MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut

Semester I, Tahun 2015/2016

Matematika & Analisis Real

Matematika berurusan dengan gagasan, yang

mungkin merupakan abstraksi atau sari dari sesuatu yang terdapat di alam. Sebagai contoh, lingkaran

(yang didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang berjarak sama dari sebuah titik di bidang) merupakan gagasan yang terinspirasi oleh benda-benda bundar seperti koin, roda, dan lain-lain.

Matematikawan kemudian bercengkerama dengan berbagai gagasan tersebut, melakukan pernalaran dan menarik kesimpulan via logika.

Materi Kuliah

1. Pendahuluan

2. Konstruksi Bilangan Real 3. Topologi Bilangan Real 4. Fungsi Kontinu

5. Turunan 6. Integral

7. Barisan dan Deret

8. Ruang Euclid dan Ruang Metrik

Buku Rujukan: Robert S. Strichartz, “The Way of Analysis”, Jones and Bartlett Publishers, 2000 I II Evaluasi: UTS = 40%, UAS = 50%,

1. Pendahuluan

1.1 Logika Kuantor

- Pernyataan berkuantor

- Tabel Kebenaran: Tidak P, P dan Q, P atau Q, P h.j. Q, P j.h.j. Q

1.2 Himpunan Tak Terhingga

- Himpunan terhitung

- Himpunan tak terhitung

1.3 Bukti (dan Pembuktian) 1.4 Sistem Bilangan Rasional

1.1 Logika Kuantor

Banyak kalimat dalam matematika mengandung

kuantor. Sebagai contoh: “Setiap bilangan genap

yang lebih besar daripada 2 dapat dituliskan sebagai jumlah dua bilangan prima.”

Terdapat dua jenis kuantor:

• Kuantor universal:

“untuk setiap”, “untuk semua”, …

Benar atau Salah?

1. Terdapat bilangan asli n sehingga untuk setiap bilangan rasional positif r berlaku r ≤ n.

2. Terdapat bilangan rasional positif r sehingga untuk setiap bilangan asli n berlaku n < r.

3. Untuk setiap bilangan rasional positif r terdapat bilangan asli n sehingga berlaku r ≤ n.

Catatan. Salah satu dari pernyataan di atas merupakan variasi dari Sifat Archimedes.

Benar atau Salah?

1. Terdapat bilangan rasional r sehingga untuk setiap bilangan asli n berlaku

2. Untuk setiap bilangan asli n terdapat bilangan rasional r sehingga berlaku

1 1 1 ... . 1 + + + ≤2 n r 1 1 1 ... . 1 + + + ≤2 n r

Benar atau Salah?

1. Terdapat bilangan rasional r sehingga untuk setiap bilangan asli n berlaku

2. Untuk setiap bilangan asli n terdapat bilangan rasional r sehingga berlaku

2 2 2 1 1 1 ... . 1 + 2 + + n ≤ r 2 2 2 1 1 1 ... . 1 + 2 + + n ≤ r

Kuantor Tersembunyi

Ubahlah kalimat berikut menjadi kalimat berkuantor:

1. Ruas garis selalu mempunyai titik tengah. 2. 2 merupakan satu-satunya bilangan prima

yang genap.

Tabel Kebenaran

P Q Tidak P P dan Q P atau Q P h.j. Q P j.h.j. Q

B B S B B B B

B S S S B S S

S B B S B B S

S S B S S B B

Benar atau Salah?

1. Jika r > 1, maka r2 _{> 1.}

2. Jika r2 _{> 1, maka r > 1.}

3. Terdapat bilangan rasional r < 1 sehingga r2 _{> 1.}

4. Terdapat bilangan rasional r > 1 sehingga r2 _{< 1.}

1.2 Himpunan Tak Terhingga

Himpunan (semua) bilangan asli N = {1, 2, 3, …} merupakan himpunan tak terhingga (dengan

kardinalitas ℵ₀).

Himpunan A dikatakan terhitung (atau

terbilang) apabila terdapat korespondensi 1-1

antara A dan N.

Jika terdapat pemetaan dari N pada himpunan

B, maka B mesti merupakan himpunan terhitung

Latihan

Konstruksi suatu korespondensi 1-1 antara himpunan (semua) bilangan bulat Z dan

himpunan (semua) bilangan asli N. (Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa

Himpunan Terhitung

• Irisan dua himpunan terhitung dapat

merupakan himpunan terhingga, termasuk himpunan kosong.

• Jika A dan B terhitung, maka A U B terhitung.

Bahkan, jika A₁, A₂, A₃, … terhitung, maka terhitung. 1 k k A ∞ = 

Paradoks Hotel Hilbert

Hilbert mempunyai sebuah hotel yang memiliki kamar sebanyak ℵ₀. Pada suatu malam, ketika seluruh kamar telah terisi, datang seorang tamu hendak menginap. Dengan enggan, resepsionis menelepon manajer hotel, menanyakan apa

yang dapat dilakukan terhadap tamu tersebut. Jawab sang manajer: “terima tamu tersebut; kita dapat menyediakan kamar untuknya.” Tetapi,

Himpunan Tak Terhitung

Apakah setiap himpunan tak terhingga merupa-kan himpunan terhitung?

Jawabannya ternyata tidak.

Contohnya adalah himpunan semua himpunan bagian dari N, yakni 2N_{. (Buktikan!)}

Himpunan bilangan real (yang akan kita bahas nanti) juga merupakan himpunan tak terhitung (dengan kardinalitas 𝖈).

1.3 Bukti (dan Pembuktian)

Kebenaran suatu kalimat atau pernyataan mate-matika (selain definisi dan aksioma) diterima

apabila telah dibuktikan.

Secara prinsip, yang dimaksud dengan bukti adalah suatu rangkaian argumen logis dari

hipotesis ke kesimpulan (dari pernyataan yang

Bukti Langsung dan Bukti Tak Langsung

Kalimat “Jika P, maka Q” dapat dibuktikan secara

langsung dgn memisalkan P benar, lalu berusaha

sampai pada kesimpulan bahwa Q benar, dengan berbagai argumen yang logis dan sahih.

Kadang kita membuktikannya secara tidak langsung melalui kontraposisi-nya (yaitu dengan memisalkan Q salah, lalu berusaha menunjukkan bahwa P juga salah); atau dengan mengandaikan bahwa P benar dan Q salah, lalu berusaha mendapatkan suatu

Contoh Pernyataan dan Buktinya

Untuk setiap bilangan ganjil n, bilangan n2 _{– 1}

senantiasa habis dibagi 8.

Bukti. Kalimat ini setara dgn “jika n adalah bilangan

ganjil, maka n2 _{– 1 habis dibagi 8.” Untuk}

mem-buktikannya, misalkan n adalah bilangan ganjil. Maka, n dapat dituliskan sebagai n = 2k + 1 untuk

suatu bilangan bulat k. Akibatnya, n2 _{= 4k}2 _{+ 4k + 1 =}

4k(k+1) + 1, sehingga n2 _{– 1 = 4k(k+1). Tetapi k(k+1)}

pasti genap (!), sebutlah k(k+1) = 2m untuk suatu bilangan bulat m. Dengan demikian, kita peroleh

Latihan

Buktikan bahwa 2N _{tak terhitung. (Petunjuk.}

Andaikan 2N _{terhitung, lalu perlihatkan suatu}

1.4 Sistem Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat

dituliskan sebagai rasio dua bilangan bulat, yakni

r = p/q, dengan p, q bilangan bulat dan q ≠ 0.

Jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi (dengan pembagi tak nol) dari dua bilangan rasional juga merupakan bilangan rasional.

Himpunan (semua) bilangan rasional Q mem-bentuk suatu lapangan yang terurut (terhadap urutan “<”), tetapi – sayangnya – tidak lengkap!

Keterhitungan Q = Q

+

U {0} U Q

-Q

+

Kekurangan Bilangan Rasional

Jika r menyatakan panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan alas 1 dan tinggi 1, maka menurut Dalil Pytha-goras r harus memenuhi persamaan r2 _{= 2. Tetapi, tidak} ada bilangan rasional r yg memenuhi persamaan r2 _{= 2.}

Jika r adalah bilangan rasional, maka r2 _{≠ 2. (Bukti?)}

Setiap ruas garis memiliki panjang yang dapat dihampiri oleh bilangan rasional seteliti yang kita kehendaki, tetapi ada (banyak) ruas garis yang panjangnya tidak dapat

Latihan

Buktikan tidak ada bilangan rasional r yang memenuhi persamaan r2 _{= 2.}