Masalah Dua Benda. SMA-BPK,Jakarta Barat, 16 Maret oleh Dr. Suryadi Siregar KK-Astronomi,ITB

(1)

Masalah Dua Benda

oleh

Dr. Suryadi Siregar

KK-Astronomi,ITB

(2)

16 Maret 2007 S.Siregar, Pelatihan Astronomi 2

2

1 r

m

G

F

=

−

→

U

_θ

U

_r

θ

o

m

G = konstanta gravitasi

mi massa ke – i

r jarak m1 ke m2

Hukum Gravitasi

(3)

→

=

m

v

p

→

=

r

xm

v

L

→

=

r

x

F

N

→

=

∗

N

F

x

r

v

x

r

dt

d

m

dt

v

xm

r

d

dt

dL

L

(

)

(

)

Momentum, momentum sudut, momen

dan gaya

(4)

∫

=

)

(

) 0 ( 0

t

v

S

t v S

vdv

m

Fds

W

E

s

V

mv

s

V

mv

+

=

+

(

)

=

2

1 )

(

2

1

0 2 0 2 0 2 0 2

2

1

2

1 s

Mm

G

mv

s

Mm

G

mv

−

=

−

Kerja

(5)

ϕ

θ

m(0,0,h) a p

da

h

a

G

F

r

2

0

4 π

∫

ρ

−

=

da

a

M

r

∫

=

0

2

4 π

ρ

2 h

M

G

F

=

−

(6)

16 Maret 2007 S.Siregar, Pelatihan Astronomi 6 R r1 r2 m1 m2 P x z y r

U

r

m

G

F

→

−

=

1₂ 2 21 r

U

r

m

G

F

→

=

2₂ 1 12

1.Gaya gravitasi oleh m

₁

terhadap m

₂

;

1.Gaya gravitasi oleh m

₂

terhadap m

₁

;

0

2

1

1 +

=

∗ ∗ ∗ ∗

→

r

m

r

m

2

1

2

1

1 →

→

+

=

+

m

r

c

t

c

r

m

M

c

t

c

m

r

m

r

m

R

→ → → →

+

=

+

=

1 1 2 2 1 2

Pers.gerak Dua Titik Massa

(7)

Massa dominan sebagai sumbu

koordinat

'

3 M

r

G

r

••

→

= −

2

2 3/ 2

(

)

x

GMx x

y

z

••

−

= −

+

2

2 3/ 2

(

)

y

GMy x

y

z

••

−

= −

+

2 2 2 3/ 2

(

)

z

GMz x

y

z

•• −

= −

+

x y z m₁ m₂

0

3

2

1 z

+

a

x

+

a

y

=

a

(8)

Orbit dalam bentuk polar

• Persamaan Dasar

(a) (b) (c) (d) m₁ m₁ m₁ m₁ m₂ m₂ _m 2 m₂

0

2

1

₂ ₂ 2

−

E

=

r

Mm

G

v

m

GM

=

μ

u

r

=

1

0

2

1

2 2 2 2

h

u

−

m

u

−

E

=

m

μ

2 2 2 2 2 12

2

1 m

Eh

h

u

μ

_±

₊

=

(9)

(10)

(

)

1 2

1

2

1

2

f p

V

=

V

⎛

_⎜

+

ε

⎞

_⎟

+

ε

−

⎝

⎠

Kecepatan Jatuh

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

=

−

2

1 V

r

Sin

V

r

e

μ

θ

(11)

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₋

=

−

2

1 V

r

Sin

V

r

e

μ

θ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

a

r

V

2 μ

2

1

2

1

1 r x V

a(1 e )

rVSin

2

2 → →

=

μ

−

=

θ

Persaman Lintasan

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

R

H

ε

2 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

V

y

(12)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

η

ε

1

2

1 R

a

ε

2

1

2 R

+

=

+

H

R

a

Agar tidak jatuh

ε

η

ε

2

1

2

1 _>

₊

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

ε

η

2

1

1 ≺

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

→

....

8

4

2

1

2

1 ε

ε

2 ε

3 η

2

2 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

V

r

a

μ

1

2

2 ε

⎡

⎤

→ η ≤

_⎢

+

_⎥

⎣

⎦

[

]

1

2

1

2

1 ₊

−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +

=

ε

y

(

)

1 2 2 2

1

2

1

2

1

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

→

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

V

_p

ε

Vp

V

y

(13)

2 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

p

V

y

z = 1 – e

2 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

R

H

ε

(

θ

)

2 μ

Sin

x

=

(

)

[

y

]

xy

z

=

4

1 +

ε

1 −

(

1 +

ε

)

[

η

]

η

−

=

4 x

1 z

(

ε

)

y

η

=

1 +

(14)

Dapat diambil kesimpulan;

1. Dalam hal

maka satelit jatuh ke

Bumi,bergerak dalam pola orbit ICM

(Intercontinental Missile). Tahanan udara dan

gangguan gravitasional maupun non-gravitasional

akan mempengaruhi bentuk lintasan.

2. Jika

satelit tidak akan jatuh dan

mengorbit mengelilingi Bumi dalam bentuk lintasan

tertentu. Gambar berikut meragakan berbagai

kasus untuk beberapa sudut lontar sebagai fungsi

rasio keceptan lontar kuadrat dan kecepatan

parabola kuadrat,

2 2 f

V

≤

V

2 2 f

V

>

V

(15)

2

V

⎛

⎞

(16)

(

)

1 2

1

2

1

2

f p

V

=

V

⎛

_⎜

+

ε

⎞

_⎟

+

ε

−

⎝

⎠

Kecepatan Jatuh

Sudut lontar bukan 90

0 orbit lingkaran tidak

pernah terbentuk

(17)

(

)

3 3

1

2

3

2

2 f

f

M

Tan

k t T

q

⎛

₊

⎞

₌

₋

⎜

⎟

⎝

⎠

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

+

=

2

1

2 ₂

f

qSec

Cosf

q

r

(18)

Orbit dalam ruang

(19)

(20)

Orbit Kohoutek

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Profil sudut posisi dan jarak sudut sebagai fungsi epoch

observasi

(26)

(27)

Lintasan wahana disekitar planet tujuan (a)Misi

fly-by (b)misi orbiter [c] misi lander dan (d) misi

(28)

Energi kinetis bertambah (pump-up) pada posisi (a).

Energi kinetis berkurang (pump-down) pada posisi (b)

(29)

(30)

(31)

Persamaan Irisan kerucut

• Nilai

ω

=

θ

maka dan ini merupakan jarak r minimum

yang dapat dicapai oleh titik massa m2 terhadap m1

dalam lintasannya, diberi simbol rp

• Nilai

ω

-

θ

= 1800 maka kita lihat bahwa ini adalah

jarak maksimum titik massa m2 terhadap m1 dalam

orbitnya, diberi simbol ra.

• Tinjau pula bila pada ketentuan diatas kita ambil nilai

e untuk bermacam macam harga;

• Eksentrisitas e =0 maka rp = ra titik terjauh sama

besarnya dengan jarak titik terdekat. Bentuk lintasan

seperti ini adalah suatu lingkaran

• Eksentrisitas e =1 maka; dan ra

→ ∞

titik terjauh

berlokasi ditak terhingga. Bentuk lintasan seperti ini

dikenal sebagai suatu parabola

• Eksentrisitas berada diantara 0 dan 1, 0 < e <1,

maka; rp < p dan

• ra > 0

• Eksentrisitas e > 1 maka rp < p dan ra < 0

2 ) ( h ACos u = θ −ω + μ 1 ) ( 2 2 + − = ω θ μ μ Cos Ah h r ) ( 1+ θ −ω = eCos p r μ 2 h p = μ 2 h e = 2 2 2 h u d u d μ θ + =

(32)

Parameter Orbit

.

• Energi total sistem E =

0 , maka e = 1 jadi orbit

berbentuk suatu

parabola

• Energi total sistem E <

0 , maka e < 1 jadi orbit

berbentuk suatu elip

• Energi total sistem E >

0 , maka e > 1 jadi orbit

berbentuk suatu

hiperbola

2 2 2

2

1 m

Eh

e

μ

+

=

2

2 (1

)

h

r

θ

GMa

e

• =

=

−

)

2 (

₂ 2 2 2

μ

m

Eh

GMa

h

=

−

a

m

E

2

μ

−

=

)

2

1

1 (

2

2 a

r

GM

V

=

−

(33)

2

2 dK

1

1 (1

)

dt

2 r

θ

2 GMa

e

• =

=

−

0 2

)

1 (

2

1 K

=

GMa

−

e

t

+

K

P

e

GMa

ab

(

1 )

2

1 π

=

−

2

)

1 (

a

b

=

−

e

2

GM

a

3/2

2 P

=

π

GM

a

2 3 2

4 P

₌

π

2 2 2 1 2 n 3 3 3 1 2

P

tan

n

kons

a

=

a

= .… =

a

=

Persamaan dasar

(34)

• sumbu panjang lintasan roket, a

_r

yang

berbentuk elip merupakan setengah

sumbu panjang lintasan Bulan, a

_b

dengan demikian Jika kita misalkan P

_R

periode roket mengelilingi Bumi dan P

_B

periode Bulan. tempo yang diperlukan

Bulan untuk melengkapi putarannya

mengelilingi Bumi yaitu 27,32 hari.

Maka dapat dinyatakan bahwa;

• (1-70)

• Jadi P

_R

= 9,65 hari. Ini merupakan

tempo yang diperlukan roket tadi untuk

melengkapi satu kali lintasannya.

Tempo yang diperlukan untuk

mencapai Bulan adalah setengah P

_R

atau 4,83 hari.

Perjalanan ke Bulan

Final Orbit Transfer Orbit

Parking Orbit

Bumi pada saat peluncuran Bulan pada saat peluncuran

Bulan pada saat kedatangan

Skenario Perjalanan Wahana dari

Bumi ke Bulan

8 P P 2 2 3 2 B 3 2 R B R B R P P a a = → =

(35)

)

1 (

1 )

e

-a(1

R

2

0 a

e

r

_p

=

−

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ +

=

0

2

1

2 V

R

e

GM

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +

=

2

1

2 2

e

V

e e

V

e

2

1 V

=

+

det

/

2 ,

11

2 V

_e

km

R

GM

₌

=

(36)

Tabel 1-1 Kecepatan roket untk menuju Bulan

dalam berbagai nilai eksentrisitas

t

Parabola

11.200

1

5 Elip

10.916

0.9

4 Elip

9.699

0.5

3 Elip

8.675

0.2

2 Lingkaran

7.920

0

1 Ket

V(km/det)

e

No

(37)

dm

m

dp

₁

dp

₂

0

2

1 +

=

→

+

=

dt

dV

m

dt

dm

V

dp

m

dm

V

dV

=

−

_g

∫

=

−

f

m

g

t

m

dm

V

dV

0

0 )

(

0 g

f

V

Exp

m

−

=

(38)

16 Maret 2007 S.Siregar, Pelatihan Astronomi 38 0.63 0.56 0.46 0.31 5.60 1 11 0.62 0.55 0.45 0.30 5.75 0.9 10 0.61 0.54 0.44 0.29 5.90 0.8 9 0.60 0.53 0.43 0.28 6.07 0.7 8 0.60 0.52 0.42 0.27 6.26 0.6 7 0.59 0.51 0.41 0.26 6.47 0.5 6 0.57 0.50 0.40 0.25 6.69 0.4 5 0.56 0.49 0.38 0.24 6.95 0.3 4 0.55 0.47 0.37 0.22 7.23 0.2 3 0.53 0.46 0.35 0.21 7.55 0.1 2 0.52 0.44 0.34 0.19 7.92 0 1 Vg=5 Vg= 4 Vg= 3 Vg=2 Vc h/R No