REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA

(1)

Vol.3No.1Hal. 27 – 34 ISSN : 2303–2910

c

Jurusan Matematika FMIPA UNAND

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI

KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK

HINGGA

EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

eicha.rhahmi@yahoo.com

Abstrak.Fungsi karakteristik dari sebaran terbagi tak hingga dapat dikarakterisasi ke dalam suatu formula umum yang disebut sebagai representasi kanonik fungsi karakter-istik sebaran terbagi tak hingga. Representasi kanonik tersebut dapat dilakukan dengan menentukan ukuran Levy dari sebaran yang bersesuaian. Sebaran Normal dan Sebaran Eksponensial merupakan sebaran terbagi tak hingga sehingga dapat dibentuk represen-tasi kanonik fungsi karakteristiknya.

Kata Kunci: Representasi kanonik fungsi karakteristik, sebaran terbagi tak hingga, se-baran normal, sese-baran eksponensial

1. Pendahuluan

Keterbagian tak hingga suatu sebaran dapat ditentukan melalui peubah acaknya atau fungsi karakteristiknya. Keterbagian tak hingga berdasarkan peubah acak dapat dilihat sebagai keterbagian suatu peubah acak menjadi peubah-peubah acak yang saling bebas dengan sebaran yang sama. Peubah acak X dikatakan terbagi menjadinjika terdapat peubah-peubah acak yang identik dan saling bebas

X1, X2,· · ·, Xn sedemikian sehinggaX =X1+X2+· · ·+Xn. Selanjutnya, suatu fungsi sebaran F dengan fungsi karakteristikϕadalah terbagi tak hingga jika untuk setiap bilangan bulat positifnterdapat fungsi karakteristikϕnsedemikian sehingga

ϕ(t) = [ϕn(t)]n _{untuk setiap}_t_∈_R_{[4]. Fungsi karakteristik dari sebaran terbagi tak}

hingga dapat dikarakterisasi ke dalam suatu formula umum yang disebut sebagai representasi kanonik fungsi karakteristik sebaran terbagi tak hingga.

Pengkarakterisasian fungsi karakteristik sebaran terbagi tak hingga diusulkan pertama kali oleh Bruno de Finetti (1929), yang kemudian dilanjutkan oleh Kol-mogorov (1932) untuk kasus momen kedua terbatas dan kemudian diturunkan oleh Levy-Khinchine (1937) sehingga menghasilkan suatu formula umum yang disebut Representasi kanonik fungsi karakteristik sebaran terbagi tak hingga [3,6]. Paper ini memberikan kajian representasi kanonik fungsi karakteristik untuk sebaran terbagi tak hingga serta penggunaannya pada keterbagian tak hingga Sebaran Normal dan Sebaran Eksponensial.

(2)

2. Sebaran Terbagi Tak Hingga

Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dan teorema dari fungsi sebaran terbagi tak hingga.

Definisi 2.1. [7] Suatu fungsi sebaran F dikatakan terbagi tak hingga jika untuk setiap bilangan bulat positifn, terdapat suatu fungsi sebaranFn sedemikian sehingga F adalah konvolusinkali dari Fn dengan dirinya sendiri, yaituF =Fn∗ · · · ∗Fn (n kali).

Selain itu keterbagian tak hingga dapat dilihat berdasarkan fungsi karaktiris-tiknya. Berikut diberikan definisi dari fungsi karakteristik kemudian dilanjutkan dengan definisi sebaran terbagi tak hingga berdasarkan fungsi karakteristik.

Definisi 2.2. [1,2]Jika X suatu peubah acak dengan fungsi kepekatan peluangf(x)

dan fungsi sebaran kumulatifF(x), maka fungsi karakteristikϕX(t)dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut

ϕX(t) =E[eitX] =

Z

eitxdF(x),

dimana t∈R ,i=√−1daneitX _{= cos}_tX₊_i_sin_tX.

Berdasarkan definisi fungsi karakteristiknya, suatu fungsi sebaran F dengan fungsi karakteristik ϕ adalah terbagi tak hingga jika untuk setiap bilangan bu-lat positif nterdapat fungsi karakteristik ϕn sedemikian sehingga ϕ(t) = [ϕn(t)]n

untuk setiap t[2].

3. Representasi Kanonik Fungsi Karakteristik Sebaran Terbagi Tak Hingga

Berikut diberikan lema dan teorema mengenai representasi kanonik dari fungsi karakteristik sebaran terbagi tak hingga.

Lema 3.1. [5] Misalkan ϕ(t)adalah suatu fungsi karakteristik terbagi tak hingga. Maka terdapat suatu barisan dari fungsiφn(t)sedemikian sehingga

lim

n→∞φn(t) =φ(t) = lnϕ(t). (3.1)

Bukti. Karena untukn→ ∞,

n[ϕ(t)]1n−1

=n

exp

1

n

φ(t)

−1

=φ(t)+

1

n

(φ(t))2 2! +

1

n

2

(φ(t))3 3! +· · ·,

maka diperoleh

φ(t) = lim

n→∞n

[ϕ(t)]n1 −1

. (3.2)

(3)

bersesuaian adalah Fn(x), maka

maka dari (3.2) – (3.4) terbukti bahwa terdapatφn(t) sedemikian sehingga

lim

Bukti. Lema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan

eitx= 1 +itx+(itx) 2

2! + (itx)3

3! +· · ·.

Teorema 3.3. [7] (Representasi Kanonik Levy-Khinchine) Suatu fungsi ϕ adalah fungsi karakteristik dari suatu fungsi sebaran terbagi tak hingga jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan real γ dan fungsi takturun terbatas β yang ter-definisi pada(−∞,+∞)sedemikian sehingga

ϕ(t) = exp

dimana integran terdefinisi pada x= 0 dengan kontinuitas menjadi −₂t2. Represen-tasi kanonik pasangan (γ, β)ini tunggal.

Bukti. (⇒) Misalkan ϕ adalah fungsi karakteristik dari suatu fungsi sebaran terbagi tak hingga. Akan ditunjukkan terdapat suatu bilangan real γ dan fungsi takturun terbatasβ yang terdefinisi pada (−∞,+∞) sedemikian sehingga

ϕ(t) = exp

dimana integran terdefinisi pada x= 0 dengan kontinuitas menjadi −t2 2 .

MisalkanFn adalah fungsi sebaran yang bersesuaian dengan fungsi karakteristik

(4)

Maka dengan menggunakan Lema 3.1 diperoleh limn→∞In(t) = lnϕ(t). Kemudian,

jika ”bagian rill” dinotasikan dengan Re, maka

lim

Karena βn(−∞) = 0 dan dengan menggunakan persamaan (3.7), diperoleh bahwa

βn terbatas danR

|x|≥Tdβn(x)< ε. Sehingga terdapat subbarisan dari {βn} yang

konvergen lengkap. Misal subbarisan tersebut adalah{βnk}dan misalkan terdapat suatu fungsi tak turun terbatasβ sedemikian sehinggaβnk→c β. Untukt tertentu,

A(x, t) seperti yang didefinisikan pada Lema 3.2 adalah fungsi kontinu terbatas padax. Sehingga

Z ∞

Sehingga terdapat bilangan riilγsedemikian sehinggaγnk →γuntukk→ ∞. Karena Ink(t)→lnϕ(t) untuk k→ ∞, maka ϕ(t) = exp

iγt+R

A(x, t)dβn(x)

yang membuktikan bahwaϕ(t) dapat direpresentasikan menjadi persamaan (3.5). (⇐) Misalkan terdapat suatu bilangan riilγdan fungsi takturun terbatasβyang terdefinisi pada (−∞,+∞) sedemikian sehingga berlaku persamaan (3.5), dimana integran terdefinisi padax= 0 dengan kontinuitas menjadi −t2

2 . Akan ditunjukkan bahwaϕfungsi karakteristik dari suatu fungsi sebaran terbagi tak hingga.

Perhatikan dua kasus berikut:

Kasus 1. Misalkan 0 < λ = R−0 sebaran, dan jika h(t) adalah fungsi karakteristik dari fungsi sebaran H, maka

ϕ(t) = exp karakteristik dari sebaran terbagi tak hingga.

Pada kasus λ = 0, σ2 _> _{0, maka} _ϕ₍_t_{) adalah fungsi karakteristik dari sebaran}

N γ′_{, σ}2

yang menunjukkan bahwa ϕ(t) adalah suatu fungsi karakteristik dari sebaran terbagi tak hingga.

Kasus 2.MisalkanR

I bilangan positif sedemikian sehinggaxn> xn+1 untuk semuandanxn→0 untuk

(5)

Perhatikan bahwa (−∞,0)∪(0,∞) =I=S∞_n₌₁An. Misalkan

Fn(x) =λ−n1

Z

An∩(−∞,x] 1 +x2

x2 dβ(x),

maka jelas bahwaFn suatu fungsi sebaran.

Misalkan{Z, Xn,j, Yn, n= 1,2,· · ·, j= 1,2,· · · }adalah peubah acak saling be-bas sedemikian sehingga Z adalah peubah acak dari sebaranN 0, σ2

, fungsi se-baran dari peubah acakXn,jadalahFn, danYnadalah peubah acak Poisson dengan

E[Yn] =λn. Misalkan

Xn = (γ+Z) +

n

X

m=1

(Xm,1+· · ·+Xm,ym)−

n

X

m=1

Z

Am

₁

x

dβ(x)

!

,

maka dengan memisalkanϕXn,j adalah fungsi karakteristik dari peubah acakXn,j, diperoleh fungsi karakteristik dari peubah {Xn}sebagai berikut

ϕn(t) = exp

iγt−σ 2_t2

2 +

Z −xn

−∞

+

Z ∞

xn

A(x, t)dβ(x)

,

dengan A(x, u) seperti yang didefinisikan pada Lema 3.2. Sehingga jelas bahwa

ϕn(t) merupakan fungsi karakteristik dari sebaran terbagi tak hingga danϕn(t)→

ϕ(t) untukn → ∞pada semua t. Oleh karena itu, diperoleh bahwa ϕ(t) adalah fungsi karakteristik dari sebaranF danFn→c F, sehingga fungsi sebaranF terbagi tak hingga yang membuktikan bahwa ϕ(t) adalah fungsi karakteristik dari suatu fungsi sebaran terbagi tak hingga.

Selanjutnya akan ditunjukkan representasi kanonik pasangan (γ, β) diatas tung-gal, yaitu cukup dengan menunjukkan ketunggalan dariβ. Misalkan ditulis

−φ(t) =

Z t+1

t−1

lnϕ(τ)dτ −2 lnϕ(t)

Maka jelas bahwaϕsecara tunggal menentukanφdan diperoleh

φ(t) = 2

Z ∞

−∞

exp (itx)

1−sin_xx

_{1 +}_x2

x2 dβ(x).

Karena 1−sinx x

1+x2

x2 >0 untuk setiapx, maka jika didefinisikan

Φ (x) = 2

Z x

−∞

1−sin_yy

_{1 +}_y2

y2 dβ(y),

diperoleh

φ(u) =

Z ∞

−∞

exp (itx)dΦ (x).

(Catatan : Φ adalah fungsi takturun karena Φ merupakan integral dari fungsi tak negatif).

(6)

Teorema 3.4. [7] (Representasi Kanonik Levy)Suatu fungsi f adalah fungsi karakteristik dari suatu fungsi sebaran terbagi tak hingga jika dan hanya jika ter-dapat konstanta γ dan fungsi M yang terdefinisi pada (−∞,0)∪(0,∞) yang tak turun pada(−∞,0) dan(0,∞)dan memenuhiM(−∞) =M(∞) = 0 dan

Z −0

−1 +

Z +1

+0

x2dM(x)<∞,

sedemikian sehingga

ϕ(t) = exp[iγt−σ 2_t2

2 +

Z −0

−∞

+

Z +∞

+0

(exp[itx]−1−_{1 +}itx_x₂)dM(x)]. (3.9)

Representasi kanonik tripel (γ, σ2_{, M}₎ _{ini tunggal.}

Teorema Representasi Levy jelas ekuivalen dengan Teorema Representasi Levy-Khinchine dengan menggunakan hubungan

M(x) =

(

−R∞

x

1+y2

y2 dβ(y), untuk x >0

Rx ∞

1+y2

y2 dβ(y), untukx <0

Formula (3.9) di atas disebut sebagai Representasi Kanonik Levy dariϕ(t), dimana

M(x) disebut sebagai ukuran Levy.

4. Representasi Kanonik Fungsi Karakteristik Sebaran Normal dan Sebaran Eksponensial

4.1. Sebaran Normal

MisalkanX ∼N(µ, σ2_{) dengan fungsi kepekatan peluang}

f(x) =√ 1

2πσ2exp[−

(x−µ)2

2σ2 ], untuk − ∞< x <∞,

dimana µdanσ2 _{adalah konstanta,} _−∞_{< µ <}_∞_,_σ2_>_{0. Maka fungsi} karakter-istiknya adalahϕ(t) = expiµt−σ2_t2

2

. Karena untuk sebarang bilangan bulat n,

terdapatϕn(t) = exphiµt_n −σ22nt2

i

yaitu fungsi karakteristik dari sebaranN(µ_n,σ_n2) sedemikian sehingga berlaku ϕ(t) = [ϕn(t)]n_{, maka Sebaran Normal merupakan}

sebaran terbagi tak hingga. Perhatikan bahwa fungsi karakteristik Sebaran Normal di atas dapat ditulis sebagai berikut

ϕ(t) = exp

iµt−σ 2_t2

2 +

Z −0

−∞

+

Z +∞

+0

exp[itx]−1−_{1 +}itx_x2

d[0]

.

Sehingga fungsi karakteristik Sebaran Normal dapat dibentuk ke dalam Represen-tasi Kanonik Levy denganγ=µ, σ2₌_σ2_{, dan}_M₍_x_{) = 0.}

4.2. Sebaran Eksponensial

MisalkanX ∼exp(θ) dengan fungsi kepekatan peluang

f(x) =1

θe

(7)

Maka fungsi krakteristiknya adalah karakteristik dari sebaranGAM(θ,1

n) sedemikian sehingga berlakuϕ(t) = [ϕn(t)] n_,

maka sebaran Eksponensial merupakan sebaran terbagi tak hingga. Perhatikan bahwa ϕn(t) merupakan fungsi karakteristik dari GAM(θ,1

n), maka

fungsi sebaran yang bersesuaian untuk fungsi karakteristik tersebut adalah

Fn(x) = 1

θ1/n_Γ(1_/n₎

Z x

0

yn1−1e−y/θdy

Selanjutnya, dengan menggunakanβ danγ yang telah diperoleh pada pembuktian Lema 3.1 dan Teorema 3.3, maka fungsi karakteristik sebaran Eksponensial dapat dibentuk ke dalam Representasi Kanonik Levy-Khinchine dengan

γ= lim

Kemudian, dengan menggunakan hubungan Representasi Kanonik Levy dan Re-presentasi Kanonik Levy-Khinchine, perhatikan bahwa

M(x) =−

Sehingga fungsi karakteristik dari sebaran Eksponensial dapat dibentuk ke dalam Representasi Kanonik Levy dengan γ =R∞

0

Fungsi karakteristik dari sebaran terbagi tak hingga dapat dikarakterisasi ke dalam suatu formula umum yang disebut sebagai representasi kanonik fungsi karakteristik sebaran terbagi tak hingga. Jika suatu peubah acak X merupakan suatu sebaran terbagi tak hingga, bentuk representasi kanonik untuk fungsi karakteristik dari se-baran X adalah

(8)

Kanonik Levy-Khinchine terdapat bentuk representasi kanonik yang lain dari se-baran tebagi tak hingga, yaitu disebut dengan Representasi Kanonik Levy. Ben-tuk Representasi Kanonik Levy unBen-tuk fungsi karakteristik dari sebaran terbagi tak hingga adalah sebagai berikut

ϕ(t) = exp

iγt−σ 2_t2

2 +

Z −0

−∞

+

Z +∞

+0

exp[itx]−1−_{1 +}itx_x2

dM(x)

.

dimana Representasi Kanonik Levy ini ekivalen dengan Representasi Kanonik Levy-Khinchine, yaitu dengan menggunakan hubungan

M(x) =

(

−R∞

x

1+y2

y2 dβ(y), untuk x >0

Rx ∞

1+y2

y2 dβ(y), untukx >0

Representasi kanonik tripel (γ, σ2_{, M}_{) di atas juga tunggal.}

Sebaran normal dan sebaran eksponensial adalah sebaran terbagi tak hingga dimana fungsi karakteristiknya dapat dibentuk kedalam Representasi Kanonik Levy. Sebaran normal mempunyai representasi Kanonik Levy denganγ=µ,σ2₌_σ2_{, dan}

M(x) = 0. Sementara itu, sebaran eksponensial mempunyai representasi Kanonik Levy denganγ=R∞

0

e−x/θ 1+x2dx, σ

2_{= 0}_,_dan_M₍_x_{) =}₋R∞

x e−y/θ

y dy, x >0.

Daftar Pustaka

[1] Bartle, R.G. dan Donald R.S. 1927.Introduction to Real Analysis, Second Edi-tion. John Wiley and Sons. Singapore: Inc

[2] Chung, K. L. 2001.A Course In Probability Theory, Third Edition. San Diego: Academy Press

[3] Gnedenko, B. V. dan A. N. Kolmogorov. 1968.Limit Distributions for Syms of Independent Random Variables. London: Addison-Wiley

[4] Laha, R. G. Dan V. K. Rohagi. 1979.Probability Theory. New York: John Wiley Sons

[5] Lukacs, E. 1970.Characteristic Function, Second Edition. London: Grifin [6] Rao, M. M. dan R.J. Swift. 2006.Probability Theory with Aplications, Second

Edition. United States: Springer