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(1)

semi-lin ´eaire autour de la premi `ere valeur

propre

A.R. El Amrouss

M. Moussaoui

Abstract

This paper deals with the existence of solutions for a semilinear second or-der differential equation in some new conditions of nonresonance with respect to the first eigenvalue of the associated linear differentiel operatorx7→ −x′′.

1 Introduction

Dans cet article on s’intéresse à l’existence des solutions du problème suivant

−u′′=f(u) +h(x) dans ]a, b[, u(a) = u(b) = 0 (1)

o`uf :R→Rest une fonction continue eth: [a, b]_→Rest Lebesgue int´egrable. Soit

λ1 >0 la première valeur propre de l’opérateur différentielu_{7→ −}u′′ _sur _H1 0(a, b).

Les résultats d’existence du problème (1) sous la première valeur propre ont fait l’objet de plusieurs travaux. Citons par exemple les références suivantes : A.Hammer-stein [5], D.G.DeFigueredo -J.P.Gossez [1], M.L.C.Fernandes-P.Omari-F.Zanolin [4], J.Mawhin [6].

Received by the editors January 1996. Communicated by J. Mawhin.

1991Mathematics Subject Classification : 34B15 - 34C25.

Key words and phrases : Non-résonance - théorie du degré - solutions positives.

(2)

Dans [4] Fernandes, Omari et Zanolin ont prouv´e un r´esultat d’existence en

L’in´egalit´e lim infs→±∞

f(s)

s ≤ lim infs→±∞

2F(s)

s2 sugg`ere la question si on peut

´etendre le r´esultat ci-dessus de [4] en rempla¸cant la condition (2) par :

lim inf s→±∞

f(s)

s < λ1 (3)

Dans [7], Njoku a montr´e par un exemple que (3) ne suffit pas pour l’existence des solutions du probl`eme (1).

Dans ce travail, nous étudions sous quelles conditions nous avons non- résonance du problème (1) (c’est à dire solvabilité de (1) pour tout h donné ) lorsque la condition (3) est satisfaite sans que la condition (2) le soit. En utilisant la méthode de Leray-Schauder, nous prouvons que le problème (1) admet au moins une solution pour tout h_∈L∞ _lorsque

Ensuite, nous montrons que si f est positive et h de valeur moyenne positive, la condition ( ˜f±) impose l’existence d’une solution positive de (1).

Enfin, nous prouvons que la condition ( ˜f±) peut être améliorée en

lim inf

2 Theor `emes d’existence

Th´eoreme 2.1 Supposons ( ˜f±). Alors (1) admet au moins une solution pour tout

h_∈L∞₍_{a, b}₎_.

Remarque 1:

1. on v´erifie ais´ement que :

lim inf

2. Puisque f est continue alors ˜f est aussi continue. On v´erifie ais´ement que

lim sup

(3)

3. Si f v´erifie la condition

Il existe une suite (sn)n croissante tendant vers +_∞

(resp. d´ecroissante tendant vers_−∞), f(sn)_≤f(s) _∀s_∈[0, sn[

En particulier sif est croissante au voisinage de l’infini alorsf satisfait la condition (E).

Corollaire 2.1 Supposons que f v´erifie la condition (E) et

lim inf

Consid´erons la famille de probl`emes suivants :

−u′′=λ(f(u) +h(x)) dans ]a, b[, u(a) =u(b) = 0 (4)

avecλ_∈]0,1].

Lemme 2.1 Supposons qu’il existe deux constantesS, T >0telles quemaxu(.)₆=S et minu(.)₆=₋T pour toute solution u(.) de (4) avec λ est dans [0.1], alors (1) est solvable .

La preuve de ce résultat est basée sur la théorie du degré de Leray- Schauder, elle consiste à construire un ouvert borné_O dans C([a, b]) avec 0_{∈ O} dont la frontière ne contient aucune solution de (4) avecλ _∈]0.1].

Pour la preuve de ce lemme voir [4] est ses r´ef´erences.

Le théorème résulte des trois propositions ci-dessous :

Proposition 2.1 On suppose ( ˜f±) et f est borné inférieurement dans R+ et borné

sup´erieurement dans _R−_.

Alors (1) admet au moins une solution pour tout h dans L1. Preuve :

Pour la preuve de cette proposition on distingue quatre cas

(4)

iii) lim infs→+∞

2F(s)

s2 < λ1 et lim infs→−∞

2F(s)

s2 ≥λ1

iv) lim infs→+∞

2F(s)

s2 ≥λ1 et lim infs→−∞

2F(s)

s2 < λ1

pour i)le probl`eme est r´esolu dans [4].

Maintenant nous allons montrer la proposition 2.1 dans le cas ii). Puisque f est born´e inf´erieurement dans R+, il existe c_∈R tel que c < f(t) pour tout t_∈R+. Posons ˆf(s) =f(s)₋cet ˆh(x) =h(x) +c

On vérifie aisément queu(.) est une solution de (4) si et seulement siu(.) est solution du problème :

−u′′ =λ( ˆf(u) + ˆh(x)) dans ]a, b[, u(a) =u(b) = 0

Donc sans perte de généralité on peut supposer que f >0 sur R+. Posons H(x) = Rx

a h(s)ds et soit u(.) une solution de (4) dans C[a, b] avec λ ∈ ]0,1], u(.)_∈W2.1₍_{a, b}_{) résulte de la régularité-}_Lp_.

Notons par

x∗ = min_{x_∈[a, b] :u(x) = maxu(.)_} et u∗ =u(x∗)

α= max_{x_∈[a, x∗] :u(x) = 0_}

β= min_{x_∈[x∗, b] :u(x) = 0_}

Posons

y(.) =u′(.) +λH(.) (5)

D’o`u

y′(x) =₋λf(u(x)) (6)

Or d’après la définition deαetβ nous avons u(.)_≥0 sur [α, β], et par suite y(.) est strictement décroissante sur [α, β].

Pour tout x_∈ [α, β] on a :

−λf˜(u∗) =₋λsup

[0,u∗_]

f(s)_≤ y′(x) (7)

apr`es int´egration de (7) sur [α, β] il vient que :

−λf˜(u∗)(β₋α) _≤y(β)₋y(α)

Ensuite, il suit :

y(α)₋y(β)

λf˜(u∗₎ ≤β−α (8)

Par suite nous allons minorer la quantitéy(α)₋y(β) ; pour cela multiplions l’équation (6) par y(x) et intégrons sur [α, x∗

], nous obtenons

Z x∗

α y

′

(x)y(x)dx₋λ

Z x∗

α y

′

(5)

d’o`u

y(x∗)2₋y(α)2₋2λ

Z x∗

α y

′

(x)H(x)dx=₋2λF(u∗) (9)

De (5) On v´erifie facilement que

|y(x∗)_{| ≤}λ_kH_k∞ (10)

D’autre part, du fait que y est d´ecroissante sur [α, x∗_{] et (10) il d´ecoule :}

Z x∗

α y

′

(x)H(x)dx_≤y(α)_kH_k∞+λkHk2∞ (11)

et en vertu de (9), nous obtenons :

2λF(u∗) _≤ y(α)2+ 2λ(y(α)_kH_k∞+λkHk2∞) ≤ (y(α) +λ_kH_k∞)2+λ2kHk2∞

Commeu(α) =u(β) = 0 et u(.)_≥ 0 sur [α, β], nous avonsu′₍_α₎

≥ 0 et u′₍_β₎ ≤ 0, et il suit

q

2λF(u∗₎ _{≤ |}_y₍_α₎_|_{+ 2}_λ_k_H_k ∞

≤ |u′(α)_|+ 3λ_kH_k∞

= u′(α) + 3λ_kH_k∞ ≤ y(α) + 4λ_kH_k∞

D’o`u il existe c1 >0 tel que

q

2λF(u∗₎₋_λc1 _≤_y₍_α₎

De mˆeme on montre qu’il existe c1 >0 tel que

q

2λF(u∗₎₋_λc

1 ≤ −y(β)

Finalement nous avons

2q2λF(u∗₎₋₂_λc1 _≤_y₍_α₎₋_y₍_β₎ ₍₁₂₎

De l’in´egalit´e (8) et (9), nous obtenons pour toutλ _∈]0.1]

2q2λF(u∗₎₋₂_λc

1

λf˜(u∗₎ ≤β−α (13)

Soit (sn)n une suite telle que sn→ ∞, quand n→ ∞, et

lim n→∞

˜

f(sn)

sn

=ρ < 2 πλ1

Supposons qu’il existe un(.) une suite de solutions de (4) avec λ = µn ∈]0.1] telle queu∗

n=sn.

Or d’apr`es (13) nous avons

2q2µnF(sn)−2µnc1

µnf˜(sn)

(6)

ou encore

2q2F(sn)₋2c1 ˜

f(sn)

sn

≤βn−αn (14)

En faisant tendre n vers_∞, comme lim infn→∞

2F(sn)

s2

n

≥λ1 = ( π

b₋a)

2 _{il vient}

b₋a= √π

λ1 <2

√

λ1

ρ ≤nlim→∞βn−αn

Donc pour n_≥n0, b₋a < βn−αn ≤b−a, ce qui est absurde.

D’o`u pour un N _≥n0 on a maxu(.)6=sN =S pour toute solution u(.) de (4) avec

λ_∈]0.1].

D’une manière analogue on prouve l’existence d’un T tel que minu(.)₆=₋T. Pour le casiii), puisque on af est borné inférieurement dansR+et borné

sup´erieure-ment dans R− et lim infs→+∞

2F(s)

s2 < λ1 alors d’une mani`ere similaire que dans la

proposition 2.1 du [4], il existeS >0 tel que maxu(.)₆=S pour toute u(.) solution de (4) avec λ _∈ [0.1], et l’existence d’un T tel que minu(.) ₆= ₋T découle de ii). De la même manière que dans iii), on prouve la proposition 2.1 dans le cas iv). Finalement, le résultat découle du lemme 2.1.

Proposition 2.2 Supposons ( ˜f−), f est non born´ee inf´erieurement dans R+ et f

est born´ee sup´erieurement dans R−

Alors (1) admet au moins une solution pour tout h dans L∞

. Preuve :

Soits1 >0 tel quef(s1)_{≤ −k}h_k∞, et posons ˆf(s) =f(s) pours ≤s1, ˆf(s) =f(s1)

pour s > s1.

Consid´erons le probl`eme :

−u′′

= ˆf(u) +h(x) dans ]a, b[, u(a) =u(b) = 0 (15)

On constate que la fonction f˜ˆ(o`u f˜ˆ(s) = sup_[0_,s_]fˆsi s _≥ 0 et f˜ˆ(s) = inf[s,0]fˆsi s_≤0) satisfait aux hypoth`eses de laproposition 2.1, alors l’existence d’une solution

u(.) de (15) d´ecoule de la proposition 2.1.

Dans la suite, pour montrer que (1) est solvable, il suffit de montrer que u(x)_≤s1

pour tout xdans [a,b].

Supposons par l’absudre que cette inégalité est non verifiée alors maxu(.) > s1 et maxu(.) =u(x∗_{) pour} _x∗

∈]a, b[, d’o`u u′₍_x∗_{) = 0, et ainsi on peut trouver} _{ε, δ >} ₀

tels que

ˆ

f(u(x))_{≤ −k}h_k∞−δ pour tout x∈]x∗−ε, x∗] = Iε.

Pour chaque x_∈Iε on peut ´ecrire

0_≤u(x∗)₋u(x) =u′₍_x∗₎₍_x∗

−x)₋Rx∗

x u”(t)(t−x)dt =Rx∗

x [ ˆf(u(t) +h(t)](t−x)dt

≤ −δRx∗

(7)

d’o`u une contradiction. Ce qui est ach`eve la preuve.

Proposition 2.3 Supposons ( ˜f+) et f est non born´ee sup´erieurement dans R−. Alors (1) admet au moins une solution pour tout h dans L∞_.

Preuve

Pour la preuve de cette proposition, on distingue deux cas :

1. si f est bornée inférieurement dans R+, dans ce cas nous suivons les mêmes lignes que dans la preuve précédente.

2. si f est non born´ee inf´erieurement dans R+, alors f(s) < _−kh_k∞ et f(s) > kh_k∞ pour certainss1 >0 et s2 <0.

Posons ˆf(s) = f(s) pour s1 < s < s2, ˆf(s) =f(s1) pour s > s1, ˆf(s) =f(s2) pour

s < s2, et consid´erons le probl`eme

−u′′ = ( ˆf(u) +h(.)) dans ]a, b[, u(a) =u(b) = 0.

Comme dans la preuve de la proposition 2.2, nous montrons ais´ement que s1 _≤ u(x)_≤s2 dans [a,b], et alorsu est une solution de (1).

Th´eoreme 2.2 Soitf :R→R+continue ethdansL∞

[(a, b),_R+_]_{tel que}R

h(x)dx >

0. De plus si on a :

lim inf s→+∞

˜

f(s)

s <

2

πλ1 (16)

Alors (1) admet au moins une solution u positive (u >0 sur ]a,b[). Preuve

En suivant les mêmes lignes de la preuve de la proposition 2.2 on prouve l’existence d’une constanteS >0 telle que maxu(.)₆=S pour toute u(.) solution de (4). Or d’après le principe du maximum, toute solution u(.) de (4) est positive, d’où l’existence d’une constante T > 0 telle que minu(.) ₆= ₋T. Par suite, l’existence d’une solution du problème (1) découle du lemme 2.1 et u(.) > 0 sur ]a,b[ résulte

du principe du maximum.

Th´eoreme 2.3 Supposons f continue, impaire, f(s)_{→ ∞} sis _{→ ∞},

lim inf s→∞

˜

f(s)

s < λ1 et lim sups→∞

f(s)

s < λ2 Alors (1) admet au moins une solution.

Pour la preuve du th´eor`eme 2.3 nous avons besoin du lemme suivant : Lemme 2.2 Si

lim inf s→∞

˜

f(s)

s <lim infs→∞

2F(s)

s2 et lim infs→∞

2F(s)

s2 >0, alors

lim inf s→∞

2F(s)

s2 <lim sup_s_→∞

2F(s)

(8)

Preuve

Posons lim infs→∞

˜

par suite il vient

s2_nF(sn)

Ce qui ach`eve la preuve.

Preuve du th´eor`eme 2.3 :

Puisque f est impaire on a deux cas `a distinguer :

1er _{cas : Si on a lim infs} f est impaire nous avons :

lim sup

(9)

Th´eoreme 2.4 Supposons sign(s)f(s)_{→ ∞}, quand _|s_{| → ∞}, Alors (1) admet au moins une solution pour tout h dans L1.

(pour plus de détails voir théorème 2.1 [2], ou [3]).

Corollaire 2.2 Supposons que f est continue, impaire et v´erifie la condition (E),

lim inf

Notons que si lim infs→∞

2F(s)

et d’autre part on v´erifie facilement que lim infs→∞

˜

2 . En suivant les mêmes lignes de la preuve du théorème 2.3 le

corollaire d´ecoule.

3 Exemple

Nous allons donner un exemple où le théorème 2.1 s’applique et le résultat de [4] ne s’applique pas.

Consid´erons le probl`eme :

−u′′ =f(u(x)) +h(x) dans ]0, π[, u(0) =u(π) = 0

Soit (rn)n≥1 une suite croissante construite de telle sorte que la droite joignant

les points (rn, rn) et (tn, t2n) est parall`ele `a celle joignant les points (qn, ρqn) et

(10)

✻

Après un calcul élementaire on vérifie que :

lim inf_s

(11)

R ´ef ´erences

[1] D.De Figuerido & J.P.Gossez, Un probl`eme elliptique semi-lin´eaire sans condition de croissance, C.R.Acad.Sc.Paris.(308).(1989)

[2] A.R.El Amrouss, Résonance et nonrésonance dans des problèmes elliptiques semi-linéaires, thèse de 3 cycle Université Mohamedi, Oujda(1995).

[3] A.R. El Amrouss & M.Moussaoui, Nonrésonance entre les deux premières valeurs propres d’un problème quasi-linéaire (à paraˆıtre).

[4] M.L.C.Fernandes, P.Omari & F.Zanolin, On the solvability of a semilinear two point BVP around the First eigenvalue, differential and Integral Equations .2, 63-79.(1989)

[5] A.Hammertein, Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen, Acta math 54, 171-167.(1930)

[6] J.Mawhin, Nonlinear variational two-point boundary value problems. In : Proceeding of the conference ”Variational Methods” Paris 1988, H.Berestici, J-HCoron, I.Ekeland,ed.,, 209-219, Basel- Boston 1990.

[7] F.I.Njoku, Some remarks on the solvability of the nonlinear two point boundary value problems. J.Negerian Math.Soc.,, 10, 85-98.(1990)

A.R. El Amrouss et M.Moussaoui Universit´e Mohammed I

Facult´e des sciences

D´epartement de math´ematiques et informatique