AS3112 Fisika Gelombang

(1)

Efek Doppler

AS3112 Fisika Gelombang

Gelombang Transversal

Taufiq Hidayat

¹

Lucky Puspitarini

¹

1Kelompok Keahlian Astronomi FMIPA ITB

2020

(2)

1

Gelombang

2

Persamaan Gelombang

3

Impedansi Karakteristik

4

Refleksi dan Transmisi gelombang

5

Gelombang berdiri

6

Group Gelombang dan Kecepatan Group

7

Efek Doppler

T. Hidayat, L. Puspitarini AS3112 Fisika Gelombang

(3)

Efek Doppler

Overview Kalkulus - Turunan Parsial

Apabila kita memiliki fungsi yang hanya bergantung satu variable y = f (x ), maka turunannya

dy

dx = lim

δx →0

f (x + δx ) − f (x )

δx (1)

Jika fungsi bergantung pada lebih dari satu variabel, misalnya fungsi z(x , y ) atau x

²

+ y

²

+ z

²

= a

²

, maka turunannya.

dz = ( ∂z

∂x )

y

dx + ( ∂z

∂y )

x

dy (2)

dengan (

^dz_dx

)

_y

menunjukkan turunan z terhadap x dengan y

dianggap konstan.

(4)

Apabila kita memiliki fungsi yang hanya bergantung satu variable y = f (x ), maka turunannya

dy

dx = lim

δx →0

f (x + δx ) − f (x )

δx (1)

Jika fungsi bergantung pada lebih dari satu variabel, misalnya fungsi z(x , y ) atau x

²

+ y

²

+ z

²

= a

²

, maka turunannya.

dz = ( ∂z

∂x )

y

dx + ( ∂z

∂y )

x

dy (2)

dengan (

^dz_dx

)

_y

menunjukkan turunan z terhadap x dengan y dianggap konstan.

(5)

Efek Doppler

Gelombang

Salah satu cara menunjukkan gelombang yaitu dengan menggerakkan salah satu ujung dari tali yang panjang sehingga terbentuk puncak dan lembah pada tali. Gerakan massa tali tersebut merupakan gelombang.

Jika tali tersebut sangat panjang, maka gelombang berjalanan pada medium panjang. Gelombang tersebut tidak mengalami pemantulan atau disebut sebagai progressive waves.

Progressive waves merupakan gelombang yang merambat pada medium yang tidak terikat, bebas dari pemantulan.

Namun, jika medium (tali) terbatas seperti tali pada gitar

atau biola, maka diperoleh gelombang berdiri (standing

(6)

Salah satu cara menunjukkan gelombang yaitu dengan menggerakkan salah satu ujung dari tali yang panjang sehingga terbentuk puncak dan lembah pada tali. Gerakan massa tali tersebut merupakan gelombang.

Jika tali tersebut sangat panjang, maka gelombang berjalanan pada medium panjang. Gelombang tersebut tidak mengalami pemantulan atau disebut sebagai progressive waves.

Progressive waves merupakan gelombang yang merambat pada medium yang tidak terikat, bebas dari pemantulan.

Namun, jika medium (tali) terbatas seperti tali pada gitar atau biola, maka diperoleh gelombang berdiri (standing waves).

(7)

Efek Doppler

Gelombang

Salah satu cara menunjukkan gelombang yaitu dengan menggerakkan salah satu ujung dari tali yang panjang sehingga terbentuk puncak dan lembah pada tali. Gerakan massa tali tersebut merupakan gelombang.

Jika tali tersebut sangat panjang, maka gelombang berjalanan pada medium panjang. Gelombang tersebut tidak mengalami pemantulan atau disebut sebagai progressive waves.

Progressive waves merupakan gelombang yang merambat pada medium yang tidak terikat, bebas dari pemantulan.

Namun, jika medium (tali) terbatas seperti tali pada gitar

atau biola, maka diperoleh gelombang berdiri (standing

(8)

Salah satu cara menunjukkan gelombang yaitu dengan menggerakkan salah satu ujung dari tali yang panjang sehingga terbentuk puncak dan lembah pada tali. Gerakan massa tali tersebut merupakan gelombang.

Jika tali tersebut sangat panjang, maka gelombang berjalanan pada medium panjang. Gelombang tersebut tidak mengalami pemantulan atau disebut sebagai progressive waves.

Progressive waves merupakan gelombang yang merambat pada medium yang tidak terikat, bebas dari pemantulan.

Namun, jika medium (tali) terbatas seperti tali pada gitar atau biola, maka diperoleh gelombang berdiri (standing waves).

(9)

Efek Doppler

Gelombang

(10)

Berdasarkan arah osilasinya terdapat dua jenis gelombang:

Gelombang transversal → osilasinya tegak lurus dengan arah propagasi gelombang

Contoh: gelombang tali

Gelombang longitudinal → osilasinya paralel dengan arah propagasi gelombang

Contoh: gelombang bunyi yang merambat pada medium gas

(11)

Efek Doppler

Gelombang Transversal dan Longitudinal

Berdasarkan arah osilasinya terdapat dua jenis gelombang:

Gelombang transversal → osilasinya tegak lurus dengan arah propagasi gelombang

Contoh: gelombang tali

Gelombang longitudinal → osilasinya paralel dengan arah propagasi gelombang

Contoh: gelombang bunyi yang merambat pada medium

gas

(12)

Plane waves

Spherical Waves: gelombang yang permukaannya bola yang disebabkan sumber di titik pusat. Contohnya:

ledakan.

(13)

Efek Doppler

Kecepatan

Osilator(medium) tidak mengalami perambatan, melainkan mengalami gerak harmonik terhadap titik kesetimbangan.

Terdapat 3 jenis kecepatan dalam gerak gelombang:

Kecepatan partikel: kecepatan osilator harmonik sederhana terhadap posisi kesetimbangan.

Kecepatan fase (kecepatan gelombang): kecepatan bidang sefase atau kecepatan puncak dan lembah menjalar pada medium.

Kecepatan group: kecepatan sejumlah gelombang dengan frekuensi berbeda yang bersuperposisi (membentuk grup).

Gelombang jarangsekali merupakan komponen

monokromatik.

(14)

Osilator(medium) tidak mengalami perambatan, melainkan mengalami gerak harmonik terhadap titik kesetimbangan.

Terdapat 3 jenis kecepatan dalam gerak gelombang:

Kecepatan partikel: kecepatan osilator harmonik sederhana terhadap posisi kesetimbangan.

Kecepatan fase (kecepatan gelombang): kecepatan bidang sefase atau kecepatan puncak dan lembah menjalar pada medium.

Kecepatan group: kecepatan sejumlah gelombang dengan frekuensi berbeda yang bersuperposisi (membentuk grup).

Gelombang jarangsekali merupakan komponen monokromatik.

(15)

Efek Doppler

Kecepatan

Osilator(medium) tidak mengalami perambatan, melainkan mengalami gerak harmonik terhadap titik kesetimbangan.

Terdapat 3 jenis kecepatan dalam gerak gelombang:

Kecepatan partikel: kecepatan osilator harmonik sederhana terhadap posisi kesetimbangan.

Kecepatan fase (kecepatan gelombang): kecepatan bidang sefase atau kecepatan puncak dan lembah menjalar pada medium.

Kecepatan group: kecepatan sejumlah gelombang dengan frekuensi berbeda yang bersuperposisi (membentuk grup).

Gelombang jarangsekali merupakan komponen

monokromatik.

(16)

Misalkan segmen tali yang bergeser pada arah y sebagai berikut. Pergeseran y akan bervariasi dengan t dan x . Gaya tegang T bekerja di x pada sudut θ dan di x + dx pada sudut θ + d θ.

Panjang elemen ds:

(17)

Efek Doppler

Persamaan Gelombang dalam Tali

ds = [1 + ( ∂y

∂x )

²

]

^1/2

dx (3) Oleh karena (∂y /∂x ) bernilai sangat kecil, maka dapat kita abaikan sehingga

ds ' dx . (4)

Massa elemen tali m = ρds = ρdx

(18)

Persamaan gerak dari gelombang dalam tali dapat diturunkan menggunakan Hukum Newton (F = ma).

Tinjau gaya-gaya yang tegak lurus

T sin(θ + d θ) − T sin θ = (ρdx )( ∂

²

y

∂t

²

) (5) Oleh karena θ bernilai sangat kecil, maka

sin θ ' tan θ =

^∂y_∂x

, sehingga persamaan dapat dituliskan ulang sebagai berikut.

T [( ∂y

∂x )

_{x +dx}

− ( ∂y

∂x )

_x

] = (ρdx )( ∂

²

y

∂t

²

) (6) T [ ∂

²

y

∂x

²

dx ] = (ρdx )( ∂

²

y

∂t

²

) (7)

(19)

Efek Doppler

Persamaan Gelombang dalam Tali

Persamaan gerak dari gelombang dalam tali dapat ditulis ulang sebagai berikut:

∂

²

y

∂x

²

= ρ T

∂

²

y

∂t

²

(8)

Perhatikan bahwa dimensi

^T_ρ

adalah kuadrat dari kecepatan sehingga diperoleh bentuk lain persamaan gelombang:

∂

²

y

∂x

²

= 1 c

²

∂

²

y

∂t

²

(9)

(20)

Persamaan gerak dari gelombang dalam tali dapat ditulis ulang sebagai berikut:

∂

²

y

∂x

²

= ρ T

∂

²

y

∂t

²

(8)

Perhatikan bahwa dimensi

^T_ρ

adalah kuadrat dari kecepatan sehingga diperoleh bentuk lain persamaan gelombang:

∂

²

y

∂x

²

= 1 c

²

∂

²

y

∂t

²

(9)

(21)

Efek Doppler

Persamaan Gelombang

Perhatikan bahwa persamaan gelombang

menghubungkan percepatan dengan turunan kedua dari pergeseran terhadap posisi x pada medium.

∂

²

y

∂x

²

= 1 c

²

∂

²

y

∂t

²

(10)

c dapat merupakan kecepatan cahaya, kecepatan suara atau q

T

ρ

tergantung pada sistem.

(22)

Persamaan gelombang

^∂_∂x²^y₂

=

_c¹₂^∂_∂t²^y₂

memiliki solusi fungsi yang bergantung x dan t atau f (x , t).

Solusi persamaan tersebut dapat berupa y = f

₁

(ct − x ), y = f

₂

(ct + x ), ataupun superposisi fungsi-fungsi tersebut y = f

₁

(ct − x ) + f

₂

(ct + x )

f (ct − x ) → gelombang bergerak ke kanan.

f (ct + x ) → bergerak ke kiri.

(23)

Efek Doppler

Jika f

⁰

menunjukkan turunan fungsi f terhadap (ct − x ),

∂y

∂x = −f

₁⁰

(ct − x ) (11)

∂

²

y

∂x

²

= f

₁⁰⁰

(ct − x ) (12) Jika f

⁰

menunjukkan turunan fungsi f terhadap t,

∂y

∂t = cf

₁⁰

(ct − x ) (13)

∂

²

y

∂t

²

= c

²

f

₁⁰⁰

(ct − x ) (14) Sehingga,

∂

²

y

∂x

²

= 1 c

²

∂

²

y

∂t

²

(15)

(24)

y = a sin(ωt − Φ) = a sin 2π

λ (ct − x ) (16) ω = 2πν = 2πc/λ, dengan c = νλ = λ/τ

Φ = 2πx /λ

Terdapat bentuk lain dari y = f (ct − x ):

y = a sin

^2π_λ

(ct − x ) y = a sin 2π(νt −

^x_λ

) y = a sin ω(t −

^x_c

)

y = a sin(ωt − kx ); k adalah bilangan gelombang y = ae

^{i(ωt−kx )}

k = 2π/λ c = ω/k

(25)

Efek Doppler

Kita dapat tuliskan

y = a sin(ωt − Φ) = a sin 2π

λ (ct − x ) (16) ω = 2πν = 2πc/λ, dengan c = νλ = λ/τ

Φ = 2πx /λ

Terdapat bentuk lain dari y = f (ct − x ):

y = a sin

^2π_λ

(ct − x ) y = a sin 2π(νt −

^x_λ

) y = a sin ω(t −

^x_c

)

y = a sin(ωt − kx ); k adalah bilangan gelombang y = ae

^{i(ωt−kx )}

k = 2π/λ

c = ω/k

(26)

y = a sin(ωt − Φ) = a sin 2π

λ (ct − x ) (16) ω = 2πν = 2πc/λ, dengan c = νλ = λ/τ

Φ = 2πx /λ

Terdapat bentuk lain dari y = f (ct − x ):

y = a sin

^2π_λ

(ct − x ) y = a sin 2π(νt −

^x_λ

) y = a sin ω(t −

^x_c

)

y = a sin(ωt − kx ); k adalah bilangan gelombang y = ae

^{i(ωt−kx )}

k = 2π/λ c = ω/k

(27)

Efek Doppler

Kita dapat tuliskan

y = a sin(ωt − Φ) = a sin 2π

λ (ct − x ) (16) ω = 2πν = 2πc/λ, dengan c = νλ = λ/τ

Φ = 2πx /λ

Terdapat bentuk lain dari y = f (ct − x ):

y = a sin

^2π_λ

(ct − x ) y = a sin 2π(νt −

^x_λ

) y = a sin ω(t −

^x_c

)

y = a sin(ωt − kx ); k adalah bilangan gelombang y = ae

^{i(ωt−kx )}

k = 2π/λ

c = ω/k

(28)

y = a sin(ωt − Φ) = a sin 2π

λ (ct − x ) (16) ω = 2πν = 2πc/λ, dengan c = νλ = λ/τ

Φ = 2πx /λ

Terdapat bentuk lain dari y = f (ct − x ):

y = a sin

^2π_λ

(ct − x ) y = a sin 2π(νt −

^x_λ

) y = a sin ω(t −

^x_c

)

y = a sin(ωt − kx ); k adalah bilangan gelombang y = ae

^{i(ωt−kx )}

k = 2π/λ c = ω/k

(29)

Efek Doppler

Kita dapat tuliskan

y = a sin(ωt − Φ) = a sin 2π

λ (ct − x ) (16) ω = 2πν = 2πc/λ, dengan c = νλ = λ/τ

Φ = 2πx /λ

Terdapat bentuk lain dari y = f (ct − x ):

y = a sin

^2π_λ

(ct − x ) y = a sin 2π(νt −

^x_λ

) y = a sin ω(t −

^x_c

)

y = a sin(ωt − kx ); k adalah bilangan gelombang y = ae

^{i(ωt−kx )}

k = 2π/λ

c = ω/k

(30)

y = a sin(ωt − Φ) = a sin 2π

λ (ct − x ) (16) ω = 2πν = 2πc/λ, dengan c = νλ = λ/τ

Φ = 2πx /λ

Terdapat bentuk lain dari y = f (ct − x ):

y = a sin

^2π_λ

(ct − x ) y = a sin 2π(νt −

^x_λ

) y = a sin ω(t −

^x_c

)

y = a sin(ωt − kx ); k adalah bilangan gelombang y = ae

^{i(ωt−kx )}

k = 2π/λ c = ω/k

(31)

Efek Doppler

Kita dapat tuliskan

y = a sin(ωt − Φ) = a sin 2π

λ (ct − x ) (16) ω = 2πν = 2πc/λ, dengan c = νλ = λ/τ

Φ = 2πx /λ

Terdapat bentuk lain dari y = f (ct − x ):

y = a sin

^2π_λ

(ct − x ) y = a sin 2π(νt −

^x_λ

) y = a sin ω(t −

^x_c

)

y = a sin(ωt − kx ); k adalah bilangan gelombang y = ae

^{i(ωt−kx )}

k = 2π/λ

c = ω/k

(32)

Yang kita amati pada gerak gelombang yaitu perubahan simpangan dan propagasi dari fase-nya.

Kecepatan gelombang atau kecepatan fase (∂x /∂t) merupakan laju gangguan bergerak sepanjang osilator-osilator.

Kecepatan osilator atau kecepatan partikel merupakan kecepatan harmonik sederhana (∂y /∂t).

(33)

Efek Doppler

Misalkan gelombang memiliki persamaan

y = a sin(ωt − kx ) (17)

∂y

∂t = ωa cos(ωt − kx ) (18)

∂y

∂x = −ka cos(ωt − kx ) (19) Sehingga,

∂y

∂t = − ω k

∂y

∂x (20)

(34)

∂y

∂t = − ω k

∂y

∂x = −c ∂y

∂x = − ∂x

∂t

∂y

∂x (21)

Maka, kecepatan partikel

^∂y_∂t

tidak lain merupakan produk kecepatan gelombang c =

^∂x_∂t

∂y

∂t = ∂x

∂t

∂y

∂x = −c ∂y

∂x (22)

(35)

Efek Doppler

Impedansi Karakteristik

Medium apapun yang dilewati gelombang akan

memberikan impedansi pada gelombang tersebut. Jika tidak ada mekanisme dissipasi, maka impedansi ditentukan oleh dua parameter penyimpanan energi:

parameter inersia dan elastisitas. Jika ada energi terdissipasi berbentuk komplek, dawai mendapat gaya transversal F , impedansi karakteristik dinyatakan

Z = F

v (23)

(36)

(37)

Efek Doppler

Impedansi Karakteristik

Pada ujung dawai gaya F

₀

e

^iωt

bekerja vertikal ke atas. T merupakan tension pada tali dawai. Pada ujung tali tercapai keseimbangan

F

₀

e

^iωt

= −T sin θ ' −T tan θ = −T ∂y

∂x ; (24) dimana θ ' 0.

Pergeseran gelombang y = Ae

^{i(ωt−kx )}

(38)

Pada ujung tali (x=0), F

₀

e

^iωt

= −T ∂y

∂x

x =0

= ikT Ae

^{i(ωt−k 0)}

(25) Maka,

A = F

₀

ikT = F

₀

iω c

T (26)

y = F

₀

iω

c

T e

^{i(ωt−kx )}

(27)

(39)

Efek Doppler

Impedansi Karakteristik

Kecepatan transversal

v = ˙y = F

₀

c

T e

^{i(ωt−kx )}

(28)

dimana amplitudo kecepatan v = F

₀

/Z memberikan impedansi transversal atau impedansi karakteristik:

Z = T /c (29)

atau

Z = ρc; T = ρc

²

(30)

(40)

Gelombang menjalar pada dua tali yang dihubungkan secara halus pada x = 0. Tali kiri dan kanan memiliki perbedaan kerapatan: ρ

₁

dan ρ

₂

, sehingga kecepatan gelombangnya: c

₁²

= T /ρ

₁

dan c

₂²

= T /ρ

₂

. Impedansinya masing-masing: Z

₁

= ρ

1

c

₁

dan Z

₂

= ρ

2

c

₂

.

Gelombang yang menjalar akan menemui diskontinuitas impedansi pada x=0 sehingga sebagian gelombang akan dipantulkan dan sebagian lainnya akan diteruskan.

(41)

Efek Doppler

Refleksi dan Transmisi gelombang

(42)

Gelombang datang:

y

_i

= A

₁

e

^i(ωt−k¹^{x )}

(31) Gelombang pantul:

y

r

= B

₁

e

^i(ωt+k¹^{x )}

(32) Gelombang transmisi

y

_t

= A

₂

e

^i(ωt−k²^{x )}

(33)

(43)

Efek Doppler

Refleksi dan Transmisi gelombang

Syarat batas

Kondisi geometris: Pada x = 0, pergeseran tidak mengalami diskontinuitas; y

i

+ y

r

= y

t

.

Kondisi dinamis: Terjadi kontinuitas gaya transversal T (

^∂y_∂x

)

pada x=0; T

_∂x^∂

(y

i

+ y

r

) = T

_∂x^∂

(y

t

)

(44)

Dari syarat batas pertama,

y

_i

+ y

_r

= y

_t

(34)

A

₁

e

^i(ωt−k¹^{x )}

+ B

₁

e

^i(ωt+k¹^{x )}

= A

₂

e

^i(ωt−k²^{x )}

(35) Pada x=0 diperoleh

A

₁

+ B

₁

= A

₂

(36)

(45)

Efek Doppler

Refleksi dan Transmisi gelombang

Dari syarat batas yang kedua T ∂

∂x (y

_i

+ y

r

) = T ∂

∂x (y

t

) (37)

Pada x=0

−k

₁

TA

₁

+ k

₁

TB

₁

= −k

₂

TA

₂

(38) atau

−ω T

c

₁

A

₁

+ ω T

c

₁

B

₁

= −ω T

c

₂

A

₂

(39) Z

₁

= ρ

₁

c

₁

= T /c

₁

dan Z

₂

= ρ

₂

c

₂

= T /c

₂

, sehingga

Z

₁

(A

₁

− B

1

) = Z

₂

A

₂

(40)

(46)

Persamaan A

₁

+ B

₁

= A

₂

dan Z

₁

(A

₁

− B

₁

) = Z

₂

A

₂

memberikan koefisien refleksi dari amplitudo

B

₁

A

₁

= Z

₁

− Z

2

Z

₁

+ Z

₂

(41)

dan koefisien transmisi dari amplitudo A

₂

A

₁

= 2Z

₁

Z

₁

+ Z

₂

(42)

Perhatikan bahwa kedua koefisien tersebut tidak tergantung pada ω dan f .

(47)

Efek Doppler

Tugas: Refleksi dan Transmisi Energi

Buktikan formula berikut untuk menghitung berapa energi yang ditransmisikan dan direfleksi bila gelombang

melewati bidang batas:

Koefisien intensitas refleksi R = Z

₁

B

₁²

Z

₁

A

²₁

= B

₁²

A

²₁

= ( Z

₁

− Z

2

Z

₁

+ Z

₂

)

²

(43) Koefisien intensitas transmisi

T = Z

₂

A

²₂

Z

₁

A

²₁

= 4Z

₁

Z

₂

(Z

₁

+ Z

₂

)

²

(44)

Jika Z

₁

= Z

₂

maka gelombang tidak dipantulkan, disebut

sebagai impedansi match.

(48)

Kita dapat memperoleh gelombang berdiri jika kedua ujungnya tali dawai diikat

Misalkan gelombang monokromatik,

y = ae

^{i(ωt−kx )}

+ be

^{i(ωt+kx )}

(45) Syarat batas:

y = 0 pada x = 0 dan y = 0 pada x = l

(49)

Efek Doppler

Gelombang berdiri (Standing Waves)

Dari syarat batas y = 0 pada x = 0

0 = (a + b)e

^iωt

; a = −b (46) Hal ini menunjukkan gelombang menuju ujung yang

impedansi tak hingga, sehingga akan direfleksikan dengan

beda fase π.

(50)

Oleh karena a = −b, maka diperoleh persamaan baru y = ae

^iωt

(e

^−ikx

− e

^ikx

) (47) Ingat bahwa sin(iζ) =

^e^−ζ_2i^−e^ζ

sehingga

y = ae

^iωt

(e

^−ikx

− e

^ikx

) = −2iae

^iωt

sin kx (48)

(51)

Efek Doppler

Gelombang berdiri

Dari syarat batas y = 0 pada x = l

0 = −2iae

^iωt

sin kl = −2iae

^iωt

sin(ωl/c) (49) Jika sin kl = sin(ωl/c) = 0, maka ωl/c = nπ

Sehingga frekuensi yang diperbolehkan ω

n

=

^nπc_l

ω

n

merupakan frekuensi normal (modes of vibration atau eigenfrequencies).

sin

^ωⁿ_c^x

= sin

^nπx_l

;

^nπx_l

= r π (r = 1, 2, ..., n).

(52)

(53)

Efek Doppler

Gelombang berdiri

Pada kasus gelombang berdiri pergeseran adalah superposisi dari pergeseran pada tiap frekuensi, sehingga pernyataan pergeseran yang mencakup n harmonik adalah

y

n

= 2a(−i)(cos ω

n

t + i sin ω

n

t) sin ω

n

x /c (50)

y

_n

= (A

_n

cos ω

n

t + B

_n

sin ω

n

t) sin ω

_n

x /c (51)

(54)

Energi kinetik dari elemen tali dawai dx dengan rapat massaa ρ adalah sebesar

¹₂

ρ ˙ y

²

dx , sehingga energi kinetik total dari tali:

E

_k

= 1 2

Z

l 0

ρ ˙ y

²

dx (52)

Energi potensialnya:

E

p

= Z

T (ds − dx ) = Z

T [(1 + (∂y /∂x )

²

)

^1/2

− 1]dx (53)

E

_p

' 1 2 T

Z

t 0

( dy

dx )

²

dx (54)

(55)

Efek Doppler

Energi pada Gelombang yang Berdiri

karena y

_n

= (A

_n

cos ω

_n

t + B

_n

sin ω

_n

t) sin ω

_n

x /c, maka E

n

(kinetik ) = 1

2 ρω

²_n

(−A

n

sin ω

n

t+B

n

cos ω

n

t)

²

Z

l

0

sin

²

(ω

n

x /c)dx (55) E

_n

(potensial) = 1

2 T ω

_n²

c

²

(A

_n

cos ω

n

t+B

_n

sin ω

n

t)

²

Z

l

0

cos

²

(ω

n

x /c)dx (56) Karena T = ρc

²

, maka

E

_n

(kinetik + potensial) = 1

4 ρω

_n²

l(A

²_n

+ B

_n²

) (57)

(56)

Di alam, pada umumnya gelombang yang dijumpai merupakan gabungan dari banyak gelombang dengan komponen frekuensi masing-masing. Misalnya cahaya putih merupakan komposisi dari panjang gelombang biru (' 3000) hingga merah (' 7000).

Gelombang ini menjalar dengan kecepatan grup.

Kita akan membahas kecepatan group hasil superposisi dari dua gelombang yang frekunesi-nya sedikit berbeda, misalkan

y

₁

= a cos(ω

₁

t − k

₁

x ) (58) y

₂

= a cos(ω

₂

t − k

₂

x ) (59)

(57)

Efek Doppler

Group Gelombang dan Kecepatan Group

Di alam, pada umumnya gelombang yang dijumpai merupakan gabungan dari banyak gelombang dengan komponen frekuensi masing-masing. Misalnya cahaya putih merupakan komposisi dari panjang gelombang biru (' 3000) hingga merah (' 7000).

Gelombang ini menjalar dengan kecepatan grup.

Kita akan membahas kecepatan group hasil superposisi dari dua gelombang yang frekunesi-nya sedikit berbeda, misalkan

y

₁

= a cos(ω

₁

t − k

₁

x ) (58)

y

₂

= a cos(ω

₂

t − k

₂

x ) (59)

(58)

Hasil superposisi gelombang y

₁

dan y

₂

y = y

_L

1+y

₂

= 2a cos( (ω

1

− ω

₂

)

2 t− (k

₁

− k

2

)

2 x ) cos( (ω

1

+ ω

2

)

2 t− (k

₁

+ k

₂

) 2 x ) (60)

Gelombang superposisi merupakan gelombang dengan amplitudo sebesar 2a dan frekuensi

^ω1+ω₂ ²

' ω

₁

' ω

₂

dan termodulasi dengan envelope dengan frekuensi

^ω1−ω₂ ²

dan bilangan gelombang

^k¹^−k₂ ²

. Sistem ini seperti osilator terkopel dengan kecepatan c =

^ω_k¹

1

=

^ω_k²

2

atau

^ω_k¹^−ω²

1−k2

= c.

(59)

Efek Doppler

(60)

Apabila kedua gelombang bersuperposisi dengan kecepatan fase berbeda

^ω_k¹

1

6=

^ω_k²

2

, maka kecepatan group yaitu v

_g

=

^ω_k¹^−ω²

1−k2

=

^∆_∆k^ω

Apabila grup terdiri dari banyak komponen dengan frekuensi berdekatan, maka

v

g

=

^{d ω}_dk

=

^{d (kv )}_dk

= v + k

^dv_dk

= v − λ

_{d λ}^dv

(61)

Efek Doppler

Group Gelombang dan Kecepatan Group

Kecepatan grup merupakan kecepatan energi terkirim dalam medium atau kecepatan amplitudo maksimum dari grup gelombang yang menjalar.

Jika

^dv_dk

= 0 → v

g

= v , maka medium non dispersif

Jika

^dv_dk

< 0 → v

_g

> v , maka medium dispersif anomali

Jika

^dv_dk

> 0 → v

_g

< v , maka medium dispersif normal

(62)

(63)

Efek Doppler

Group Gelombang dari banyak komponen

Misalkan grup yang terdiri dari banyak komponen frekuensi, masing-masing memiliki amplitudo a, memiliki rentang frekuensi ∆ω.

Jumlah deret R(t) = P

n−1

0

a cos(ωt + nδ), Dapat diperoleh R(t) = a

(sin(nδωt/2)

(sin(δωt/2)

cos ωt, atau R(t) = a

(sin(∆ωt/2)

(sin(∆ωt/n2)

cos ωt.

R(t) = 0 jika

^∆ωt₂

= π

Teorema lebar pita (Bandwith theorem):

∆ω∆t = 2π (61)

∆x ∆k = 2π (62)

(64)

Teorema lebar pita (Bandwith theorem) mengimplikasikan bahwa pada fenomena gelombang apa pun yang terjadi pada rentang waktu ∆t, akan memiliki sebaran frekuensi

∆ν sebesar ∆ν = 1/∆t.

(65)

Efek Doppler

Jika sumber diam S mengirimkan sinyal dengan frekuensi f dan panjang gelombang λ untuk periode t, maka jarak ke observer diam O adalah νλt.

Jika sumber bergerak menuju observer pada kecepatan u,

maka νλt = ut + νλ

⁰

t

(66)

Karena c = λν = λ

⁰

ν

⁰

dan νλt = ut + νλ

⁰

t, maka

(c−u)

ν

= λ

⁰

=

_ν^c0

ν

⁰

= ν c

c − u (63)

Jika sumber diam, namun observer bergerak menjauhi sumber sebesar v , maka

ν

⁰⁰

= ν c − v

c (64)

Perubahan frekuensi yang diamati oleh observer terhadap frekuensi sumber disebut sebagai efek Doppler.

(67)

Efek Doppler