DISUSUN OLEH : DISUSUN OLEH :
1.
1. Nuru
Nurul
l Apri
Aprilia R
lia Ramad
amadhani
hani (4008
(4008253)
253)
2.
2.
Wulan Sari (4008247)
Wulan Sari (4008247)
3.
3. Y
Yeyen
eyen Sept
Septasar
asari
i (4008
(4008242)
242)
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSA
PERSATUAN GURU REPUBTUAN GURU REPUBLIK INDONESIALIK INDONESIA (STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU
(STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU TAHUN 2009
KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah Swt karena atas ramhat karunia-Nya penyusun Puji syukur kehadirat Allah Swt karena atas ramhat karunia-Nya penyusun da
dapat pat memenynyelelesesaiaikan kan mamakakalalah h inini i sesebabagagai i tutugas gas mamata ta kukuliliah ah alaljajabarbar. . DiDidadalalamm menyusun makalah ini ucapan terima kasih kami haturkan kepada :
menyusun makalah ini ucapan terima kasih kami haturkan kepada : 1.
1. SurSurotooto, S.P, S.Pd, sd, selaelaku doku dosen sen penpengampgampuh.uh. 2.
2. Pihak Pihak yang yang telah telah membantmembantu dalu dalam meam menyelesnyelesaikan aikan tugas tugas ini.ini. Kam
Kami i menmenyadayadari ri diddidalaalam m menmenyusyusun un makmakalaalah h ini ini masmasih ih terterdapdapat at banbanyak yak kekura
kekurangan. Untuk ngan. Untuk itu kami itu kami mintminta a maaf. Kritik dan maaf. Kritik dan saran yang bersifat membangsaran yang bersifat membangunun selalu kami harapkan dari berbagai pihak guna penyempurnaan makalah ini. Semoga selalu kami harapkan dari berbagai pihak guna penyempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi perjalanan pendidikan kita semua. Amien...
makalah ini dapat bermanfaat bagi perjalanan pendidikan kita semua. Amien...
Lubuklinggau,
Lubuklinggau, Mei Mei 20092009
Penyusun Penyusun
DAFTAR ISI DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL HALAMAN JUDUL KA
KATTA A PENGAPENGANTNTAR AR ... ii DAFT
DAFTAR AR ISI ISI ... iiii PROGRAM LINEAR
PROGRAM LINEAR A.
A. SejarSejarah ah PrograProgram m Linear ...Linear ... B.
B. Konsep Dasar Konsep Dasar ProgrProgram am Linear ...Linear ... C.
C. SisteSistem m PertiPertidaksadaksamaan maan Linear ...Linear ... D.
D. KaidaKaidah h ProgrProgram am Linear Linear ... E.
E. OptimOptimasi asi ... METODE SIMPLEX I
METODE SIMPLEX I A.
A. Pengantar Pengantar ... ... B.
B. PenentPenentuan uan MaksiMaksimum mum ... RANGKUMAN ... RANGKUMAN ... METODE SIMPLEX II
METODE SIMPLEX II A.
A. PenentPenentuan uan Umum Umum ... B.
B. VVariabel Slack ariabel Slack TirTiruan uan (Art(Artificiificial) al) ... C.
C. MeraMerancang ncang ProgrProgram am AAwal wal ... D.
D. ProseProsedur dur PenentuPenentuan an StruktStruktur ur PersyPersyarataaratan n ... RANGKUMAN... RANGKUMAN...
PROGRAM LINEAR PROGRAM LINEAR
A.
A. SejaSejarah rah ProProgragram m LineLinearar
Seora
Seorang ng MatemMatematikawatikawan an RusiaRusia L.VL.V. . KantorovichKantorovich padpada a 1939 1939 berberhashasilil menemukan pemecaham masalah yang berkaitan dengan program linear. Pada menemukan pemecaham masalah yang berkaitan dengan program linear. Pada waktu itu Kantorovich bekerja untuk Kantor Pemerintah Uni Soviet. Ia diberi waktu itu Kantorovich bekerja untuk Kantor Pemerintah Uni Soviet. Ia diberi tug
tugas as untuntuk uk menmengoptgoptimaimalkalkan n proprodukduksi si padpada a indindustustriri plywood plywood . . Ia Ia kemkemudiudianan mun
muncul cul dendengan gan tekteknik nik matmatemematiatis s yayang ng disdisekaekan n sebsebagaiagai pemr pemrogramaograman n linear linear .. Mat
Matemaematiktikawaawan n AmeAmerikrika a :: GeGeororge ge B. B. DaDantntzizigg sesecarcara a inindedepenpendeden n jujugaga men
mengemgembanbangkan gkan pempemecahecahan an masmasalaalah h tertersebsebut, ut, di di manmana a hashasil il karkaryanyanya ya padpadaa mas
masalaalah h tertersebsebut ut perpertamtama a kalkali i dipdipublublikaikasiksikan an padpada a tatahun hun 19471947. . selselanjanjutnutnya,ya, sebuah teknik yang lebih cepat, tetapi lebih rumit, yang cocok untuk memecahkan sebuah teknik yang lebih cepat, tetapi lebih rumit, yang cocok untuk memecahkan ma
masasalalah h prprogograram m lilinenear ar dedengngan an raratutusasan n atatau au babahkhkan an riribubuan an vavaririababelel,, dikembangkan oleh matematikawan
dikembangkan oleh matematikawan Bell LaboratoriesBell Laboratories,, Naranda KarmarkarNaranda Karmarkar
pada tahun 1983, Program linear sangat penting khususnya dalam perencanaan pada tahun 1983, Program linear sangat penting khususnya dalam perencanaan
militer dan industri. militer dan industri.
B.
B. KonKonsep sep DasaDasar Pr Prorogram gram LinLinearear
Pr
Progograram m lilineanear r (l(lineinear ar prprogrogramammiming) ng) memerurupakpakan an momodel del opoptitimamasisi persamaan linear yang berkenaan dengan masalah-masalah pertidaksamaan linear, persamaan linear yang berkenaan dengan masalah-masalah pertidaksamaan linear, Masalah program linear berarti masalah nilai optimum (maksium atau minimum) Masalah program linear berarti masalah nilai optimum (maksium atau minimum) se
sebubuah ah fufungsngsi i lilineanear r papada da susuatatu u sisiststem em pepertrtididakaksasamamaan an lilineanear r yayang ng haharuruss memenuhi optimasi fungsi objektif.
memenuhi optimasi fungsi objektif. Da
Dallam am babanynyak ak ssitituauassii, , wrwrining g didijujummpapai i mamassalalahah-m-masasalalah ah yyanangg b
bererhuhububungngan an dedengngan an prprogograram m lilinenearar. . AgAgar ar mamasasalalah h opoptitimamasisinynya a dadapapatt diselesaikan dengan program linear, maka masalah tersebut harus diterjemahkan diselesaikan dengan program linear, maka masalah tersebut harus diterjemahkan dalam bentuk model matematika.
dalam bentuk model matematika.
Sebagai contoh andaikan seorang tukang roti merencanakan membuat dua Sebagai contoh andaikan seorang tukang roti merencanakan membuat dua jenis roti, yaitu roti jenis I (x) dan roti jenis II (y), menggunakan dua macam jenis roti, yaitu roti jenis I (x) dan roti jenis II (y), menggunakan dua macam bahan baku, yaitu tepung dan mentega. Setiap roti jenis I memerlukan 200 gram bahan baku, yaitu tepung dan mentega. Setiap roti jenis I memerlukan 200 gram
tepung dan 25 gram mentega. Setiap roti jenis II memerlukan 100 gram tepung tepung dan 25 gram mentega. Setiap roti jenis II memerlukan 100 gram tepung dan 50
dan 50 gragram m menmentegtega. a. HarHarga ga juajual l rotroti i jenijenis s I I dan dan II masinII masing-mg-masiasing ng adaadalahlah Rp1.500,00 dan Rp2.000,00. Jumlah persediaan bahan ialah 4 kg tepung dan 1,2 Rp1.500,00 dan Rp2.000,00. Jumlah persediaan bahan ialah 4 kg tepung dan 1,2 kg mentega. Berapa banyak masing-masing jenis roti yang harus diproduksi agar kg mentega. Berapa banyak masing-masing jenis roti yang harus diproduksi agar tukang roti memperoleh keuntungan maksimum?
tukang roti memperoleh keuntungan maksimum?
Masalah yang muncul adalah berapa banyak roti jenis I
Masalah yang muncul adalah berapa banyak roti jenis I (x)(x) dan roti jenisdan roti jenis 11
11 (y)(y) harus diproduksi sehubungan dengan kondisi-kondisi yang ada. Agar dapatharus diproduksi sehubungan dengan kondisi-kondisi yang ada. Agar dapat dis
diseleelesaisaikan kan secsecara ara matmatemaematiktika a dengdengan an modemodel l proprogragram m lilinearnear, , mulmula-ma-mulaula permasalahan di atas diterjemahkan ke dalam
permasalahan di atas diterjemahkan ke dalam bentuk model-model matematika.bentuk model-model matematika. Misalkan
Misalkan P P memelalambmbangangkakan n ninilalai i opoptitimum mum (o(objbjektektifif) ) pepenernerimimaanaan,, sedangkan
sedangkan x x dandan y y masing-masing melambangkan banyak roti jenis I dan rotimasing-masing melambangkan banyak roti jenis I dan roti jenis 11, maka:
jenis 11, maka: (a)
(a) FunFungsi objgsi objektektifnifnya adalya adalahah P P = 1.500= 1.500 x x + 2.000+ 2.000 y y (b)
(b) SisteSistem pertm pertidaksidaksamaannyamaannya adala adalahah 200
200 x x + 100+ 100 y y ≤≤44..000000 ...((11))
25
25 x x + 50+ 50 y y ≤≤11..220000 ...((22))
Karena
Karena x x dandan y y bilangan bulat yang tidak mungkin negatif, makabilangan bulat yang tidak mungkin negatif, maka x ≥
x ≥ 00 ...((33))
y ≥
y ≥ 00 ...((44))
proses penyusunan sistem pertidaksamaan di atas dapat ditunjukkan dalam proses penyusunan sistem pertidaksamaan di atas dapat ditunjukkan dalam model matematika berikut ini
model matematika berikut ini
R
Roottii TTeeppuunng g ((ggrraamm)) MMeenntteegga a ((ggrraamm))
Roti jenis I (
Roti jenis I ( x x)) 220000 2255
Roti jenis II (
Roti jenis II ( y y)) 110000 5500
B
Baahhaan n yyaanng g tteerrsseeddiiaa 4..04 00000 11..220000 Dari data dalam tabel, terdapat hubungan-hubungan sebagai berikut: Dari data dalam tabel, terdapat hubungan-hubungan sebagai berikut: (1) 200
(1) 200 x x + 100+ 100 y y ≤ 4.000≤ 4.000
⇔
⇔
2 x2 x ++ y y ≤ 40≤ 40 (2) 25(2) 25 x x + 50+ 50 y y ≤ 1.200≤ 1.200
⇔
⇔
x + 2 x+ 2 y y ≤ 48≤ 48 (3)(3) x ≥ x ≥ 00 (4)
Penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dilakukan d
Penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dilakukan d engan metode grafis, yaituengan metode grafis, yaitu dengan menggambarkannya pada koordinat Cartesius.
dengan menggambarkannya pada koordinat Cartesius.
C.
C. Sistem Sistem PertidakPertidaksamaan samaan Linear Linear (Mengu(Mengulang)lang)
1.
1. Garis-garis yang sejajar atau tegak lurus.Garis-garis yang sejajar atau tegak lurus.
((ii)) DDaaeerraah h aarrssiirraan n mmeennuunnjjuukkaann x ≥ x ≥
−−
4. Semua titik yang berada pada daerah4. Semua titik yang berada pada daerah arsiran memenuhiarsiran memenuhi x x ≥ ≥
−−
4. Garis4. Garis x x ==−−
4 yang tegak lurus sumbu X4 yang tegak lurus sumbu X digambar tidak putus-putus untuk menyatakan bahwa semua titik pada digambar tidak putus-putus untuk menyatakan bahwa semua titik pada garis itu memenuhigaris itu memenuhi x ≥ x ≥
−−
4.4.((iiii)) DDaaeerrah ah aarrssiirraan mn meennuunjnjukukkkaann y y >>
−−
2. garis2. garis y y >>−−
2 yang sejajar sumbu X2 yang sejajar sumbu X digambar putus-putus untuk menyatakan bahwa semua titik pada garis itu digambar putus-putus untuk menyatakan bahwa semua titik pada garis itu tidak memenuhitidak memenuhi y y >>
−−
2.2. 2.Gambar 2.4 (i) menunjukkan daerah arsiran yang memenuhi 4
Gambar 2.4 (i) menunjukkan daerah arsiran yang memenuhi 4 x x
−−
33 y y + 12 ≥ 0.+ 12 ≥ 0. langkah berikut menyatakan bahwa semua titik pada daerah arsiran, yaitu langkah berikut menyatakan bahwa semua titik pada daerah arsiran, yaitu bagian di bawah garis 4bagian di bawah garis 4 x x
−−
33 y y + 12 = 0 adalah benar memenuhi 4+ 12 = 0 adalah benar memenuhi 4 x x−−
33 y y+12≥ 0.+12≥ 0.••
Ambil titik Ambil titik OO (0, 0) sebagai titik selidik.(0, 0) sebagai titik selidik.••
SubstitusikanSubstitusikan x x = 0 dan= 0 dan y y = = 0 0 ke ke 44 x x−−
33 y y + 12 ≥ 0+ 12 ≥ 0⇔
⇔
4 (0)4 (0)−−
3 (0) + 12 ≥ 03 (0) + 12 ≥ 0⇔
⇔
12 ≥ 12 ≥ 0 0 ... (benar)... (benar) Jadi, titik-titik disebelah bawah garis 4Jadi, titik-titik disebelah bawah garis 4 x x
−−
33 y y + 12 = 0, memenuhi 4 x+ 12 = 0, memenuhi 4 x−−
33 y y + 12 ≥ 0.+ 12 ≥ 0. Contoh 1 : Contoh 1 :
Diketahui sistem pertidaksamaan
Diketahui sistem pertidaksamaan : A =: A =
{ {
( (
x x,, y y))
x x−−
y y++
66≥≥
00}}
;; BB
{ {
( (
x x,, y y))
55 x x−−
66 y y++
3030≥≥
00}}
;;CC{ {
( (
x x,, y y))
33 x x−−
22 y y−−
1212≥≥
00}}
;; dandan DD
{ {
( (
x x,, y y))
77 x x−−
55 y y++
3535≥≥
00}}
;;. Tunjukkan dengan arsiran, daerah yang memenuhi. Tunjukkan dengan arsiran, daerah yang memenuhi B BC C D D.. A A Jawab : Jawab :
Ambil titik selidik
Ambil titik selidik OO (0,0).(0,0). A
A ==
{ {
( (
x x,, y y))
x x−−
y y++
66≥≥
00}}
;;⇔
⇔
00−−
0 + 6 ≥ 0.0 + 6 ≥ 0.⇔
⇔
66 ≥≥00 ...((bbeennaarr))Jadi, arsirlah daerah dibawah garis
B
B ==
{ {
( (
x x,, y y))
55 x x−−
66 y y++
3030≥≥
00}}
;;⇔⇔ 5 (0) + 6 (0) + 30 ≥ 05 (0) + 6 (0) + 30 ≥ 0
⇔⇔ 330 0 ≥ ≥ 00 ... . ((bbeennaarr))
Jadi, arsirlah daerah dibawah garis 5
Jadi, arsirlah daerah dibawah garis 5 x x
−−
66 y y + 30 ≥ 0.+ 30 ≥ 0. CC
{ {
( (
x x,, y y))
33 x x−−
22 y y−−
1212≥≥
00}}
;;⇔⇔ 3 (0) + 2 (0) 3 (0) + 2 (0)
−−
12 ≥ 012 ≥ 0 ⇔⇔−−
1 12 2 ≥ ≥ 00 ... . ((bbeennaarr)) Jadi, arsirlah daerah dibawah garis 3Jadi, arsirlah daerah dibawah garis 3 x x
−−
22 y y + 12 ≥ 0.+ 12 ≥ 0. DD
{ {
( (
x x,, y y))
77 x x−−
55 y y++
3535≥≥
00}}
;;⇔⇔ 7 (0) + 5 (0)7 (0) + 5 (0)
−−
35 ≥ 035 ≥ 0⇔⇔
−−
335 5 ≥ ≥ 00 ... . ((bbeennaarr))Jadi, arsirlah daerah dibawah garis 7
Jadi, arsirlah daerah dibawah garis 7 x x
−−
55 y y + 35 ≥ 0.+ 35 ≥ 0.Sehing
Sehingga ga daerah yang daerah yang diarsdiarsir ir menunjmenunjukkan ukkan himpuhimpunan nan penyelpenyelesaiaesaian n dari sistemdari sistem pertidaksamaan linear di atas.
pertidaksamaan linear di atas.
Catatan : Langkah-langkah di atas, membuktikan bahwa titik selidik
Catatan : Langkah-langkah di atas, membuktikan bahwa titik selidik OO (0,0). Memenuhi(0,0). Memenuhi
syarat
syarat A A B BC C D D..
T
Tabeabel l 2.2.1 1 didibawbawah ah inini i memerurupakpakan an pepetutunjnjuk uk untuntuk uk memengangarsrsir ir dadaererah ah yayangng memenuhi suatu pertidaksamaan.
Tabel 2.1 Tabel 2.1
B
Beennttuuk k ppeerrttiiddaakkssaammaaaann Daaeerraah D h yyaanng g mmeemmeennuuhhii
x
x>> aa Disebelah kanan dari garisDisebelah kanan dari garis x x== aa x
x << aa Disebelah kiri dari garisDisebelah kiri dari garis x x== aa y
y>> aa Disebelah atas dari garisDisebelah atas dari garis y y
= = aa
y y
<
< aa Disebelah bawah dari garisDisebelah bawah dari garis y y
= = aa y
y>> x x Disebelah atas dari garisDisebelah atas dari garis y y
= = xx
y
y<< x x Disebelah bawah dari garisDisebelah bawah dari garis y y
= = xx C C by by ax
ax
++
>>
Disebelah atas dari garisDisebelah atas dari garis axax++
byby==
C C CC by by ax
ax
−−
>>
Disebelah bawah dari garisDisebelah bawah dari garis axax−−
byby==
C C CC by by ax
ax
++
<<
Disebelah bawah dari garisDisebelah bawah dari garisaxax++
byby==
C C CC by by ax
ax
−−
<<
Disebelah atas dari garisDisebelah atas dari garisaxax−−
byby==
C CD.
D. KaidKaidah ah ProProgram gram LineLinearar 1.
1. PriPrinsinsip Pp Prorogrgram am LiLineanearr
Program linear adalah suatu cara yang bertujuan untuk menentukan himpunan Program linear adalah suatu cara yang bertujuan untuk menentukan himpunan penyelesaian bagi suatu sistem pertidaksamaan.
penyelesaian bagi suatu sistem pertidaksamaan.
Prinsip 1.
Prinsip 1. Dalam program linear, setiap pernyataan yang harus dipenuhiDalam program linear, setiap pernyataan yang harus dipenuhi oleh
oleh variabvariabel-varel-variabel iabel sepertsepertii x x dandan y y dinyatakan dalam bentuk dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan. Misalnya, dalam suatu masalah diketahui bahwa pertidaksamaan. Misalnya, dalam suatu masalah diketahui bahwa ju
jumlamlah h 22 x x dan 3dan 3 y y tidak boleh kurang dari 12. Pernyataan initidak boleh kurang dari 12. Pernyataan ini berarti 2
berarti 2 x + x + 33 y y sama dengan 12 atau lebih dari 12, dan dinyatakansama dengan 12 atau lebih dari 12, dan dinyatakan dalam bentuk
dalam bentuk pertidaksamaan spertidaksamaan sebagai ebagai 22 x + x + 33 y y = 12.= 12.
Prinsip 2.
Prinsip 2. DalDalam am setsetiap iap perpertidtidaksaksamaamaan an akan akan dibdibententuk uk suasuatu tu perpersamsamaanaan yang berkaitan. Misalnya, dari pertidaksamaan 2
yang berkaitan. Misalnya, dari pertidaksamaan 2 x x ++ 33 y y ≥ 12,≥ 12, dibentuk persamaan 2
dibentuk persamaan 2 x + x +33 y = y =12.12.
Prinsip 3.
Prinsip 3. Persamaan yang dibentuk digunakan untuk melukis garis bagiPersamaan yang dibentuk digunakan untuk melukis garis bagi penyelesaian pertidaksamaan. penyelesaian pertidaksamaan. 2 2 x + x + 33 y = y = 1212 x x 00 33 66 y y 4 4 22 00
Prinsip 4.
Prinsip 4. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan 2Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan 2 x x ++ 33 y y ≥ ≥ 1212 dengan menggunakan titik selidik, atau berpatokan pada tabel dengan menggunakan titik selidik, atau berpatokan pada tabel 2.1.
2.1.
Prinsip 5.
Prinsip 5. Koordinat-koordinat setiap titik dalam daerah arsiran mewakiliKoordinat-koordinat setiap titik dalam daerah arsiran mewakili suatu sistem pertida
suatu sistem pertidaksamaksamaan. an. MisaMisalnya titik (1, lnya titik (1, 4), (4, 4), (4, 3), (6, 3), (6, 2),2), dan seterusnya.
dan seterusnya.
Uraian diatas, menjelaskan prinsip program linear dan kaidah penggunaannya. Uraian diatas, menjelaskan prinsip program linear dan kaidah penggunaannya.
2.
2. MoModedel l MaMatetemamatitikaka
T
Telah kita elah kita ketahuketahui i bahwa setiap masalah bahwa setiap masalah yang hendak yang hendak diseldiselesaikesaikan an dengandengan kaidah program biasanya mengandung beberapa syarat untuk dipenuhi oleh kaidah program biasanya mengandung beberapa syarat untuk dipenuhi oleh variabe
variabel-varl-variabel iabel sepersepertiti x x dandan y y. . OlOleh eh sesebabab b ititu, u, dadalalam m prprogrogram am lilineanear r langkah pertama yang dilakukan adalah menerjemahkan syarat-syarat tersebut langkah pertama yang dilakukan adalah menerjemahkan syarat-syarat tersebut ke dalam bahasa matematika yang berbentuk sistem pertidaksamaan. Sistem ke dalam bahasa matematika yang berbentuk sistem pertidaksamaan. Sistem pertidaksamaan ini mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh pertidaksamaan ini mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x x
dan
dan y y. Sistem pertidaksamaan disebut sebgaia model matematika.. Sistem pertidaksamaan disebut sebgaia model matematika.
Dalam menyusun model matematika, yang perlu dipahami adalah implikasi Dalam menyusun model matematika, yang perlu dipahami adalah implikasi dari semua ungkapan yang menyatakan syarat-syarat pada masalah. Tabel 2.2 dari semua ungkapan yang menyatakan syarat-syarat pada masalah. Tabel 2.2 ber
berikuikut t ini ini mermerupakupakan an sebsebagiagian an contcontoh oh impimpliklikasi asi suasuatu tu ungkungkapan apan yanyangg be
berhrhubuubungngan an dedengngan an tatandanda-t-tandanda a keketitidakdaksasamaamaan n susuatatu u unungkgkapaapan n yayangng berhubungan dengan tanda-tanda ketidaksamaan.
berhubungan dengan tanda-tanda ketidaksamaan.
Tabel 2.2 Tabel 2.2
U
Unnggkkaappaan n ddaan n IImmpplliikkaassiinnyyaa PPeerrttiiddaakkssaammaaaann 1
1 NNiillaaii y y di antara 2 dan 6. artinyadi antara 2 dan 6. artinya y y lebihlebih dari 2 dan kurang dari 6.
dari 2 dan kurang dari 6.
2
2 << y y < 6, atau< 6, atau y y > 2 dan> 2 dan y
y < 6.< 6. 2
2 NNiillaaii x x melebihi 2 tetapi tidak lebih darimelebihi 2 tetapi tidak lebih dari 8. artinya,
8. artinya, x x sama atau kurang dari 8,sama atau kurang dari 8, tetapi lebih dari 2.
tetapi lebih dari 2.
2 < 2 < x x ≤ 8≤ 8 x
3
3 NNiillaaii y y kurang dari 12, tetapi kurang darikurang dari 12, tetapi kurang dari 5.
5.
Artinya,
Artinya, y y sama atau lebih dari 5, tetapisama atau lebih dari 5, tetapi kurang dari 12.
kurang dari 12.
5 ≤
5 ≤ y y < 12< 12 y
y ≥ 5 dan≥ 5 dan y y < 12< 12
4
4 NNiillaaii x x sekurang-kurangnya 10. artinyasekurang-kurangnya 10. artinya x x sama atau lebih dari 10.
sama atau lebih dari 10. dan seterusnyadan seterusnya x x ≥10≥10 dan seterusnya. dan seterusnya. Contoh 3 : Contoh 3 :
Susunlah model matematika dari ungkapan berikut ini, kemudian tentukan daerah Susunlah model matematika dari ungkapan berikut ini, kemudian tentukan daerah himpunan penyelesaiannya.
himpunan penyelesaiannya. (i)
(i) y y tidak boleh melebihi 2tidak boleh melebihi 2 x x..
((iiii)) NNiillaai i uunnttuuk k 33 y y – – x xadalah lebih dari nol.adalah lebih dari nol. (i
(iiiii)) NiNilalai i mamaksksimimum um ununtutuk k jujumlmlah ah 55 x x dan 6dan 6 y y adalah 60.adalah 60. ((iivv)) JJuummllaahh x xdandan y y tidak kurang dari 4.tidak kurang dari 4.
Jawab : Jawab :
(i)
(i) y y ≤ 2≤ 2 x x.. ((iiii)) 33 y y – – x x > 0> 0
((iiiiii)) 55 x x + 6+ 6 y y ≤ 60, dan≤ 60, dan (iv)
(iv) x x ++ yy ≥ 4≥ 4 y =
y = 22 x x 33 y y – – x x= 0= 0 55 x x + 6+ 6 y y= 60= 60 x + y x + y= 4= 4 x
x 00 11 00 33 66 00 66 1122 00 11 44
y
Ambil titik selidik (4, 3), maka untuk : Ambil titik selidik (4, 3), maka untuk : (1)
(1) y y ≤ 2≤ 2 x x
⇔
⇔
3 ≤ 2(4)3 ≤ 2(4)⇔
⇔
3 3 ≤ ≤ 88 ... . ((bbeennaarr)) (2) 3(2) 3 y y – – x x > 0> 0
⇔
⇔
3(3) – 4 > 03(3) – 4 > 0⇔
⇔
5 5 > > 0 0 ... ... (benar)(benar) (3) 5(3) 5 x x + 6+ 6 y y ≤ 60≤ 60 ⇔⇔ 5 (4) + 6 (3) ≤ 605 (4) + 6 (3) ≤ 60
⇔⇔ 338 8 ≤ ≤ 6600 ... . ((bbeennaarr))
(4)
(4) x x ++ yy ≥ 4≥ 4 ⇔⇔ 4 4 + + 3 3 ≥ ≥ 4 4 ... ... (benar)(benar)
Jadi, daerah himpunan penyelesaian adalah
Jadi, daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang diarsir.daerah yang diarsir.
3.
3. MasMasalah alah yang yang MelMelibatibatkan kan ProProgragram Lim Linearnear
Pro
Progragram m linlinear ear biabiasansanya ya digdigunakunakan an untuntuk uk menmenyelyelesaesaikaikan n masmasalaalah h dendengangan me
mellukukis is gagariris-s-gagariris s dadan n memenununjnjukukkakan n dadaererah ah pepenynyelelesesaiaian an dedengnganan memberikan arsiran.
memberikan arsiran. Contoh 4
Contoh 4
Seorang ibu rumah tangga mempunyai 160 g tepung beras dan 240 g tepung Seorang ibu rumah tangga mempunyai 160 g tepung beras dan 240 g tepung terigu untuk membuat kue jenis A dan B. Setiap kue A memerlukan 16 g terigu untuk membuat kue jenis A dan B. Setiap kue A memerlukan 16 g tepung beras dan 20
tepung beras dan 20 g tepung terigu, sedangkag tepung terigu, sedangkan setiap kue n setiap kue B memerlukB memerlukan 12an 12 g tepung beras dan 30 g tepung terigu. Ia hendak membuat lebih dari 2 loyang g tepung beras dan 30 g tepung terigu. Ia hendak membuat lebih dari 2 loyang kue A dan sekurang-kurangnya satu loyang kue B. Dalam berapa carakah dua kue A dan sekurang-kurangnya satu loyang kue B. Dalam berapa carakah dua jenis tepung itu dapat digunakan untuk membuat dua jenis kue ?
jenis tepung itu dapat digunakan untuk membuat dua jenis kue ?
Jawab : Jawab :
Misalkan
Misalkan x x dandan y y sebagai dua variabel yang hendak dihitung nilainya di manasebagai dua variabel yang hendak dihitung nilainya di mana x
x mewakili banyak kumewakili banyak kue A sertae A serta y y mewakili banyak kue B.mewakili banyak kue B. Analisis Kasus.
Analisis Kasus. Setia
Setiap kue p kue A dan setiaA dan setiap kue p kue B memerluB memerlukan masing-kan masing-masing 16 g dan masing 16 g dan 12 g12 g tepung beras. Tepung beras yang tersedia 160 g.
x
x kue A memerlukankue A memerlukan x x kali 16 g dankali 16 g dan y y kue B memerlukankue B memerlukan y y kali 12 g tepungkali 12 g tepung beras. Sehingga banyak tepung beras yang diperlukan untuk membuat
beras. Sehingga banyak tepung beras yang diperlukan untuk membuat x x kuekue A dan
A dan y y kue B adalah (16kue B adalah (16 x x + 12+ 12 y y) g.) g. Ha
Hanynya a tetersrsededia ia 160 160 g g tetepupung ng berberasas, , mamaka ka (1(166 x x + + 1212 y y) g tidak boleh) g tidak boleh melebihi 160 g. Sehingga pertidaksamaan yang dapat disusun adalah:
melebihi 160 g. Sehingga pertidaksamaan yang dapat disusun adalah: 16
16 x x + 12+ 12 y y ≤ 160, di mana≤ 160, di mana x x dandan y y
∈
∈
B B(bilangan bulat).(bilangan bulat).Tiap-tiap kue A dan B masing-masing memerlukan 20 g dan 30 g tepung Tiap-tiap kue A dan B masing-masing memerlukan 20 g dan 30 g tepung terigu, dari 240 g terpung terigu yang tersedia.
terigu, dari 240 g terpung terigu yang tersedia. x
x kue A memerlukankue A memerlukan x x kali 20 g dankali 20 g dan y y kue B, memerlukankue B, memerlukan y y kali 30 gkali 30 g tep
tepung ung terteriguigu. . SehSehingingga ga banbanyak yak teptepung ung terterigu igu yayang ng didiperlperlukaukan n untuntuk uk membuat
membuat x x kue A dankue A dan y y kue B adalah (20kue B adalah (20 x x + 30+ 30 y) y)g.g. Ha
Hanynya a tertersesedidia a 240 240 g g teptepunung g teteririgugu, , mamaka ka (20(20 x x + + 3030 y) y) g tidak bolehg tidak boleh melebihi 240 g. Sehingga pertidaksamaan yang dapat disusun adalah :
melebihi 240 g. Sehingga pertidaksamaan yang dapat disusun adalah : 20
20 x x + 30+ 30 y y ≤ 160,≤ 160, x x dandan y y
∈
∈
B B..Ia berencana membuat lebih dari 2
Ia berencana membuat lebih dari 2 loyang kue A, makaloyang kue A, maka x x > 2, dan> 2, dan Sekurang-kurangnya satu loyang kue B, maka
Sekurang-kurangnya satu loyang kue B, maka y y≥ 1.≥ 1. Model matematika dari analisis kasus di atas adalah
Model matematika dari analisis kasus di atas adalah sebagai berikut :sebagai berikut :
Model Matematika Model Matematika K
Kuue e / / BBaahhaann TTeeppuunng g BBeerraass TTeeppuunng g TTeerriigguu Kue A (
Kue A ( x) x) 1166 2200
Kue B (
Kue B ( y y)) 1122 3300
1
16600 224400
Sistem pertidaksamaan: Sistem pertidaksamaan:
((11)) 1166 x x + 12+ 12 y y ≤ 160≤ 160 ⇔⇔ 44 x x + 3+ 3 y y ≤ 40,≤ 40,
(3)
(3) x x > 2 dan> 2 dan (4)
(4) y y ≥ 1≥ 1
4
4 x x + 3+ 3 y y ≤≤ 4400 22 x x + 3+ 3 y y ≤ 24≤ 24 x
x 1100 11 44 00 33 1122
y
y 00 1122 88 88 66 00
Dae
Daerah rah penpenyelyelesaesaian ian yanyang g memmemenuenuhi hi adaadalah lah daerdaerah ah yayang ng diadiarsirsirr. . KarKarenaena ter
terdapdapat at 24 24 noknoktah tah daldalam am daedaerah rah penpenyelyelesaesaiaian, n, makmaka a dapdapat at disdisimpimpulkulkanan bahwa :
bahwa :
--
Kedua jenis tepung itu dapat digunakan daam 25 cara untuk membuat duaKedua jenis tepung itu dapat digunakan daam 25 cara untuk membuat duajenis kue, yaitu {(
jenis kue, yaitu {( x, y x, y)) ||(3, 1), (3, 2), (3, 3), ..(3, 1), (3, 2), (3, 3), ..., (6, 4), (7, 3), (8, 2., (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)}.), (9, 1)}.
--
Jumlah kedua kue maksimum adalah 10, yaitu ada 4 cara {(Jumlah kedua kue maksimum adalah 10, yaitu ada 4 cara {( x, y x, y) (6, 4),) (6, 4),(7, 3), (8, 2), (9, 1)}. (7, 3), (8, 2), (9, 1)}.
E
E.. OOppttimimaassii
Masalah pada program linear adalah masalah menentukan nilai maksimum Masalah pada program linear adalah masalah menentukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi objektif. Penyelesaian masalah program linear atau nilai minimum suatu fungsi objektif. Penyelesaian masalah program linear dapat dilakukan dengan metode grafis dan metode simpleks. Pada bagian ini yang dapat dilakukan dengan metode grafis dan metode simpleks. Pada bagian ini yang akan dibahas adalah metode grafis dan penggunaan garis selidik.
Perhatikan uraian berikut ini. Daerah arsiran pada gambar 2.7 menunjukkan Perhatikan uraian berikut ini. Daerah arsiran pada gambar 2.7 menunjukkan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:
penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: x x ≥ 2, 3≥ 2, 3 y y – – x x ≤ 15, 3 x≤ 15, 3 x + 2+ 2 y y ≤ 32, dan≤ 32, dan x x – – 2
2 y y ≤ 0. garis g putus-putus melalui A ≤ 0. garis g putus-putus melalui A (2, 1), B (4, 2), C (2, 1), B (4, 2), C (5, 6), D (6, 7) mempunyai(5, 6), D (6, 7) mempunyai persamaan
persamaan x x + 2+ 2 y y == k k , dimana bentuk , dimana bentuk x x + 2+ 2 y y disebut fungsi objektif dan garisdisebut fungsi objektif dan garis x x ++ 2
2 y y == k k disebut garis selidik. Karena keempat garis selidik tersebut mempunyaidisebut garis selidik. Karena keempat garis selidik tersebut mempunyai
gradien gradien 2 2 1 1
−−
maka garis-garis g maka garis-garis g saling sejajar.saling sejajar. NilaiNilai k k dapat diperoleh dengan mensubstitusikan koordinat titik-titik A, B, C, dandapat diperoleh dengan mensubstitusikan koordinat titik-titik A, B, C, dan D.
D. Un
Untutukk A A (2(2, 1, 1))
→
→
k = k = 2 2 + + 2 2 ((11) ) = = 44,, sseehhiinngggga a gg11≡≡ x x + 2+ 2 y y = 4= 4B (4, 2)
B (4, 2)
→
→
k k = = 4 4 + + 2 2 ((22) ) = = 88,, sseehhiinngggga a gg22≡≡ x x + 2+ 2 y y = 8= 8C (5, 6)
C (5, 6)
→
→
k k = 5 = 5 + 2 + 2 ((66) = ) = 117,7, ssehehiingnggga ga g33≡≡ x x + 2+ 2 y y = 17= 17D (6, 7)
Jika kita perhatikan keempat garis selidik yang melalui titik A, B, C, dan D, maka Jika kita perhatikan keempat garis selidik yang melalui titik A, B, C, dan D, maka tampak bahwa garis yang paling dekat ke
tampak bahwa garis yang paling dekat ke OO (0, 0) yaitu garis g(0, 0) yaitu garis g11 yang melalui Ayang melalui A
(2, 1) mempunyai nilai
(2, 1) mempunyai nilai k k = 4 adalah minimum, sedangkan garis yang paling jauh= 4 adalah minimum, sedangkan garis yang paling jauh dari titik
dari titik OO (0, 0) yaitu garis(0, 0) yaitu garis g g 44 yang melalui D (6, 7), mempunyai nilaiyang melalui D (6, 7), mempunyai nilai k k = = 2020
adalah maksimum. adalah maksimum.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
••
Jika suatu garis ax + by = k Jika suatu garis ax + by = k melalui suatu titik melalui suatu titik P(p, q) P(p, q) maka nilai fungsimaka nilai fungsi objektifobjektif ax + byax + by yang diwakili olehyang diwakili oleh k k adalahadalah k = ap + bqk = ap + bq..
••
Jika garisJika garis ax + by = k ax + by = k paling dekat ke titik pangkalpaling dekat ke titik pangkal OO (0, 0), maka nilai(0, 0), maka nilai k k padapada persamaan tersebut adalahpersamaan tersebut adalah minimumminimum..
••
Jika garisJika garis ax + by = k ax + by = k paling jauh dari titik pangkalpaling jauh dari titik pangkal OO (0, 0), maka nilai(0, 0), maka nilai k k padapada persamaan tersebut adalahpersamaan tersebut adalah maksimummaksimum..
••
Semua garis selidik saling sejajar Semua garis selidik saling sejajar .. Contoh 6 :Contoh 6 : T
Tententukan ukan nilnilai ai minminimuimum m dan dan makmaksimsimum um funfungsi gsi objobjektektif if (2(2 x x ++ y y) dari sistem) dari sistem pertidaksamaan:
pertidaksamaan:
x + y
x + y ≥ 5,≥ 5, x – x – 44 y y ≥ 0,≥ 0, x x ++ y y ≤ 10, dan 2≤ 10, dan 2 y y – 3– 3 x x ≤ 0.≤ 0.
Jawab: Jawab:
Daera
Daerah h himpuhimpunan nan penyepenyelesailesaian an dari dari sistsistem em pertipertidaksadaksamaan maan tersetersebut but ditunditunjukkanjukkan dalam Gambar 2.8 di berikut ini.
Langkah-langkah menggunakan garis selidik Langkah-langkah menggunakan garis selidik ..
1.
1. MisMisalkalkan gaan garis ris seliselidikdiknya nya adaadalah 2lah 2 x x ++ y y == k k .. 2.
2. TTentuentukan satu tkan satu titik semitik sembaranbarang dalam daeg dalam daerah penyrah penyelesaielesaian. Misaan. Misalnyalnya P P (5, 3).(5, 3). 3
3.. JJiikka ga gaarriiss g g = = 22 x x ++ y y == k k melalui P, maka koordinat P memenuhi persamaanmelalui P, maka koordinat P memenuhi persamaan garis
garis g g , maka, maka k k = 2 (5) + 3 = = 2 (5) + 3 = 13. jadi,13. jadi, g g ≡≡ 22 x x ++ y y = 13= 13..
4
4.. LLuukikis gs gaarriiss g g dalam diagram dalam diagram Cartesius yang melalui Cartesius yang melalui PP.. 5.
5. BuBuatatlalah h gagariris-s-gagariris s yayang ng sesejajajajar r dendengagann g g dan perhatikan garis mana yangdan perhatikan garis mana yang terketak paling dekat dan paling jauh dari titik pangkal
terketak paling dekat dan paling jauh dari titik pangkal OO (0, 0).(0, 0). 6.
6. GaGariris yans yang g papaliling dekng dekat ke tiat ke tititik k OO adalah garis yang melalui titik A (2, 3),adalah garis yang melalui titik A (2, 3), maka nilai
maka nilai k k = 7 adalah= 7 adalah minimumminimum.. 7.
7. GaGariris yans yang palg palining jaug jauh darh dari titi titik ik OO adalah garis yang melalui titik C (8, 2),adalah garis yang melalui titik C (8, 2), maka nilai
METODE SIMPLEX I METODE SIMPLEX I
A.
A. PePengnganantatarr
Dar
Dari i berberbagbagai ai memetotode de pepenynyeleelesasaiaian n prprogograram m lilinienierr, , memetotode de sisimpmpleleksks merupakan metode yang paling ampuh dan terkenal. Metode simpleks didasarkan merupakan metode yang paling ampuh dan terkenal. Metode simpleks didasarkan atas pengertian bahwa solusi optimal dari masalah program linier, jika ada, selalu atas pengertian bahwa solusi optimal dari masalah program linier, jika ada, selalu dapat ditemukan di salah satu dari ”solusi dasar yang berlaku”. Oleh sebab itu dapat ditemukan di salah satu dari ”solusi dasar yang berlaku”. Oleh sebab itu dalam metode simpleks, langkah pertama adalah selalu untuk memperoleh solusi dalam metode simpleks, langkah pertama adalah selalu untuk memperoleh solusi dasar yang berlaku.
dasar yang berlaku. Meto
Metode de sisimplempleks ks yayang ng akan akan dibdibahas ahas berberikikut ut adaladalah ah metmetode ode yanyang g cukcukupup seder
sederhana hana dan dan memilmemiliki iki mekanimekanisme sme alamialamiah. ah. Langkah-Langkah-langkah dalam langkah dalam metodemetode simpleks diulang-ulang sampai tercapai suatu solusi optimal, jika ada.
simpleks diulang-ulang sampai tercapai suatu solusi optimal, jika ada.
B.
B. PePenenentuntuan an MaMaksiksimumumm
Suatu masalah dalam pabrik memiliki data sebagai berikut : Suatu masalah dalam pabrik memiliki data sebagai berikut : Ukuran waktu pemprosesam oleh departemen Ukuran waktu pemprosesam oleh departemen Departemen
Departemen UkuranUkuran
A A BB CC Kapasitas Kapasitas per-Periode waktu Periode waktu P
Peemmoottoonnggaann 1100..77 55..00 22..00 22770055
P
Peelliippaattaann 55..44 1100..00 44..00 22221100
P
Peennggeeppaakkaann 00..77 11..00 22..00 444455
K
Keeuunnttuunnggaann//uunniitt $1$100 $$1155 $$2200
Langkah pertama adalah menentukan model matematika untuk data-data yang Langkah pertama adalah menentukan model matematika untuk data-data yang tertera dalam tabel.
tertera dalam tabel.
Misalkan bahwa diproduksi sejumlah
Misalkan bahwa diproduksi sejumlah x x unit dari produksi A, sejumlahunit dari produksi A, sejumlah y y unitunit produksi B dan sejumlah
produksi B dan sejumlah z z unit dari produksi C.unit dari produksi C. Fungsi objektif:
Fungsi objektif:
Mak
Maksimsimumkumkanan : f = 10: f = 10x + 15x + 15y + 20y + 20zz S
5,4x + 10y + 4z ≤ 2210 5,4x + 10y + 4z ≤ 2210 0,7x + 1y +2z ≤ 445 0,7x + 1y +2z ≤ 445 x ≥ 0, y ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0z ≥ 0
Dengan penambahan variabel ”slack” S
Dengan penambahan variabel ”slack” S1,1, SS2,2, SS3.3. pert pertidaksidaksamaan amaan tersetersebutbut
dap
dapat at diudiubah bah menmenjadjadi i perpersamsamaan. aan. PemPembuabuatan tan proproduksduksi i imimagiaginer ner SS1,1, SS2,2, SS33..
melibatkan keuntungan nol perunitnya. Sehingga Model matematikanya dapat melibatkan keuntungan nol perunitnya. Sehingga Model matematikanya dapat ditulis kembali sebagai berikut :
ditulis kembali sebagai berikut :
Maksimumkan : fo = 10x + 15y + 20z + S Maksimumkan : fo = 10x + 15y + 20z + S11+ 0S+ 0S22+ 0S+ 0S33 10,7x + 5y + 2z + 1S 10,7x + 5y + 2z + 1S11+ 0S+ 0S22+ 0S+ 0S33= 2705= 2705 5,4x + 5,4x + 10y + 10y + 4z 4z + 0S+ 0S11+ 1S+ 1S22+ 0S+ 0S33= 2710= 2710 0,7x + 1y + 2z + 0S 0,7x + 1y + 2z + 0S11+ 0S+ 0S22+ 1S+ 1S33= 445.= 445. x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, S x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, S11≥ 0, S≥ 0, S22≥ 0, S≥ 0, S33≥ 0≥ 0 met
metode ode simsimplekpleks s melmelangkangkah ah dengdengan an menmengadgadakan akan perperbaibaikan-kan-perperbaibaikankan ter
terhadahadap p solsolusi usi dasdasar ar yanyang g memmemenuenuhi hi sysyaraarat t sehisehingga ngga dicdicapaapai i suasuatu tu solsolusiusi opt
optimaimal. l. SetSetiap iap proprogragram m yanyang g akan akan dibdibuat uat berberikikut, ut, dibdiberierikan kan daldalam am bentbentuk uk matriks atau tabel.
matriks atau tabel.
1.
1. MeMeranrancancang Prg Progogram ram AAwawall
Pr
Progograram m pepertrtamama a dadalalam m memetotode de sisimpmplelek k adadalalah ah prprogograram m yyanang g hahanynyaa melibatkan variabel slack. Arti dari data-data yang tertera pada tabel simpleks melibatkan variabel slack. Arti dari data-data yang tertera pada tabel simpleks di atas harus dimengerti sepenuhnya agar dapat menghayati metode simpleks. di atas harus dimengerti sepenuhnya agar dapat menghayati metode simpleks. Oleh sebab itu marilah kita bahas tabelnya berikut ini:
Oleh sebab itu marilah kita bahas tabelnya berikut ini: Pr
Progogrramam KeKeununttunungagann perunit perunit K Kuuaannttiittaass $$1100 x x $15 $15 y y $20 $20 zz $0 $0 S S11 $0 $0 S S22 $0 $0 S S33 S S11 00 22770055 11 0.7 0.7 5 5 22 11 00 00 S S22 00 22771100 55..44 1100 44 00 11 00 S S33 00 444455 00..77 11 22 00 00 11 Keterangan: Keterangan:
a)
a) DalDalam am kolkolom om ”Pr”Progrogram” terdafam” terdaftar varitar variabelabel-va-variariabel khusus dalam solubel khusus dalam solusisi (produksi yang dihasilkan). Maka dalam program awal kita produksi S (produksi yang dihasilkan). Maka dalam program awal kita produksi S1,1,SS2,2,
S S33..
b
b)) DaDalalam m kolkolom om ”Ke”Keununtutungangan n peper r ununitit” ” teterdrdafafat at koekoefifisisien en (d(dalalam am fufungngsisi objekt
objektif) if) dari variabel-vdari variabel-variabel yang ariabel yang tercatercakup kup dalam program dalam program terstersebut.ebut. Dapat dipastikan dari fungsi objektif, koefisien dari S
Dapat dipastikan dari fungsi objektif, koefisien dari S1,1,SS2,2,SS33adalah nol.adalah nol.
c)
c) Dalam koDalam kolom ”Kulom ”Kuantitantitas” teras” terdaftadaftar besarr besarnya varnya variabel yiabel yang tercaang tercakup dalkup dalamam solusi. Program awal mencakup produksi 2705 unit S
solusi. Program awal mencakup produksi 2705 unit S11, 2210 unit, 2210 unit SS2,2, dandan
445 unit S 445 unit S33..
d)
d) KonKontritribusbusi i keukeuntunntungan total yang dihasgan total yang dihasilkilkan an dardari i proprogragram m yanyang g dimdimililikiiki da
dapapat t didihihittunung g dedengngan an mmeengngalaliikakan n anangkgka-a-anangkgka a dadalalam m kokololomm “keuntungan per unit” dan kolom “kuantitas” bersangkutan dan kemudian “keuntungan per unit” dan kolom “kuantitas” bersangkutan dan kemudian menju
menjumlahkan hasil mlahkan hasil perkalperkaliannyiannya. a. Dalam Dalam progrprogram am pertapertama ma kontrikontribusibusi keuntungan total adalah: 0 (2705) + 0 (2210) + 0 (445) = 0.
keuntungan total adalah: 0 (2705) + 0 (2210) + 0 (445) = 0. e)
e) BilanBilangan-bigan-bilangan dlangan dalam bagialam bagian utama (an utama (bilabilangan-bingan-bilangan dilangan dibawak kolbawak kolomom (x, y, dan z) dapat dijelaskan memiliki arti fisik. Misalnya, bilangan 10.7 (x, y, dan z) dapat dijelaskan memiliki arti fisik. Misalnya, bilangan 10.7 me
menununjnjukukkakan n peperbrbanandidingngan an pepertrtukukararan an anantatara ra x x dadan n SS11, , beberarartrtii
memproduksi 1 unit x harus mengorbankan 1 10.7 unit S
memproduksi 1 unit x harus mengorbankan 1 10.7 unit S11. pada kolom. pada kolom
dibawah y berarti memproduksi 1 unit y harus mengorbankan 5 unit S dibawah y berarti memproduksi 1 unit y harus mengorbankan 5 unit S11. 10. 10
unit S
unit S22, dan 1 unit S, dan 1 unit S33..
2.
2. Menguji keoptimalan program yang sedang berlangsungMenguji keoptimalan program yang sedang berlangsung
Program awal memberikan keuntungan nol, karena melibatkan x = 0, y = Program awal memberikan keuntungan nol, karena melibatkan x = 0, y = 0,
0, z z = = 0, 0, SS11= 2705 S= 2705 S22= 2210, S= 2210, S33= 445 dengan keuntungan := 445 dengan keuntungan :
Fo = 10(0) + 15(0) + 20(0) + 0(2705) + 0(2210) + 0(445) = 0 Fo = 10(0) + 15(0) + 20(0) + 0(2705) + 0(2210) + 0(445) = 0
Perbaikan terhadap program awal dilakukan dengan mengikutsertakan z Perbaikan terhadap program awal dilakukan dengan mengikutsertakan z dalam program. Dipilih z karena 1 unit z memberikan keuntungan $20, yang dalam program. Dipilih z karena 1 unit z memberikan keuntungan $20, yang lebih tinggi dari keuntungan yang d
lebih tinggi dari keuntungan yang diberikan oleh 1 unit x iberikan oleh 1 unit x atau 1 unit y.atau 1 unit y.
Pemasukan 1 unit dalam program mengubah fungsi keuntungan menjadi Pemasukan 1 unit dalam program mengubah fungsi keuntungan menjadi + 1(20) – 2(0) – 4(0) – 2(0) = +20.
Table 4.1 Table 4.1 Tabel Program Tabel Program 5 5 ,, 222 222 2 2 445 445 5 5 ,, 552 552 4 4 2210 2210 5 5 ,, 1352 1352 2 2 2705 2705
==
==
==
Rangkuman Rangkuman LaLangkngkahah-l-langangkah kah yayang ng dadapat pat diditetempmpuh uh daldalam am memenennentutukan kan sosolulusi si optoptimimalal permasalahan program linear dengan metode simpleks I adalah :
permasalahan program linear dengan metode simpleks I adalah : 1.
1. MeMenenentntukukan an momodedel l mmatatemematatikika a ununttuk uk ddatata-a-dadata ta yyanang g ttererddapapat at papadada permasalahan program
permasalahan program linearlinear.. 2.
2. MeMenamnambabahkahkan varin variabeabel “sll “slacack” (Sk” (S1,1,SS2,2,SS33), sehingga model matematika dapat), sehingga model matematika dapat
diubah menjadi persamaan
diubah menjadi persamaan linearlinear.. 3.
3. MemMembuat buat kerkerangkangka ta tabel abel simsimplepleksks 4.
4. MerMeranancancang pg prorogrgram am awawalal 5.
5. MengujMenguji ki keoptimeoptimalan alan prograprogram ym yang ang sedang sedang berlanberlangsung.gsung. Prog Prog ram ram Profit Profit perunit perunit Kuant Kuant itas itas $10 $10 x x $15 $15 y y $20 $20 zz $0 $0 S S11 $0 $0 S S22 $0 $0 S S33 S S11 00 22770055 11 0.7 0.7 5 5 22 11 00 00 S S22 00 22771100 55..44 1100 44 00 11 00 S S33 00 444455 00..77 11 22 00 00 11 N
Neet t EEvvaalluuaattiioon n RRooww 1100 1155 2200 00 00 00
Kolom kunci Kolom kunci (variabel masuk) (variabel masuk) Bilangan Bilangan Kunci Kunci Baris kunci Baris kunci (variabel keluar) (variabel keluar)
x x 6.
6. MelMelakuakukan kan perperbaibaikan-kan-perperbaibaikan kan terterhadahadap p proprogragram m yayang ng sedsedang ang berberlanlangsugsungng sampai diperoleh program optimal. Langkah-langkah yang dilakukan dalam sampai diperoleh program optimal. Langkah-langkah yang dilakukan dalam melakukan perbaikan program tersebut adalah :
melakukan perbaikan program tersebut adalah : a.
a. MeMenenentntukukan an kokololom m kkununcici, , yayaiittu u kokollom om yyanang g dadapapat t mmemembeberrikikanan keuntungan
keuntungan terbesarterbesar.. b.
b. MeneMenentuntukan baris kunkan baris kunci, yaici, yaitu baristu barisan yang mempuan yang mempunyanyai i bilbilangaangan n hashasilil ba
bagi gi terterkecikecil l (bi(bilanlangan gan padpada a kolkolom om kuankuantittitas as dibdibagi agi dengdengan an bilbilanganganan bukan negatif pada kolom kunci).
bukan negatif pada kolom kunci).
cc.. MMeenenentntuukakan n bbiillanangagan n kkuunnccii, , yyaaiittu u bbiillaanngagan n yyaang ng ttererddaappat at ppaadada persilangan antara kolom kunci dan baris kunci.
persilangan antara kolom kunci dan baris kunci. d.
d. MenMenuruurunkan tabnkan tabel dari tael dari tabel progbel program awaram awal ke l ke tabetabel progrl program beriam berikutkutnyanya hasil perbaikan, dengan cara :
hasil perbaikan, dengan cara :
••
MelakMelakukan ukan transtransformformasi asi baris kunci, baris kunci, yaityaitu u membagmembagi i semua bilangansemua bilangan dalam baris kunci dengan bilangan kunci.dalam baris kunci dengan bilangan kunci.
••
Melakukan transformasi bukan baris kunci, dengan Melakukan transformasi bukan baris kunci, dengan rumus :rumus : Bil.baris baru = bil.baris lama–Bil.baris baru = bil.baris lama–
tan tan tan tan bersangku bersangku kunci kunci baris baris dalam dalam tertentu tertentu rasio rasio berkai berkai bilangan bilangan••
Program sudah optimal jika baris penilaian tidak memiliki bilanganProgram sudah optimal jika baris penilaian tidak memiliki bilangan nol atau negatif.METODE SIMPLEX II METODE SIMPLEX II
A.
A. PePenenentuntuan an MiMinimnimumum
Kasus mencari minimum akan
Kasus mencari minimum akan dijeldijelaskan dengan askan dengan sebuah masalah serupasebuah masalah serupa dengan masalah diet yang sangat terkenal. Marilah kita rumuskan sebuah masalah dengan masalah diet yang sangat terkenal. Marilah kita rumuskan sebuah masalah dimana seseorang
dimana seseorang memerlmemerlukan ukan sejumsejumlah lah tertetertentu ntu dari dari masimasing-masng-masing ing vitavitaminmin setiap harinya.
setiap harinya.
Vitamin A dan B terdapat dalam dua makanan yang berbeda M
Vitamin A dan B terdapat dalam dua makanan yang berbeda M11 dan Mdan M22..
jumlah vitamin disetiap makanan, harga perunit dari setiap makanan dan vitamin jumlah vitamin disetiap makanan, harga perunit dari setiap makanan dan vitamin
yang diperlukan setiap harinya dapat dilihati pada tab
yang diperlukan setiap harinya dapat dilihati pada tabel 5.1el 5.1 Vitamin
Vitamin MakananMakanan
M M11 MM22 Keperluan sehari Keperluan sehari A A 22 44 4400 B B 33 22 5500 Harga Harga makanan/unit makanan/unit 3 3 22..55
Data menunjukkan bahwa 1 M
Data menunjukkan bahwa 1 M11 mengandung 2 unit vitamin A dan 3 unitmengandung 2 unit vitamin A dan 3 unit
vitamin B, serta 1 unit M
vitamin B, serta 1 unit M22 mengandung 4 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B.mengandung 4 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B.
Keperluan sehari akan vitamin A paling sedikit 40 unit dan vitamin B sejumlah Keperluan sehari akan vitamin A paling sedikit 40 unit dan vitamin B sejumlah 540 unit. Tujuan kita adalah menentukan jumlah optimal dari makanan M
540 unit. Tujuan kita adalah menentukan jumlah optimal dari makanan M11dan Mdan M22
sehingga keperluan vitamin seharinya dipenuhi dengan biaya serendah mungkin. sehingga keperluan vitamin seharinya dipenuhi dengan biaya serendah mungkin.
Mis
Misalkalkan an bahwbahwa a untuntuk uk memmemenuenuhi hi tutujuan ini juan ini dibdibeli x eli x makmakanaanan n MM11 dandan
sejumlah y dari makanan M
sejumlah y dari makanan M22. secara aljabar masalah ini dapat dituliskan sebagai. secara aljabar masalah ini dapat dituliskan sebagai
berkut : berkut :
Minimumkan :
Minimumkan : f f = 3x + 2.5y= 3x + 2.5y S Syyaarraatt :: 22x x + + 44y y ≥ ≥ 4400 3x + 2y ≥ 50 3x + 2y ≥ 50 x ≥ 0, y ≥ 0 x ≥ 0, y ≥ 0 Metode simpl
Metode simplek ek II menangani persyarII menangani persyaratan ”lebih besar atan ”lebih besar atau sama” denganatau sama” dengan sua
”pengurangan” dengan variabel ”slack”. Misalkan sejumlah x dan y dari vitamin ”pengurangan” dengan variabel ”slack”. Misalkan sejumlah x dan y dari vitamin A dan B diperlukan seharinya, maka model matematikanya dapat ditulis kembali A dan B diperlukan seharinya, maka model matematikanya dapat ditulis kembali sebagai berikut:
sebagai berikut:
Minimumkan :
Minimumkan : f f = 3x + 2.5y + 0S= 3x + 2.5y + 0S11+ 0S+ 0S22
S Syyaarraatt :: 22x x + + 44y y – – SS11≥ 40≥ 40 3x + 2y – S 3x + 2y – S22≥ 50≥ 50 x ≥ 0, y ≥ 0, S x ≥ 0, y ≥ 0, S11≥ 0, S≥ 0, S22≥ 0≥ 0 B.
B. VVariaariabel Slabel Slack Tick Tiruan (Aruan (Artifrtificiaicial)l)
Jika variabel kerangka (struktual) x dan y dimisalkan nol seperti program Jika variabel kerangka (struktual) x dan y dimisalkan nol seperti program awal metode simpleks, maka diperoleh nilai-nilai negatif S
awal metode simpleks, maka diperoleh nilai-nilai negatif S11 dan Sdan S22 yang tidak yang tidak
memen
memenuhi uhi persypersyaratanaratan. . Untuk Untuk tidak tidak melangmelanggar gar persypersyaratanaratan-pers-persyaratyaratan an yangyang tel
telah ah ditditetaetapkan pkan daldalam am proprogragram-pm-progrogram ram metmetode ode sisimplemplek k makmaka a dicidiciptaptakankan variabel slack tiruan.
variabel slack tiruan. Mode
Model l matmatemaematiktika a dildilengkengkapi api dengdengan an varvariabeiabel l slaslack ck tirtiruan Auan A11 dan Adan A22
sampa
sampai i AAnn, sehingga jika x dan y bernilai nol, persamaan-persamaan persyaratan, sehingga jika x dan y bernilai nol, persamaan-persamaan persyaratan
masih memiliki variabel slack yang bernilai positif. Maka model matematika masih memiliki variabel slack yang bernilai positif. Maka model matematika secara lengkap ditulis:
secara lengkap ditulis:
Minimumkan :
Minimumkan : f f = 3x + 2.5y + 0S= 3x + 2.5y + 0S11+ 0S+ 0S22++ MAMA11++ MAMA22
S Syyaarraatt :: 22x x + + 44y y – – SS11– A– A11= 40= 40 3x + 2y – S 3x + 2y – S22 – A – A22= 50= 50 x ≥ 0, y ≥ 0, S x ≥ 0, y ≥ 0, S11≥ 0, S≥ 0, S22≥ 0, A1≥ 0, A1 ≥ 0, A≥ 0, A22≥ 0≥ 0 C.
C. Merancang Merancang Program AProgram Awalwal
Dal
Dalam am metmetode ode simsimplepleks, ks, proprogragram m awaawal l hanhanya ya melmelibaibatkatkan n SS11 ddaan n SS22,,
sedangkan x dan y sebagai variabel kerangka bernilai nol. Untuk suatu masalah sedangkan x dan y sebagai variabel kerangka bernilai nol. Untuk suatu masalah berdimensi dua, ini berarti menyatakan vektor persyaratan P
berdimensi dua, ini berarti menyatakan vektor persyaratan P00 dalam vektor basisdalam vektor basis
1 1 0 0 0 0 1 1 dan dan ..Dalam contoh yang ditampilkan di atas, vektor persyaratan P
Dalam contoh yang ditampilkan di atas, vektor persyaratan P00==
50 50 40 40 dapat dapatdinyatakan dengan vektor-vektor basis
dinyatakan dengan vektor-vektor basis
1 1 0 0 0 0 1 1 dan dan ..Untuk memudahkan penyusunan program awal dari metode simpleks II, Untuk memudahkan penyusunan program awal dari metode simpleks II, maka dengan menggunakan variabel slack A
maka dengan menggunakan variabel slack A11 dan Adan A22, model matematika perlu, model matematika perlu
ditulis kembali selengkapnya. ditulis kembali selengkapnya.
Minimumkan :
Minimumkan : f f = 3x + 2.5y + 0S= 3x + 2.5y + 0S11+ 0S+ 0S22++ MAMA11++ MAMA22
S
Syyaarraatt :: 22x x + + 44y y – – 11..SS11– 0.S– 0.S22+ 1.A+ 1.A11+ 0.A+ 0.A22= 40= 40
3x + 2y – 0.S
3x + 2y – 0.S22 – 1.S – 1.S22+ 0.A+ 0.A11+ 1.A+ 1.A22= 50= 50
x ≥ 0, y ≥ 0, S
x ≥ 0, y ≥ 0, S11≥ 0, S≥ 0, S22≥ 0, A1≥ 0, A1 ≥ 0, A≥ 0, A22≥ 0≥ 0
Program awal dimulai dengan memilih x, y, z, S
Program awal dimulai dengan memilih x, y, z, S11, , SS22 ber bernilnilai ai nolnol. . DarDarii
persamaaan di atas, mudah dipahami bahwa ini berkaitan dengan nilai-nilai A persamaaan di atas, mudah dipahami bahwa ini berkaitan dengan nilai-nilai A11 ==
40, A
40, A22 = 50. Oleh sebab itu tabel yang digunakan untuk perhitungan simpleks II= 50. Oleh sebab itu tabel yang digunakan untuk perhitungan simpleks II
adalah program awal dapat dilihat pada tabel 5.2 adalah program awal dapat dilihat pada tabel 5.2
Prog Prog ram ram Biaya Biaya perunit perunit Kuant Kuant itas itas 3 3 x x 2,5 2,5 y y 0 0 S S11 0 0 S S22 M M A A11 M M A A22 A A11 MM 4400 22 44 --11 00 11 00 A A22 MM 5500 33 22 00 --11 00 11 Baris penilaian : Baris penilaian : 3-5M3-5M 66M M 22 22 −− MM MM 00 00 V
Vaarriiaabbeel l KKeelluuaarr VVaarriiaabbeel l MMaassuuk k
Langkah-langkah perbaikan program dalam metode simpleks II adalah: Langkah-langkah perbaikan program dalam metode simpleks II adalah: 1.
1. PerPerhithitungaungan dan dari bri bariaris pes penilnilaianaian 2.
2. MeMengengenanali li kolkolom om kunkuncici 3.
3. MenMengengenali ali barbaris kuis kunci dnci dan bian bilanlangan kgan kunciunci 4.
4. TrTransansforformasmasi dari baris kunci dari baris kunci i dan baridan baris s kunckunci untuk memperi untuk memperoleoleh prograh programm yang diperbaiki.
yang diperbaiki. D.
D. Prosedur Penentuan Struktur PersyaratanProsedur Penentuan Struktur Persyaratan
10 10 4 4 40 40
==
25 25 4 4 50 50==
Karakteristik dari masalah program linear dapat dicakup dalam 3 jenis yang Karakteristik dari masalah program linear dapat dicakup dalam 3 jenis yang berbeda.
berbeda. 1.
1. PePerrsysyararatatan yan yanang dag dalalam bem bentntuk auk asslilinynya dia dinynyatatakakan oan oleleh peh pertrtididakakssamamaaaann dari jenis ”kurang atau sama dengan” jenis ≤.
dari jenis ”kurang atau sama dengan” jenis ≤. 2.
2. PePerrsysyararatatan yan yanang dag dalalam bem bentntuk auk asslilinynya dia dinynyatatakakan oan oleleh peh pertrtididakakssamamaaaann dari jenis ”lebih besar atau sama denga
dari jenis ”lebih besar atau sama dengan” jenis ≥.n” jenis ≥.
Kedua kelompok ini ditangani dengan mengubahnya menjadi persamaan. Kedua kelompok ini ditangani dengan mengubahnya menjadi persamaan. 3
3.. PPeerrssyyaarraattaan n yyaanng g ddaallaam m bbeennttuuk k aasslliinnyya a mmeerruuppaakkaan n ccaammppuurraan n ddaarrii persamaan dan pertidaksamaan.
persamaan dan pertidaksamaan. Peny
Penyusuusunan nan kemkembalbali i modmodel el matmatemaematiktika a dipdiperlerlukan ukan untuntuk uk sisiap ap dan dan dapdapatat digunakan dalam perancangan program awal dari metode simpleks.
digunakan dalam perancangan program awal dari metode simpleks.
Rangkuman Rangkuman
La
Langkngkahah-l-langangkah kah yayang ng dadapat pat diditetempmpuh uh daldalam am memenenentntukukan an sosolulusi si optoptimimalal permasalahan program linear dengan metode simplek I adalah :
permasalahan program linear dengan metode simplek I adalah : 1.
1. MeMenenentntukukan an momodedel l mmatatemematatikika a ununttuk uk dadatata--dadatta a yayang ng ttererdadapapat t papadada permasalahan program
permasalahan program linearlinear.. 2.
2. MelMelakakukukan an pepengngururanangan denggan dengan an vavaririabeabel l ”s”slalack” ck” (S(S1,1, SS2,2, SS33,…), ,…), sehinsehinggagga
model matematika dapat diubah menjadi
model matematika dapat diubah menjadi persamaan linear.persamaan linear. 3.
3. SupSupaya tidaaya tidak k melmelangganggar syarar syarat yang ditetat yang ditetapkaapkan, maka n, maka ditditambambahkaahkan n varvariabeiabell “slack tiruan” (A
“slack tiruan” (A1,1,AA2,2,AA33,…).,…).
4.
4. MerMeranancancang Prog Progrgram Aam Awawall 5.
5. MengujMenguji ki keoptimeoptimalan alan prograprogram ym yang ang sedang sedang berlanberlangsunggsung 6.
6. MelMelakuakukan kan perperbaibaikan-kan-perperbaibaikan kan terterhadahadap p proprogragram m yanyang g sedsedang berlaang berlangsngsungung sampai diperoleh program optimal. Langkah-langkah yang dilakukan dalam sampai diperoleh program optimal. Langkah-langkah yang dilakukan dalam melakukan perbaikan program tersebut adalah :
melakukan perbaikan program tersebut adalah : a.
a. MeMenenentntukukan an kokololom m kukuncnci, i, yayaititu u kokololom m yayang ng mememimililiki ki ninilalai i ”n”negegatatif if terbesar” pada baris penilaian.
x x b.
b. MeneMenentuntukan baris kunkan baris kunci, yaici, yaitu baristu barisan yang mempuan yang mempunyanyai i bilbilangaangan n hashasilil ba
bagi gi terterkecikecil l (bi(bilanlangan gan padpada a kolkolom om kuankuantittitas as dibdibagi agi dengdengan an bilbilanganganan bukan negatif pada kolom kunci).
bukan negatif pada kolom kunci). c.
c. MeMenenentntukukan an bibillanangagan n kukuncncii, , yyaiaittu u bibilalangngan an yyanang g teterrdadapapat t papadada persilangan antara kolom kunci dan baris kunci.
persilangan antara kolom kunci dan baris kunci. d.
d. MenMenuruurunkan tabnkan tabel dari tael dari tabel progbel program awaram awal ke l ke tabtabel progel program berram berikikutnyutnyaa hasil perbaikan, dengan cara :
hasil perbaikan, dengan cara :
••
MelakMelakukan ukan transtransformformasi asi baris kunci, baris kunci, yaityaitu u membamembagi gi semua bilangansemua bilangan dalam baris kunci dengan bilangan kunci.dalam baris kunci dengan bilangan kunci.
••
Melakukan transformasi bukan baris kunci, dengan Melakukan transformasi bukan baris kunci, dengan rumus :rumus : Bil.baris baru = bil.baris lama–Bil.baris baru = bil.baris lama–
