Soal-soal yang Dipecahkan
Soal-soal yang Dipecahkan
1-1
1-1 Dengan memakai grafik, carilah resultan kedua vektor perpindahan berikut: 2 m pada 40°Dengan memakai grafik, carilah resultan kedua vektor perpindahan berikut: 2 m pada 40° dan 4 m pada 12
dan 4 m pada 127°; sudut-sudut ini dihitung terhadap sumbu-7°; sudut-sudut ini dihitung terhadap sumbu- x x positif, sebaimana mestinya. positif, sebaimana mestinya. Tentukan sumbu x-y seperti tampak pada Gambar 1-4, dan gambarlah kedua vektor Tentukan sumbu x-y seperti tampak pada Gambar 1-4, dan gambarlah kedua vektor itu (pindahkan
itu (pindahkan besar besar masing-masing) masing-masing) secara sambung-menyambung. secara sambung-menyambung. Perhatikan bahwaPerhatikan bahwa semua sudut diukur terhadap sumbu-x posi
semua sudut diukur terhadap sumbu-x positif. tif. Vektor resultan R, adalah anak panah antaraVektor resultan R, adalah anak panah antara titik awal dan titik akhir
titik awal dan titik akhir. . Besar R diperoleh dengan mengukur panjang anak panah: 4,6 m.Besar R diperoleh dengan mengukur panjang anak panah: 4,6 m. Dengan menggunakan mistar busur sudut
Dengan menggunakan mistar busur sudut ternyata ternyata 101°. 101°. Perpindahan resultaPerpindahan resultan adaln adalahah 4,6 m pada 101°.
4,6 m pada 101°.
1-2
1-2 Carilah komponen xCarilah komponen x dan dan y y vektor perpindahan 25 m pada 210°. vektor perpindahan 25 m pada 210°. Lihat Gamba
Lihat Gambar 1-5: r 1-5: komponenkomponen x x = -25 cos 30° = -21,7 m = -25 cos 30° = -21,7 m Komponen
Komponen y y = -25 sin 30° = -12,5 m = -25 sin 30° = -12,5 m
Perhatikan benar-benar bahwa kedua komponen itu berarah negatif, maka harus diberi Perhatikan benar-benar bahwa kedua komponen itu berarah negatif, maka harus diberi tanda negatif pula.
tanda negatif pula.
Di dalam perhitungan di atas, komponen-komponentersebut seharusnya ditulis Di dalam perhitungan di atas, komponen-komponentersebut seharusnya ditulis
-(25
-(25 m) m) cos cos 30° 30° -(25 -(25 m) m) sin sin 30°30° y y 4 4 127 127°° x x 40 40°° R R 2 2 Gambar 1-4 Gambar 1-4 y y 25 cos 30 25 cos 30°° 25 sin 30 25 sin 30°° 25 25 30 30°° x x 210 210°° Gambar 1-5 Gambar 1-5
Gambar 1 - 6
Akan tetapi, satuan besaran yang bersangkutan sering tidak dicantumkan untuk menghemat ruang tulis.
1-3 Selesaikanlah soal 1-1 dengan memakai komponen siku-siku.
Setiap vektor diuraikan dalam kompinennya yang saling tegak lurus seperti yang terlihat pada gambar 1-6(a) dan (b). [vektor aslinya diberi tanda II untuk menunjukkan bahwa vektor tersebut telah diganti dengan kedua komponennya]. Komponen vektor resultan adalah:
R x=1,53 – 2,41= -0,88 m R y= 1,29 + 3,19 = 4,48 m
Perhatikan bahwa komponen yang berarah negatif harus diberi tanda minus. Resultannya terlihat pada gambar 1-6(c), nyata bahwa:
R = (0,88)2 (4,48)2 = 4,57 m tan = 88 , 0 48 , 4 Maka Ф = 79°, hingga = 180° - Ф = 101°
1-4 Carilah jumlah dua vektor gaya berikut dengan metode jajaran genjang: 30 N pada 30° dan 20 N pada 140°.
Kedua vektor gaya diperlihatkan pada gambar 1-7(a). Kita bentuk jajaran genjang dengan kedua gaya itu sebagai sisinya, lihat gambar 1-7(b). Resultannya, R, adalah diagonal jajaran genjang. Dengan pengukuran, kita mendapatkan R adalah 30 N pada 72°.
x 2 sin 40° = 1,29 2 cos 40°= 1,53 40° y 2 4 cos 53°=2,41 x y 4 sin 53° = 3,19 127° 53° 4 0,88 x y R 4,48 Ф 30 30° 140° 20 (a) R (b)
Gambar 1-7
1-5 Empat gaya sebidang bekerja pada sebuah benda dan berpotongan di titik O seperti yang ditunjukkan dalam gambar 1-8(a). Carilah resultan gaya secara grafik.
Gambar 1-8
Dari titik O keempat vektor ditarik seperti tampak pada Gambar 1-8(b). Ekor vektor yang satu diimpitkan dengan ujung vektor sebelumnya. Maka anak panah yang dapat ditarik dari titik O ke titik ujung vektor terakhir adalah vektor resultan.
Kita ukur R dari skala gambar pada gambar 1-8(b) dan kita peroleh bahwa R = 119 N. Dengan mistar busur sudut α didapatkan 37°. Maka R membentuk sudut = 180° - 37° =
143° dengan sumbu x positif. Resultan gaya-gaya itu adalah 119 N pada sudut 143°.
1-6 Lima gaya sebidang seperti yang tampak pada gambar 1-9(a) bekerja pada sesuatu objek. Tentukan resultan kelima gaya itu.
100 N 80 N 160 N 110 N O 45° 20° 30° (a) 45° 80 110 30° 20° 160 α O (b)
T(1) Tentukan komponen x dan y setiap gaya berikut:
Gaya Komponen x Komponen y
19N 15 N 16 N 11 N 22 N 19,0 15 cos 60° = 7,5 -16 cos 45° = -11,3 -11 cos 30° = -9,5 0 0 15 sin 60° = 13,0 -16 sin 45° = 11,3 -11 sin 30° = -5,5 -22,0
Perhatikan tanda + dan – yang menunjukkan arahnya.
(2) komponen vektor R adalah Rx= Σ F x dan Ry= Σ F y, dimana Σ F x berarti jumlahsemua
komponen gaya dalam arah x, dengan demikian Rx = 19,0 + 7,5 – 11.3 – 9,5 + 0 = +5,7 N
R y = 0 + 13,0 + 11,3 – 5,5 – 22,0 = -3,2 N
(3) Besar gaya resultan adalah:
R = 2 2 y x R R = 6,5 N 19 N 15 N 60° x 22 N 11 N 16 N y 45° 30° (a) x 5,7 N -3,2 N R Ф y (b) 1-9
(4) Akhirnya, kita gambarkan resultan tersebut seperti tampak pada gambar 1-9(b) dan tentukanlah sudutnya. Nyata bahwa
Tan 7 , 5 2 , 3
Hingga Ф = 29°. Maka = 360° - 29° = 331°. Jadi gaya resultan itu adalah 6,5 N pada arah 331° (atau -29°).
1-7 Selesaikan soal 1-5 dengan cara penjumlahan komponen vektor. Vektor-vektor dan komponen-komponennya:
Gaya Komponen x Komponen y
80 100 110 160 80 -100 cos 45° = -71 -110 cos 30° = -11,3 -160 cos 20° = -9,5 0 110 sin 45° = 71 110 sin 45° = 58 -160 sin 20° = -55
Perhatikan tanda masing-masing komponen.
Rx = Σ = 80 + 71 – 95 – 150 =
-94 N
Ry = Σ F y = 0 + 71 + 55 – 55 =
71 N
Pada gambar 1-10 tampak resultan ini, dan kita lihat bahwa
R = (94)2 (71)2 = 118 N
Selanjutnya, tan α = 71/94, maka α = 37°. Akibatnya gaya resultan adalah 118 N pada sudut 180° - 37° = 143°. 94 71 R α y x Gambar 1-10
1-8 Gaya 100 N membentuk sudut dengan sumbu x, dan komponen y-nya adalah 30 N. Tentukan komponen x gaya itu. Tentukan pula
.
Perhatikan gambar 1-11, kita cari F x dan
kita tahu bahwa: Sin = h o = 100 30 = 0,30
Selanjutnya, tan α = 71/94, maka α = 37°.
Dan gaya resultan adalah 118 N pada sudut 180° - 37° = 143°.
1-9 Sebuah tali yang terikat pada kereta ditarik dengan gaya sebesar 60 N. Tali membentuk sudut 40° dengan permukaan tanah. (a) Hitunglah besargaya terik datar yang dialami kereta. (b) hitung juga gaya angkat pada kereta.
Nyata dari gambar 1-12 bahwa gaya 60 N mempunyai komponen 39 N dan 46 N.
Maka (a) gaya tarik pada kereta dalam arah datar adalah 46 N dan (b) gaya angkat adalah komponen vertikalnya yakni 39 N.
100 30 F x Gambar 1-11 F x = 60 cos 40° = 46 N F y = 60 sin 40° = 39 N 60 N 40° Gambar 1-12 A A A A B B B -B C C A B -C A +B A -B A + B + A + B - C (a) (b) (c) (d) Gambar 1-14
1-10 Mobil dengan berat W diparkir diatas galangan yang mempunyai kemiringan terhadap permukaan tanah. Tentukan gaya tegak lurus yang diperlukan agar galangan tidak ambruk/ dapat menahan berat mobil.
Seperti tampak pada gambar 1-13 berat mobil w adalah gaya yang bekerja pada mobil dalam arah vertikal ke bawah. Gaya w kita uraikan dalam arah sejajar dan tegak lurus galangan. Maka galangan haru menahan gaya w cos.
1-11 Nyatakan gaya-gaya dalam gambar 1-6(c), 1-9(b), 1-10, dan 1-12 dalam bentuk R = R xi +
R y j + R zk.
Mengingat bahwa tanda-tanda plus dan minus harus digunakan untuk memperlihatkan arah pada sebuah sumbu, kita dapat menulis:
Untuk gambar 1-6( c ) : R = -0,88I + 4,48j Untuk gambar 1-9( b) : R = -5,7I – 3,2j Untuk gambar 1-10 : R = -94I + 71j Untuk gambar 1-12 : R = 46I + 39j
1-12 Tiga buah gaya yang bekerja pada sebuah partikel dinyatakan sebagai berikut F1 =20i – 36j + 73k N, F2 = -17I + 21j – 46k N, dan F3 = -12k N. Carikanlah resultannya dalam bentuk komponen. Cari juga besarnya resultan tersebut.
Kita ketahui bahwa
R x = Σ Fx = 20 – 17 + 0 = 3N
R y= Σ Fy = -36 + 21 + 0 + -15 N
R z= Σ Fz = 73 – 46 – 12 = 15 N
Berhubungan R = R xi + R y j + R zk, kita peroleh
R = 3I – 15j + 15k Sesuai teori Phythagoras tiga dimensi, maka
R = 2 2 2 Z y x R R R = 459 = 21,4 N W sin W cos Gambar 1-13
1-13 Gambarkan pengurangan dan penjumlahan antar vektor A,B,dan C yang tampak pada gambar 1-14:( a) A + B; ( b) A + B + C; ( c) A – B; (d) A + B – C.
Perhatikan Gambar 1-14 ( a) s/d ( d). pada gambar ( c): A – B = A + ( --B); yakni untuk mengurangkan B dari A, balikanlah arah B kemudin untuk ditambahkan pada A. Demikian pula di ( d), A + B – C = A + B (-- C), dimana besar – C adalah sama dengan besar C, tetapi arahnya berlawanan.
1-14 Bila A = -12 i + 25j + 13k, berapakah resultannya bila A dikurangi dari B. Dari segi pendekatan matematis murni, kita memperoleh ;
B – A = ( -3j + 7k) – ( -12i + 25j + 13k)
= -3j + 7k + 12i -- 25j – 13k = 12i – 28j – 6k
Perhatikan bahwa 12i – 25j – 13k adalah A dengan arah terbalik. Karena itu pada pokoknya, kita mendapatkan A dengan arah terbalik dan ditambahkan pada B.
1-15 Di atas air danau yang tenang perahu dapat bergerak dengan laju 8 km/jam. Di atas air sungai yang mengalir perahu dapat melaju dengan kecepatan 8 km/jam relatif terhadap air sungai. Jika kecepatan air sungai adalah 3 km/jam, berapakah kecepatan perahu terhadap seorang pengamat yang diam di tepi? ( a) Bila perahu bergerak melawan arus? (b) Bila perahu bergerak searah dengan arus?
(a) Jika seandainya air sungai tidak mengalir, laju perahu perahu terhadap pengamat adalah 8 km/jam. Tetapi perahu dihanyutkan dengan laju 3 km/jam dalam arah yang berlawanan dengan arah laju perahu. Maka laju perahu itu adalah 8 – 3 = 5 km/jam terhadap pengamat di tepi.
( b) Dalam hal ini air sungai menghanyutkan perahu dalam arah yang sama dengan arah geraknya. Maka lajunya adalah 8 + 3 = 11 km/jam terhadap pengamat di tepi.
1-16 Pesawat terbang dengan laju 500 km/jam ke arah Timur, sedangkan angin meniup ke arah selatan dengan kecepatan 90 km/jam. Tentukan laju dan arah kecepatan pesawat relatif terhadap bumi. Kecepatan resultan pesawat adalah jumlah kecepatan sebesar 500 km/jam arah timur dan kecepatan 90 km/jam arah selatan. Kedua kecepatan ini adalah komponen dari vektor kecepatan yang sedang ditentukan : lihat gambar 1-15. Maka
R = (500)2 (90)2 = 508 km/jam, dan
Tan 500
90
= 0,180 maka
Jadi kecepatan pesawat itu relatif terhadap bumi adalah 508 km/jam pada 10,2 arah tenggara.
1-17 Perhatikan kembali pesawat dalam soal 1-16 di atas. Denagn angin yang sama, dalam arah manakah pesawat harus diterbangkan pilotnya agar arah geraknya tepat ke arah timur menurut pengamat di bumi?
Kecepatan pesawat terhadap bumi adalah resultan kecepatann ya sendiri dan kecepatan angin. Lihat Gambar 1-16. Perhatikan bahwa kecepatan ini memang berarah tepat ke timur. Nyata bahwa sin = 90/ 500, maka = 10,4 . jadi pesawat harus di terbangkan dalam arah 10,4 timur
laut.
Berapakah laju pesawat dalam arah tepat timur? Dari Gambar 1-16 dapat dilihat bahwa laju ini adalah R = 500 cos = 492 km/jam.
1-18 Serangga berturut-turut bergerak 8,0 cm ke arah timur, 5,0 cm ke arah selatan, 3,0 cm ke arah barat dan 4,0 cm ke arah utara. ( a) Berapa jauhkah dalam arah utara dan timur serangga itu telah bergerak dihitung dari titik awal geraknya? (b) Tentukan vektor perpindahan serangga secara grafik maupun secara aljabar.
Jawab: (a) 5,0 cm ke arah timur, -1,0 cm ke utara; (b) 5,10 cm pada 11,3 tenggara.
1-19 Carilah komponen-komponen x dan y dari pergesaran-pergeseran (displacements) berikut pada bidang xy (a) 300 cm pada 127 dan (b) 500 cm pada 220 .
jawab: (a) – 180 cm, 240 cm; (b) – 383 cm, -- 321 cm.
1-20 Pada suatu benda bekerja dua gaya: 100 N pada 170 dan 100 N pada 50 . Tentukan resultannya
jawab: 100 N pada 110
1-21 Dimulai dari titik asal sistem koordinat, pergeseran-pergeseran berikut terjadi di bidang xy (pergeseran-pergeseran adalah koplanar atau terletak pada satu bidang) : 60 mm pada arah +y, 30 mm pada arah – x, 40 mm pada 150 dan 50 mm pada 240 . Carilah resultan pergeseran baik secara grafis maupun secara aljabar.
1-22 Hitunglah secara aljabar resultan dari gaya-gaya koplanar berikut: 100 N pada, 30 ,141,4 N pada 45 , dan 100 N pada 240 . Periksalah hasil anda secara grafis.
Jawab : 151 N pada 25 .
1-23 Hitunglah secara aljabar resultan kelima perpindahan koplanar berikut: 20 m pada 30 , 40 m pada 120, 25 m pada 180 , 42 m pada 270 , dan 12 m pada 315 . Bandingkan dengan hasil perhitungan secara grafik.
1-24 Dua buah gaya, 80 N dan 100 N bekerja dengan sudut 60 antara sesamanya sambil menarik sebuah benda. (a) Carikan satu gaya yang dapat menggantikan kedua buah gaya. (b) Satu gaya (disebut equilibrant atau gaya kesetimbangan) manakah yang akan menghasilkan kesetimbangan antara kedua gaya? Pecahkan soal ini secara aljabar.
Jawab: (a) R = 156 N pada 34 terhadap gaya 80 N, (b) – R = 156 N pada 214 terhadap gaya 80 N.
1-25 Dengan aljabar tentukan: (a) gaya resultan dan (b) gaya pengimbang (lihat soal 1- 24) ketiga gaya sebidang berikut 300 N pada 0 , 400 N pada 30 , dan 400 N pada 150 .
Jawab: (a) 500 N pada 53 ;(b) 500 N pada 233
1-26 Pergeseran (displacemen) pada 70 manakah yang mempunyai komponen x sebesar 450 m? Apakah komponen y-nya?
Jawab: 1,32 km, 1,24 km.
1-27 Berapa besar pergeseran yang harus ditambahkan pada suatu pergeseran 50 cm dengan arah +x untuk menghasilkan pergeseran resultan sebesar 85 cm pada 25?
jawab: 44,9 cm pada 53 .
1-28 Perhatikan gambar 1-17. Nyatakanlah vektor (a) P,(b) R,( c) S, (d) Q dalam vektor A dan B.
Jawab: (a) A + B ; (b) B; ( c) – A; (d) A – B.
1-29 Perhatikan Gambar 1-18. Nyatakanlah vektor (a) E, (b) D – C, dan ( c) E + D – C dalam vektor A dan B.
Jawab: (a) – A – B atau – (A + B) ; (b) A; ( c) – B.
1-30 Seorang anak menahan sebuah kereta (berat 150 N) di atas permukaan yang miring 20 , agar tidak menggelinding turun. Berapakah gaya tarik anak itu? (ia menarik dengan arah sejajar permukaan miring).
Jawab; 51 N
1-31 Ulangi soal 1-30. Anak itu sekarang menarik kereta dengan arah 30 dengan permukaan miring
Jawab: 59 N
1-32 Berapakah (a) A + B + C, (b) A – B dan ( c) A – C jika A = 7i - 6j, B = -3i + 12j, dan C = 4i – 4j.
Jawab: (a) 8i + 2j;(b)10i – 18j;( c) 3i – 2j.
1-33 Berapakah besar dan sudut dari R jika R = 7i – 12j.
Jawab: 13,9 pada – 59,7 .
1-34 Berapa besar pergeseran yang harus ditambahkan kepada pergeseran 25i -16j m untuk menghasilkan pergeseran 7,0 m ke arah +x.
Jawab: -18i + 16jm.
1-35 Suatu gaya 15i – 16j + 27k N ditambahkan kepada gaya 23j – 40k N. Berapakah besarnya resultan?
Jawab: 21,0 N.
1-36 Sebuah truk melaju dengan kecepatan 70 km/jam ke arah utara. Asap knalpot terlihat membentuk sudut 20 ke arah timur (terhitung dari arah selatan). Kalau diketahui bahwa angin meniup tepat ke arah timur, berapakah kecepatan angin itu?
Jawab: 25 km/jam.
1-37 Kapal berlayar ke arah timur dengan laju 10 km/jam. Kapal lain berlayar dalam arah 30 arah utara dari arah timur. Berapakah laju kapal kedua ini agar selalu berada tepat sebelah utara dari kapal pertama?
Jawab: 20 km/jam
1-38 Mesin sebuah kapal dapat mendorongnya dengan kecepatan 0,50 m/s di atas air yang tenang. Kapal ini menyebrangi sungai selebar 60 m. Air dalam sungai mengalir dengan kecepatan 0,30 m/s. (a) Agar kecepatan 0,50 m/s tercapai, bagaimanakah kapal harus diarahkan, dengan kata lain, berapakah sudut antara kapal dan arah tegak lurus sungai? (b) Berapa waktu diperlukan untuk menyebrang sungai?
Jawab : (a) 37 ke hulu; (b) 150 detik.
1-39 Seorang penduduk mempermainkan pistol di dalam pesawat yang melaju dengan kecepatan 500 km/jam arah timur. Orang itu menembakan pistolnya tegak lurus ke atas dan kecepatan
pelurunya adalah 1000 km/jam. Menurut seorang pengamat di bumi peluru itu melenceng, berapakah sudut miringnya terhadap vertikal?
