BAB II
LANDASAN TEORI 2.1 Kain Ulos
ULOS dalam pengertian umum adalah kain tenun tradisional Batak yang terdiri dari berbagai jenis, corak atau motif, fungsi serta ukuran. Menurut batakpos-online, ulos dalam pengertian adat terdapat tiga jenis, yaitu ulos herbang (kain tenunan tradisional), ulos na so ra buruk (berupa sebidang tanah atau sawah disebut ulos yang tak akan usang) dan ulos tinonun sadari (berupa uang, disebut ulos yang ditenum dalam sehari).
Diantara kain tenun ikat yang ada, hanya ulos yang memiliki arti mendalam dan sangat luas. Dibedakan atas proses pembuatan gorga/motif beserta coraknya, dan menjadi ukuran penentu bagi nilai dan harganya. Desain yang dikembangkan pada kain ulos merupakan hasil karya penggalian ornamen budaya Batak yang diekspresikan dalam rancangan baru, dan masih terus digali dengan berbagai improvisasi.
2.1.1 Jenis – Jenis Ulos
Menurut Tanobatak (2007, Agustus) jenis-jenis kain ulos adalah sebagai berikut :
1. Ulos Jugia
Ulos ini disebut juga “ulos naso ra pipot atau “pinunsaan”. Biasanya ulos yang harga dan nilainya sangat mahal dalam suku Batak disebut ulos “homitan” yang disimpan di “hombung” atau “parmonang-monangan” (berupa Iemari pada jaman dulu kala). Menurut kepercayaan orang Batak, ulos ini tidak diperbolehkan dipakai sembarangan kecuali orang yang sudah “saur matua” atau
kata lain “naung gabe” (orang tua yang sudah mempunyai cucu dari anaknya laki-laki dan perempuan).
Tingginya aturan pemakaian jenis ulos ini menyebabkan ulos merupakan benda langka hingga banyak orang yang tidak mengenalnya. Ulos sering menjadi barang warisan orang tua kepada anaknya dan nialainya sama dengan “sitoppi” (emas yang dipakai oleh istri raja pada waktu pesta) yang ukurannya sama dengan ukuran padi yang disepakati dan tentu jumlah besar.
2. Ulos Ragi Hidup
Ulos ini setingkat dibawah Ulos Jugia. Banyak orang beranggapan ulos ini adalah yang paling tinggi nilanya, mengingat ulos ini memasyarakat pemakainya dalam upacara adat Batak. Ulos ini dapat dipakai untuk berbagai keperluan pada upacara duka cita maupun upacara suka cita. Dan juga dapat dipakai oleh Raja-raja maupun oleh masyarakat pertengahan. Pada jaman dahulu dipakai juga untuk “mangupa tondi” (mengukuhkan semangat) seorang anak yang baru lahir.
Ulos ini juga dipakai oleh suhut si habolonan (tuan rumah). Ini yang membedakannya dengan suhut yang lain, yang dalam versi “Dalihan Na Tolu” disebut dongan tubu.
Ulos ini terdiri atas tiga bagian yaitu dua sisi yang ditenun sekaligus dan satu bagian tengah yang ditenun sendiri dengan motif yang sangat sulit. Motif tersebut harus berkesan dilukiskan secara benar-benar hidup, sehingga dinamakan ragidup dan diartikan sebagai lambang kehidupan. Setiap rumah tangga atau mau berumah tangga akan punya dan diberi ulos ragidup karena lambang kehidupan dan juga lambang doa restu untuk kebahagian dalam kehidupan terutama dalam mendapatkan keturunan. (www.enformasi.com, 2008).
3. Ragi Hotang
Ulos ini biasanya diberikan kepada sepasang pengantin yang disebut sebagai ulos “Marjabu”. Ragi hotang juga merupakan ulos yang penting dan mempunyai derajat tinggi, tapi pembuatanya tidak serumit ragidup. Ulos ini punya arti keistimewaan dan berhubungan dengan pekerjaan dan juga digunakan dalam upacara kematian sebagai pembungkus atau menutupi jenazah, karena mengartikan bahwa pekerjannya didunia telah selesai dan telah tamat. (www.enformasi.com, 2008).
4. Ulos Sadum
Ulos ini penuh dengan warna warni yang ceria hingga sangat cocok dipakai untuk suasana suka cita. Di Tapanuli Selatan ulos ini biasanya dipakai sebagai panjangki/parompa (gendongan) bagi keturunan Daulat Baginda atau Mangaraja. Untuk mengundang (marontang) raja raja, ulos ini dipakai sebagai alas sirih diatas piring besar (pinggan godang burangir/harunduk panyurduan).
Aturan pemakaian ulos ini demikian ketat hingga ada golongan tertentu di Tapanuli Selatan dilarang memakai ulos ini. Begitu indahnya ulos ini sehingga didaerah lain sering dipakai sebagai ulos kenang-kenangan dan bahkan dibuat pula sebagai hiasan dinding. Ulos ini sering pula diberi sebagai kenang kenangan kepada pejabat pejabat yang berkunjung ke daerah.
5. Ulos Runjat
Ulos ini biasanya dipakai oleh orang kaya atau orang terpandang sebagai ulos “edang-edang” (dipakai pada waktu pergi ke undangan). Ulos ini dapat juga diberikan kepada pengantin oleh keluarga dekat menurut versi (tohonan) Dalihan Natolu diluar hasuhutan bolon, misalnya oleh Tulang (paman), pariban (kakak pengantin perempuan yang sudah kawin), dan pamarai (pakcik pengantin perempuan). Ulos ini juga dapat diberikan pada waktu “mangupa-upa” dalam acara pesta gembira (ulaon silas ni roha).
Kelima jenis ulos ini adalah merupakan ulos homitan (simpanan) yang hanya kelihatan pada waktu tertentu saja. Karena ulos ini jarang dipakai hingga tidak perlu dicuci dan biasanya cukup dijemur di siang hari pada waktu masa bulan purnama (tula).
6. Ulos Sibolang
Ulos ini dapat dipakai untuk keperluan duka cita atau suka cita. Untuk keperluan duka cita biasanya dipilih dari jenis warna hitamnya menonjol, sedang bila dalam acara suka cita dipilih dari warna yang putihnya menonjol. Dalam acara duka cita ulos ini paling banyak dipergunakan orang. Untuk ulos “saput” atau ulos “tujung” harusnya dari jenis ulos ini dan tidak boleh dari jenis yang lain.
Ulos ini diberikan sebagai tanda jasa menghormati namanya buat mabulang-bulangi, biasanya dipakai oleh orangtua pengantin atau diberikan hadiah kepada orangtua pengantin perempuan buat menantunya, dan ulos ini lambang menyambutan keluarga baru. Dan ulos ini juga diberikan kepada seorang wanita yang tinggal mati oleh suaminya sebagai tanda menghormati jasa selama menjadi istri almarhum dan bertanda dia telah menjadi janda. Ulos ini bertanda menghormati. (www.enformasi.com, 2008).
7. Ulos Suri-suri Ganjang
Biasanya disebut saja ulos Suri-suri, berhubung coraknya berbentuk sisir memanjang. Dahulu ulos ini diperguakan sebagai ampe-ampe/hande-hande. Pada waktu margondang (memukul gendang) ulos ini dipakai hula-hula menyambut pihak anak boru.
Ulos ini juga dapat diberikan sebagai “ulos tondi” kepada pengantin. Ulos ini sering juga dipakai kaum wanita sebagai sabe-sabe. Ada keistimewaan ulos ini yaitu karena panjangnya melebihi ulos biasa. Bila dipakai sebagai ampe-ampe bisa mencapai dua kali lilit pada bahu kiri dan kanan sehingga kelihatan sipemakai layaknya memakai dua ulos.
8. Ulos Mangiring
Ulos ini mempunyai corak yang saling iring-beriring. Ini melambangkan kesuburan dan kesepakatan. Ulos ini sering diberikan orang tua sebagai ulos parompa kepada cucunya. Seiring dengan pemberian ulos itu kelak akan lahir anak, kemudian lahir pula adik-adiknya sebagai temannya seiring dan sejalan. Ulos ini juga dapat dipakai sebagai pakaian sehari-hari dalam bentuk tali-tali (detar) untuk kaum laki-laki.
Bagi kaum wanita juga dapat dipakai sebagai saong (tudung). Pada waktu upacara “mampe goar” (pembaptisan anak) ulos ini juga dapat dipakai sebagai bulang-bulang, diberikan pihak hula-hula kepada menantu. Bila mampe goar untuk anak sulung harus ulos jenis “Bintang maratur”.
9. Bintang Maratur
Ulos ini menggambarkan jejeran bintang yang teratur. Jejeran bintang yang teratur didalam ulos ini menunjukkan orang yang patuh, rukun seia dan sekata dalam ikatan kekeluargaan. Juga dalam hal “sinadongan” (kekayaan) atau hasangapon (kemuliaan) tidak ada yang timpang, semuanya berada dalam tingkatan yang rata-rata sama. Dalam hidup sehari-hari dapat dipakai sebagai
hande-hande (ampe-ampe), juga dapat dipakai sebagai tali-tali atau saong. Sedangkan nilai dan fungsinya sama dengan ulos mangiring dan harganya relatif sama.
10. Sitoluntuho-Bolean
Ulos ini biasanya hanya dipakai sebagai ikat kepala atau selendang wanita. Tidak mempunyai makna adat kecuali bila diberikan kepada seorang anak yang baru lahir sebagai ulos parompa. Jenis ulos ini dapat dipakai sebagai tambahan, yang dalam istilah adat batak dikatakan sebagai ulos panoropi yang diberikan hula-hula kepada boru yang sudah terhitung keluarga jauh. Disebut Sitoluntuho karena raginya/coraknya berjejer tiga, merupakan “tuho” atau “tugal” yang biasanya dipakai untuk melubang tanah guna menanam benih.
11. Uos Jungkit
Ulos ini jenis ulos “nanidondang” atau ulos paruda (permata). Purada atau permata merupakan penghias dari ulos tersebut. Dahulu ulos ini dipakai oleh
para anak gadis dan keluarga Raja-raja untuk hoba-hoba yang dipakai hingga dada. Juga dipakai pada waktu menerima tamu pembesar atau pada waktu kawin.
Pada waktu dahulu kala, purada atau permata ini dibawa oleh saudagar-saudagar dari India lewat Bandar Barus. Pada pertengahan abad XX ini, permata tersebut tidak ada lagi diperdagangkan. Maka bentuk permata dari ragi ulos tersebut diganti dengan cara “manjungkit” (mengkait) benang ulos tersebut. Ragi yang dibuat hampir mirip dengan kain songket buatan Rejang atau Lebong. Karena proses pembuatannya sangat sulit, menyebabkan ulos ini merupakan barang langka, maka kedudukannya diganti oleh kain songket tersebut.
Masih banyak lagi macam-macam corak dan nama-nama ulos antara lain: Ragi Panai, Ragi Hatirangga, Ragi Ambasang, Ragi Sidosdos, Ragi Sampuborna, Ragi Siattar, Ragi Sapot, Ragi si Imput ni Hirik, Ulos Bugis, Ulos Padang Rusa, Ulos Simata, Ulos Happu, Ulos Tukku, Ulos Gipul, Ulos Takkup, dan banyak lagi nama-nama ulos yang belum disebut disini. Menurut orang-orang tua jenis ulos mencapai 57 jenis.
2.2 Fraktal
Fraktal adalah benda geometri yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagi-bagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Fraktal dikatakan memiliki detil yang tak hingga dan dapat memiliki struktur serupa diri pada tingkat perbesaran yang berbeda. Konsep fraktal dapat menguraikan sifat fisis yang rumit menjadi elemen yang lebih sederhana. Proses yang lama kelamaan membentuk suatu keteraturan tertentu, yakni self-similarity, self-affinity, self-inverse, dan self-squaring yang merupakan konsep dasar dari geometri fraktal. Sifat fraktalyang berupa self-similarity menunjukkan bahwa fraktal terdiri dari bagian-bagian yang berbentuk serupa satu sama lain. Self-affinity menggambarkan bahwa fraktal disusun atas bagian-bagian geometri yang saling terangkai satu sama lain.
Self-inverse artinya terdapat suatu bagian dalam geometri fraktal yang
merupakan susunan yang terbalik dari susunan lainnya, sedangkan self-squaring dapat diartikan bahwa suatu bentuk geometri fraktal merupakan peningkatan kerumitan dari bagian sebelumnya atau secara matematis disebut peng-kuadratan.
Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal. Fraktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains, teknologi, dan seni karya komputer.
2.2.1 Karpet Sierpinski
Himpunan ini pertama kali dijelaskan oleh Waclaw Sierpinski. Himpunan ini dapat dinyatakan sebagai gabungan delapan subhimpunan yang kongruen, dimana kedelapan subhimpunan tersebut kongruen dengan himpunan asli dan memiliki skala dengan faktor 31 . Sehingga himpunan ini memiliki nilai k = 8 dan skala faktor s = 31 . Dan dapat dilihat bahwa pola bujursangkar dalam himpunan ini akan terus berulang dengan nilai faktor skala yang semakin kecil.
Karpet sierpinski adalah suatu interseksi (irisan) dari semua himpunan dimana karpet sierpinski ini dimulai dari suatu bujur sangkar penuh, kemudian dibagi menjadi sembilan bujur sangkar yang lebih kecil serta sama dan sebangun. Dari sembilan bujur sangkar tersebut abaikan bagian tengah karena tidak ikut dalam hitungan, lalu bagilah tiap kedelapan bujur sangkar tersebut untuk mendapatkan Sembilan bujur sangkar yang sama dan sebangun, dan lakukan kembali seperti urutan sebelumnya.
Sierpinski menggunakan karpet untuk mengkatalog semua objek – objek berdimensi satu yang kompak pada bidang.
Seperti yang sudah dijelaskan diatas bahwa karpet sierpinski memiliki skala faktor s = 1/3 dan memiliki nilai k = 8, berikut ini adalah perhitungan yang diperlukan untuk mengatur 8 kotak yang pertama C(1).
Misalkan luas persegi C(0) sama dengan 1. Untuk mendapatkan C(k +1), kita skala C(k) dengan 1/3, yang mengurangi daerah itu dengan 1 /9 = (1/3)2. Tapi kami membuat 8 salinan dari versi ini skala untuk membentuk C(k +1). Oleh karena itu daerah C(k +1) harus (8/9) ke wilayah C(k). Ini berarti bahwa daerah C(n) = (8/9)n untuk semua n.
2.2.2 Gasket Sierpinski
Gasket sierpinski yang biasa dikenal dengan Segitiga Sierpinski adalah interaksi dari semua himpunan pada barisan tersebut, yaitu himpunan dari titik – titik yang masih tertinggal pada konstruksi yang diulangi terus menerus tak berhingga.
Segitiga tersebut dibagi ke dalam 3 subhimpunan segitiga yang lebih kecil dan diubah skalanya dengan faktor ½, sehingga himpunan ini memiliki nilai k = 3 dan nilai faktor skala s = ½. Sama seperti karpet sierpinski, pola segitiga dalam himpunan ini akan terus berulang dengan skala yang semakin kecil.
Gasket sierpinski dimulai dengan segitiga sama sisi penuh, kemudian dibagi menjadi empat segitiga sama sisi yang lebih kecil menggunakan titik – titik tengah dari tiga sisi segitiga asli sebagai titik – titik sudut. Abaikan segitiga pada bagian tengah. Ulangi prosedur ini pada setiap segitig sama sisi penuh dari tiga segitiga sama sisi penuh yang tertinggal.
Misalkan daerah asli segitiga S(0) sama dengan 1. Pada iterasi pertama kita menghapus (1/4) bidang S(0), sehingga S(1) memiliki luas 3/4. Berikutnya kami menghapus 3 segitiga, setiap memiliki (1/4) dari daerah segitiga dari yang diambil, sehingga total luas yang kita hapus tersebut 3/16. Ini berarti bahwa S(2) memiliki luas 3/4 - 3/16 = 9/16 = (3/4)2.
Sepertinya kita harus memiliki daerah S(n) adalah (3/4)n untuk semua n. Untuk melihat bahwa ini memang demikian, kita bisa menggunakan induksi. Dalam membangun S (k +1), kami menghapus segitiga 3k, masing-masing daerah (1/4) (k +1). Menggunakan hipotesis induksi kita, kita mendapatkan bahwa daerah S (k +1) sehingga akan menghasilkan rumus:
Seperti yang sudah dijelaskan diatas bahwa gasket sierpinski memiliki skala factor s = 1/2 dan memiliki nilai k = 3, berikut ini adalah perhitungan yang diperlukan untuk mengatur 3 segitiga yang pertama S(1).
2.2.3 Kurva Koch
Kuva Koch adalah kuva limit yang diperoleh dengan menerapkan konstruksi tak berhingga. Konstruksi tersebut adalah sebagai berikut; dimulai dengan satu penggal garis lurus, bagilah penggalan garis tersebut menjadi tiga segmen yang panjangnya sama dengan anti segmen yang ditengah dengan dua sisi dari segitiga sama sisi dengan panjang sisi sama dengan panjang segmen
yang dihilangkan. Ulangi, ambil setiap segmen dari empat segmen yang dihasilkan, membagunnya menjadi tiga bagian sama panjang dang anti segmen – segmen yang ditengah dengan dua sisi dari segitiga sama sisi. Lihat gambar berikut.
Iterasi pertama untuk kurva Koch terdiri dari mengambil empat salinan dari segmen garis aslinya, setiap bersisik dengan r = 1 / 3. Dua segmen harus diputar oleh 60 °, satu berlawanan dan satu searah jarum jam.
Berikut adalah perhitungan untuk tiap perubahan dari garis sampai mencapai kelipatan yang diperlukan.
Koch mengkonstruksikan kurvanya dalam tahun 1904 sebagai contoh dari kurva yang tidak differensiabel, yaitu suatu kurva kontinu yang tidak mempunyai garis singgung di setiap titiknya. Tiga copy kurva Koch diletakkan mengelilingi tiga segitiga sama sisi, membentuk kurva tertutup sederhana yang membentuk batas dari Koch Snowflake.
Koch Snowflake adalah gabungan dari daerah-daerah berbentuk segitiga yang jumlahnya tak hingga. Setiap kali segitiga baru ditambahkan saat membangun bunga salju Koch (suatu iterasi), kelilingnya bertambah. Keliling bunga salju Koch adalah tak hingga.
Panjang batas S(n) pada iterasi ke n konstruksi s adalah 3*(4/3)^n*, dimana s menunjukkan panjang setiap sisi segitiga sama sisi asli. Oleh karena itu kepingan salju Koch memiliki perimeter panjang tak terbatas. Luas S (n) adalah
bahwa daerah kepingan salju Koch adalah . Oleh karena kepingan salju memiliki area terbatas dibatasi oleh batas panjang tak terbatas.
2.2.4 Himpunan Mandelbrot
Himpunan Mandelbrot merupakan bentuk per-umuman atas himpunan Julia yang dilakukan oleh Benoit Mandelbrot yang menokohkannya sebagai salah satu tonggak sejarah matematika geometri fraktal modern. Himpunan Mandelbrot merupakan per-umum-an dari fraktal Julia yang memetakan
Mandelbrot : z → z2 +c
Dimana c adalah parameter kompleks. Untuk setiap c, pertama anggap urutan dari sifat (0, Pc(0), Pc(Pc(0)), Pc(Pc(Pc(0))),…) diperoleh dengan perulangan Pc(z) dimulai dari critical point z =0, yang baik mengarah kepada tak terhingga atauterbatas pada radius yang ditentukan. Mandelbrot set didefinisikan sebagai himpunan semua titik c seperti yang urutan diatas tidak mencapai suatu kondisitak berhingga.
Dengan menggunakan komputer IBM, Mandelbrot menghasilkan system
chaos secara grafik dan gambar grafik ini dikenal sebagai “Himpunan
Mandelbrot”. Dengan terus menerus “memperbesar” skala dan “mencari detail” yang semakin lama semakin halus dapat dilihat bahwa ada “pengulangan teratur” – “kemiripan” pada skala yang berbeda. “Tingkat ketidakberaturan” yang sama pada skala yang berbeda, ia namakan “fraktal”, untuk menggambarkan pola yang terlihat di dalam ketidakberaturan itu.
Mandelbrot set terdapat dalam sebuah lingkaran dengan radius 2 dari titik
awal. Kenyataannya, sebuah titik c merupakan titik dari Mandelbrot set jika dan hanya jika ܲܿ݊ 0 ≤ 2݂ݎ ݈݈ܽ ݊ ≥ 0. Dengan kata lain, jika nilai absolut dari ܲܿ݊ 0 lebih besar dari 2, maka urutan tersebut akan mengarah kepada tak berhingga. Interseksi dari M dengan axis nyata secara tepat adalah pada interval [-2, 0.25]. Parameter pada interval ini dapat ditaruh pada korespondensi satu-satu dengan kelas logistic sebenarnya.
ݖ → ߣݖ (1 – ݖ) , ߣ א [1,4] Dengan korespondensi
(
)
4 1 1− − 2 = λ cKenyataannya, hal ini memberikan korespondensi antara seluruh ruang perameter dari kelas logistic dengan Mandelbrot set. (Rojas, 1998)
2.3 Interated Function System
Dalam Matematika, Interated Funcion System (IFS) adalah metode untuk membentuk sebuah fraktal, hasil dari IFS tersebut akan selalu membentuk fraktal dengan hasil self – similar.
Dalam matematika, iterasi fungsi adalah objek studi yang mendalam dalam ilmu komputer, fraktal dan sistem dinamik. Fungsi iterasi adalah fungsi yang terdiri dengan dirinya sendiri, tak terhingga, dalam proses yang disebut iterasi. Dalam proses ini, mulai dari beberapa nilai awal, kita harus menghitung hasil dan kemudian feed ini mengakibatkan fungsi sebagai masukan dan menghitung hasil dan mengulanginya berulang kali.
Kita nyatakan D sebagai subset dari Rn, namun sering pula D = Rn. Sebuah
pemetaan ܵ: ܦ → ܦ disebut contraction pada D jika sebuah nilai c dengan 0 < c < 1 ܵ ݔ − ܵ(ݕ) ≤ ܿ ݔ − ݕ dimana x, y א D. Jika persamaan tersebut mencapai suatu kondisi ܵ ݔ − ܵ(ݕ) = ܿ ݔ − ݕ , maka transformasi S akan menjadi bentuk yang serupa (similar) secara geometri, dan kita akan menyebut S sebagai contracting similarity. Sebuah anggota terbatas dari contractions {S1, S2, …, Sm}, dengan m ≥ 2, disebut iterated function
system (IFS). Kita akan memnaggil subset F dari D yang merupakan himpunan tak kosong sebagai sebuah attractor untuk IFS jika,
Properti fundamental dari sebuah IFS adalah fungsi tersebut menentukan sebuak
attractor yang unik, yaitu sebuah fractal. Untuk sebuah contoh yang mudah, kita anggap
F sebagai himpunan tengah ketiga dari himpunan Cantor. Kemudian ܵ1, ܵ2: ܴ → ܴ yang dinyatakan oleh:
Maka ܵ1 ܨ dan ܵ2 ܨ adalah bagian kiri dan kanan dari F, maka ܨ = ܵ1 ܨ ܵ2 ܨ ; F tersebut adalah sebuah attractor dari IFS yang mengandung constractions [S1, S2], dua buah pemetaan, yang merepresentasikan dasar dari self-similarities dari Himpunan Cantor. Untuk membuktikan properti fundamental dari fraktal bahwa IFS mempunyai attractor yang unik, kita mendefinisikan sebuah metrik atau jarak d diantara subset dari D. $ menyatakan kelas dari himpunan tak kosong yang merupakan subset D. kemudian
δ-neighbourhood dari himpunan A adalah himpunan nilai yang merupakan jarak δ dari
A, ܣߜ = ݔ א ܦ: ݔ − ܽ ≤ ߜ ݑ݊ݐݑ݇ ݏܾ݁ܽ݃݅ܽ݊ ܽ א ܣ . Kita membuat $ ke dalam ruang metrik dengan mendefinisikan jarak antara dua himpunan A dan B adalah jarak δ yang terkecil dimana δ-neighbourhood dari A mengandung B dan begitu pula sebaliknya.
݀(ܣ, ܤ) = inf༌{ߜ: ܣ ؿ ܤߜ ܽ݊݀ ܤ ؿ ܣߜ
Fungsi d adalah sebuah metrik atau fungsi jarak, oleh karena itu, ada tiga syarat yang harus dipenuhi yaitu (i) ݀(ܣ, ܤ) ≥ 0 dengan persamaan jika dan hanya jika ܣ = ܤ, (ii) ݀
ܣ, ܤ = ݀(ܤ, ܣ), (iii) ݀ ܣ, ܤ ≤ ݀ ܣ, ܥ + ݀ ܥ, ܤ untuk semua A,B,C א $. Metrik dari d dikenal sebagai Hausdorff Metric pada S. Jika d(A,B) memiliki nilai yang kecil maka jarak antara A dengan B dekat satu sama lain sebagai himpunan.
2.4 Dimensi Hausdroff
Dalam geometri fraktal, dimensi fraktal, D, adalah sebuah besaran statistik yang memberikan indikasi tentang bagaimana benar-benar fraktal muncul untuk mengisi ruang, sebagai salah satu membesarkan ke skala yang lebih halus. Ada banyak definisi spesifik dimensi fraktal. Dimensi fraktal yang paling penting adalah dimensi teoretis Rényi, dimensi Hausdorff dan dimensi kemasan. Praktis, dimensi kotak-menghitung dan dimensi korelasi digunakan secara luas, sebagian karena kemudahan implementasi. Meskipun untuk beberapa fraktal klasik semua dimensi lakukan bertepatan, pada umumnya mereka tidak setara.
Ada dua pendekatan utama untuk menghasilkan struktur fraktal. Salah satunya adalah tumbuh dari benda unit, dan yang lainnya adalah untuk membangun divisi berikutnya dari struktur aslinya, seperti segitiga Sierpinski. Di sini kita mengikuti pendekatan kedua untuk mendefinisikan dimensi struktur fraktal.
Pada tahun 1919, seorang ahli matematika Felix Hausdorff memberikan sebuah definisi alternatif untuk sebuah dimensi dari sebarang himpunan di dalam Rn.
Definisinya relatif kompleks, tetapi untuk himpunan yang saling serupa, definisi ini lebih menyederhanakan definisi yang telah ada. Dimensi Hausdorff dari sebuah himpunan saling serupa S dilambangkan dengan dH(S) didefinisikan sebagai
Dalam definisi tersebut, ln melambangkan logaritma natural, sedangkan k adalah nilai banyaknya pembagian himpunan menjadi subhimpunan, dan s adalah nilai skala faktor dari subhimpunan tersebut terhadap himpunan asal. Persamaan tersebut juga dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:
Dimana dimensi Hausdorff dinyatakan dalam bentuk pangkat atau sebagai eksponen. Dengan bentuk tersebut dapat lebih menjelaskan mengenai interpretasi konsep dimensi Hausdorff. Sebagai contoh, ada sebuah himpunan saling serupa dengan faktor skala s = ½, maka areanya atau ukurannya akan berkurang dengan faktor
( )
S dH ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1. Sebagai contoh untuk mengubah sebuah skala segmen garis dengan faktor ½
akan mengurangi panjangnya dengan faktor
2 1 2 1 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ , dan mengubah skala sebuah
bujursangkar dengan faktor ½ akan mengurangi ukurannya dengan faktor
4 1 2 1 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ . (Hendra, 2009, bab2, p15). 2.5 L – System
L-System di cetuskan pertama kali oleh seorang Ahli Biologi asal Hungaria,
Aristid Lindenmayer, pada tahun 1968 dalam papernya “Mathematical models for
berlaku untuk tanaman tingkat rendah, namun pada perkembangan selanjutnya dapat juga diaplikasikan untuk tumbuhan tingkat tinggi. L-system juga dapat digunakan untuk membuat self-similar fraktal dan merupakan salah satu metode untuk menghasilkan algoritma Iterated Function System menggunakan formal language.
Framework dari L-System terdiri dari initial structure dan rewriting rules
(atau generating rules). Inti pengembangannya adalah penggantian secara paralel
menggunakan rewriting rules yang ada. Dimulai dari initial structure, L-System menggantikan setiap bagian dari struktur yang ada dengan menerapkan rule secara sekuensial.
Secara umum L-system adalah bentuk notasi dari sebuah perulangan tulisan dimana ide dasarnya adalah membentuk sebuah objek dengan menukar atau mengganti beberapa bagian pada sebuah aturan melalui mekanisme perulangan. Pengulangan pada aturan L-system merujuk kepada sebuah selfsimilarity dan untuk itu bentuk fraktaldapat
dibuat dengan mudah menggunakan L-system. Tata bahasa atau grammar L-system hampir serupa dengan semi-Thue grammar dan juga sekarang lebih dikenal sebagai parametric L-system yang diartikan sebagai tuple.
G = {V, S, ω, P}, dimana:
a. V (the alphabet) adalah himpunan dari beberapa simbol variabel yang mengandung elemen yang dapat diganti oleh variabel lain;
b. S adalah himpunan dari beberapa simbol yang konstan, yang tidak dapat diganti oleh simbol lain;
c. ω (start, axiom atau initiator) adalah sebuah inisial awal dari sistem berupa
string yang mengandung V dan atau S;
d. P adalah sebuah himpunan dari production rules yang menjelaskan bagaimana setiap variabel dapat diubah dengan kombinasi dari variable lain, mengandung dua buah string yaitu predecessor dan successor.
Aturan pada L-system diterapkan secara berulang dimulai dari sebuah pernyataan awal (intial state). Rule tersebut diulang sesuai dengan jumlah iterasi yang diinginkan
user. L-system adalah sebuah context-free grammar dimana setiap production rule hanya
berlaku untuk satu simbol saja pada sebuah set. Simbol yang lain tidak terpengaruh dengan production rule tersebut. Hal ini disebut kelas D0L-system (Deterministic and
0-context /context-free). Sebagai contoh, ada dua buah variabel A dan B dimana untuk
setiap variabel tersebut kita nyatakan sebuah production rule. Aturan tersebut adalahA→ AB dan B→A, maksudnya adalah untuk setiap perulangan huruf A akan diganti dengan AB, sedangkan huruf B akan diganti oleh huruf A. Sebuah pernyataan awal (initial state) disebut axiom. Pada langkah pertama kita asumsikan terdapat axiom
dengan huruf A saja. Kemudian pada perulangan huruf tersebut diganti dengan AB merujuk pada aturan A→ AB. Langkah berikutnya, huruf B tersebut diganti dengan A sesuai aturan B→A. Kedua huruf tersebut pada langkah selanjutnya akan diganti sesuai aturan yang telah dibuat, dan proses tersebut berlangsung terus secara berulang sesuai dengan jumlah perulangan yang diinginkan.
variables : A B; axiom : A;
production rules : (A → AB), (B → A);
Bila digambarkan dalam diagram pohon adalah sebagai berikut (dimana n menyatakan langkah perulangan):
Dari pengertian L-system tersebut, dapat dikaitkan dengan bentuk fractal
geometry karena proses pada L-system tersebut mempunyai sifat self-similarity. Untuk
menghasilkan gambar fractal, digunakanlah sebuah interpretasi dari grafik, berdasarkan
turtle geometry. State atau pernyataan dari turtle terdiri atas tiga jenis yaitu (x, y, a)
dimana koordinat kartesius dilambangkan dengan (x, y), dan a dinyatakansebagai sudut untuk menentukan arah dari koordinat tersebut. Kemudian juga dinyatakan d sebagai jarak yang akan ditempuh koordinat tersebut, serta perubahan sudut yang dinotasikan
sebagai Turtle geometry tersebut merespon perintah yang diberikan dengan simbol secara umum sebagai berikut (Edgar,2008, p15-18):
a) F : Maju sebanyak langkah d. pernyataan awal turtle akan berubah menjadi
(x’ ,y’ , a), dimana x’ = x + d cos(a); dan y’ = y + d sin(a), kemudian gambar
garis yang melalui (x,y) sampai (x’,y’)
b) f : Maju sebanyak langkah d tanpa menggambar garis dan state turtle berlaku seperti pernyataan pertama diatas.
c) + : Belok ke arah kanan sebesar sudut b. State dari turtle akan berubah menjadi (x, y, a+b)
d) - : Belok ke arah kiri sebesar sudut b. State dari turtle akan menjadi (x, y, a-b) Sebagai contoh adalah pendekatan L-system untuk menggambar “Quadratic Koch Island”. Pernyataan berikut akan memberikan keterangan mengenai variabel dan
production rule yang digunakan untuk menggambar “Quadratic Koch Island”.
Axiom: F+F+F+F
Rules : F → F+F-F-FF+F+F-F
Maka, setelah 4 iterasi akan menghasilkan bentuk geometri (Gambar 2.19) sebagai berikut:
variables : A B axiom : A
rules : (A → B−A−B),(B → A+B+A) angle : 60°
Dalam pernyataan tersebut, A dan B berarti gambar garis satu langkah. Sudut 600 akan mengubah arah garis tiap iterasi sehingga bentuk dasar segitiga selalu berada di bawah.
Berikut ini adalah daftar simbol-simbol secara lengkap yang akan digunakan untuk membuat L-System dalam penulisan laporan ini:
Tabel 2.1 Daftar Simbol Variabel pada L-System 2.6 Rekayasa Piranti Lunak
Perangkat lunak (software) adalah program – program atau instruksi – instruksi yang apabila dijalankan dapat melaksanakan fungsi dan kinerja yang kita inginkan. Rekayasa piranti lunak (software engineering) adalah teknik pengembangan software
dengan menggunakan metode pengembangan software untuk menghasilkan software yang berkualitas.
Rekayasa piranti lunak mencakup 3 elemen yang mampu mengontrol proses pengembangan piranti lunak,yaitu:
a. Metode-metode (methods)
Metode – metode rekayasa piranti lunak memberikan cara-cara teknis untuk membangun piranti lunak. Metode – metode itu menyangkut serangkaian tugas yang luas yang menyangkut :
• Analisis kebutuhan • Konstruksi program • Desain
• Pengujian • Pemeliharaan
Rekayasa piranti lunak mengandalkan setiap prinsip dasar yang mengatur setiap area teknologi dan menyangkut aktifitas pemodelan serta teknik – teknik deskriptif yang lain.
b. Alat-alat bantu (tools)
Alat-alat rekayasa piranti lunak memberikan topangan yang otomatis ataupun semi-otomatis pada proses-proses dan metode-metode yang ada. Ketika alat-alat itu diintegrasikan sehinga informasi yang diciptakan oleh suatu alat bisa digunakan oleh yang lain, sistem untuk menopang perkembangan piranti lunak yang disebut CASE (Computer Aided Software Engineering). CASE mengkombinasikan software, hardware, dan software engineering database.
c. Prosedur-prosedur (procedures)
Merupakan pengembangan metode dan alat bantu yang terdiri dari urutan dimana metode tersebut diterapkan, dokumen, laporan-laporan, formulir-formulir yang diperlukan, mengontrol kualitas software serta mengkoordinasi perubahan yang terjadi pada software.
Metode yang diterapkan pada rekayasa piranti lunak adalah SDLC (system
development life cycle) dan OOP (object oriented). SDLC merupakan siklus hidup
pengembangan system. Dalam rekayasa system dan rekayasa perangkat lunak, SDLC berupa suatu proses pembuatan dan pengubahan sistem serta model dan metodologi yang digunakan untuk mengembangkan sistem-sistem tersebut. Penggunaan metode SDLC biasanya digunakan pada model proses waterfall. OOP
(object oriented) adalah teknik untuk membuat program objek, yaitu program yang
tersusun dari kelas dan objek yang saling berhubungan. Hubungan antar kelas/objek ini dapat dilihat baik saat program ditulis maupun saat program dieksekusi). Penggunaan metode OOP biasanya digunakan pada model proses RAD (rapid application
development), JAD (joint application development).
Model proses prototype yang merupakan bagian dari model proses waterfall dan merupakan bagian dari metode SDLC mempunyai tahapan-tahapan yang terdiri dari communication, quick plan, modeling quick design, construction of prototype dan
deployment delivery dan feedback. Model prototyping ini seperti sering terjadi customer
menjabarkan secara objektif mengenai objek yang diminta, tetapi tidak bisa mendefinisikan input, proses, output yang diminta secara detail. Disisi lain, developer menjadi tidak yakin terhadap efisiensi algoritma, kemampuan adaptasi terhadap sistem
operasi, atau bentuk interaksi mesin dengan orang. Untuk mengatasi situasi tersebut, bisa digunakan pendekatan prototype paradigm. Seperti pada gambar dibawah ini:
1. Communication : Pada tahap ini prototype paradigm dimulai dengan mengumpulkan kebutuhan-kebutuhan customer. Pengembang berusaha mengumpulkan berbagai informasi dari konsumen.
2. Quick Plan : Pada tahap ini developer dan customer bertemu dan mendefinisikan obyektif software secara menyeluruh, mengidentifikasi kebutuhan-kebutuhan yang diperlukan.
3. Modelling Quick Design : Pada tahap ini difokuskan pada representasi aspek
4. Construction of Prototype : Pada tahap ini prototype tersebut dievaluasi oleh pelanggan/pemakai dan dipakai untuk menyaring kebutuhan pengembangan
software.
5. Deployment Delivery and Feedback : Pada tahap ini adanya iterasi terjadi pada saat prototype disetel untuk memenuhi kebutuhan pelanggan, dan pada saat yang sama memungkinkan pengembang untuk secara lebih baik memahami apa yang harus dilakukannya.
Secara ideal prototipe berfungsi sebagai sebuah mekanisme untuk mengidentifikasi kebutuhan software. Bila prototipe yang sedang bekerja dibangun, pengembang harus mempergunakan fragmen – fragmen program yang ada atau mengaplikasikan alat –alat bantu (contohnya report generator, window manager, dll) yang memungkinkan program yang bekerja untuk dimunculkan secara cepat.
Masalah – masalah yang biasa terjadi pada model prototyping ini antara lain,
development membuat implemetasi yang kompromitas dengan tujuan untuk memperoleh
prototipe pekerjaan secara cepat. Dampaknya adalah sistem operasi atau bahasa pemrograman yang dipergunakan tidak tepat, algoritma tidak efisien.
Meskipun berbagai masalah bisa terjadi, prototipe bisa menjadi paradigm yang efektif bagi Software Engineering. Kuncinya adalah mendefinisikan aturan main pada saat awal; yaitu pelanggan dan pengembang keduanya harus setuju bahwa prototipe dibangun untuk berfungsi sebagai mekanisme pendefinisian kebutuhan. Prototipe kemudian disingkirkan (paling tidak sebagian), dan software aktual direkayasa dengan tertuju kepada kualitas dan kemampuan pemeliharaan.
