oleh ERIKHA FERIYANTO M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Matematika

DIMENSI K -METRIK PADA GRAF MUSICAL, GRAF TURAN, GRAF CYCLE CORONA GRAF COMPLETE

BIPARTITE, DAN AMALGAMASI VERTEX ANTARA GRAF MUSICAL DENGAN GRAF TURAN

oleh

ERIKHA FERIYANTO M0117026

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2021

i

commit to user

DIMENSI K -METRIK PADA GRAF MUSICAL, GRAF TURAN, GRAF CYCLE CORONA GRAF COMPLETE BIPARTITE, DAN AMALGAMASI VERTEX ANTARA GRAF MUSICAL DENGAN

GRAF TURAN SKRIPSI

ERIKHA FERIYANTO NIM. M0117026

dibimbing oleh

Pembimbing I Pembimbing II

Prof. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc. Titin Sri Martini, S.Si., M.Kom.

NIP. 19630826 198803 1 002 NIP. 19750120 200812 2 001 dipertahankan di depan Dewan Penguji

dan dinyatakan telah memenuhi syarat pada hari Kamis, 17 Juni 2021

Jabatan Nama dan NIP Tanda Tangan Tanggal

Ketua Dr. Putranto Hadi Utomo, S.Si., M.Si. . . . NIP. 19860907 201212 1 002

Sekretaris Ririn Setiyowati, S.Si., M.Sc. . . . NIP. 19890924 201610 01

Anggota Prof. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc. . . . Penguji NIP. 19630826 198803 1 002

Titin Sri Martini, S.Si., M.Kom. . . . NIP. 19750120 200812 2 001

Disahkan

di Surakarta pada tanggal . . . . Kepala Program Studi Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Surakarta

Dr. Drs. Siswanto, M.Si.

NIP. 19670813 199203 1 002

01-07-2021 01-07-2021 02-07-2021

commit to user

02-07-2021

05 Juli 2021

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul Dimensi k -Metrik pada Graf Musical, Graf Turan, Graf Cycle Corona Graf Complete Bipartite, dan Amalgamasi Vertex antara Graf Musical dengan Graf Turan belum pernah diajukan untuk memeroleh gelar kesarjanaan pada suatu perguruan tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga belum pernah ditulis atau dipublikasikan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar rujukan.

Surakarta, 17 Juni 2021

Erikha Feriyanto

iii

commit to user

RINGKASAN

Diberikan graf terhubung dan sederhana G dengan V (G ) adalah himpunan vertex dan E (G ) adalah himpunan edge. Jarak antara dua vertex u dan v dalam graf G adalah panjang path terpendek antara vertex u dan vertex v yang dinotasikan dengan d(u, v). Misalkan bilangan bulat positif k, S ⊆ V (G) dimana S merupakan pembangkit k -metrik jika dan hanya jika untuk setiap pa- sangan vertex berbeda u, v ∈ V (G) terdapat {w₁, w₂, . . . , w_k} ⊆ S dan memenu- hi d(u, wi) 6= d(v, wi) untuk setiap i ∈ {1, 2, . . . , k}. Kardinalitas minimum dari pembangkit k -metrik suatu graf G disebut basis k -metrik dari graf G. Banyak elemen pada basis k -metrik graf G disebut dimensi k -metrik graf G (dimk(G)).

Beberapa peneliti telah menemukan dimensi k-metrik pada beberapa kelas graf, seperti graf lintasan, graf double fan snake, graf barbell, dan graf friendship.

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan dimensi k-metrik pada graf musical, graf Turan, graf cycle corona graf complete bipartite, dan amalgamasi vertex antara graf musical dengan graf Turan. Metode penelitian yang digunakan pada penelitian ini yaitu kajian pustaka.

Dalam penelitian ini diperoleh dimensi k -metrik pada graf musical M G_n yaitu dim2(M Gn) = 2n dengan n ≥ 3. Dimensi k -metrik pada graf Turan T_(g,j) yaitu dim₂(T_(g,j)) = (g − 1) untuk g > 2, j ≥ 2, dan g ganjil dengan j = d^g₂e, serta dim2(T_(g,j)) = g untuk g, j ≥ 2 dan g, j lainnya. Dimensi k -metrik pada graf cycle corona graf complete bipartite (C_m  K_(n,i)) yaitu dim₂(C_m K_(n,i)) = (mn) untuk n > 1, i = 1, dan dim2(Cm  K_(n,i)) = (mi) untuk n = 1, i > 1, serta dim₂(C_m  K_(n,i)) = (m(n + i) untuk n, i lainnya. Dimensi k -metrik pada amalgamasi vertex antara graf musical dengan graf Turan (M Gn ∗ T_(g,j)) yaitu dim₂(M G_n∗ T_(g,j)) = (2n + g − 3) untuk n ≥ 4, g ≥ 3, g ganjil dengan j = d^g₂e, 2 ≤ j ≤ b^g₂c atau d^(g+3)₂ e ≤ j ≤ g, dan dim2(M Gn∗ T_(g,j)) = (2n + g − 4) untuk n ≥ 4, g ≥ 2, g genap dengan j = d^(g+1)₂ e, 2 ≤ j ≤ b^g₂c atau d^(g+3)₂ e ≤ j ≤ g, serta dim2(M Gn∗ T_(g,j)) = (2n + g − 5) untuk amalgamasi vertex twin vertices graf Turan, n ≥ 4, g ≥ 3, g ganjil dengan j = d^g₂e.

commit to user

SUMMARY

Let G be a connected simple graph with vertex set V (G) and edge set E(G).

The distance between two vertices u and v in graph G is the length of the shortest path between vertex u and vertex v denoted by d(u, v). Suppose a positive integer k, a set S ⊆ V (G) is called a k-metric generator if for any pair of different vertices u, v ∈ V (G) there exist {w₁, w₂, . . . , w_k} ⊆ S and satisfies d(u, w_i) 6= d(v, w_i) for every i ∈ {1, 2, . . . , k}. The minimum cardinality of the k-metric generator of a graph G is called the k-metric base of graph G. There are many elements of the k-metric base called the k-metric dimension of the graph G (dim_k(G)).

Some researchers have investigated the k-metric dimension of some graph classes, such as path graph, double fan snake graph, barbell graph, and friendship graph. The purpose of this research is to determine the k-metric dimension on the musical graph, Turan graph, cycle graph corona complete bipartite graph, and vertex amalgamation between musical graph and Turan graph. The method in this research is a literature study.

In this research it is obtained that the k-metric dimension on the musical graph M G_n is dim₂(M G_n) = 2n with n ≥ 3. The k-metric dimension on the Turan graph T_(g,j) is dim₂(T_(g,j)) = (g − 1) for g > 2, j ≥ 2, and odd g with j = d^g₂e, in addition dim₂(T_(g,j)) = g for g, j ≥ 2 and the other g, j. The k-metric dimension on the cycle graph corona complete bipartite graph (C_m  K_(n,i)) is dim₂(C_m  K_(n,i)) = (mn) for n > 1, i = 1, and dim₂(C_m  K_(n,i)) = (mi) for n = 1, i > 1, moreover dim₂(C_m  K_(n,i)) = (m(n + i) for the other n, i. The k-metric dimension on the vertex amalgamation between musical graph M G_n and Turan graph T_(g,j) (M G_n ∗ T_(g,j)) is dim₂(M G_n∗ T_(g,j)) = (2n + g − 3) for n ≥ 4, g ≥ 3, odd g with j = d^g₂e, 2 ≤ j ≤ b^g₂c or d^(g+3)₂ e ≤ j ≤ g, and dim₂(M G_n∗ T_(g,j)) = (2n + g − 4) for n ≥ 4, g ≥ 2, even g with j = d^(g+1)₂ e, 2 ≤ j ≤ b^g₂c or d^(g+3)₂ e ≤ j ≤ g, furthermore dim₂(M G_n∗ T_(g,j)) = (2n + g − 5) for twin vertices vertex amalgamation on Turan graph, n ≥ 4, g ≥ 3, odd g with j = d^g₂e.

v

commit to user

MOTO

”Dari Anas bin Malik RA, ia berkata Rasulullah SAW bersabda, ”Barangsiapa menjadikan akhirat tujuannya (niatnya), niscaya Allah akan menjadikan kekayaannya di dalam hatinya. Dia akan mengumpulkan segala urusannya yang tercerai berai, dan dunia datang padanya dalam keadaan hina. Dan barang siapa

menjadikan dunia tujuannya (niatnya), niscaya Allah akan menjadikan kefakiran berada di depan matanya. Dia akan mencerai-beraikan segala urusannya yang menyatu, dan tidak datang kepadanya dari dunia kecuali

sekadar yang telah ditakdirkan baginya.”

(HR. Tirmidzi)

”Pemandangan paling indah di bawah bentangan langit berbintang adalah melihat ayah dan ibu bahagia.”

commit to user

PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk Allah SWT dan Keluarga tersayang

vii

commit to user

PRAKATA

Bismillahirrahmanirrahim,

Segala puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkat dan rahmat-Nya sehingga skripsi yang berjudul Dimensi k -Metrik pada Graf Musical, Graf Turan, Graf Cycle Corona Graf Complete Bipartite, dan Amalgamasi Vertex antara Graf Musical dengan Graf Turan dapat tercapai dan terselesaikan sesuai dengan takdir dan kehendak-Nya. Penulis menyadari dalam proses pembuatan skripsi ini banyak pihak yang turut membantu, baik secara langsung maupun tidak langsung. Selanjutnya penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini, terutama kepada

1. Prof. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. sebagai Pembimbing I yang te- lah memberikan bimbingan mengenai materi dan motivasi sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini,

2. Titin Sri Martini, S.Si., M.Kom. sebagai Pembimbing II yang telah membe- rikan bimbingan mengenai penulisan dan motivasi sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini,

3. keluarga dan teman-teman yang telah membantu dan senantiasa membe- rikan semangat dalam menyelesaikan skripsi ini, dan

4. Maria yang telah membantu dan memberikan motivasi dalam menyelesaikan skripsi ini.

Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pembaca.

Surakarta, 17 Juni 2021

Erikha Feriyanto commit to user

Daftar Isi

PENGESAHAN . . . ii

PERNYATAAN . . . iii

RINGKASAN . . . iv

SUMMARY . . . v

MOTO . . . vi

PERSEMBAHAN . . . vii

PRAKATA . . . viii

DAFTAR ISI . . . x

DAFTAR GAMBAR . . . xi

DAFTAR TABEL . . . xii

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . xiii

I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . 2

1.3 Tujuan . . . 3

1.4 Manfaat . . . 3

II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka . . . 4

2.2 Landasan Teori . . . 4

2.2.1 Pengertian Dasar Graf . . . 5

2.2.2 Kelas-kelas Graf . . . 7

2.2.3 Operasi pada Graf . . . 9

ix

commit to user

2.2.4 Dimensi k -Metrik . . . 10 2.3 Kerangka Pemikiran . . . 15

III METODE PENELITIAN 17

IV HASIL DAN PEMBAHASAN 18

4.1 Dimensi k -Metrik pada Graf Musical M G_n . . . 18 4.2 Dimensi k -Metrik pada Graf Turan T_(g,j) . . . 21 4.3 Dimensi k -Metrik pada Graf Cycle Corona Graf Complete Bipartite

(C_m  K_(n,i)) . . . 24 4.4 Dimensi k -Metrik pada Amalgamasi Vertex antara Graf Musical

dengan Graf Turan (M G_n ∗ T_(g,j)) . . . 32

V PENUTUP 41

5.1 Kesimpulan . . . 41 5.2 Saran . . . 41

commit to user

Daftar Gambar

2.1 Graf G . . . 5

2.2 Graf cycle Cm untuk 4 ≤ m ≤ 6 . . . 7

2.3 Graf musical M G_n untuk n = 3, 6 . . . 7

2.4 Graf Turan T(5,1), T(5,3), T(5,4) . . . 8

2.5 Graf complete bipartite K_(n,i). . . 8

2.6 Graf cycle Cm corona graf complete bipartite K(n,i) (Cm  K(n,i)) . 9 2.7 Graf musical M G_n amalgamasi vertex graf Turan T_(g,j) (M G_n ∗ T(g,j)) . . . 10

2.8 Graf A . . . 11

2.9 Graf musical M G4 . . . 14

4.1 Graf musical M G_n . . . 18

4.2 Graf Turan T_(g,j) . . . 21

xi

commit to user

Daftar Tabel

2.1 Jarak setiap vertex berbeda pada graf A . . . 11 4.1 Jarak setiap dua vertex berbeda pada graf M G_n . . . 19 4.2 Jarak setiap dua vertex berbeda pada graf Turan . . . 21

commit to user

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

G : graf G

S : pembangkit k-metrik

V (G) : himpunan vertex dari graf G E(G) : himpunan edge dari graf G

|X| : kardinalitas himpunan X u, v : vertex

e, uv : edge

deg_G(v) : degree vertex v dari graf G d(u, v) : jarak dari vertex u ke v

N_G(x) : himpunan semua vertex yang adjacent dengan vertex x di graf G

N_G[x] : himpunan semua vertex yang adjacent dengan vertex x di graf G termasuk vertex x sendiri

A ∩ B : himpunan A dan himpunan B A ∪ B : himpunan A atau himpunan B

⊆ : himpunan bagian

∈ : anggota

 : akhir bukti

dxe : bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x (ceiling)

dim(G) : dimensi metrik pada graf G dim_k(G) : dimensi k-metrik pada graf G dim₂(G) : dimensi 2-metrik pada graf G

r(u|W ) : representasi vertex v terhadap himpunan W

xiii

commit to user

r(u|W ) 6= r(v|W ) : representasi vertex u terhadap himpunan W berbeda total dengan representasi vertex v terhadap himpunan W

M Gn : graf musical dengan order n

T_(g,j) : graf T uran dengan order g dan banyak partisi j

Cm : graf cycle dengan order m

K_(n,i) : graf complete bipartite dengan order n dan i

Cm  K_(n,i) : graf hasil operasi corona dari graf Cm dengan graf K_(n,i) M G_n ∗ T_(g,j) : graf hasil operasi amalgamasi vertex dari graf M G_n

dengan graf T_(g,j)

P_n : graf path dengan order n

G + H : graf hasil operasi join dari graf G dengan graf H f_2,n : graf double f an snake dengan order n

G  H : graf hasil operasi corona dari graf G dengan graf H D_G(u, v) : himpunan distinctive vertices dari u dan v

pada graf G

D_G^∗ : himpunan distinctive vertices yang non-trivial pada graf G

commit to user

Bab I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Matematika merupakan cabang ilmu yang dapat diterapkan dalam kehi- dupan sehari-hari. Salah satu cabang ilmu matematika yang sering diterapkan adalah teori graf. Menurut Diestel [5] teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonard Euler pada tahun 1736. Berangkat dari sebuah masalah warga kota K¨onigsberg, pada kota tersebut terdapat empat daratan yang dipisahkan oleh sungai. Daratan tersebut dihubungkan oleh tujuh jembatan. Kemudian war- ga kota tersebut ingin melewati semua jembatan tepat sekali dan kembali ke tempat semula. Euler membuktikan, bahwa hal tersebut tidak mungkin terjadi.

Bentuk representasi tersebut berkembang dan dikenal dengan teori graf saat ini.

Sejak saat itu, teori graf berkembang pesat dengan penelitian-penelitian beserta temuan-temuan baru terkait teori graf. Teori graf dapat diterapkan dalam bidang sosial, bidang olahraga, bidang musik, dan bidang industri.

Menurut Chartrand et al. [3], suatu graf G adalah himpunan tak ko- song berhingga dengan V (G) = {v₁, v₂, ..., v_n} adalah himpunan vertex dan E(G) = {e₁, e₂, ..., e_n} adalah himpunan edge yang menghubungkan anggota - anggota V (G) secara tidak berurutan. Secara sederhana, graf adalah himpun- an tak kosong berhingga vertex dan himpunan edge yang menghubungkan antar vertex. Banyaknya vertex dalam suatu graf G disebut order, dinotasikan dengan

|V (G)|, dan banyaknya edge dalam suatu graf G disebut size, dinotasikan dengan

|E(G)|.

Tahun 1976, Harary dan Melter [10] memperkenalkan konsep dimensi me- trik yang menyebutkan bahwa himpunan pembeda sebagai resolving set. Him- punan pembeda dengan jumlah anggota minimal disebut basis metrik dari graf

1

commit to user

G dan banyaknya anggota dari basis di graf G disebut dimensi metrik dari graf G yang dinotasikan dim(G) (Chartrand et al. [2]). Seiring perkembangan peneliti- an dalam teori graf untuk memperluas konsep dari dimensi metrik telah muncul konsep baru yaitu dimensi k -metrik. Tahun 2015 Estrada-Moreno et al. [6] telah memperkenalkan tentang dimensi k -metrik. Misal G adalah graf terhubung dan sederhana, himpunan S ⊆ V (G) disebut sebagai pembangkit k -metrik pada G ji- ka dan hanya jika untuk setiap pasang vertex yang berbeda u, v ∈ V (G), terdapat paling sedikit k vertex w₁, w₂, ..., w_k ∈ S sedemikian sehingga d(u, w_i) 6= d(v, w_i) untuk setiap i ∈ {1, ..., k}. Pembangkit k -metrik dengan jumlah anggota mini- mal disebut basis k -metrik dan banyaknya anggota dari basis k -metrik disebut dimensi k -metrik dari graf G yang dinotasikan dim_k(G).

Tahun 2015, Estrada-Moreno et al. [6] telah menemukan dimensi k -metrik pada graf lintasan (path) dan graf hasil operasi join dengan vertex pada masing- masing graf merupakan twin vertices. Tahun 2018 Rahmadi [12] telah menda- patkan dimensi k -metrik pada graf double fan snake. Oleh karena itu, pada penelitian ini ditentukan dimensi k -metrik dari beberapa kelas graf yang belum pernah diteliti sebelumnya yaitu graf musical M G_n, graf Turan T_(g,j), graf cycle corona graf complete bipartite (C_m  K_(n,i)), dan amalgamasi vertex antara graf musical M G_n dengan graf Turan T_(g,j) (M G_n ∗ T_(g,j)).

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan pada latar belakang diperoleh rumusan masalah yaitu bagai- mana menentukan dimensi k -metrik pada graf musical, graf Turan, graf cycle corona graf complete bipartite, dan amalgamasi vertex antara graf musical de- ngan graf Turan.

commit to user

1.3 Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah dapat menentukan dimensi k -metrik pada graf musical, graf Turan, graf cycle corona graf complete bipartite, dan amalga- masi vertex antara graf musical dengan graf Turan.

1.4 Manfaat

Manfaat dari penelitian ini dapat menjadi pengembangan ilmu matematika dan menjadi referensi bagi pembaca terkait ilmu matematika khususnya tentang pengetahuan dimensi k -metrik. Selain itu menjadi bekal bagi pembaca untuk melakukan riset pada kelas-kelas graf lainnya.

3

commit to user