atau r > s, atau r < s, atau r = s.

Himpunan bilangan rasional positif tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian.

Urutan (2)

Sekarang kita ingin mendefinisikan hal serupa untuk bilangan real. Bila (x_k) adalah barisan Cauchy yang mewakili bilangan real x > 0, apakah kita harus mempunyai x_k > 0 untuk setiap k? Jawabannya tidak harus!

Apakah mesti terdapat m sedemikian sehingga x_k > 0 untuk setiap k ≥ m? Jawabannya tidak

juga! Sebagai contoh, 1/k > 0 untuk setiap k ≥ 1, tetapi (1/k) tidak mewakili bilangan positif.

Definisi. Bilangan real x dikatakan positif, ditulis

x > 0, apabila terdapat bilangan asli N

sedemi-kian sehingga untuk setiap barisan Cauchy (x_k) yang mewakili x terdapat m sedemikian

se-hingga x_k ≥ 1/N untuk setiap k ≥ m.

Bilangan real x dikatakan negatif, ditulis x < 0, apabila –x > 0.

Catatan. Definisi di atas konsisten dengan

urutan pada bilangan rasional, karena bilangan rasional memenuhi Sifat Archimedes: untuk

setiap bilangan rasional r > 0 terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga r ≥ 1/N.

Ilustrasi: Bilangan real positif

. . .

1 2 3 4 m m+1 m+2 m+3

Setelah suku ke-m, titik x_k berada di atas garis merah 1/N

Hukum Trikotomi

Teorema. Jika x adalah bilangan real, maka

hanya satu di antara tiga kemungkinan berikut yang berlaku: atau x > 0, atau x < 0, atau x = 0. Bukti. Bilangan 0 yang dapat diwakili oleh

barisan (0) bukan bilangan positif, juga bukan bilangan negatif. Selanjutnya misalkan x ≠ 0. Akan ditunjukkan: atau x > 0 atau –x > 0.

Bukti (lanjutan). Misalkan (x_k) adalah barisan Cauchy yang mewakili x. Menurut lemma belumnya, terdapat bilangan asli N dan m se-demikian sehingga |x_k| ≥ 1/N utk setiap k ≥ m. Mengingat bahwa (x_k) adalah barisan Cauchy, x_k yang memenuhi |x_k| ≥ 1/N tidak mungkin berubah tanda tak terhingga kali. Karena itu

mestilah x_k ≥ 1/N atau x_k ≤ -1/N untuk setiap k ≥ m*. Jadi x > 0 atau x < 0, tetapi hanya satu di antara keduanya yang berlaku. [QED]

Teorema. Jika x dan y positif, maka x + y dan xy positif.

Bukti. Latihan.

Definisi. Jika x dan y adalah bilangan real, maka kita definisikan x > y apabila x – y > 0. Selanjutnya, x ≥ y berarti x > y atau x = y.

Secara tak langsung kita telah mendefinisikan pula x < y dan x ≤ y.

Definisi (Nilai Mutlak). |x| := x apabila x > 0, |x| := -x apabila x < 0, dan |0| := 0.

Ketaksamaan < pada bilangan rasional tidak selalu dipertahankan pada bilangan real. Sbg contoh, 1/k > 0 untuk setiap k, tetapi (1/k)

merepresentasikan bilangan 0, dan tentu saja kita tidak mempunyai 0 > 0.

Namun, lemma berikut menyatakan bahwa ketaksamaan ≤ terbawa dari bilangan rasional ke bilangan real.

Lemma. Misalkan (x_k) dan (y_k) adalah barisan

Cauchy yang mewakili bilangan real x dan y. Jika terdapat m sedemikian sehingga x_k ≤ y_k untuk setiap k ≥ m, maka x ≤ y.

Bukti. Andaikan x > y, yakni x – y > 0. Maka, per definisi, terdapat bilangan asli N dan m sedemi-kian sehingga x_k – y_k ≥ 1/N untuk setiap k ≥ m, bertentangan dengan hipotesis. [QED]

Ketaksamaan Segitiga

Teorema. |x + y| ≤ |x| + |y| untuk setiap bilangan real x dan y.

Bukti. Terapkan lemma sebelumnya pada

ketaksamaan segitiga |x_k + y_k| ≤ |x_k| + |y_k|, dimana (x_k) dan (y_k) adalah barisan Cauchy yang mewakili x dan y berturut-turut. [QED] Catatan. Jika (x_k) adalah barisan Cauchy yang mewakili x, maka (|x_k|) adalah barisan Cauchy yang mewakili |x|.

Sifat Archimedes

Teorema. Untuk setiap bilangan real x > 0

terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga x ≥ 1/N.

Bukti. Misalkan (x_k) adalah barisan Cauchy yang mewakili x. Berdasarkan lemma ter-dahulu terdapat bilangan asli N dan m

se-demikian sehingga x_k ≥ 1/N utk setiap k ≥ m. Akibatnya, x ≥ 1/N. [QED]

Kepadatan Bilangan Rasional

Teorema. Untuk setiap bilangan real x dan bilangan asli n, terdapat bilangan rasional r sedemikian sehingga |x – r| ≤ 1/n.

Bukti. Misalkan (x_k) adalah barisan Cauchy yang mewakili x. Diberikan n, terdapat m sedemikian |x_k – x_j| ≤ 1/n untuk setiap j, k ≥ m. Pilih r = x_m, sehingga |x_k – r| ≤ 1/n untuk setiap k ≥ m.

Menurut lemma sebelumnya, |x – r| ≤ 1/n. [QED]

Latihan

1. Buktikan jika (x_k) adalah barisan Cauchy yang mewakili bilangan real x, maka (|x_k|) adalah barisan Cauchy yang mewakili |x|.

2. Berikan contoh bilangan real x dan y, beserta barisan (x_k) dan (y_k) yang mewakilinya, yang memenuhi x ≤ y tetapi tidak terdapat m se-demikian sehingga x_k ≤ y_k untuk setiap k ≥ m. 3. Buktikan bahwa Sistem Bilangan Real tak

terhitung, dan mempunyai kardinalitas yang sama dengan 2N_.

4. Buktikan jika x adalah bilangan real, maka

terdapat barisan Cauchy (x_k) yang mewakili x sedemikian sehingga x < x untuk setiap k.