Fungsi Analitik.doc

(1)

BAB I BAB I

PENDAHULUAN PENDAHULUAN

Fungsi

Fungsi f(z) f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau reguler atau monogenik) disebut analitik (atau holomorfik atau reguler atau monogenik) di titi

di titikk z z 00 apabila apabila f’ f’(z)(z) ada di semua titik pada suatu lingkungan ada di semua titik pada suatu lingkungan z z 00. . Untuk Untuk mengujmengujii keanalitikan suatu fungsi kompleks

keanalitikan suatu fungsi kompleks w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y)w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) digunakan digunakan persamaan

persamaan Cauchy Cauchy – – Riemann. Riemann. Sebelum Sebelum mempelajari mempelajari persamaan persamaan CauchyRiemannCauchyRiemann terlebih dahulu memahami pengertian tentang limit fungsi dan turunan fungsi pada terlebih dahulu memahami pengertian tentang limit fungsi dan turunan fungsi pada bilangan kompleks.

bilangan kompleks.

!alam makalah Fungsi "nalitik ini akan dibahas # sub bagian$ yaitu% !alam makalah Fungsi "nalitik ini akan dibahas # sub bagian$ yaitu% &.

&. FuFungngsi si ""nanalilititik k '.

'. iititik k SiSingngulular ar .

. FuFungngsi si *a*armrmononik ik #.

#. FuFungngsi si *ar*armomoninik Sek Sekaka+a+ann

BAB II BAB II

1 1

(2)

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial Cancel Anytime.

(3)

FUNGSI ANALITIK FUNGSI ANALITIK

,ada

,ada paspasal al ini ini akan akan dibdibicaicarakrakan an konskonsep ep analanalitiitik k yayang ng mermerupaupakan kan konskonsepep penting

penting dalam dalam teori teori fungsi fungsi -ariabel -ariabel kompleks. kompleks. !alam !alam hal hal ini ini akan akan dibicarakandibicarakan hubungan antara keanalitikan dengan tururan fungsi$ tetapi kedua konsep ini tidak hubungan antara keanalitikan dengan tururan fungsi$ tetapi kedua konsep ini tidak sama.

sama.

2.1 Fungsi Analitik 2.1 Fungsi Analitik

Sebuah fungsi f dari -ariabel  kompleks analitik pada titik 

Sebuah fungsi f dari -ariabel  kompleks analitik pada titik // jika memiliki turunan jika memiliki turunan pada

pada setiap setiap titik titik di di beberapa beberapa lingkungan lingkungan //. Selanjutnya$ jika f analitik pada titik . Selanjutnya$ jika f analitik pada titik //$$ maka harus analitik di setiap titik di beberapa lingkungan 

maka harus analitik di setiap titik di beberapa lingkungan //. Sebuah fungsi f adalah. Sebuah fungsi f adalah analitik di himpunan terbuka jika memiliki turunan di manamana di himpunan itu. analitik di himpunan terbuka jika memiliki turunan di manamana di himpunan itu.

Definisi 2.1 Definisi 2.1

a)

a) !i!ibeberirikakan funn fungsgsii f f terdefinisi terdefinisi pada pada region region dan dan .. Fungsi

Fungsi f f dikatdikatakan akan analianalitik tik di di jika terdajika terdapat pat sehinsehingga gga ada ada untuk untuk

semua semua b)

b) FungsiFungsi f f dikatakan analitik pada !$ jika dikatakan analitik pada !$ jika f f analitik disetiap titik pada ! analitik disetiap titik pada !

Cnt! 1 Cnt! 1

(4)

(5)

Fung

Fungsi si terterdifdifereerensinsial al di di setsetiap iap tittitik ik kecukecuali ali di di $ $ jadjadi i f f anaanalitlitik ik padpadaa

domai

domain n . . Fungsi Fungsi hanya hanya terditerdiferensferensial ial di di satu satu titititik k saja saja yakni yakni didi

0 jadi kita tidak mungkin berbicara tentang

0 jadi kita tidak mungkin berbicara tentang keanalitikan fungsi g ini.keanalitikan fungsi g ini.

Fungsi

Fungsi terdiferensial terdiferensial hanya hanya di di titiktitik titiktitik pada pada garis garis dan dan garisgaris

.

. iidak dak munmungkigkin n dicdicari ari perperseksekitaitaran ran suasuatu tu tittitik ik dan dan h h terterdifdifereerensinsial al padapada persekitaran itu. 1adi$ di titik manapun h tidak analitik. Fungsi suku banyak analitik di persekitaran itu. 1adi$ di titik manapun h tidak analitik. Fungsi suku banyak analitik di

seluruh

seluruh bidang bidang kompleks$ kompleks$ sebab sebab di di sembarang sembarang titik titik selalu selalu ada ada persekitaran persekitaran daridari

sehingga fungsi terdiferensial di setiap titik dalam persekitaran itu. sehingga fungsi terdiferensial di setiap titik dalam persekitaran itu.

Fungsi yang analitik di seluruh bidang kompleks disebut fungsi utuh. 1adi fungsi suku Fungsi yang analitik di seluruh bidang kompleks disebut fungsi utuh. 1adi fungsi suku banyak

banyak adalah adalah fungsi fungsi utuh. utuh. ititik ik di di dalam dalam daerah daerah definisi definisi fungsi fungsi f f dimana dimana f f analitik analitik disebut titik analitik.

disebut titik analitik.

Aki"at Aki"at Fungsi

Fungsi dikatdikatakan akan tak tak analianalitik tik di di . . 1ika 1ika dan dan hanya hanya jika jika untuk untuk setisetiap ap terhadterhadapap

$

(6)

(7)

&

&.. 22iissaallkkaann ''_$_{$ maka}_maka _{ada hanya}_ada_{hanya untuk}_untuk _._{. 1adi}_1adi_f_f_{tak analitik di}_{tak analitik di}

karena

karena untuk untuk setiap setiap terdapat terdapat sehingga sehingga tidak tidak ada.ada.

'

'.. 22iissaallkakan n . . FFuunngsgsii f f mmeemmppuunnyyaai ti tuurruunnaan n sseeppaannjjaanngg $$

te

tetatapipi f f tidtidak ak analanalitiitik k di di manmanamamana$ ana$ karkarena ena untuntuk uk setsetiap iap terterdapdapatat

sehingga

sehingga ) ) tidak tidak ada.ada.



.. FFuunnggssi i ppoolliioon n aaddaallaah h ssuuaattu u ffuunnggssi i ppoolliinnoomm

yang analitik pada seluruh bidang kompleks (fungsi menyeluruh 3fungsi utuh)$ yang analitik pada seluruh bidang kompleks (fungsi menyeluruh 3fungsi utuh)$

karena

karena ) ) ada ada pada pada semua semua ..

4eberapa hal yang perlu diperhatikan% 4eberapa hal yang perlu diperhatikan%

aa.. 11iikkaa f(z) f(z) analitik pada setiap titik di himpunananalitik pada setiap titik di himpunanSS makamaka f(z) f(z) analitik padaanalitik pada S

S .. b.

b. 1ika1ika f(z) f(z) analitik di seluruh bidang kompleks makaanalitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) f(z) fungsifungsi menyeluruh 3fungsi utuh (

menyeluruh 3fungsi utuh (entire functionentire function).). c.

c. !a!aeraerah kh keaeananalilititikan kan ((region of analycityregion of analycity) bagi) bagi f f adalah keseluruhanadalah keseluruhan titik pada bidang datar yang membuat

titik pada bidang datar yang membuat f fanalitik.analitik.

Cnt! # Cnt! # 2isalkan$ 2isalkan$

(8)

(9)

f’(z)

f’(z) ada di semuaada di semua z z kecuali dikecuali di z z 22 + 1 = 0+ 1 = 0 atauatau z = ± i z = ± i. 1adi. 1adi f(z) f(z) analitik kecuali dianalitik kecuali di z = z = ±i

±i..

"pabila suatu fungsi analitik kecuali pada titik tertentu yang membuat fungsi "pabila suatu fungsi analitik kecuali pada titik tertentu yang membuat fungsi tersebut gagal untuk bersifat analitik$ maka titik tersebut dinamakan titik singular. tersebut gagal untuk bersifat analitik$ maka titik tersebut dinamakan titik singular.

2.2. Titik Singula$ 2.2. Titik Singula$ Definisi 2.2

Definisi 2.2

itik

itik dikatakan titik dikatakan titik singular singular dari dari fungsi fungsi f f yang yang terdefinisi terdefinisi pada pada region region ! ! CC jika jika an !anya jika"

an !anya jika" a.

a. f f tiak tiak analitik analitik ii yaityaitu u setisetiap ap terdapterdapat at sehinsehinggagga

tidak ada dan tidak ada dan b.

b. Untuk setiap Untuk setiap terdapat terdapat sehingga f sehingga f analitik di analitik di

Cnt! % Cnt! %

&

&)) 22iissaallkkaann '' _ma_maka_ka _ad_ada_{a ha}_hany_nya_{a unt}_untuk_uk _$_$ _ti_tidak_{dak ad}_adaa

unt

untuk uk sesetitiap ap bukbukan an titititik k sisingungulalar r kakarerena na sisifafat t ('(') ) titidadak k didipepenuhnuhii

+alaupun

+alaupun f f tak analitik di tak analitik di ')

(10)

(11)



)) 22iissaallkkaan n FFuunnggssii f f ttaak k kkoonnttiinnu u ddi i   6 6 &&$ $ sseebbaabb

. 1adi f tak analitik di  6 &. !engan cara yang sama f juga . 1adi f tak analitik di  6 &. !engan cara yang sama f juga

ttaak k aannaalliittiik k ddi  i  6 6 &&. F u. F unnggssi f 8i f 8(() a d) a da a uunnttuuk k  & d a& d an n  &&$ y$ yaaiittuu

unt

untuk uk  & & dan dan   &. &. 1ad1adi i   6 6 & & dan dan   6 6 & & mermerupaupakan kan tititik tik singular dari f. singular dari f. # #)) 22iissaallkkaann z z z z z z z z f f + + + + = = ''__ && ))

(( . entukan titik singular dari. entukan titik singular dari f f dan tentukan dimana dan tentukan dimana saja

saja f(z) f(z) analitik9 analitik9 ,enyelesaian% ,enyelesaian% f’

f’(z)(z) ada di semua ada di semua z z kecuali di kecuali di z z ## + z = 0 + z = 0 atau di atau di z = z = 00 dan di dan di z z = = ± ± ii .. Sehingga titik singular dari

Sehingga titik singular dari f f adalah di adalah di z z = = 00 dan dan didi z z = = ± ± ii.. f(z) f(z) analitik di semua

analitik di semua z z kecuali kecuali didi z z ##_{+ z = 0}_{+ z = 0} _{atau di}_atau_di_{z = 0}_{z = 0}_{dan di}_{dan di}_{z = ± i}_{z = ± i}_._.

eorema berikut merupakan perluasan dari eorema sebelumnya. :leh karena itu$ eorema berikut merupakan perluasan dari eorema sebelumnya. :leh karena itu$ untuk membuktikan gunakan teorema terseut dengan definisi keanalitikan fungsi. untuk membuktikan gunakan teorema terseut dengan definisi keanalitikan fungsi. Te$e&a 2.1

Te$e&a 2.1 !

!iibbeerriikkaan n tteerrddeeffiinniissi i ppaadda a rreeggiioon n !! C C ddaann

1ika % 1ika %

(12)

(13)

b.

b. ,ersamaan ,ersamaan Cauchy Cauchy Rieman Rieman % % berlaku berlaku pada pada <(<(

) maka

) maka fungsi fungsi f f analitik analitik di di ..

=ekontinuan dan keterdefinisian suatu fungsi di suatu titik adalah syarat perlu agar =ekontinuan dan keterdefinisian suatu fungsi di suatu titik adalah syarat perlu agar fungsi analitik di titik tersebut$ tetapi tidak cukup untuk eksistensi keanalitikan suatu fungsi analitik di titik tersebut$ tetapi tidak cukup untuk eksistensi keanalitikan suatu fungsi.

fungsi.

Te$e&a 2.2 Te$e&a 2.2

1ika

1ika analitik analitik pada pada maka maka %%

aa. . beerrllaakb ku u ppaadda a <<(( ) untuk suatu r ; /) untuk suatu r ; / b.

b. mempunyai turunan kedua yaitu kontinu di mempunyai turunan kedua yaitu kontinu di sehingga berlakusehingga berlaku

4ukti% 4ukti%

(14)

(15)

,ada

,ada fungsfungsi i analianalitik tik pada pada dimandimana a u u dan dan - - mempmempunyaiunyai

tu

tururunanana kena kedudua yaa yang kong kontntininu di u di maka pemaka persrsamamaaaan Caun Cauchchy Riy Riememann dann dapapatat diturunkan.

diturunkan.

2islkan pada fungsi f berlaku persamaan Cauchy Riemann yaitu % 2islkan pada fungsi f berlaku persamaan Cauchy Riemann yaitu %

???????????????????????.(&) ???????????????????????.(&)

??????????????????????.(') ??????????????????????.(')

2aka turunan dari persamaan Cauchy Riemann 2aka turunan dari persamaan Cauchy Riemann

???????????.() ???????????.()

(16)

(17)

Start Free Trial Cancel Anytime. 2.# Fungsi Ha$&nik 2.# Fungsi Ha$&nik Definisi 2.# Definisi 2.# F

Fuunnggssi i ddiinnaammaakkaan n hhaarrmmoonniik k ddi i jjiikkaa

pada

pada untuk untuk suatusuatu

!ari

!ari defindefinisi isi di di atas atas jika jika analianalitik tik di di ..

2aka

2aka fungsi fungsi dan dan harmonik harmonik di di . . ,asangan ,asangan kedua kedua fungsi fungsi harmonik harmonik disebutdisebut harnonik konjugat atau harmonik seka+an.

harnonik konjugat atau harmonik seka+an.

=eharmonikan suatu fungsi merupakan syarat untuk mengkonstruksi fungsi =eharmonikan suatu fungsi merupakan syarat untuk mengkonstruksi fungsi ya

(18)

(19)

.

. eetatapi pi jijika ka haharmrmonionik k lalanjnjututkakan n keke langkah (')

langkah (') ('

(')) *i*itutung ng dandan

()

() ,il,ilih seih sehinhinggagga

(#)

(#) !ar!ari i konkonstrstruksuksii (@)

(@) !ar!ari (#) teni (#) tentuktukanan

(A)

(A) !ari !ari (@) (@) diperdiperoleholeh (B)

(B) =onst=onstruksi ruksi sehingsehingga ga diperodiperolehleh

Cnt! ' Cnt! '

(20)

(21)

$$

:leh karena itu $diperoleh% :leh karena itu $diperoleh%

1adi harmonik

(')

(') 2isal2isalkan kan analianalitik$ tik$ makamaka

1adi diperoleh 1adi diperoleh

()

(22)

(23)

Start Free Trial Cancel Anytime. !iperoleh !iperoleh !an !an 1adi diperoleh 1adi diperoleh Sehingga Sehingga

(24)

a

ang ng dapat dapat dinyatakan dinyatakan dalam dalam dandan

1ika

1ika diambil diambil maka maka (&) (&) menjadimenjadi

!ari

!ari (') (') diperdiperoleh oleh $ $ sehinsehingga gga dapat dapat dicardicari i fungsi fungsi harmharmonik onik seka+aseka+an n . . !engan!engan

kata

(25)

"kibatnya "kibatnya

1adi diperoleh 1adi diperoleh

(26)

Start Free Trial Cancel Anytime. BAB III BAB III KESI*PULAN KESI*PULAN &

&.. FFuunnggssii f(z) f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau reguler ataudisebut analitik (atau holomorfik atau reguler atau monogenik) di titik

monogenik) di titik z z 00 apabilaapabila f’(z) f’(z) ada di semua titik pada suatuada di semua titik pada suatu lingkungan

(27)

DAFTA+ PUSTAKA DAFTA+ PUSTAKA

4r

4ro+o+n$ n$ 1a1amemes s DDaard rd dadan n ChChueuechchilill$ l$ RuRuel el EE. . '/'//#/#..&o'&o'%l%lex ex aaririaale le anan  *%%lication" ig!t ition

*%%lication" ig!t ition. <e+ . <e+ ork% 2cra+*ill *igher Gducationork% 2cra+*ill *igher Gducation im !osen 1urusan 2atematika. '/&#.

im !osen 1urusan 2atematika. '/&#. *nalii -o'%lek *nalii -o'%lek. 2edan % F2H," U<H2G!. 2edan % F2H," U<H2G! Iill$ !ennis . '//.

Iill$ !ennis . '//. * * .irt .irt &oure &oure in in &o'%lex &o'%lex *nalyi *nalyi wit! wit! *%%lication/*%%lication/ 1ones1ones and 4artl