DEFINISI INTEGRAL RIEMANN MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA

DEFINISI INTEGRAL RIEMANN

MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA

Muslich1)_{, Sutrima}2) _{dan Supriyadi Wibowo}3) 1,2,3)_{Jurusan Matematika FMIPA UNS,}

muslich_mus@yahoo.com, zutrima@yahoo.com, supriyadi_w@yahoo.co.id

Abstrak

Pernyataan biimplikasi 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛ terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]ditulis 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛> dan < 𝜑𝑛> pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝜙𝑛≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 untuk semua n dan lim

𝑛→∞∫ ( 𝑏

𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) → 0 dapat diangkat sebagai

definisi deskriptif integral Riemann. Dari pernyataan tersebut dibahas sifat-sifat integral terkait dan diperoleh hasil antara lain (i) 𝑅[𝑎, 𝑏] merupakan ruang linear dan (ii) setiap fungsi tangga, fungsi kontinu dan fungsi monoton adalah terintegral Riemann.

Kata Kunci: fungsi tangga, integral Riemann, limit barisan fungsi.

1. PENDAHULUAN

Bartle (1994) mendeskripsikan integral Riemann dengan konsep berikut, fungsi terbatas 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛ dikatakan terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] ditulis dengan 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika I=J atau nilai integral bawah Riemann sama dengan nilai integral atas Riemann fungsi f pada 𝑅[𝑎, 𝑏]. Dengan diperkenalkan konsep tersebut diperoleh beberapa sifat terkait sebagaimana pada pembahasan teori integral pada umumnya, seperti Gordon (1994) dalam pembahasan sifat-sifat dasar dari integral dekriptif Lebesgue, integral konstruktif McShane maupun integral konstruktif Henstock. Demikian juga pembahasan integral Henstock oleh Lee Peng Yee (1989). Berdasarkan pada integral McShane tersebut, Jae Myung Park et al. (2010) juga berhasil mengkonstruksi integral 𝑀𝛼 fungsi bernilai real 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛ dengan membahas sifat-sifat integral terkait. Hal ini dilanjutkan oleh Muslich (2012) dengan pembahasan sifat-sifat integral konstruktif 𝑀_𝛼 fungsi di ruang berdimensi–n atau ℛ𝑛. Penelitian teori integral berjalan terus seperti halnya Lee Peng Yee dan Rudolf Vyborne (2000) dalam tulisannya memberikan suatu problema (open problem) tentang konsep integral Riemann dengan versi beda yaitu bahwa fungsi 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛ terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙_𝑛 > dan < 𝜑_𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑_𝑛 untuk semua 𝑛 = 1,2,3, … dan berlaku

lim

𝑛→∞∫ (

𝑏

𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) → 0. Dari problema tersebut penulis berkeinginan

membuktikan pernyataan biimplikasi Lee Peng Yee dan Rudolf Vyborne (2000) dan selanjutnya mengkaji sifat-sifat integral Riemann terkait.

2. METODE PENELITIAN

Diberikan fungsi terbatas 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛ _{dan partisi} 𝑃𝑛 = {𝑎 =

𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏} ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]. Didefinisikan

𝑚_𝑖 = inf {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ [𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖]} dan 𝑀_𝑖 = sup {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ [𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖]} Untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, … dikontruksikan fungsi tangga

𝜙_𝑛(𝑥) = ∑ 𝑚𝑖𝐾[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖](𝑥) ∶ 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] 𝑛 𝑖=1 𝜑_𝑛(𝑥) = ∑ 𝑚_𝑖𝐾_{[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖}](𝑥): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] 𝑛 𝑖=1

dengan 𝐾_{[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖}](𝑥) adalah fungsi karakteristik pada [𝑎, 𝑏] yang bersesuaian

dengan partisi 𝑃𝑛 = {𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑏} ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] dan notasi

𝐼 = sup {∑𝑛 𝑚_𝑖(𝑥_𝑖 − 𝑥_𝑖−1): 𝑃_𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]

𝑖=1 }=sup{∫ 𝜙_𝑛: 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓} = ∫ 𝑓_𝑎𝑏

𝐽 = inf {∑𝑛 𝑀_𝑖(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1): 𝑃_𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]

𝑖=1 }=inf{∫ 𝜑_𝑛: 𝜑_𝑛 ≥ 𝑓} = ∫ 𝑓_𝑎𝑏

berturut-turut disebut integral bawah Riemann dan integral atas Riemann fungsi f pada 𝑅[𝑎, 𝑏]. Untuk keperluan pembahasan terdapat beberapa rujukan pernyataan antara lain oleh Bartle (1994) dalam bentuk teorema maupun definisi berikut.

Teorema 2.1 Jika 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛkontinu pada [𝑎, 𝑏]maka untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat fungsi tangga 𝜑 pada [𝑎, 𝑏]sehingga |𝑓(𝑥) −𝜑(𝑥)| < 𝜀. _.

Definisi 2.2. Diberikan fungsi terbatas 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛ. Fungsi f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]ditulis 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] jika𝐼 = ∫_𝑎𝑏𝑓=∫ 𝑓_𝑎𝑏 = 𝐽.

Konsep fungsi tangga dan Definisi 2.2 digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan biimplikasi Lee Peng Yee dan Rudolf Vyrborne (2000), sedangkan Teorema 2.1 digunakan untuk menunjukkan setiap fungsi kontinu adalah terintegral Riemann. Selanjutnya dengan terbuktinya kebenaran pernyataan biimplikasi yang menyatakan fungsi 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛ terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] _{jika dan hanya jika terdapat barisan fungsi tangga} < 𝜙_𝑛 > dan < 𝜑_𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑_𝑛 untuk semua 𝑛 = 1,2,3, …dan berlaku lim

𝑛→∞∫ (

𝑏

𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) → 0 dalam matematika analisis dapat

diangkat menjadi sebuah definisi. Langkah berikutmya adalah mengkaji beberapa sifat terkait hubungannya dengan keintegralan Riemann berdasarkan pada pernyataan biimplikasi Lee Peng Yee dan Rudolf Vyrborne (2000) tersebut yang tertulis dalam Teorema 3.1.

3. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Teorema 3.1 berikut merupakan pernyataan biimplikasi dari Lee Peng Yee dan Rudolf Vyrborne (2000) yang merupakan problema yang akan dibuktikan kebenarannya. Pernyataan biimplikasi tersebut berhubungan dengan masalah keintegral Riemann maka biimplikasi itu dapat diangkat sebagai definisi deskriptif untuk integral Riemann.

Teorema 3.1. Diberikan fungsi terbatas 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛ. Fungsi f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]ditulis 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika terdapat barisan barisan fungsi tangga < 𝜙_𝑛 > dan < 𝜑_𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑_𝑛 untuk semua 𝑛 dan lim

𝑛→∞∫ (

𝑏

𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) → 0.

Bukti: 1. Syarat perlu. Diketahui 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] menurut Definisi 2.2 maka berlaku 𝐼 = ∫ 𝑓_𝑎𝑏 =∫ 𝑓_𝑎𝑏 = 𝐽, dengan

𝐼 = ∫ 𝑓_𝑎𝑏 = sup {∑𝑛 𝑚_𝑖(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1): 𝑃_𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]

𝑖=1 }

𝐽 = ∫ 𝑓_𝑎𝑏 = inf {∑𝑛𝑖=1𝑀𝑖(𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] }

Untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, … didefinisikan fungsi tangga 𝜙𝑛(𝑥) = ∑ 𝑚𝑖𝐾[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖](𝑥)

𝑛

𝑖=1 sesuai 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]

𝜑_𝑛(𝑥) = ∑𝑛𝑖=1𝑀_𝑖𝐾_{[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖}](𝑥) sesuai 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]

dimana 𝐾_{[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖}](𝑥) adalah fungsi karakteristik pada [𝑎, 𝑏] yang bersesuaian

dengan 𝑃_𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]. Karena untuk setiap 𝑥∈[𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖] berlaku 𝑚_𝑖 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀_𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 _maka 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑_𝑛 untuk semua 𝑛 = 1,2,3, … _dan berlaku lim 𝑛→∞∫ ( 𝑏 𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) = lim_𝑛→∞∫ ∑𝑛𝑖=1(𝑀𝑖 − 𝑚𝑖) 𝑏 𝑎 𝐾[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖](𝑥)𝑑𝑥 = 𝑖𝑛 𝑓{∑𝑛_𝑖=1𝑀_𝑖(𝑥_𝑖 − 𝑥_𝑖−1): 𝑃_𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]} −𝑠𝑢𝑝 {∑𝑛_𝑖=1𝑚_𝑖(𝑥_𝑖 − 𝑥_𝑖−1): 𝑃_𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] } = 𝑖𝑛 𝑓{∫ 𝜑_𝑛: 𝜑_𝑛 ≥ 𝑓} − 𝑠𝑢 𝑝{∫ 𝜙_𝑛: 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓} =(∫ 𝑓_𝑎𝑏 − ∫ 𝑓_𝑎𝑏 ) → 0.

2. Syarat cukup. Dari hipotesis terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙_𝑛 > dan < 𝜑_𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑_𝑛 untuk semua 𝑛 = 1,2,3, … dan

lim

𝑛→∞∫ (

𝑏

𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) → 0.

Misalkan fungsi tangga 𝜙𝑛 dan 𝜑𝑛pada [𝑎, 𝑏] berturut-turut adalah 𝜙_𝑛(𝑥) = ∑𝑛𝑖=1𝑐_𝑖𝐾_{[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖}](𝑥) sesuai 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] dan 𝑐𝑖 konstan,

𝜑_𝑛(𝑥) = ∑𝑖=1𝑛 𝐶_𝑖𝐾_{[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖}](𝑥) sesuai 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] dan 𝐶𝑖 konstan.

Karena _n  f _n maka c_i  f C_i untuk semua 𝑛 = 1,2,3, … dan berlaku lim 𝑛→∞∫ ( 𝑏 𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) = lim_𝑛→∞∫ ∑𝑛𝑖=1(𝐶𝑖 − 𝑐𝑖) 𝑏 𝑎 𝐾[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖](𝑥)𝑑𝑥 = lim 𝑛→∞∫ ∑ 𝐶𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑏 𝑎 𝐾_{[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖}](𝑥)𝑑𝑥 − lim_𝑛→∞∫ ∑ 𝑐𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑏 𝑎 𝐾_{[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖}](𝑥)𝑑𝑥 = inf {∑ 𝐶𝑖(𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1): 𝑃𝑛∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] 𝑛 𝑖=1 } − sup {∑ 𝑐𝑖(𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1): 𝑃𝑛∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] 𝑛 𝑖=1 } → 0 𝑖𝑛 𝑓 {∑ 𝐶𝑖(𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1): 𝑃𝑛∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] 𝑛 𝑖=1 } = 𝑠𝑢𝑝 {∑ 𝑐𝑖(𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1): 𝑃𝑛∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] 𝑛 𝑖=1 } 𝑖𝑛 𝑓 {∫ 𝜑𝑛: 𝜑𝑛 ≥ 𝑓} = 𝑠𝑢𝑝 {∫ 𝜙𝑛: 𝜙𝑛 ≤ 𝑓}

∫ 𝑓𝑏

𝑎

= ∫ 𝑓𝑏

𝑎

Berakibat 𝐽 = 𝐼, menurut Definsi 2.2 maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏]. Dengan demikian teorema terbukti. □

Teorema 3.2 𝑅[𝑎, 𝑏]merupakan ruang linear yaitu jika 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] dan 𝛼, 𝛽 ∈ ℛ maka 𝛼𝑓 + 𝛽𝑔 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] dan berlaku∫ (𝛼𝑓 + 𝛽𝑔) =_𝑎𝑏

𝛼 ∫ 𝑓 + 𝛽 ∫ 𝑔_𝑎𝑏 _𝑎𝑏 .

Bukti: Karena f dan g terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] maka terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙_𝑛 > dan < 𝜑_𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sedemikian hingga 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛dan berlaku _𝑛→∞lim ∫ (_𝑎𝑏 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) → 0, dan barisan fungsi tangga tangga <

𝜙𝑛∗ > dan < 𝜑𝑛∗ > pada [𝑎, 𝑏] sedemikian hingga 𝜙_𝑛∗ ≤ 𝑔 ≤ 𝜑_𝑛∗dan berlaku

lim 𝑛→∞∫ ( 𝑏 𝑎 𝜑𝑛∗ − 𝜙𝑛∗) → 0. Diperoleh lim 𝑛→∞∫ ( 𝑏 𝑎 𝛼𝜑𝑛+ 𝛽𝜑𝑛∗) − (𝛼𝜙𝑛+ 𝛽𝜙𝑛∗) = 𝛼 lim_𝑛→∞∫ ( 𝑏 𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) +βlim 𝑛→∞ ∫ ( 𝑏 𝑎 𝜑𝑛∗ − 𝜙𝑛∗) → 0

Menurut Teorema 3.1 maka 𝛼𝑓 + 𝛽𝑔 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] dan berlaku ∫ (𝛼𝑓 + 𝛽𝑔) = lim 𝑛→∞∫ ( 𝑏 𝑎 𝛼𝜑_𝑛+ 𝛽𝜑_𝑛∗₎ 𝑏 𝑎 = 𝛼 lim 𝑛→∞∫ 𝜑𝑛 𝑏 𝑎 + 𝛽 lim_𝑛→∞∫ 𝜑𝑛∗ 𝑏 𝑎 = 𝛼 ∫ 𝑓 + 𝛽 ∫ 𝑔 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 .

= 𝛼 sup {∫ 𝜙_𝑎𝑏 _𝑛: 𝜙_𝑛 fungsi tangga, 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓} + 𝛽 sup {∫ 𝜙_𝑎𝑏 _𝑛∗: 𝜙_𝑛∗ fungsi tangga, 𝜙_𝑛∗ ≤ 𝑔} = 𝛼 ∫ 𝑓 + 𝛽 ∫ 𝑔_𝑎𝑏 _𝑎𝑏

Dengan demikian teorema terbukti. □

Teorema 3.3Jika 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛ fungsi tangga maka𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏].

Bukti: Untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, … _{didefinisikan fungsi tangga} 𝜙_𝑛 = 𝜑_𝑛 = 𝑓 maka berlaku 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑_𝑛 dan berakibat lim

𝑛→∞∫ (

𝑏

𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) → 0. Menurut

Teorema 3.1 maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏]. Dengan demikian teorema terbukti.□

Teorema 3.4Jika 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛ kontinu maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏].

Bukti: Karena f kontinu pada [𝑎, 𝑏] maka menurut Teorema 2.1 untuk setiap bilangan 𝑛 = 1,2,3, … terdapat fungsi tangga 𝑠𝑛 pada [a,b] sehingga berlaku

|𝑓(𝑥) − 𝑠_𝑛(𝑥)| <1_𝑛 dan berakibat 𝑠_𝑛(𝑥) −_𝑛1 < 𝑓(𝑥) < 𝑠_𝑛(𝑥) +_𝑛1. Untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, … didefinisikan fungsi tangga 𝜙𝑛(𝑥) =𝑠𝑛(𝑥) −1

𝑛 dan 𝜑𝑛(𝑥) = 𝑠𝑛(𝑥) +1_𝑛jelas bahwa 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 dan berlaku

lim 𝑛→ ∫ ( 𝑏 𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) = lim_𝑛→ ∫ (( 𝑏 𝑎 𝑠𝑛+ 1 𝑛)– (𝑠𝑛 − 1 𝑛))

= lim 𝑛→∞∫ 2 𝑛 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = lim_𝑛→∞ 2 𝑛(𝑏 − 𝑎) → 0.

Menurut Teorema 3.1 maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏]. Jadi teorema terbukti. □

Teorema 3.5 Diberikan fungsi 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛ.Jika f monoton pada [a,b] maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏].

Bukti: Dibuktikan untuk f fungsi monoton naik, sedangkan untuk f monoton turun dibuktikan secara analog. Untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, … didefinisikan partisi 𝑃_𝑛 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏} dengan 𝑥_𝑖 − 𝑥_𝑖−1=𝑏−𝑎_𝑛 . Diambil 𝑚_𝑖 = 𝑓(𝑥_𝑖−1) dan 𝑀_𝑖 = 𝑓(𝑥_𝑖) dan didefinisikan fungsi tangga

𝜙𝑛(𝑥) = ∑ 𝑚𝑖𝐾[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖](𝑥) 𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖−1) 𝐾[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖](𝑥) 𝑛 𝑖=1 𝜑𝑛(𝑥) = ∑ 𝑀𝑖𝐾[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖](𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑖) 𝐾[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖](𝑥) 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1

Jelas bahwa 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 dan berlaku

lim 𝑛→∞∫ ( 𝑏 𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛)= lim_𝑛→∞ ∑𝑛𝑖=1(𝑀𝑖− 𝑚𝑖)(𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1) = lim 𝑛→∞ ∑ (𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)) 𝑛 𝑖=1 𝑏−𝑎_𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑏−𝑎 𝑛 (𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) → 0.

Menurut Teorema 3.1 maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] Jadi teorema terbukti. □

Teorema 3.6 Diberikan fungsi 𝑓, 𝑔:[𝑎, 𝑏]→ ℛ Jika f dan g terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑓 ≤ 𝑔 maka ∫ 𝑓 ≤_𝑎𝑏 ∫ 𝑔_𝑎𝑏 .

Bukti: Karena f dan g terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] maka terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙_𝑛 > dan < 𝜑_𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sedemikian hingga 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑_𝑛 dan barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛∗> dan < 𝜑𝑛∗> pada [𝑎, 𝑏] sedemikian

hingga 𝜙_𝑛∗ ≤ 𝑔 ≤ 𝜑_𝑛∗. Jadi sup {∫ 𝜙𝑛: 𝜙𝑛 fungsi tangga, 𝜙𝑛≤ 𝑓

𝑏 𝑎

} ≤ sup {∫𝑏𝜙_𝑛∗: 𝜙_𝑛∗ fungsi tangga,𝜙_𝑛∗ ≤ 𝑔 𝑎

} berakibat∫ 𝑓_𝑎𝑏 ≤ ∫ 𝑔_𝑎𝑏 . Berdasarkan asumsi f dan g terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] maka ∫ 𝑓 _𝑎𝑏 = ∫ 𝑓_𝑎𝑏 dan ∫ 𝑔_𝑎𝑏 = ∫ 𝑔. _𝑎𝑏 Berakibat ∫ 𝑓 ≤_𝑎𝑏 ∫ 𝑔_𝑎𝑏 . Dengan demikian teorema terbukti. □

Teorema 3.7 Diberikan fungsi 𝑓:[𝑎, 𝑏]→ ℛ terbatas dan 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏). Fungsi f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑐] dan [𝑐, 𝑏] dan berlaku ∫ 𝑓 =_𝑎𝑏 ∫ 𝑓 + ∫ 𝑓_𝑎𝑐 _𝑐𝑏 .

Bukti: (1) Syarat perlu. Karena f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] maka terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛> dan < 𝜑𝑛> pada [𝑎, 𝑏] sedemikian hingga 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑_𝑛 dan berlaku lim

𝑛→∞∫ (

𝑏

𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) → 0. Jelas bahwa 𝜙𝑛 ≤

𝑓 ≤ 𝜑_𝑛 pada [𝑎, 𝑐] dan berlaku lim

𝑛→∞∫ (

𝑐

pada [𝑐, 𝑏] dan berlaku lim

𝑛→∞∫ (

𝑏

𝑐 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) → 0. Dengan demikian fungsi f

terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑐] dan [𝑐, 𝑏] dan berlaku ∫ 𝑓 =_𝑎𝑏 sup {∫ 𝜙_𝑎𝑏 𝑛: 𝜙𝑛 fungsi tangga, 𝜙𝑛 ≤ 𝑓}

= sup{∫ 𝜙_𝑎𝑐 𝑛: 𝜙𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑔𝑎, 𝜙𝑛 ≤ 𝑓}

+ sup {∫ 𝜙𝑏 _𝑛: 𝜙_𝑛 fungsi tangga, 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓

𝑐

} = ∫ 𝑓 + ∫ 𝑓_𝑎𝑐 _𝑐𝑏 .

(2) Syarat cukup. Menurut hipotesa f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑐]dan [𝑐, 𝑏] maka terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙_1𝑛> dan < 𝜑_1𝑛 > pada [𝑎, 𝑐] sedemikian hingga 𝜙1𝑛≤ 𝑓 ≤ 𝜑1𝑛 dan berlaku_𝑛→∞lim ∫ (_𝑎𝑐 𝜑1𝑛− 𝜙1𝑛) → 0 dan

terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙_2𝑛 > dan < 𝜑_2𝑛> pada [𝑐, 𝑏] sedemikian hingga 𝜙2𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑2𝑛 dan berlaku_𝑛→∞lim ∫ (_𝑐𝑏 𝜑2𝑛− 𝜙2𝑛) → 0.

Didefinisikan barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan < 𝜑𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] dengan

𝜙_𝑛(𝑥) = {𝜙_𝜙1𝑛(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑐)

2𝑛(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑐, 𝑏]dan𝜑𝑛(x) = {

𝜑_2𝑛(x) , 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑐) 𝜑2𝑛(x) , 𝑥 ∈ [𝑐, 𝑏]

maka 𝜙_𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑_𝑛 pada [𝑎, 𝑏] dan berlaku lim 𝑛→∞∫ ( 𝑏 𝑎 𝜑_𝑛 − 𝜙_𝑛) = lim 𝑛→∞∫ ( 𝑐 𝑎 𝜑_1𝑛− 𝜙_1𝑛) + lim 𝑛→∞∫ ( 𝑏 𝑐 𝜑_2𝑛− 𝜙_2𝑛) → 0 Menurut Teorema 3.1 maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏]dan berlaku

∫ 𝑓 +𝑐

𝑎

∫ 𝑓 = 𝑏

𝑐

sup {∫ 𝜙𝑐 _1𝑛: 𝜙_1𝑛 fungsi tangga, 𝜙_1𝑛 ≤ 𝑓

𝑎

} + sup {∫ 𝜙_𝑐𝑏 2𝑛: 𝜙2𝑛 fungsi tangga, 𝜙2𝑛 ≤ 𝑓}

= sup {∫ 𝜙_𝑎𝑏 𝑛: 𝜙𝑛 fungsi tangga, 𝜙𝑛 ≤ 𝑓}=∫ 𝑓._𝑎𝑏

Jadi teorema terbukti. □

Integral Riemann telah dikenal sebagai integral tipe konstruktif. Namun pada tulisan ini semua pembahasan integral Riemann didekati melalui barisan fungsi tangga. Tepatnya pembahasan integral Riemann melalui kebenaran biimplikasi yang menyatakan bahwa fungsi f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan< 𝜑_𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sehingga𝜙_𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑_𝑛 untuk semua ndan lim

𝑛→∞∫ (

𝑏

𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) → 0 bisa

dijadikan sebuah definisi deskriptif untuk integral Riemann. Hal demikian menambah cara pandang dalam pembahasan integral Riemann dengan pendekatan model baru secara deskriptif.

4. SIMPULAN

Pernyataan biimplikasi bahwa fungsi f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan< 𝜑_𝑛 > pada [𝑎, 𝑏]sehingga𝜙_𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑_𝑛untuk semua n dan lim

𝑛→∞∫ (

𝑏

𝑎 𝜑𝑛− 𝜙𝑛) → 0 dapat

pembahasan diperoleh hasil tentang sifat-sifat integral terkait antara lain (i) 𝑅[𝑎, 𝑏] merupakan ruang linear dan (ii) setiap fungsi tangga, fungsi kontinu

dan fungsi monoton adalah terintegral Riemann.

5. DAFTAR PUSTAKA

Bartle, R. G. (1994). Introduction to Real Analysis. Second Edition, John Willey & Sons, Singapore.

Gordon, R. A. (1994). The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. Graduate Studies in Mathematics. Volume 4. American Mathematical Society.

Jae Myung Park, Hyung Won Ryu, and Hoe Kyung Lee, (2010). The-𝑀_𝛼 Integral. Journal of The Chungcheong Mathematical Society. 23(1), 99-108.

Lee Peng Yee. (1989). Lanzhou Lectures on Henstock Integration. Series in Real Analysis Vo.2. World Scientific, Singapore.

Lee Peng Yee and Rudolf Vyborny. (2000). Integral: An Easy Approach After Kurzweil And Henstock. University Press, Cambridge.

Muslich. (2012). Lemma Henstock pada Integral 𝑀_𝛼 di Ruang Berdimensi-n. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVI. Diselenggarakan oleh FMIPA UNPAD Bandung, ISBN: 978-602-19590-2-2, 18 Juli 2012 (hal. 177-184).