BAB I PENDAHULUAN
Metode elemen hingga adalah suatu prosedur numerik untuk memperoleh solusi terhadap banyak permasalah yang sering di jumpai dalam analisis teknik. Secara garis besar di bagi menjadi dua sub devisi yaitu pertama menjadi elemen-elemen diskrits untuk memperoleh simpangan-simpangan dan gaya-gaya anggota dari struktur unsure. Kedua mennggunakan elemen-elemen kontinum untuk memperoleh solusi terhadap permasalahan-permasalahan perpindahan kalor, mekanika fluida dan benda padat.
Pendekatan pertama, dimana formulasi menggunakan elemen diskrits, biasasnya di sebut sebagai analsisi matriks struktur dan memberikan hasil yang identik dengan analisis struktur. Sedangkan pendekatan kedua metode elemen hingga sesungguhunya. Pendekatan ini akan menghasilkan harga untuk menentukan parameter-parameter yang diperlukan pada titik tertentu yang digunakan pada perangkat lunak program elemen hingga biasanya mampu menyelesaikan masalah tersebut
Ada dua (2) karakteristik yang membedakan metode metode elemen hingga untuk metode numerik antara lain, yaitu :
1. Metoda ini menggunakan formulasi integral untuk menetukan persamaan-persamaan dalam bentuk aljabar.
2. Metoda ini , menggunakan fungsi-fungsi kontinyum sebagai acuan untuk mentukan parameter yang belum di ketahui.
Ada lima (5) langkah untuk menyelesaikan persamaan metode elemen hingga, yaitu :
1. Permasalahan fisik di buat elemen-elemen kecil. Elemen elemen tersebut di tandai dengan nomor elemen dan nomor titik nodal dan tempat titik koordinatnya.
2. Tentukan persamaan pendekatannya, linier atau kuadratik. Metode yang digunakan tersebut harus di tulis dalam bentuk harga-harga nodal yang belum di ketahui (unknown nodal values). Ini berlaku untuk setiap elemen harus di definisikan sifatya dalam bentuk persamaan tersebut.
3. Bentuk lah sistim persamaan diatas dengan metode Galerkin, Variasional, formulasi energi potensial, collocation, subdomain, dll. khusus untuk formulasi energi potensial, energi potensial dari sist1m di tulis dalam bentuk persamaan dan kemudian diminimalkan, dimana akan di beri satu persamaan setiap simpangan yang belum di ketahui.
4. Selesaikan persamaan diatas.
5. Hitung besaran-besaran yang dicari. Besaran-besaran ini mempunyai komponen-komponen tegangan, aliran panas atau kecepatan fluida.
1.1. Formulasi integral
Ada beberapa macam metoda untuk memformulasikan integral-integral fungsi tersebut Metoda variasional
Pendekatan variasional melibatkan integral dari suatu persamaan yang mempunyai harga-harga. setiap fungsi baru menghasilkan harga baru. Funsi tersebut mempunyai nilai terkecil ini mempunyai sifat khusus yaitu memenuhi persamaan-persamaan integral untuk mengklasifikasikan konsep ini, ambil integral berikut.
(1. 1 ) Harga numerik dapat dikalkulasikan dengan memberikan persamaan –persamaan diatas. Misalnya persamaan coba-coba yang memberikan harga terkecil. Akan tetapi persamaan ini merupakan jawab dari persamaan diferensial berikut.
(1. 2 )
Dengan kondisi batas y (0) = y0 dan y (H) = yH . Tentu saja proses ini dapat di defenisikan sebagai suatu persamaan diffrensial, jawab dapat di peroleh dengan mensubsitusikan persamaan coba ke dalam fungsional secara tepat. Fungsi coba-coba yag memberikan harga II minimum adalah merupakan jawab pendekatan.
Metode variasional adalah merupakan basis dari banyak formulasi elemen hingga, tetapi metode ini mempunyai kelemahan yaitu : tidak dapat diaplikasikan pada persamaan diferensial yang mengandung derivatif pertama.
Metoda-metoda Weighted Residual
Metode ini juga melibatkan suatu fungsi integral. Dalam metode ini, untuk menjawab pendekatan disubstitusikan kedalam persamaan diffrensial dengan pendekatan tidak memenuhi persyaratan persamaan, maka akan menghasilkan permasalahan. Andaikan bahwa y = h(x) adalah merupakan jawab dari pendekatan persamaan (1.2). substitusikan akan memberikan
Pendekatan variasional melibatkan integral dari suatu persamaan yang
mempunyai harga-harga
(1. 3)
Karena y = h(x) tidak memenuhi persyaratan persamaan. Maka metoda-metoda weighted residual mengharuskan bahwa :
(1. 4)
Fungsi residual R(x) dikalikan dengan fungsi pemberatan fungsi dari Wi(x) dan integral dari dua funsi tersebut harus sama dengan nol. Jumlah fungsi pemberatan persamaan dengan jumlah koefisiens-koefisien yang belum di ketahui dalam persamaan dan beberapa pilihan untuk fungsi-fungsi pemberatan,beberapa metode tersebut adalah
1. Metoda Collocation
Fungsi-fungsi impuls Wi(x) = (x-Xi) dipilih sebagai fungsi pemberatan. Fungsi-fungsi ini equivalen ini equivalen dengan fungsi-fungsi residual yang digunakan untuk menghilangkan titik-titik tertentu( mereduksi persamaan). jumlah
titik-titik yang dipilih sama dengan jumlah koefisien-koefisien yang belum di ketahui dalam jawaban pendekatan.
2. Metode subdomaint
Setiap fungsi pemberatan dipilih sama dengan Wi(x)=1, untuk daerah tertentu. Ini equivalen dengan integral fungsi residual untuk menghasilkan persamaan dari daerah tersebut. Jumlah interval-interval integrasi sama dengan jumlah pemberatan yang belum di ketahui dalam jawaban pendekatan.
3. Metode Galerkin
Metode galerkin menggunakan fungsi-fungsi yang sama Wi (x) yang digunakan dalam persamaan pendekatan. Pendekatan ini adalah dasar dari metode elemen hingga untuk masalah-masalah yang menyangkut suku pertama derivative. Metode ini akan memberikan hasil yang sama seperti metoda variasional bila diterapkan untuk analisis “Field Problems” diantaranya mekanika fluida yang digunakan untuk penampang tak silindris dan sebagainya.
4. Metoda Least Squares
Metode least squares menggunakan fungsi residual yang di gunakan untuk menghasilkan suatu kesalahan baru yang di definisikan sebagai berikut
(1. 5)
Kesalahan ini diminimalkan terhadap koefisien-koefisien yang tidak diketahui dalam jawaban pendekatan. Metode least squares telah digunakan untuk merumuskan solusi elemen hingga tetapi tidak sepopuler metode galerkin dan variasional.
1.2. Contoh Ilustrasi
Untuk lebih jelasnya bagaimana metode-metode diatas dapat di gunakan untuk memperoleh suatu jawaban pendekatan terhadap masalah fisik, maka disini akan di
berikan suatu contoh ilustrasi. Contoh tersebut adalah suatu beam di tumpu secara sederhana mengalami momen terkonsentrasi pada masing-masing ujungnya seperti diagram momen lengkung di tunjukan pada gambar 1.1
Gambar 1.1. sebuah beam di tumpu secara sederhana dengan momen dan konsentrasi Persamaan diffrensial yang berhubungan dengan gambar diatas adalah
(1. 6) Dengan kondisi-kondisi batas
Y(0) = 0 Y(H) = 0 (1. 7) Koefisien EI menunjukan tahan beam terhadap defleksi dan M(x) adalah persamaan momen lengkung. Dalam contoh ini, M(x) mempunyai harga konstan terhadap M(0).
Persamaan pendekatan untuk defleksi beam adalah :
(1. 8 ) Dengan A adalah suatu koefisien yang belum di ketahui. Jawab ini merupakan kandidat yang dapat di terima, mengingat persamaan diatas memenuhi persyaratan kondisi-kondisi batas Y(0) = Y(H) = 0 dan mempunyai pola menyerupai kurva defleksi yang di harapkan. Jawab ekstrak persamaan diffrensial adalah :
(1. 9) 1.2.1 Metoda Variasional
Integral untuk persamaan diffrensial (1.6) adalah :
(1. 10 )
Harga A yang membuat (1.8) merupakan pendekatan terbaik untuk kurva defleksi adalah harga yang membuat Π minimum. Untuk mengevaluasi A, Π harus di tulis sebagai fungsi A dan kemudian di minimalkan terhadap A. Catatan bahwa
Kita peroleh bahwa Π menjadi
atau (1. 11) Minimalkan Π di peroleh Dan (1. 1 2)
Jawab pendekatan adalah
(1.13 ) 1.2.2. Meode Collocation
Metode collocation menyaratkan bahwa persamaan residul untuk jawab pendekatan harus nol pada sejumlah titik-titik yang sama dengan sejumlah koefesien yang belum diketahui. Residual diperoleh dengan mensubtitusikan (1.8) ke (1.6). Hasilnya adalah
Karena (1.14)
Disini hanya ada satu koefesien yang belum diketahui, Oleh karena itu (R(x) disamakan dengan nol pada satu titik antara 0 dan H. pilih x = H/2 dari kenyamanan, maka kita memperoleh
Dan
(1.15)
Jawab pendekatan adalah
(1.16)
Jika dipilih titik selain x = H/2, maka akan diperoleh jawaban yang berbeda dari perkiraan yang telah diperoleh.
1.2.3. Metode SubdomainR
Metode subdomain menyaratkan bahwa ∫ R (x) dx = 0 pada sejumlah lebih banyak di subinterval karena ada koefesien-koefisen yang belum diketahui. Kita dapat memilih berapa lama untuk membuat masing-masing subinterval. Pada contoh ini hanya ada satu koefesien yang belum diketahui; Kemudian interval yang dimaksud adalah [0, H]. Persamaan residual adalah (1.14), sehingga
Integrasi menghasilkan
Atau
(1.17)
Jawaban pendekatan adalah
1.2.4. Metode Galerkin
Dalam menggunakan metode ini Galerkin. ∫Wi (i) R (x) dx dievaluasi menggunakan fungsi yang sama untuk Wi (x) yang telah digunakan dalam solusi
perkiraan. dalam contoh ini hanya satu fungsi pemberat, Wi (x)= sin πx/H.
Persamaan residual dan integralnya adalah
Integrasi menghasilkan
Atau
(1.19)
Dan jawabannya adalah
(1.20) Jawabannya ini adalah identik dengan jawaban yang diberikan oleh metode variasional.
1.2.5. Metode Leas Squares
Sebuah term kesalahan baru ∫ [R (dx), terbentuk jika saat menggunakan kotak least aquares. Subtitusikan persamaan residual akan diperoleh
integrasi memberikan
Kesalan ini diminimalkan mumgkin terhadap A, menghasilkan
(1.21) Setelah diperoleh A, jawab pendekatannya adalah
(1.21) Ini juga identik denga jawaban yang diberikan oleh metode variational dan metode galerkin, (1.3), (1.20).
Sebetulnya sulit untuk menjustifikasi metode yang paling akurat. Kesalahan tergantung pada fungsi pendekatan dan persamaan yang bias dipecahkan.prosentasi kesalahan untuk mencoba metode yang berbeda diberikan di 1.2. Nampak nya persamaan (1.22) lebih akurat dari persamaan (1.16) atau (1.8). hal terpenting yang dapat diambil dari contoh ini adalah bahwa solusi numerik dari persamaan differensial dapat diformulasikan dalam bentuk integral. Formulasi integral merupakan karakteristik dasar dari metode elemen hingga.
Gambar 1.2. Persamaan kesalahan untuk lima solusi jawaban dari contoh beam ditumu sederhana
1.3. Formulasi Energi Potensial
Solusi masalah-masalah mekanika yang solid yang meliputi dua dimensi dan tiga dimensi seperti plat dan cangkang, dapat didekati dengan beberapa cara. Pendekatan klasik adalah memformulasikan persamaan diferensial dan menjawab analitis. Ini mungin tidak bisa berjalan, mengingat kesulitan menjelaskan secara matematik geometri struktur dan atau kondisi batas.alternatif terhadap solusi klasik adalah prosedur numeric didasarkan pada kejadian yang menyatakan bahwa simpangan pada posisi kesetimbangan terjadi
sedemikian sehingga energi potesial sistim stabil mempuyai harga minimum.
Energi potensial yang memberi sumbangan pada masalah mekanika solid adalah energy regangan (strain energy) yang didenfinisikan sebagai energi tersimpan selama proses deformasi. Energi ragangan adalah suatu integral volume yang melibatkan hasil
kali komponen-komponen tegangan dan regangan. Sebagai contoh tegangan pada suatu batang yang mendapatkan gaya aksil adalah
(1.23)
Prinsip energi potensial dan energi regangan akan stabil di bab-bab dibelakang. Yang jelas prinsip ini banyak digunakan untuk masalah-masalah struktur dan mekanika solid.
BAB II
ELEMEN LINEAR SATU DIMENSI
Dalam bab ini akan dibicarakan pembagian daerah satu dimensi ke dalam elemen-elemen linear dan menjabarkan suatu persatuan elemen. Persamaan itu kemudian digeneralisasikan sedemikian sehingga suatu persamaan “continuos piecewise smooth” dapat diterapkan didaerah tersebut. Elemen linear digunakan untuk memperoleh jawab pendekatan terhadap persamaan differensial berikut :
(2.1) Persamaan elemen ini akan digunakan untuk menghitung perpindahan yang mengalami
pembebanan aksial.
2.1. Pembagian daerah menjadi elemen-elemen
Daerah satu dimensi adalah suatu segmen garis dan pembagian kedalam sub bagian atau elemen cukup mudah dilakukan. Segmen garis dibagi menjadi menjadi segmen garis pendek yang menggunakan nodal (Gambar 2.1). Nodal nodal diberi penomoran secara berurutan dari kiri kekanan seperti pada penomoran nodal-nodal itu.
Ada beberapa aturan sebagai petunjuk untuk menentukan nodal-nodal yang kita peroleh untuk mendapatkan jawab pendekatan yang akurat terhadap suatu persamaan diferensial.
1. Tempatkan nodal didekat pada daerah dimana tidak diketahui ukuran parameternya berubah secara cepat. Selanjutnya pada daerah yang jauh belum diketahui relative konstan nodal dibuat lebih jauh.
2. Tempatkan nodal dimana saja terjadi perubahan harga koefesien D dan Q (2.1) secara mendadak.
Aturan pertama mensyaratkan bahwa kita harus punya mengetahuan untuk mengetahui kira-kira parameter yang belum diketehui bervariasi, ini menunjukkan dimana pengetahuan ilmu tekik diperlukan dala proses sulosi. Aturan kedua juga perlu karna integral-intergal yang melibatkan parameter D dan Q (2.1) harus dievaluasi. Integral tersebut mudah dievaluasi jika tidak mempunyai koefesien-koefesien yang berubah secara mendadak dakam interval intergrasi.
Gambar 2.1. Pembagian daerah satu dimensi bagian bagian elemen 2.2. Elemen Linear
Gambar 2.2 menunjukkan elemen linear satu dimensi yaitu garis bagian dengan sebuah panjang L dan dua nodal masing-masing pada ujung elemen. Nodal-nodal dinotasikan dengan i dan j dan harga nodal ɸ i dan ɸj. system koordinat asal disebelah kiri adalah nodal i.
Parameter ɸ bervariasi secara linear antara nodal, dan persamaan untuk ɸ adalah
(2.2)
(2.3) Disubtitusikan (2.3) ke dalam (2.2), diperoleh sepasang persamaan
(2.4)
Yang menghasilkan a1 dan a2 sebagai
(2.5)
Gambar 2.2. Elemen linear satu dimensi Subtitusi (2.5) kedalam (2.2) diperoleh
(2.6)
Persamaan (2.6) merupakan elemen hingga. Harga nodal-nodal dikalikan dengan fungsi linear x, yang disebut dengan bentuk fungsi atau fungsi interpolasi. Fungsi-fungsi ini diberi notasi N dengan subscript untuk memperoleh nodal dengan bentuk yang mana fungsi interpolasi spesifik digunakan. Fungsi –fungsi dalam (2.6) dinotasikan Ni dan Nj dengan
(2.7)
Persamaan (2.6) dapat ditulis kembali sebagai
(2.8) Dan juga sebagai
(2.9)
Dimana [N] = [Ni Nj] adalah vector baris fungsi interpolasi dan
Adalah vektor kolom terdiri dari harga-harga nodal elemen.
Fungsi interpolasi mempunyai karekteristik yang unik. Dan yang lain berharga 1 pada nodal nya sendiri dan berharga nol pada nodal yang lain-lain dari fungsi interpolasi adalah bahwa fungsi ini selalu mempunyai harga yang sama dengan persamaan interpolasi asal. Persamaan (2.2) adalah persamaan linear, maka fungsi interpolasi ini juga linear (2.7). karekteristik dalam persamaan penjumlahan derivative fungsi interpolasi terhadap x adalah nol.
Contoh Ilustrasi
Sebuah elemen linear satu dimensi digunakan untuk memprediksi distribusi temperature dalam sebuah fin. Solusi menujukkan bahwa temperature pada nodal i dan j masing-masing adalah 120 dan 90o C. tentukan temperature pada titik berjarak 4 cm dari titik asal dan gradien temperature elemen tersebut. Nodal i dan j terletak pada 1,5 dan 6,0 cm dari titik asal seperti ditunjukkan pada gambar 2.4.
Gambar 2.4. harga-harga nodal pada contoh permasalahan Temperatur, ɸ, dalam elemen diberikan oleh (2.6)
Data elemen adalah
Gradien temperatur adalah direvatif persamaan (2.6)
(2.10) Subtitusikan harga-harga nodal, diperoleh
2.3. Persamaan “Continuous Piecewise Smooth”
Persamaan “Continuous Piecewise Smooth” untuk daerah satu dimensi dapat dikontruksikan dengan menggabungkan beberapa persamaan linear dengan menggabungkan sifat-sifat yang telah dijelaskan ada seksi sebelumnya. Masalah persamaan ini dapat ditulis sebagai
(2.11) Dimana
(2.12)
Superskrip (e) menunjukkan suatu kuantitas elemen. Semua itu membutuhkan untuk memberi harga-harga i, j dan e untuk setiap elemen yang lainnya. Nilai i dan j untuk e tertentu diperoleh dari grid, dimana nodal i sebagai acuan untuk setiap elemen, misalnya pemberian elemen pada grid dalam gambar 2.1 adalah
Persamaan untuk masing-masing elemen dalam gambar 2.1 adalah
(2.13)
Perlu diperhatikan bahwa ( ) dan ( ) merupakan persamaan differensial, jika kedua melibatkan nodal 2. Persamaan-persamaan ini ini sebaga berikut
Ingat bahwa masing-masing persamaan (2.13) adalah untuk elemen tunggal dan tidak dapat di-gunakan elemen lain, sehingga persaman pertama, misalnya, seharusnya ditulis sebagai
Tetapi batas x dihilangkan dalam kebanyakan literatur elemen hinggga dan disini juga demikian .
2.4. Komentar pada Notasi
Notasi berikut digunakan sehingga superskrip (e) tidak mempunyai tempat disetiap koefesien.
1. Ungkapan-ungkapan dalam kurung mempunyai superskip (e), itu adalah (Gɸ +
Q)(e) kemudian setiap ungkapan harus di interpretasikan sebagai basis elemen.
2. Ungkapan ɸ(e) = Ni θi + Nj θj mengimplikasikan bahwa Ni dan Nj adalah
BAB III ELEMEN-ELEMEN DUA DIMENSI
Dalam bab ini hanya akan dibicarakan masalah elemen dua dimensi baik elemen segitiga linear maupun elemen segiempat bi-linear. Sedangkan untuk elemen-elemen kuadratik dan polynomial yang lain akan dibicarakan dalam bab yang lain.
3.1. Grid - Grid Dua Dimensi
Elemen segitiga linear ( Gambar 3.1a) mempunyai sisi-sisi lurus dan sebuah nodal pada masing-masing sudutnya. Persamaan interpolasi diberikan oleh
(3.1) Yang mana benar-benar linear sebab persamaan tersebut terdir dari konstanta dan ungkap-ungkapan yang hanya memungkinkan linear, yang disebut x dan y sebagai hasilnya elemen segitiga dapat diorintasikan secara bebas dan mempunyai kontitunitas termasuk perbatasan elemen-elemen.
Elemen segiempat bi-linear(gambar 3.1b) mempunyai sisi-sisi yang lurus sebuah nodal pada setiap sudut nya. Persamaan interpolasi diberikan untuk skala kuantitas adalah
(3.2) Persamaan ini hanya menngandung satu dari tiga kemungkinan, xy dan persamaan ini dapat diorintasikan karena persamaan (3.2) tidak segiempat bi-linear karena sumbu x2 dan y2 tidak terlihat. Sisi-sisi segiempat harus tetap parallel terhadapa sistim koordinat xy.
Grid elemen segiempat mudah disusun, dimana semua elemen dalam baris parallel dengan sumbu x harus sama tingginya. Begitu juga semua volume parallel pada sumbu y harus sama lebarnya. Elemen segiempat hendaknya digunakan pada berbentuk persegi panjang atau segiempat. Gabungan antara elemen segitiga dan segiempat dapat digunakan pada daerah berbentuk tak beraturan. Pada elemen segitiga digunakan untuk memodelkan bentuk-bentuk tak beraturan.
Gambar 3.1. Elemen segitiga linear dan segiempat bi-linear
Pembagian objek berbentuk segitiga kedalam elemen-elemen segitiga dapat mudah dilakukan dengan membagi kedalam sub daerah seperti ditunnjukkan dalam gambar (3.2) pada gambar (3.2a) berlaku hunbungan bahwa jumlah elemen-elemen segitiga adalah (n – I )2, dimana n adalah jumlah nodal pada salah satu sisinya. Jika objek mempunyai objek bentuk kurva, maka dapat dilakukan seperti pada gambar (3.2b), dimana garis putus-putus merupakan bentuk asli dari objek, sedangkan garis utuh menunjukkan elemen.
Sub-objek berbentuk segiempat tak beraturan dengan mudah dibagi menjadi elemen-elemen segitiga dengan menghubungkan nodal-nodal pada sisi yang berbentuk
seperti ditunjukkan pada gambar (3.3a). perlu diperhatikan bahwa disisi harus dipilih diagonal terpendeknya ( gambar 3.3b). jumlah elemen-elemen segitiga adalah 2 (n – 1) ( m-1 ) dimana n dan m masing-masing adalah jumlah nodal pada sepanjang sisi yang berhubungan.
Perlu Tidak Perlu ( b )
Gambar 3.3. Pembagian sub daerah segiempat tak beraturan menjadi elemen-elemen segitiga
Nodal-nodal pada batas sub daerah harus mempunyai jumlah yang identik dan harus mempunyai posisi relative yang sama. Persyaratan ini perlukan untuk menyakinkan kontinyuitas fungsi θ sepanjang batas elemen. Sebagai ilustrasi misalkan ditunjukan pada gambar (3.4)
Gambar 3.4. Pembagian daerah menjadi sub daerah dan kemudian menjadi elemen-elemen segitiga
Gambar 3.5. Pembuatan mesh dengan variasi ukuran elemen
Pembuatan mesh tidak perlu mempunya elemen-elemen dengan bentuk dan ukuran yang sama karena biasanya dalam satu daerah ada sub daerah yang sama perubahan harga nodal relative konstan. Pada sub daerah ini dapat digunaka elemen-elemen berukuran besar. Sedangkan pada sub daerah yang mana terjadi perubahan harga nodal secara drastis perlu digunakan elemen-elemen berukuran kecil. Disini sangat menguntungakan jika digunakan elemen segitiga (gambar 3.5).
Gambar 3.6. Dua cara penomoran menghasilakan lebar pita berbeda
Pemberian nomor-nomor nodal juga perlu diperhatikan, mengigat hal ini berpengaruh terhadap kecepatan penyelesaian masalah. Gambar 3.6 menunjukkan dua cara penomoran pada bentuk benda yang sama. Penomoran pada gambar 3.6b lebih menguntungkan karena mempunyai lebar pita (band witdth) NBW yang ebih kecil.
(3.3)
Dimana BW(e) adalah perbedaan nomor nodal terbesar dan terkecil dalam elemen yang sama BW(e) tidak mempengaruhi hasil, akan tetapi sangat mempengaruhi waktu perhitungan memberi.
3.2. Elemen Segitga Linear
Seperti yang telah dijelaskan diatas bahwa elemen segitiga linear mempunyai sisi-sisi yang lurus dan satu nodal pada setiap sudutnya (gambar 3.7). konsistensi dalam pemberian label perlu dilakukan dan dalam kuliah ini urutan pemberian label adalah berlawanan arah jarum jam dari nodal i. Harga-harga nodal ɸ berturut-turut adalah Фi, Фj dan Фk dimana koordinat nodalnya aalah ( Xi, Yi ), (Xj, Yj ), dan ( Xk, Yk ).
Gambar 3.7. Parameter-parameter untuk elemen segitiga linear Dengan kondisi-kondisi nodal
Subtitusikan kondisi-kondisi ini kedalam (3.4) mengahasilkan system persamaan berikut
Atau
Dimana determinan
(3.6)
Dan A adalah luas segitiga.
Subtitusikan α1 α2 dan α3 kedalam (3.4) akan menghasilkan suatu persamaan ɸ
dalam ungkapan fungsi interpolasi dan Фi, Фj dan Фk, yaitu
(3.7) atau µ =Ni Ui + Nj Uj + Nk Uk dimana (3.8) (3.9) (3.10)
Dan
Kuantitas scalar ɸ dihungkan terhadap harga harga nodal dengan satu set fungsi interpolasi yang linear terhadapat x dan y. ini berarti bahwa gradien ∂ɸ ⁄ ∂x atau ∂ɸ ⁄ ∂y adalah konstan dalam elemen. Sebagai contoh,
(3.11) Tetapi
Karena itu,
(3.12)
Karena bi, bj dan bk adalah konstan dan Фi, Фj dan Фk tidak tergantung dari koordinat, maka derivatif mempunyai harga konstan. Suattu gradien konstan dalam suatu elemen berarti bahwa sejumlah elemen-elemen kecil harus digunakan untuk memperoleh harga pendekatan ɸ yang akurat pada perubahan drastic.
Contoh Ilustrasi
Evalusai fungsi interpolasi elemen dan hitungkan besar tekanan pada titik A seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.8, jika harga-harga nodal adalah Фi = 40 N/cm2,
Фj = 34 N/cm2, dan Фk = 46 N/cm2. Titik A ditempatkan pada (2,15).
Tekanan ɸ diberikan oleh (3.7), dan fungsi interpolsi didefinisikan oleh (3.8), (3.9) dan (3.10). koefisen- koefisen untuk persamaan fungsi interpolasi adalah
Gambar 3.8. Parameter-parameter untuk contoh ilustrasi
Sedangkan
Ingat bahwa Ni + Nj + Nk = 1. Persamaan tekanan menjadi
Harga ɸ pada titik A (2,15) adalah
Sebagai tambahan, karakteristik fungsi interpolasi pada elemen segitiga bervariasi secara linear sepanjang sisi antara titik nodalnya dan dua titik nodal yang lain , misalnya Ni bervariasi secara linear sepanjang ij dan ik. Fungsi interpolasi adalah nol sepanjang sisi dihadapan titik nodalnya; misalnya Ni berharga nol sepanjang sisi jk. Konsekuensinya harga ɸ bervariasi secara linear sepanjang masing-masing tiga sisi. Karakteristik ɸ lain yang penting adalah bahwa suatu garis konstan ɸ adalah merupakan garis lurus yang memotong dua sisi elemen ( kecuali semua nodal mempunyai harga sama). Dua sifat ini memudahkan untuk membuat kontur seperti ditunjukkan pada contoh ilustrasi berikut.
Contoh Ilustrasi
Tentukan loksi garis kontur 42 N/cm2 untuk elemen segitiga yang digunakan pada contoh sebelumnya.
Gambar 3.9. Garis kontur 42 N/cm2
Kontur tekanan 42 N/cm2 akan berpotongannya dengan sisi ik dan jk. Untuk sisi jk berpotongan pada.
Dan
Dengan jalan yang sama untuk sisi ik
=
x = 2/3 cm
46 − 42
46 − 40=
5 − 5 − 0
y = 5/3 cm
Garis kontur ditunjukkan pada gambar 5.9
3.3. Elemen Segiempat Bilinear
Elemen segiempat bilinear mempunyai panjang 2b dan lebar 2a, sedangkan titik nodalnya diberi label i, j,k, dan m dengan nodal i selalu berada sudut kiri bawah. System koordinat elemen segiempat ditunjukkan pada gambar 3.10.
Persamaan interpolasi (3.2) dapat ditulis dalam ungkapan koordinat local s dan t sebagai berikut.
(3.13)
Gambar 3.10. Parameter untuk elemen segiempat bilinear
Persamaan di atas menunjukkan bahwa ɸ adalah linear terhada s sepanjang garis konstan t dan linear terhadap t sepanjang garis konstan s. oleh karena itu , maka elemen ini disebut bilinear. Persamaan (3.13) ditulis relatif terhadap system koordinat lokal,
yang titik asalnya adalah pada nodal i. kadang-kadang juga digunakan system koordinat qr, yang mempunyai titik asal pada titik pusat elemen ( lihat gambar 3.10)
Kooefesin-koefesien C1, C2, C3, dan C4 pada (gambar 3.13) diperoleh dengan menggunakan harga – harga nodal ɸ dan koordinat nodal (dalam system st) untuk memperoleh empat persamaan seperti tertulis berikut.
(3.14) Diselesaikan akan diperoleh
(3.15) Subtitusikan (3.15) kedalam (3.13) memberikan
Atau
µ =Ni Ui + Nj Uj + Nk Uk + Nm Um
Fungsi interpolasi- interpolasi element segiempat bilinear mempunyai sifat-sifat menyerupai dengan elemen segitiga linear. Tiap-tiap fungsi interepolasi bervariasi secara linear sepanjang sisi-sisi diantara titik nodalnya dan dua titik nodal perbatasan titik titik nodal, sebagai contoh, Ni
Bervariasi secara linear sepanjang sisi ij dan im. Masing-masing fungsi interpolasi juga berharga nol sepanjang sisi-sisi, dimana tidak menyentuh, misalnya Ni berharga nol
sepanjang sisi jk dan km .Variasi linear ɸ sepanjang sisi-ssi elemen segiempat dan sisi-sisi elemen segitiga berarti bahwa dua elemen ini kompatibel dan dapat digunakan sisi batas satu terhadap yang lain.
Persamaan transformasi antara system koordinat qr dan st adalah
dan
Substitusikan (3.18) kedalam (3.17) memberikan fungsi interpolasi dalam ungkapan q dan r
Fungsi interpolasi didefenisikan (3.19) bermanfaat saat digunakan system koordinat natural yang memungkinkan elemen segiempat dideformasikan kedalam bentuk umum segiempat tak beraturan (quadrilateral).
Garis kontur elemen segiempat biasanya melengkung. Perpotongan garis kontur dengan sisi-sisi elemen dapat diperoleh menggunakan interpolasi linier. Metode paling mudah untuk memperoleh titik ketiga adalah dengan cara mengeset s atau t sama dengan nol dalam persamaan fungsi interpolasi dan menyelesaikan persamaan (3.16) untuk harga titik koordinat yang lain. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat contoh ilustrasi berikut.
Contoh ilustrasi
Tentukan tiga titik pada garis kontur 50oC untuk elemen segiempat seperti ditunjukan pada gambar (3.11). harga harga nodal adalah ɸi = 42oC, ɸj = 54oC, ɸk = 56oC, ɸm = 46oC. Pada sisi-sisi elemenya adalah
Substitusikan harga-harga ini kedalam persamaan (3.17) memberikan fungsi-fungsi interpolasi
Data diatas menunjukan bahwa garis kontur 50oC akan memotong sisi-sisi ij dan km ; karena itu kita perlu mengasumsikan harga t untuk menghitung s dan ssebaliknya. Sepanjang sisi ij, t = 0 dan
Substitusikan harga ɸi dan ɸj diperoleh s = 30. Sepanjang sisi km, t =2α =2, sehingga
Substitusikan harga ɸk dan ɸm diperoleh s = 1.2.
Gambar 3.12, Garis kontur 50oC
Untuk mempeolah titik ketiga, asumsikan bahwa t = 2α = 1, sehingga
Substitusikan harga-harga nodal menghasilkan
Atau s = 1.64
Koordinat st untuk tiga titik dari atas kebawah masing-masing adalah (1.2, 2), (1.64, 1) dan (2,0). Koordinat xy untuk titik-titik ini adalah (6.2,5), (6.64, 4) dan (7,3). Jika tiga titik ditarik garis, maka akan menghasilkan garis yang tidak lurus ( lihat gambar 3.12).
3.4. Persamaan “ Continuous Piecewise Smoth)”
Persamaan elemen ɸ didefinisikan oleh (3.7) atau (3.16) dapat digunakan untuk elemen segitiga atau segiempat dengan member spesifikasi harga-harga numeric i,j, dan k atau i, j,k, dan m. setiap titik nodal pada elemen segitiga boleh digunakan sebagai nodal i. Tanda asterisk (*) pada gambar (3.13) digunakan untuk membedakannya dari titik-titik nodal yang lain. Titik nodal i pada elemen segiempat selalu berada pada titik asal sistim koordinat st.
Data nodal elemen untuk grid 4 elemen pada gambar (3.13) adalah
Gambar 3.13. Grid 4 elemen dengan nomor titik nodal
Persamaan interpolasi untuk elemen satu (1) adalah
Perlu diperhatikan bahwa nomor-nomor nodal elemen tidak lagi berurutan, tetapi mengikuti urutan yang ada pada gambar ( berlawanan jarum jam ). Fungsi-fungsi interpolasi (3.17) adalah fungsi koordinat global hanya dalam hal
Dan
Persamaan interpolasi untuk elemen empat (4) adalah
Fungsi-fungsi interpolasi (3.21) adalah fungsi koordinat global dan harga spesifikasi i,j dan k langsung menunjukan koordinat yang mana digunakan. Ambilah sebagai conntoh,
( )
. Dengan menggunakan ( 3.8) diperoleh
Dimana
BAB IV SISTEM-SISTIM KOORDINAT
Semua penyelesaian elemen hingga memerlukan evaluasi integral. Kadang-kadang integral tersebut sangat mudah, akan tetapi kadang-kadang sangat sulit dan tidak mungkin diselesaikan secara analitis . tingkat kesulitan ini mungkin dapat dikurangi dengan mengubah variabel integrasi. Ini akan melibatkan integral dalam system koordninat yang baru. Tujuan dari bab ini adalah untuk mendiskusikan beberapa system koordinat dapat digunakan untuk mengurangi tingkat kesulitan sehubungan dengan integral integral elemen hingga.
4.1. Sistem-sistem koordinat Lokal
Fungsi-fungsi interpolasi linear dibahas dalam bab 2, dapat ditulis kembali sebagai berikut:
(4.1 )
Adalah untuk suatu elemen yang mana titik asal dari sistim koordinat disebelah kiri titik nodal i. persamaan diatas adalah persamaan umum yang berlaku untuk semua elemen linear yang satu dimensi tidak memandang lokasinya. Kelemahan fungsi interpolasi ini dapat terlihat ketika mengevaluasi integral-integral yang melibat perkalian fungsi-fungsi interpolasi seperti.
(4.2) Intergral serupa (4.2) akan terjadi pada permasalahan elemen hingga termasuk mekanika solid intergral (4.2) dapat disederhanakan dengan menggembangkan fungsi-fungsi interpolasi yang baru di definisikam sebagai sistim yang titik asalnya ditempatkan pada elemen. Tipe sistim ini disebut sistim koordinat lokal.
Dua sisitim koordinat lokal yang paling umum elemen satu dimensi mempunyai titik asal titik nodal i atau pada titik pusat elemen (gambar 4.1). fungsi-fungsi intepolasi sisitem
ditemukan pada I diperoleh dari (4.1) dengan mengganti x dengan x =Xi + s. subtitusi ini menghasilkan
(4.3)
Dan
(4.4)
Gambar 4.1. Sistem koordinat lokal untuk elemen satu dimensi
Perlu diperhatikan fungsi-fungsi interpolasi sama dengan satu (1) pada titik nodalnya dan nol pada titik noda yang lain, sehingga jumlah pasangan fungsi intpolasi sama dengan satu.
Fungsi-fungsi intrpolasi untuk sistim koordinat ditempat pada titik pusat elemen diperoleh dari (4.1) dengan mengganti x dengan x = Xi + (L/2) + q. fungsi- fungsi terhadap titik asal ini adalah
(4.5)
Diman variabel koordinat q berkisar dari -L/2 dan L/2.
Fungsi-fungsi interpolasi (4.3) dan (4.4) demikian juga pasangannya adalah (4.5) hanya berguna jika perubahan variabel integrasi dilakukan. Formula perubahan variabel dapat dilakukan sebagai berikut
(4.6) Dimana p adalah variabel koordinat baru dan g (p) adalah fungsi yang menghubungkan x dan p, yaitu x = g (p).
Interpolasi (4.6) relative terhadap sistim koordinat pada gambar 4.1 dapat dijelaskan berikut. Untuk koordinat s, dimana x = Xi + s
(4.7)
Dimana h (s) adalah f (x) ditulis dalam ungkapan s. batas-batas integrasi diperoleh dengan mensubtitusikan Xi dan Xj untuk x dalam x = Xi + s dan selesaikan untuk s.
(4.8)
Dimana r (q) adalah f (x) ditulis dalam ungkapan q.
Manfaat persamaan (4.7) dan (4.8) jika dijumpai intergral seperti ∫ dx. Dengan menggunaka variabel koordinat s, diperoleh
Dengan menggunkan variabel koordinat q, diperoleh
Hasil, L/3, diperoleh dari ∫ (x) dx setelah melalui prosedur yang cukup rumit. 4.2. Sistim-sistim koordinat Natural
Sistim-sistim koordinat s dan q dapat dikonvermasikan menjadi sistim-sistim ko koordinat koordinat natural. Sistim koordinat natural adalah sistim lokal yang memungkinkan memberikan suatu titik salam elemen tak berdimensi, yang harga absolutnya tak pernah melampui satu.
Mulai dengan koordinat q pada gambar 4.1 dan dibentuk perbandingan q/(L/2) = 2q/L=ᶓ bervariasi dari -1 dan =1 ( gambar 4.2a). fungsi-fungsi intepolasi dalm (4.5) dapat ditulis dala ungkapan ξ dengan mengganti q = ξL/2. Fungsi - fungsi interpolasi baru adalah
(4.9) Ubah variabel dalam integrasi, menghasilkan
(4.10) Dimana g (ξ) adalah r (q) ditulis dalam ungkapan ξ
Gambar 4.2. sistim koordinat natural untuk elemen satu dimensi
Keuntungan variabel koordinat ξ adalah batas-batas integrasi dari -1 ke +1 kebanyakan program komputer menggunakan teknik integrasi numerik, yang mempunyai titik –titik sampling dan koefesien –koefesien pemberat didefinisikan pada interval -1 dan +1
Sistem koordinat natural yang lain terdiri sepasang perbandingan panjang, seperti ditunjukkan pada gambar 4.2b. jika s adalah jarak dari titik nodal i. kemudian l1 dan l2
didefinisikan sebagai perbandingan
(4.11)
Pasangan koordinat ini tidak berdiri sendiri, karena
(4.12)
Karasteristik (4.11) dan (4.12) yang terpenting adalah bahwa l1 dan l2 adalah
indentik dengan fungsi-fungsi interpolasi didenfinisikan dalam persamaan (4.3) dan (4.4). manfaat dai koordinat ini adalah jika dijumpai tipe integral berikut ini
(4.13) Yang melibatkan hasil kali fugsi-fungsi interpolasi, karena pemyelesaiannya lebih sederhana.
Aturan perubahan variabel dan hubungan dan hubungan Ni (s) = l1, Ni (s) = l2, s = L/2
dan ds/dl2 = L memberikan
(4.14)
Integral pada sisi sebelah kanan persamaan di atas dapat diubah menggunkan (4.12), menjadi
(4.15) Integral dalam (4.15) bentuknya sama seperti
(4.16) Dimana fungsi Γ (n + 1) = n !, sehingga
(4.17) Persamaan (4.17) dapat membantu mempermudah solusi integral yang cukup sulit , dimana integral tersebut dapat dievaluasi dengan perrsamaan yang hanya melibatkan perkalaian panjang elemen berpangakat
Dari (4.12), diperoleh
Contoh lain adalah
4.3. Elemen Segiempat
Sistim korrdinat natural juga dapat diaplikasikan untuk elemen-elemen dua dimensi; keuntungan juga sama seperti pada elemen satu dimensi. Koordinat ini juga lebih sesuai baik untuk integral numerik maupun analitik.
Gambar 4.3. Sistim koordinat natural untuk elemen segiempat
Sistim koordinat natural untuk elemen segiempat ditunjukkan ada gambar 4.3. titik asal ditempatkan pada titik pusat elemen dan koordinat nya merupakan perbandingan
Dimana q dan r koordinat lokal. Fungsi-fungsi interpolasi dalam (4.19) cukup mudah dikonversi menjadi sistim koordinat natural. Hasil nya adalah
(4.19)
Disini harus jelas bahwa ξ dan η berharga antara -1 dan +1, yaitu
4.4. Elemen Sigitiga (Koordiat Luasan)
Sistim koordinat natural untuk elemen segitiga diperoleh dengan mendenfinisikan tiga perbandingan panjang L1, L2, dan L3 seperti ditunjukkan pada gambar 4.41. Masing
masing koordinat adalah perbandingan jarak tegal lurus dari satu sisi, misal s, dengan tinggi h, pada sisi yang sama, seperti ditunjukan pada gambar 4.4b. masing –masing kooordinat adalah suatu perbandingan panjang yang bervariasi anatara nol dana satu. Garis garis konstan L1 seperti ditunjukkan pada gambar 4.4c adalah garis paralel
terhadap sisi yang mana L1 diukur.
Koordinat-koordinat L1, L2, dan L3 disebut dengan koordinat luasan karena
harganya memberikan perbandingan luasan sub-daerah terhadapa luasan total daerah elemen segitiga. Sekarang pertimbangan titik B dalam gambar 4.5, luasan total segitiga adalah A dan diberikan oleh A=bh/2 , sedangkan luasan segitiga yang diarsir
(4.20) Perbandingan A1/Aadalah
Gambar 4.5. Segitiga dibagi menjadi luasan-luasan berkaitan degan koordinat luasan Koordinaata luasan L1 adalah perbandingan luasan terasir pada gambar 4.5 luasan total.
Persamaan serupa dapat ditulis untuk L2, dan L3 sebagai berikut
(4.22)
Karena A1 + A2 + A3= A, maka
(4.23) Lokasi suatu titik dapat digunakan dengan menggunakan dua koordinat.
Persamaan (4.12) dapat diubah menjadi bentuk lain, dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan dua
(4.24) Dengan menggunakan ekspansi determinan untuk 2A, menghasilkan
(4.25) Dimana x dan y adalah koordinat B pada gambar 4.5. Subtitusikan (4.25) ke dalam (4.24) diperleh
(4.26) Persamaan (4.26) adalah identik dengan (3.8), sehingga
(4.27) Analisa serupa untuk L2 dan L3 diperoleh
(4.28)
Koordinat-koordinat luasan untuk elemen segitiga linear adalah identik dengan fungsi-fungsi interpolasi.
Keuntungan menggunakan sistim koordinat luasan adalah bahwa keadaan suatu persamaan integrasi dapat disederhanakan dengan evaluasi integral luasan.
Persamaan integral ini dihubungan dengan (4.17) adalah
(4.29) Pengumuman (4.29) dapat diilustrasikan dengan mengevaluasi perkalian fungsi interpolasi terhadap luasan segitiga
(4.30) Integral luasannya adalah
Koordinat-koordinat luasan L1 dan L2 masing-masinng dapat disubsitusikan dengan Ni
dan Ny karena Nk tidak termasuk dalam perkalian, L3 disertaikan tetapi berpangkat nol.
Sedangkan faktorial nol adalah satu.
Inkorpoalsi kondisi-kondisi batas derivatif atau beban-beban permukaan ke dalam analisa elemen hingga memerlukan evaluasi integral sepanjang sisi elemen. Integl-integl ini mudah dievaluasi, jika sifat-sifat koordinat luasan diketahui. Pertimbangan titik B pada sisi if (gambar 4.6). koordinat L3 dan L1 adalah nol dan L1 adalah perbandingan luasan terarsir terhada luasan total. Definisikan variabel koordinat s, yang parallel terhdap sisi if dan diukur titik nodal i, jika koordinat titik B adalah s, dan panjang sisi adalah b, kemudian
(4.31) Koordinat luasan L2 adalah
(4.32) Koordinat-koordinat area L1 dan L2 tereduksi menjadi fungsi-fungsi interpolasi satu dimensi Ni (s) dan Nj (s) didefinisikan oleh (4.3) dan (4.4). dengan menggunakan koordinat-koordinat natural satu dimensi, l1 dan l2, didefinisikan oleh (4.11), koordinat-koordinat area menjadi
Gambar 4.6. Koordinat luasan untuk sebuah titik pada sisi segitiga
Hubungan untuk sisi yang lain adalah
(4.34)
(4.35) Penting hubungan dalam (4.33), (4.34), dan (4.35) adalah bahwa setipa integral sepanjang sisi elemen segitiga dapat diganti dengan integral garis ditulis dalam ungkapan s dan l2,
yaitu
(4.36) Dan dievaluasi menggunakan formula factorial (4.17). disini batas elemen dua dimensi diberi notasi Γ
Contoh Ilustrasi
Evaluasi ∫Γ [N]TdΓ sepanjang sisi ik elemen segitiga linear
Integral tersebut adalah
Karena fungsi-fungsi interpolasi segitiga dan koordinat-koordinat luasan adalah equivalen. Sepanjang ik, L1=l1, L2=0, dan L3=L2, sehingga dengan menggunakan (4.35), dan (4.17)
4.5. Kontiyuitas
Fungsi untuk pendekatan Ø (x,y) terdiri dari satu set persamaan “ continuous piecewise smooth”, masung-masing dibatasi oleh satu elemen tunggal. Perlunya mengintergrasi persamaan “ continuous piecewise smooth” ini adalah untuk menempatkan satu persyaratan pada order kontiyuitas antar elemen.
Integral ∫ ⁿ dx didefinisikan hanya jika mempunyai kontiyuitas order (n-1).
Persyaratan ini memberei arti bahwa derivatif pertama fungsi pendekatan harus kontinyu antar elemen jika integral mengandung ungkapan derivatif ke dua, n = 2. Dalam bahan kuliah ini, kecuali untuk elemen-elemen beam, semua integral mengandung ungakapan derivatif pertama. Karena itu harus kontinyu antara elemen, tetapi derivatif nya tidak harus kontinyuitas dalam derivatif hanya diperlukan untuk elemen beam.
Kontiyuitas dalam elemen satu dimensi dijaminn, karean perbatasan dua elemen mempunyai satu titik nodal umum (a common nodas). Kontiyuitas sepanjang batas umum antara dua elemen segiempat realatif mudah dibuktikan, sehingga tidak
dibahas disini. Sedangkan kontiyuitas sepanjang batas umum (a common nodas) dua elemen sigitiga lebuh sulit dibahas disini.
Pertimbangkan dua elemen berbatasan (gambar 4.7) dengan asal sistim koordinat pada titik satu. Haraga-harga nodal adalah Φ1, Φ2, Φ3, dan Φ4. Persamaan –persamaan untuk adalah
(4.37)
Gambar 4.7. Grid dua elemen
Sifat-sifat fungsi interolasi menunjukkan N( ) = N( ) = 0 sepanjang batas umum. Kesamaan antara fungsi interpolasi dan koordinat luasan (4.27) dan (4.38) memungkinkan (4.37) ditulis sebagai
(4.38) Ingat bahwa subskrip pada koordinat luasan tidak dihubungkan dengan nomor-nomor titik nodal.
Karena L( ) = L( ) = 0 dengan menggunakan ( 4.23) maka (4.38) dapat ditulis sebagai
(4.39)
Pembuktian selesai jika L(1)
1 = L
(2) 1
Titik pada batas umum ditunjukkan pada gambar 4.8 dengan luasan-luasan L(1)
1 = L
(2) 1
diarsir. Definisikan jarak antara titik B ke titik nodal 3 sebagai c dan panjang sisi 1-3 sebagai b.
Dan
Pembuktian selesai
Gambar 4.8. Koordinat luasan L(1)
1 = L
(2)
BAB 5 GAYA AKSIAL PADA BATANG
Metode elemen hingga dapat di aplikasikan untuk analaisis baik struktur distrik maupun kontinyu. Struktur distrik adalah struktur yang menpunyai batang-batang individu sepertipadda truss, beam dan frame kaku struktur kontinyu adalah struktur tipe plat, cangkang dan juga komponen-komponen mesin dan struktur yang harus di analisis menggunakan teori elastisitas. Disini hanya pendekatan prinsip energy potensial minimum akan digunakan.
5.1. Model satu dimensi
Gride elemen hingga untuk suatu system batang mendapat gaya aksial adalah identik dengan permasalahanyang akan di biacarakan pada bab II.struktur ini terdiri dari segmengaris lurus dengan titik-titik dimana saya ada perubahan sifat material atau luas penampang melintang.Dismping itu titik nodal juga harus ditempatkan dimana saja ada gaya luar. Ini dilakukan untuk menyederhanakankan kalkulasi ungkapan kerja ( work term) dalam persamaan energi potensial. Dengan menempatkan titik0tik nodal setiap ada gaya luar, kerja dilakukam oleh gaya itu dapat di tulis sebagai perkalian anatar gaya dan simpangan. Ide ini di ilustrasikan pada gambar 5.1, dimana system dibagi mejadi tiga elemen walaupun batang tidak mengalami perubahan sifat material atau luasan penampang lintang.
Perbedaan menyolok antara grid batang mendapat gaya aksial dengan solusi pendekkatan pada (2.1) adalah konsep penghalusan grid. Solusi elemen hingga untuk simpangan pada strukturdistrik menghasilkan harga eksak. Tidak ad perbaikan hasildapat di peroleh dengan membagi masng-masing batang menjadi beberapa elemen. Masing-masing batang di wakili oleh sbuah elemen tunggal kecuali jika ada beban di aplikasikan pada ujung-ujungnya.
Hasil perhitungan dalam analilsis elemen hingga untuk struktur dari distrik atau kontinyu adalah simpangan. Simpangan-simpangan nodal dan gaya-gaya ekesternal sering ditunjukan dengan anak panah ( gamabar 5.1). simpangan positif slalu dalam arah koordinat positif. Disin simpangan translasi dan rotasi diberi notasi U.
5.2. Prinsip Energi Potensial Minimum
Persamaan yang menghasilkan simpangan sambungan system struktur dapat diturunkan menggunakan prinsip energi potensial minimum. Prinsip energi potensial minimum menyatakan bahwa : diantara semua persamaan-persamaan displacement yang memenuhi persyaratan komptibilitas internal dan kondisi-kondisi batas , maka persamaan displacement tersebut juga memenuhi peryaratan persamaan-persamaan kesetimbangan yang membuat energi potenisal minimum dalam suatu sistim yang stabil.
Prinsip diatas mengimplikasikan hal-hal berikut :
1. Tulis persamaan simpangan untuk setiap batang.. persamaan ini harus kompatibel. Persamaan-persamaan ini mensyaratkan bahwa semua anggota batang tersambung secara kaku dan terotasi dengan besar yang sama untuk beam mempunyai derivative pertama kontinyu.
2. Persatukan kondisi-kondisi batas (penumpu) sedemikian sehingga memenuhi semua persyaratan kondisi-kondisi tumpuan secara fisik.
3. Tulis suatu persamaan untuk energy potensial dalam system struktur dalam ungkapan simpangan-simpangan yang belum di ketahui.
4. Minimalkan energy potensial terhadap displacement yang belum di tentukan persamaan persimpangan-persimpangan.
Penyempurnaan empat langkah ini menunju suatu system persamaan keseimbangan untuk menyelesaikan simpangan-simpangan sambungan. Sekali simpangan sambungan diketahui, maka gaya internal atau momen setiap batang dapat di ketahui, maka gaya internal atau momen setiap batng dapat di hitung.
Proses minimisasi jelas mengimplikasikan perlunya untuk menulis persamaan energi potensial dalam ungkapan-ungkapan simpangan. Energyipotensial dalam struktur elastis adalah energy yang mengandung distorsi elastic dan kapasitas beban-beban untuk melakukan kerja. Energy potensial mengandung distorsi elastis adalah regangan. Kapasitas suatu beban terkonsentrasi untuk melakukan kerja adalah P kali U, dimana P adalah beban terkonsentrasi dan U adalah simpangan. Gaya dan simpangan positif slalu mempunyai arah yang sama.
Energi potensail total pada batang yang mendapat gaya aksial
(5.1)
Dimana Λ Mewakili enegi regangan dan W adalah kerja dilakukan oleh gaya luar. Jika ada beberapa batang dan gaya luar
(5.2) Dimana energi regangan merupakan jumlah dari elemen-elemen, n, dan kerja merupakan jumlah dari titik-titik nodal, p. tanda negative muncul pada ungkapan kerja karena masing-maasing gaya kehilangan kapasitasnya untuk melakukan kerja jika batang menyimpang pada arah dimana bekerja.
Persamaan (5.2) digunaka dalam system-sistem dalam dalm bab ini. Ungkapan kerja dalam (5.2) melibatkan sebuah simpangan, tetapi energi regangan harus ditulis dalam ungkapan-ungkapan simpangan titik nodal.
5.3. Persamaan Energy Regangan
Persamaan yang memberikan energi regangan pada batang yang mendapat gaya batang aksial adalah
(5.3) Dimana xx dan !xx mewakili komponen-komponen tegangan dan regangan. Persaman ini dapat di tulis baik dalam ungkapan tegangan maupun regangan, dengan menggunakan bukum Hooke.
(5.4) sehingga persamaan (4.3) menjadi
Dengan mengevaluasi satu dari integral dalam (4.5), maka persamaan energi regangan ditulis dalam ungkapan simpangan-simpangan titik nodal dapat diperoleh.
Batang mendapat gaya aksial dimodelkan dengan sebuah segmen garis lurus (Gambar 5.2), dengan simpangan pada setiap ujung, Ui dan Uj. Apabila batang mempunyai luasan penampang melintang A; modulus elastisitas E; koefisien ekspansi panas α ; panjang L; dan gaya luar F(e), sedangkan dari mekanika dasar
(5.6) dimana exx adalah regangan total dan u adalah persamaan simpangan. Regangan total exx
tidak sama dengan εxx dalam (5.5b), dan hubungannya adalah
(5.7) Regangan total adalah jumlah dari regangan elastis, εxx hasil dari aplikasi beban-beban dan regangan ini juga dihasilkan dari perubahan termal, εT, sehingga
(5.8) dan substitusi (5.6) menghasilkan
(5.9)
Karena εT = αδT , dimana δT adalah perubahan suhu. Substitusikan (5.9) kedalam (5.5b) memberikan persamaan energy regangan
(5.10)
Dimana incremental dv = dAdx dan integral-integral volume dapat diganti dengan
(5.11)
Asumsikan bahwa luasan penampang melintang adalah konstan, sehingga integral (5.10) menjadi
(5.12) Langkah terakhir adalah memilih persamaan simpangan. Harga konstan εxx mengimplikasikan bahwa simpangan aksial adalah persamaan linear. Bentuk umum dari persamaan linear seperti telah di jelaskan dalam bab 2 (2.6) adalah
(5.13) Dalam kasus ini, Xi = 0, dan Xj = L
Derivatif persamaan simpangan adalah
(5.14)
Karena du/dx adalah konstan, sehingga dapat dikeluarkan dari integral (5.12), dan integrasinya ,mengahsailkan
(5.15) Substitusikan (5.14) menghasilkan energy regangan untuk batang mendapat gaya aksial ditulis dengan ungkapan
(5.16) Simpangan-simpangan titik nodal adalah belum diketahui dalam persamaan energi regangan. Besarnya dapat ditentukan dengan mencari satu set harga yang membuat energj potenisal maksimum. Ungkapan terakhir (5.16) tidak terhubung dengan harga-harga nodal dan tidak muncul selama proses minimisasi, karena konstanta tidak mempengaruhi harga-haga terakhir, dan biasanya diabaikan dan (5.16) ditulis sebagai berikut.
(5.17)
5.4. sistem batang-batang mendapat gaya aksial
Aplikasi (5.17) dalam hubunganya dengan (5.2) diilustrasikan melalui suatu masalah yang terdiri dari tiga batang mendapat sepasang gaya aksial terkonsentrasi dan perubahan suhu(gambar 5.3) system tersebut di modelkan dengan tiga elemen dan empat titik nodal.
Analisis masalah secara fisik menunjukan bahwa U1 = U4 = 0 karena tumpuan jepit dan P1 = P4 = 0, P1 = 10000 N, dan P3 = -20000 N (ingat gaya positif bekerja dalam arah yang
Gambar 5.3. system tiga batang mendapata gaya aksial
Energy potensial sistim di berikan oleh (5.2) dengan n=3 dan p=4. Kebangkan (5.2) diperoleh
(5.18) Atau
(5.19) Karena harga-harga U1, U2, P2, dan P3 diketahui, maka energi regangan untuk
setiap batang di berikan oleh (5.17). informasi elemen diperlukan untuk (5.17) diringkas dalam tabel berikut
Gunakan informasi elemen dalam tabel, di peroleh
(5.21) Dan
(5.22)
Persaamaan-persamaan untuk A(1) dan A(3) disederhanakan menjadi
(5.23) Dan karena U1 = U4 = 0, maka
(5.24)
Substitusikan persamaan (5.21), (5.23), dan (5.24) kedalam (5.19) menghasilkan
(5.25)
Atau
(5.26) Harga-harga U2 dan U3 yang membuat Π minimum adalah
(5.27)
Dan
Selesaikan sepasang persamaan ini memberikan
U2 = -0.0005900 cm dan U3= -0.003480 cm (5.28)
Tanda-tanda negative menunjukan kedua titik nodal tersebut bergerak kekiri.
Biasanya dalam menganalisis struktur diperlukan untuk menghitung tegangan dalam setiap batang. Gaya aksial setiap batang harus diketahui untuk melakukan ini. Gaya-gaya aksial dapat dikalkulasikan sekalim simpangan titik nodal di ketahui. Karena kalkulasi ini mungkin terjadi pada setiap analisis, maka lebih baik mempunyai persamaan umum yang di berikan gaya aksial dalam ungkapan simpangan-simpangan titik nodal.
Gaya aksial dalam suatu elemen adalah
(5.29) Dimana σxx adalah tegangan normal. Tegangan normal dapat di ungkapkan dalam tegangan normal dengan menggunakan hokum Hook sebagai berikut
(5.30)
Dan
(5.31) Regangan normal di hubungkan dengan simpangan dan perubahan suhu oleh (5.19); sehingga
(5.32) Ganti ungkapan derivative du/dx dengan (5.14) memberikan
(5.33) Persaman (5.33) memberikan gaya aksial internal S(e) dalam ungkapan simpangan titik nodal dan perubahan suhu.
Aplikasi persamaan (5.33) terhadap sistim dalam gambar 5.2 memberikan
Dan
Harga-harga negative untuk S(1), S(2) dan S(3) menunjukan bahwa setiap batang mengalami gaya tekan.
Sambungan tiga :
BAB 6 FORMULASI ENERGI POTENSIAL
Konsep suatu matriks kekakuan elemen dan vekktor gaya elemen banyak digunakan dalam motode kekakuan langsung, misal permasalahan mekanika struktur dan solid, untuk menyusun koefisien-koefisien [K] dan {F} tanpa menuliskan persamaan residu untuk setiap titik nodal. Penentuan matriks-matriks elemen mengeliminasi perlunya penulisan persamaan energi potensial. Dalam bab ini akan dibahas tentang matiks kekakuan dan vektor gaya untuk batang yang mengalami gaya aksial.
6.1. Elemen Gaya Aksial
Sistim persamaan berhubungan dengan formulasi energi potensial diperoleh dengan meminimalkan energi potensia. Jika kita asumsikan bahwa setiap simpangan tida diketahui
(6.1)
Derivatif ini dapat ditulis dalam sebuah vector kolom. Derivatif II terhadap vektor simpangan-simpangan, {U}, adalah
(6.2) Masing-masing komponen dalam vektor ini mewakili saaatu persamaan tunggal.
Energi potensial dalam satu sistim batang-batang mendapat gaya aksia/ diberikan oleh (5.2) dan ditulis kembal sebagai
Derivatif Π terhadap simpangan maya Uβ diperoleh
(6.4) Kontribusi elemen terhadap persamaan diatas terlihat dengan mengekspansikan persamaan (6.4)
(6.5) Energi regangan dalam elemen yang mendapatkan gaya aksial adalah
(6.6)
Dan merupakan sebuah fungsi dari dua simpangan Ui dan Uj. Karena itu derivatif ∂ Λ
/ ∂ U β adalah nol, kecuali untuk β = I atau β = j. jika energi regangan dalam elemen
tidak merupakan fungsi U β, maka elemen tiak memberikan kontribusi terhadap fungsi β.
Kontribusi elemen terhadap sistim persamaan diperoleh dengan mengevaluasi derivatif Λ(e) terhadap Ui dan Uj. Ini akan mengahasilkan
(6.7a) Dan
(6.7b) Persamaan-persamaan dalam (6.7) dapat ditulis sebagai
Yang equivalen dengan
(6.9) Matriks kekakuan elemen adalah
(6.10) Dan vektor gaya elemen adalah
(6.11)
Vektor {U(4)} dalam persamaan (6.9) mengandung simpangan-simpangan elemen {U(4)}T = [U1 U2].
Matriks-matriks elemen seperti diberikan oleh (6.10) dan (6.11) mudah deprogram dengan komputer dan juga mudah menentukan dimana masng – masing koefisien secara individu ditempatkan sistim final persamaan
Vektor ∂Π / ∂{U} mewakili sistim persamaan
(6.12) Persamaan (6.8) meyatakan bahwa koefisien-koefisien dalam baris pertama dari [k(e)] dan [f(e)] ditempatkan dalam baris i dari [K] dan [F] karena ∂ Π / ∂ U 1, yang mana merupakan
basis i dalam system final persamaan. Juga koefisien-koefisien pada baris kedua dari [k(e)] dan [f(e)] ditempatkan dalam baris j dari [K] dan [F], karena ∂ Λ / ∂U 1 memberi
kolom i dan j dari [K] karena koefisien-koefisien dalam kolom pertama dikalikan Ui, sedangkan kolom kedua dikalikan Uj.
6.2. Sistim Batang-Batang mendapat mendapat Gaya Aksial
Prosedur kekakuan langsungan diilustrasikan dengan menyusun sistim persamaan untuk tiga batang mendapat gaya aksial yang telah dianalisis dalam seksi 5.4. model elemen ditunjukan pada gambar 6.1. matriks kekakuan elemen diberikan oleh (6.10) dan vector gaya elemen diberikan (6.11). Data elemen adalah
Matrik-matriks elemen adalah
Gunakan [K] dan [F] dengan nol-nol dan tambahkan koefisien-koefisien elemen satu, menghasilkan
Tambahkan harga-harga elemen dua, memberikan
Tambahkan harga-harga elemen tiga, menghasilkan
Penambahan elemen tiga menyelesaikan penjumlahan seluruh elemen, sehingga sistim final persamaan adalah
(6.13) Hasil final metode kekakuan langsung contoh diatas adalah merupakan suatu sistim empat persamaan. Walaupun demikian, dua dari persamaan berikut tersebut seharusnya tidak disertakan karena U1 dan U4 harganya telah diketahui, yaitu U1 = U4 =
0. Energy potensial hanya dapat diminimalkan terhadap simpangan-simpangan yang belum diketahui. Hilangakan basis pertama dan keempat, di peroleh
(6.14) Substitusikan harga-harga U1 dan U4 dan juga P1 dan P4 menghasilkan
(6.15) Yang hasilnya sama seperti diberikan pada (5.27).
6.3. Formulasi Umum
Matrik kekakuan elemen dan vector gaya yang telah dibicarakan diatas diperoleh dengan mendefinisikan persamaan energy regangan. Persamaan-persamaan energy regangan untuk elemen-elemen struktur yang lain lebih sulit dari pada (6.6). Ada suatu cara untuk mengembangkan [k(e)] dan [f(e)].
Bentuk umum persamaan-persamaan elemen hingga untuk formulasi energy potensial adalah
Matrik kekakuan global [K] dan vector gaya global [F] berasal dari kontribusi-kontribusi elemen, sedangkan vector gaya [P] hasil dari gaya untuk setiap kemungkinan simpangan. Vector gaya [P] ada untuk setiap permasalahan struktur dan mekanika solid.
Energi potensial total dalam suatu sistim struktur terdiri dari jumlah kontribusi elemen dikurangi kerja dilakukan oleh gaya dan momen terkonsentrasi pada titik nodal.
(6.17)
Dimana r adalah jumlah simpangan total. Kuantitas Π(e) terdiri dari energy regangan elemen di kurangi dengan kerja pada elemen tersebut
(6.18) Persamaan β dalam sistim final adalah
(6.19)
Dimana ∂ Π(e) / ∂U β = 0 kecuali β adalah satu dari simpangan-simpangan elemen. Kontribusi elemen terhadap persamaan β berasal dari evaluasi ∂ Π(e) / ∂U β. Kontribusi elemen terhadap sistim final persamaan dari evaluasi ∂ Π(e) / ∂{U(e)}, dimana {U(e)}
mengandung simpangan-simpangan elemen. Kontribusi elemen adalah
(6.20)
Penjabaran teoritis dalam struktur dan aplikasi mekanika solid menghasilkan Π(e) yang mempunyai matriks
(6.21) Dimana [A] adalah simetrik dan {C} adalah vector kolom. Fakta menunjukan bahwa [A] dan {C} dalam (6.21) adalah sebenarnya {k(e)} dan {f(e)}.
Pendeferensial (6.21) terhadap {U(e)} dan mengunakan aturan-aturan matriks, dihasilkan
(6.22) Karena [A] = [A]T([A] adalah simetrik), maka
(6.23)
Dari (6.20) dan (6.23) di peroleh
[k(e)]] = [A] dan [f(e)]] = [C] (6.24)
Matrik kekakuan elemen dan vector gaya langsung dapat diketahui, jika Π(e) di tulis dalam bentuk serupa dengan (6.21). sebetulnya relative mudah untuk menulis Π(e) dalam
bentuk (6.21), jauh lebih mudah dari pada memperoleh persamaan Π(e) secara eksplisit
dan kemudian mendeferensialkan persamaan ini terhadap simpangan-simpangan elemen. Persamaan energi regangan untuk batang mendapat gaya aksial, (6.8), mempunyai bentuk matriks sebagai
(6.25) Kuantitas-kuantitas elemen mudah didefinisikan dan cocok dengan persamaan (6.10) dan (6.11).
6.4. Gaya-Gaya Internal
Gaya-gaya internal bekerja pada ujung-ujung elemen struktur dapat dikalkulasi, jika simpangan-simpangan elemen diketahui. Gaya-gaya ini mudah dikalkulasi dengan menggunakan teorema Castigliano. Teoreman ini menyatakan bahwa
(6.26) Dimana S β adalah gaya yang bekerja pada arah simpangan U β. Jika U β adalah suatu rotasi, maka S β adalah momen. Satu set gaya-gaya pada elemen, { S (e)} diberikan oleh
(6.27)
Dimana {"#( )} adalah kontribusi energy regangan {f(e)}. Gaya-gaya internal pada titik-titik nodal elemen dapat dikalkulasikan menggunakan matriks kekakuan elemen dan terpisah dari vector gaya elemen.
(6.28)
Dimana $( ) dan $( ) adalah gaya-gaya aksial pada titik-titik nodal i dan j. harga positif menunjukan bahwa gaya tersebut adalah searah dengan arah simpangan positif. Aplikasi (6.28) ditunjukan dalam contoh berikut.
Contoh Ilustrasi
Tentukan gaya aksial internal dalam sistim dua batang mendapat gaya aksial di tunjukkan dalam gambar 6.1. Simpangan-simpangan titik nodal dua dan tiga telah dihitung dalam bab 5, (5.28), dan disini
U2 = -0.0004900 cm dan U3 = -0.003480 cm Parameter-parameter fisik untuk dua batang dua adalah
AE / L = 4(106) dan AE α∂T = 33000
Harga positif $( ) menunjukan bahwa arahnya samaseperti arah positif U2. Tanda minus
$( ) menunjukan bahwa arahnya berlawanan terhadap arah positif U3. Dapat disimpulkan bahwa batang dua mendapat gaya batang kompresi.
BAB 7 TEORI ELASTISITAS
Aplikasi metode elemen hingga terhadap permasalahan mekanika solid meliputi pemsalahan elastisitas, analisis pelat dan cangkang, bukling pada struktur, vibrasi-virbasi kontinum, sifat-sifat elastic-plastic dan analisa elastic viscous. Disini secara berturut-turut dalam tiga bab akan dibahas tentang permasalahan elastisitas. Dalam bab ini akan dipresentasikan darivasi umum persamaan-persamaan matriks elemen. Bab 8 membahas tentang elastisitas dua dimensi dan dalam bab 9 akan dibahas mengenai analisa kongfigurasi aksisimetrik.
7.1. Tegangan, Regangan dan Hukum Hooke
Teori elastisitas melibatkan beberapa konsep yang belum digunakan dalam bab sebelumnya. Kondisi tegangan dalam suatu titik didefinisiskan oeleh enam komponen tegangan yang ditunjukkan dalam gambar 7.1. komponen-komponen tegangan ini dihasilkan oleh gaya-gaya dalam mengimbangi gaya-gaya eksternal. Komponen-komponen tegangan adalah positif jika searah dengan sistim koordinat positif. Definisi serupa berlaku untuk komponen-komponen bekerja pada permukaan negatif. Enam komponen-komponen tegangan ditempatkan dalam vektor {σ}.
(7.1) Aplikasi gaya-gaya dan panas pada bodi solid menyebabkan bodi tersebut berdeformasi, dimana masing-masing titik dalam bodi bergerak menuju lokasi baru. Resultan simpangan mempunnyai tiga komponen u, v, dan w yang paralel terhadap aksis-aksis x, y, dan z. enam komponen regangan didefinisikan untuk menunjukkan bagaiman sebuah bodi berdeformasi. Karena deformasi bodi dapat berasal dari gaya-gaya yang bekerja padanya dan atau perubahan-perubahan termal-termal, komponen regangan dipisah menjadi regangan elastic dan rengangan termal. Tiga set komponen-komponen regangan terdiri dari regangan total {e}, termal,{!%} adalah sebagai berikut
Gambar 7.1. Enam komponen tegangan bekerja dalam suatu titik Regangan total (7.2) (7.3) Dan (7.4) Dimana α dan δT masing-masing adalah regangan koefisien ekspansi termal dan perubahan temperatut. Vektor-vektor dari tiga regangan mempunyai hubungan
(7.5) Tegangan dan komponen-komponen regangan elastic dihubungan dengan dihubungkan dengan satu koefisien-koefisien yang dikenal dengan sebagai generalisasi hokum Hooke.
(7.6) Koefisien-koefesien dalam matriks [C] adalah
