Matriks
Dan
Sistem Persamaan Linier
Sudaryatno SudirhamBahan Kuliah Terbuka
dalam format pdf tersedia di
www.buku-e.lipi.go.id
dalam format pps beranimasi tersedia di
www.ee-cafe.org
Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris
dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang
yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.
Contoh:
1 2 3 4 2 1 3 0 2 baris kolomNama matriks: huruf besar cetak tebal,
=
1
2
3
4
2
1
3
0
2
A
=
2
0
3
1
4
2
B
Contoh:Notasi:
Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks.
Kita akan melihat matriks berisi bilangan nyata.
Elemen Matriks
Isi suatu matriks disebut elemen matriks
Contoh:
=
2
0
3
1
4
2
B
2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenenmatriks yang membentuk baris2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom
Ukuran Matriks
Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b×k elemen-elemen
Ukuran matriks dinyatakan sebagai b×k
Contoh:
=
2
0
3
1
4
2
= 1 2 3 4 2 1 3 0 2 A b = k = 3 matriks bujur sangkar 3×3
Nama Khusus
Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar.
Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom. Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris. Matriks dengan b ≠ k disebut matrik segi panjang
Contoh: = 2 0 3 1 4 2 B b = 2, k = 3 matriks segi panjang 2×3
=
4
2
p
k = 1 vektor kolomq
=
[
3
2
4
]
b = 1 vektor baris Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebalSecara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai
[ ]
bk mn m m n na
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
L
L
L
L
L
L
L
2 1 2 22 21 1 12 11A
elemen-elemen a11 …amn disebut
diagonal utama
Matriks Segitiga
Contoh:
Matriks segitiga bawah :
−
=
3
4
3
0
1
1
0
0
2
1T
Matriks segitiga atas :
−
=
3
0
0
3
1
0
1
2
2
2T
Ada dua macam matriks segitiga yaitu
matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas
Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh:
=
0
0
0
0
1
0
0
0
2
D
Matriks Satuan
Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.
Contoh: I A = = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Matriks Nol
Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang
Anak matriks atau sub-matriks
=
2
0
3
1
4
2
B
[
2
4
1
]
[
3
0
2
]
- Dua anak matriks 1
×
3 , yaitu:
3
2
0
4
2
1
- Tiga anak matriks 2
×
1, yaitu:- Enam anak matriks 1
×
1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2]; - Enam anak matriks 1×
2 yaitu:[
2
4
]
[ ]
2
1
[ ]
4
1
[ ]
3
0
[ ]
3
2
[
0
2
]
0
3
4
2
2
3
1
2
2
0
1
4
- Tiga anak matriks 2
×
2 yaitu:Contoh:
Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak
matriks yang berupa vektor-vektor
=
1
2
3
4
2
1
3
0
2
A
=
3 2 1a
a
a
A
dapat kita pandang sebagai matriks
dengan anak-anak matriks berupa vektor baris
[
2
0
3
]
1
=
a
a
2=
[
1
2
4
]
a
3=
[
3
2
1
]
dapat kita pandang sebagai matriks
A
=
[
a
1a
2a
3]
=
3
1
2
1a
=
2
2
0
2a
=
1
4
3
3a
dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom
Contoh:
Contoh yang lain:
=
1
2
3
4
2
1
3
0
2
A
Kesamaan Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama.
A = B
=
0
3
4
2
A
Jika
=
0
3
4
2
B
maka haruslah . Contoh:Matriks Negatif
Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya
dengan faktor (−1). . Contoh:
=
0
3
4
2
A
−
−
−
=
−
0
3
4
2
A
Penjumlahan
Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama
Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran
m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang
elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan
B yang posisinya sama
A
B
B
A
+
=
+
(
A
+
B
)
+
C
=
A
+
(
B
+
C
)
=
0
3
4
2
A
=
2
2
3
1
B
Jika
=
+
2
5
7
3
B
A
makaSifat-sifat penjumlahan matriks: Contoh:
Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif
A 0 A+ =
0
A
A
A
A
−
=
+
(
−
)
=
=
0
3
4
2
A
=
2
2
3
1
B
−
=
−
−
−
−
+
=
−
2
1
1
1
2
2
3
1
0
3
4
2
B
A
Contoh:Perkalian Matriks
= mn m m n n a a a a a a a a a L L L L L L L 2 1 2 22 21 1 12 11 ABA
AB
≠
= pq m p q q a a a a a a a a a L L L L L L L 2 1 2 22 21 1 12 11 BJadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran p×q
maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p.
Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m×q dengan nilai elemen
pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor
baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B
Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.
Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan.
Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar
Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m
××××
nadalah matriks berukuran m
××××
n yang seluruh elemennya bernilai a kali.a
A = Aa
=
×
=
×
6
4
6
4
6
2
2
4
4
2
3
2
3
2
3
1
1
2
2
3
2
3
2
3
1
1
2
2
2
Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut
(
A B)
aA aB a + = +(
a +b)
A = aA +bA[ ]
bA( )
ab A a = Contoh:Perkalian Internal Vektor (dot product)
[ ]
2
3
=
a
=
3
4
b
vektor baris: vektor kolom:
. Contoh:
2 kolom
2 baris Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya
terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris vektor b.
Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan.
[
]
[
2
4
3
3
] [ ]
17
3
4
3
2
=
×
+
×
=
=
•
=
a
b
c
Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukan tetapi memberikan hasil yang berbeda
[
]
=
×
×
×
×
=
=
•
=
9
6
12
8
3
3
2
3
3
4
2
4
3
2
3
4
a
b
d
perkalian internal dapat dilakukan
Perkalian Matriks Dengan Vektor
=
4
3
1
2
A
=
3
2
b
Misalkan dan dapat dikalikan 2 kolom 2 baris
=
×
+
×
×
+
×
=
•
•
=
=
=
18
7
3
4
2
3
3
1
2
2
2 1 2 1b
a
b
a
b
a
a
Ab
C
Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan
karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.
Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar
=
4
3
1
2
A
=
3
5
2
4
B
dan Contoh: dapat dikalikan kolom = 2 baris = 2Matriks A kita pandang sebagai
=
2 1a
a
A
Matriks B kita pandang sebagai
B
=
[
b
1b
2]
[
]
=
×
+
×
×
+
×
×
+
×
×
+
×
=
•
•
•
•
=
=
=
18
32
7
13
3
4
2
3
5
4
4
3
3
1
2
2
5
1
4
2
2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
AB
C
Perkalian dua matriks persegi panjang
=
2
3
1
3
4
2
A
=
3
2
3
4
2
1
B
dan dapat dikalikan kolom = 3 baris = 3
=
×
+
×
+
×
×
+
×
+
×
×
+
×
+
×
×
+
×
+
×
=
=
=
17
17
25
25
3
2
3
3
2
1
2
2
4
3
1
1
3
3
3
4
2
2
2
3
4
4
1
2
3
2
3
4
2
1
2
3
1
3
4
2
AB
C
Contoh:
=
2 1a
a
A
B
=
[
b
1b
2]
[
]
•
•
•
•
=
=
=
2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
AB
C
Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah
, sehingga
. Dalam operasi perkalian matriks:
matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris
matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom
( )
a
A
B
=
a
( )
AB
=
A
( )
a
B
( ) ( )
BC
AB
C
A
=
(
A
+
B
)
C
=
AC
+
BC
(
A
B
)
CA
CB
C
+
=
+
Sifat-sifat perkalian matriks
b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BA
a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan
Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.
c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.Putaran Matriks (Transposisi)
Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom-kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa
baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT
[ ]
bk mn m m n na
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
L
L
L
L
L
L
L
2 1 2 22 21 1 12 11A
[ ]
pq mn n n m ma
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
L
L
L
L
L
L
L
2 1 2 22 12 1 21 11 TA
Jika makaPutaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom
Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom.
Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.
[
]
=
⇒
=
3
4
2
3
4
2
a
Ta
[
5
4
3
]
3
4
5
T=
⇒
=
b
b
Contoh:Putaran Jumlah Dua Vektor Baris
Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor
[
2
4
3
]
dan
=
[
1
3
2
]
=
b
a
[
3
7
5
]
=
+
b
a
(
)
T T T2
3
1
3
4
2
5
7
3
b
a
b
a
=
+
+
=
=
+
(
)
T T Tb
a
b
a
+
=
+
Jika maka Secara umum : Contoh:Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom
Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran
masing-masing dengan urutan dibalik
[
]
=
=
2
3
1
dan
3
4
2
b
a
[
2
×
1
+
4
×
3
+
3
×
2
]
=
ab
Jika maka Contoh:[
] [
]
T T T3
4
2
2
3
1
2
3
3
4
1
2
b
a
ab
=
=
×
+
×
+
×
=
Contoh: Jika
dan
[
1
3
2
]
3
4
2
=
=
b
a
maka
×
×
×
×
×
×
×
×
×
=
2
3
3
3
1
3
2
4
3
4
1
4
2
2
3
2
1
2
ab
( )
T[
]
T T 3 4 2 2 3 1 2 3 2 4 2 2 3 3 3 4 3 2 1 3 1 4 1 2 a b ab = = × × × × × × × × × = Secara umum :( )
ab T = bTaTContoh:
Putaran Matriks Persegi Panjang
=
2
3
1
3
4
2
A
=
2
3
3
4
1
2
TA
Jika maka
=
ma
a
A
L
1[
T T]
1 T ma
a
A
=
L
Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari
vektor baris maka
[
a
a
a
m]
A
L
2 1=
Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom
=
ma
a
A
L
1 T makaPutaran Jumlah Matriks
Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks.
Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.
(
)
T T TB
A
B
A
+
=
+
[
a am]
A L 1 = B[
b L bm]
1 =[
a
b
a
mb
m]
B
A
+
=
+
L
+
1 1 Jika Dengan demikian dan maka(
)
(
)
(
)
T T T T 1 T T 1 T T T 1 T 1 T T 1 1 T B A b b a a b a b a b a b a B A = + + = + + = + + = + m m m m m m L L L LPutaran Hasil Kali Matriks
Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat
pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.
( )
T T T A B AB =
=
ma
a
A
L
1[
b
b
n]
B
=
1L
•
•
•
•
=
n m n m nb
a
b
a
b
a
b
a
AB
L
L
L
L
L
1 1 1 Jika dan maka[
]
T T 1 1 1 1 1 Ta
a
B
A
b
b
b
a
b
a
b
a
b
a
AB
=
=
•
•
•
•
=
m n n m n m nL
L
L
L
L
L
L
Dengan demikian makaMatriks Simetris
Jika
dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. B
BT = −
Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila
A AT =
Karena dalam setiap putaran matriks nilai elemen-elemen diagonal utama tidak berubah,
maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol.
Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata.
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak
diketahui. Bentuk umum: m n mn m n n n n
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
=
+
+
=
+
+
=
+
+
L
L
L
1 1 2 2 1 21 1 1 1 11.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn.
Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya
merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang
diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol
Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi? c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi,
bagaimanakah himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?
Operasi Baris m n mn m n n n n
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
=
+
+
=
+
+
=
+
+
L
L
L
1 1 2 2 1 21 1 1 1 11.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut
operasi baris sebagai berikut:
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri
persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
=
m n mn m m n nb
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
L
L
L
L
L
L
L
L
2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks
atau secara singkat
Ax
=
b
=
=
=
m n mn m m n nb
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
L
L
L
L
L
L
L
L
L
2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11;
;
x
b
A
denganDari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi
=
m mn m m n nb
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
|
|
|
|
~
2 1 2 2 22 21 1 1 12 11L
L
L
L
L
L
L
L
A
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut
a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.
b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain. c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.
Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir
inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan
matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan
asalnya.
Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem
persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
Suatu sistem persamaan linier:
Contoh:
0
2
3
4
8
2
5
3
0
2
4
8
=
+
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
D C B A D C B A C B A B Ax
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:
=
−
−
−
−
−
−
−
0
8
0
8
2
3
4
1
2
5
3
1
0
2
4
1
0
0
1
1
D C B Ax
x
x
x
Matriks gandengnya adalah:
−
−
−
−
−
−
−
0
|
2
3
4
1
8
|
2
5
3
1
0
|
0
2
4
1
8
|
0
0
1
1
Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks
gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil
baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris
berikutnya menjadi bernilai nol.
1)
baris
(
1)
baris
(
baris1)
(
pivot
8
|
2
3
3
0
0
|
2
5
2
0
8
|
0
2
3
0
8
|
0
0
1
1
+
−
+
−
−
−
−
−
Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks
gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan
mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
8
|
2
3
3
0
0
|
2
5
2
0
8
|
0
2
3
0
8
|
0
0
1
1
−
−
−
−
−
2)
(-baris
2)
baris
2/3
(
(pivot)
0
|
2
1
0
0
3
/
16
|
2
3
/
4
5
0
0
8
|
0
2
3
0
8
|
0
0
1
1
+
−
−
−
−
−
Kalikan baris ke 3
dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat
0
|
2
1
0
0
3
/
16
|
2
3
/
4
5
0
0
8
|
0
2
3
0
8
|
0
0
1
1
−
−
−
−
−
0
|
2
1
0
0
16
|
6
11
0
0
8
|
0
2
3
0
8
|
0
0
1
1
−
−
−
−
0
|
2
1
0
0
16
|
6
11
0
0
8
|
0
2
3
0
8
|
0
0
1
1
−
−
−
−
Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai
pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
3
baris
11
pivot
16
|
16
0
0
0
16
|
6
11
0
0
8
|
0
2
3
0
8
|
0
0
1
1
+
×
−
−
−
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:
16
16
16
6
11
8
2
3
8
=
=
−
=
−
=
−
D D C C B B Ax
x
x
x
x
x
x
yang dengan substitusi
mundur akan memberikan:
12
;
4
;
2
;
1
=
=
=
=
C B A Dx
x
x
x
Hasil terakhir langkah ketiga adalah:16
|
16
0
0
0
16
|
6
11
0
0
8
|
0
2
3
0
8
|
0
0
1
1
−
−
−
Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:
=
−
−
−
16
16
8
8
16
0
0
0
6
11
0
0
0
2
3
0
0
0
1
1
D C B Ax
x
x
x
Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu
Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi.
Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak
dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.
Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem
menjadi tertentu berlebihan.
Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka
sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu
memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.
Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.
Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi
8
2
3
0
2
4
8
−
=
+
−
=
−
+
−
=
−
C B C B A B Ax
x
x
x
x
x
x
Matriks gandeng:
−
−
−
−
−
8
|
2
3
0
0
|
2
4
1
8
|
0
1
1
Eliminasi Gauss:
−
−
−
−
8
|
2
3
0
8
|
2
3
0
8
|
0
1
1
−
−
0
|
0
0
0
8
|
2
3
0
8
|
0
1
1
Contoh:Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :
0
0
8
2
3
8
=
=
−
=
−
C B B Ax
x
x
x
3
/
)
2
8
(
C Bx
x
=
+
Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan
3
/
)
2
8
(
8
C Ax
x
=
+
+
yang kemudian memberikan
Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak
solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita
Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi
10
2
3
0
2
4
8
−
=
+
−
=
−
+
−
=
−
C B C B A B Ax
x
x
x
x
x
x
Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan
−
−
−
−
−
10
|
2
3
0
0
|
2
4
1
8
|
0
1
1
−
−
−
−
10
|
2
3
0
8
|
2
3
0
8
|
0
1
1
−
−
−
2
|
0
0
0
8
|
2
3
0
8
|
0
1
1
Contoh:Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah
2
0
8
2
3
8
−
=
=
−
=
−
C B B Ax
x
x
x
Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris
terakhir.
Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau
Bentuk Eselon
Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk
eselon. − − 0 0 0 2 3 0 0 1 1 − − − 2 | 0 0 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 dan
Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah ′ ′ ′ + m r r rn rr n n b b b k k b c c b a a a | 0 | | 0 | | | 0 | 1 2 2 22 1 1 12 11 M L M L L L L L L
Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah
dan sistem yang telah tereduksi
pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk m r r n rn r rr n n n n b b b x k x k b x a x c b x a x a x a ′ = ′ = ′ = + + ′ = + + = + + + + 0 0 1 2 2 2 22 1 1 2 12 1 11 M L M L L L L L L L L dengan
a
11≠
0
,
a
22≠
0
,
k
rr≠
0
, dan r ≤ na). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.
b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.
c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi. n r =
b
r′
+1,
K
,
b
m′
n r < br′+1,K,bm′ n r = r < n br′+1,K,bm′Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika sama dengan nol atau tidak ada.
m
r b
b′+1,K, ′
Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika r = n.
Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut
ini.
n
r
<
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier
Vektor-Vektor
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor
Misalkan a1 ,a2 ,L amadalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk].
Kita tinjau suatu persamaan vektor
0
2 2 1 1+
c
+
+
c
m m=
c
a
a
L
a
Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien
(c1 … cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah
bebas linier.
Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada
satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu
Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena
dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk dapat dipenuhi.
Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai
0
1 2 1 2 1=
−
−
−
m m=
c
c
c
c
a
a
a
L
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi
Contoh: Dua vektor baris a1 =
[
2 3 1 2]
dan a2 =[
4 2 6 2]
Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena[
2 3 1 2] [
2 4 2 6 2]
0 1 2 2 1 1 +c = c +c = c a ahanya akan terjadi jika c1 = c2 = 0 Ambil vektor ketiga a3 =
[
4 6 2 4]
Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai
[
2 3 1 2] [
4 6 2 4]
2 2 1 3 = a = = aVektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan
a3 sebagai
[
2
3
1
2
] [
0
4
2
6
2
] [
4
6
2
4
]
2
0
2
1 2 3=
a
+
a
=
+
=
a
Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.
Rank Matriks
Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks.
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk]
disebut rank matriks A disingkat rank A. Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.
Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks
baru sama dengan rank matriks asalnya.
Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu
sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir eliminasi Gauss.
Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas
linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah
− − − 16 0 0 0 6 11 0 0 0 2 3 0 0 0 1 1 − − − 16 | 16 0 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan
banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah
Contoh: − − 0 0 0 2 3 0 0 1 1 − − 0 | 0 0 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah
− − 0 0 0 2 3 0 0 1 1 − − − 2 | 0 0 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan
rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2
sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak
Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.
c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.
a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks
gandengannya;
b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;
Sistem Persamaan Homogen
Sistem Persamaan Homogen
Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk
0 . . . . . . . . . . . 0 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 = + + + = + + + = + + + n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L L L
Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah
= 0 | | 0 | 0 | ~ 2 1 2 22 21 1 12 11 mn m m n n a a a a a a a a a L L L L L L L L A
Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ′ 0 | 0 0 0 | 0 | 0 0 | ~ 22 2 1 12 11 mn n n a a a a a a L L L L L L L A
Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan
berbentuk 0 0 0 2 2 22 1 2 12 1 11 = ′ = ′ + + ′ = ′ + + ′ + ′ n mn n n n n x a x a x a x a x a x a M L L
Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika .
0 = n x n r <
Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial 0 2 3 4 0 2 5 3 0 2 4 0 = + − + − = − + − = − + − = − D C B A D C B A C B A B A x x x x x x x x x x x x x
Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah
− − − − − − − 0 | 2 3 4 1 0 | 2 5 3 1 0 | 0 2 4 1 0 | 0 0 1 1 − − − 0 | 16 0 0 0 0 | 6 11 0 0 0 | 0 2 3 0 0 | 0 0 1 1
Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui
juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi
0 16 0 6 11 0 2 3 0 = = − = − = − D D C C B B A x x x x x x x 0 = = = = C B A D x x x x
yang akhirnya memberikan
Inilah solusi trivial yang
dihasilkan jika terjadi keadaan r = n
