Aplikasi Sistem Persamaan
Rangkaian Listrik
Elemen dalam
rangkaian Voltage drop
Induktor
Resistor
Kapasitor
di
L
dt
Ri
1
Q
C
Contoh 1
2
Perhatikan gambar jaringan listrik berikut ini!
a. Tentukan sistem persamaan diferensial untuk arus i
2(t) dan i
3(t).
b. Gunakan metode koefisien
tak-tentu untuk menyelesaikan sistem tersebut jika R
1 = 2 Ω, R
2 = 3 Ω, L1 = 1 h, L2 = 1 h, E = 60 V, i
2(0) = 0, i3(0) = 0. c. Tentukan persamaan untuk i
3
Jawab:
a. Untuk loop A1 B1 B2 A2 A 1 : 2 1 1 1
2
1 2 3 1
( )
(
)
( )
(1)
di
R i
L
E t
dt
di
R i
i
L
E t
dt
untuk loop A1B1 C1 C2 B2 A2 A 1 :
3
1 1 2 3 2
3
1 2 3 2 3 2
( )
(
)
( )
(2)
di
R i
R i
L
E t
dt
di
R i
i
R i
L
E t
dt
4
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2
1 1 2 1 1 3 1
3
1 2 2 1 2 2 3 2
/
/
/
/
(
) /
/
di
R L i
R L i
E L
dt
di
R L i
R
R
L i
E L
dt
Tulis dalam bentuk matriks:
2 1 1 1 1 2 1
3 1 2 1 2 2 3 2
/
/
/
/
(
) /
/
i
R L
R L
i
E L
d
i
R L
R
R
L
i
E L
dt
5
b. Substitusi R
1 = 2 Ω, R2 = 3 Ω, L1 = 1 h, L2 = 1 h, E = 60 V,
2 2
3 3
2
2
60
2
5
60
i
i
d
i
i
dt
Tuliskan dalam bentuk notasi standar:
2
2
60
2
5
60
6
Pertama, selesaikan sistem homogen
2 2
2 5
X X
Persamaan karakteristik
2
2
2 2
det( )
2 5
10 7 4
7 6 ( 1)( 6) 0
λ λ
λ λ
λ
λ λ λ λ
A I
7 • Untuk nilai eigen λ1 = -1
1 2
(
( 1) )
0
1
2
0
2
4
0
k
k
A
I K
1 2 1 2
1
2 0
1
2 0
1
2 0
2
4 0
2
4 0
0
0 0
R R R
diperoleh k
1 = -2 k2 dan k2 = s dengan s adalah sembarang bilangan real. Pilih s = -1, maka kita peroleh vektor eigen
1 1
2
2
1
1
t
e
8 • Untuk nilai eigen λ2 = -6
1 2
(
( 6) )
0
4
2
0
2
1
0
k
k
A
I K
1 1
4 1 2
1 1
2
2 2
4
2 0
1
0
1
0
2
1 0
2
1
0
0
0
0
R
R R
diperoleh k
1 = 1/2 k2 dan k2 = s dengan s adalah sembarang bilangan real. Pilih s = 2, maka kita peroleh vektor eigen
6
2 2
1
1
2
2
t
e
9
Kita peroleh solusi untuk sistem homogen
6
1 2
2
1
1
2
t t
c
c
e
c
e
X
Karena F(t) fungsi konstan, maka kita misalkan
1 1
p
a
b
X
Kemudian substitusikan Xp ke sistem nonhomogennya,
1 1 1
1 1 1
0 2 2 60
0 2 2 60
0 2 60
0 2 5 60
a a b
b a b
10
Kita peroleh a
1 = 30 dan b1 = 0. Sehingga
30 . 0
p
X
Akhirnya, solusi sistem nonhomogen tersebut adalah
2 6
1 2
3
( ) 2 1 30
( ) 1 2 0
c p
t t
i t
c e c e
i t
X X X
Karena i
2(0) = 0 dan i3(0) = 0 maka
1 2
1 2
2 30 0
2 0
c c
c c
11
Kita peroleh c
1 = -12 dan c2 = -6. Sehingga
2 6
3
( ) 24 6 30
( ) 12 12 0
t t
i t
e e
i t
c. Ini berarti
1 2 3
6 6
6
( ) ( ) ( )
24 6 60 12 12
12 18 30
t t t t
t t
i t i t i t
e e e e
e e
12
Contoh 2
Perhatikan gambar jaringan listrik berikut ini!
a. Tentukan sistem persamaan diferensial untuk arus i
1(t) dan i
2(t).
b. Gunakan metode variasi
parameter untuk menyelesaikan sistem tersebut jika R
1 = 8 Ω, R
2 = 3 Ω, L1 = 1 h, L2 = 1 h, E = 100 sin t, i
13
Jawab:
a. Untuk loop A1 B1 B2 A2 A 1 :
2 1
1 1 1 2
( )
(1)
di
di
R i
L
L
E t
dt
dt
untuk loop A1B1 C1 C2 B2 A2 A 1 :
1
1 1 2 3 2
1
1 1 2 1 2 2
( )
(
)
( )
(2)
di
R i
R i
L
E t
dt
di
R i
R i
i
L
E t
dt
14
Kita hitung (1) - (2) diperoleh
2
1 2
(
1 2)
0
(3)
di
L
R i
i
dt
Kemudian tulis kembali persamaan (2) dan (3)
1
1 2 2 1 2 2 2 2
2
2 1 1 2 1 2
(
) /
/
/
/
/
di
R
R
L i
R
L i
E L
dt
di
R
L i
R
L i
dt
15
Tulis dalam bentuk matriks:
1 1 2 2 2 2 1 2
2 2 1 2 1 2
(
) /
/
/
/
/
0
i
R
R
L
R
L
i
E L
d
i
R
L
R
L
i
dt
Substitusi R
1 = 8 Ω, R2 = 3 Ω, L1 = 1 h, L2 = 1 h, E = 100 sin t,
1 1
2 2
11
3
100sin
3
3
0
i
i
t
d
i
i
dt
Tuliskan dalam bentuk notasi standar:
11
3
100sin
3
3
0
t
16
Pertama, selesaikan sistem homogen
11 3
3 3
X X
Persamaan karakteristik
2
2
11 3
det( )
3 3
33 14 9
14 24 ( 2)( 12) 0
λ λ
λ λ
λ
λ λ λ λ
A I
17 • Untuk nilai eigen λ1 = -2
1 2
(
( 2) )
0
9
3
0
3
1
0
k
k
A
I K
1 1
9 1 2
1 1
3
3 3
9
3 0
1
0
1
0
3
1 0
3
1
0
0
0
0
R R R
diperoleh k
1 = (1/3) k2 dan k2 = s dengan s adalah sembarang bilangan real. Pilih s = 3, maka kita peroleh vektor eigen
2
1 1
1
1
3
3
t
e
18 • Untuk nilai eigen λ2 = -12
1 2
(
( 12) )
0
1
3
0
3
9
0
k
k
A
I K
1 2 3
1
3 0
1
3 0
3
9 0
0
0 0
R R
diperoleh k
1 = -3 k2 dan k2 = s dengan s adalah sembarang bilangan real. Pilih s = -1, maka kita peroleh vektor eigen
12
2 2
3
3
1
1
t
e
19
Kita peroleh solusi untuk sistem homogen
2 12
1 2
1
3
3
1
t t
c
c
e
c
e
X
Sehingga matriks fundamental kita dapatkan
2 12
2 12
3 ( )
3
t t
t t
e e
t
e e
Φ dan
2 3 2
1
1 10 10
12 12
3 1
10 10
( )
t t
t t
e e
t
e e
20
Sekarang solusi khusus bisa kita cari
1
2 2
2 12 1 3
10 10
12 12
2 12 3 1
10 10
2 12 2
2 12 12
2 2 12 2 12 ( ) ( ) ( ) 100 sin 3 0 3
3 10 sin
3 30 sin
2 (2 sin cos
3 3 p t t t t t t t t
t t t
t t t
t
t t
t t
t t t dt
t e e e e dt e e e e
e e e t
dt
e e e t
e t e e e e
X Φ Φ F
332 76
29 29
12 276 168
6 29 29 29 sin cos ) sin cos
(12 sin cos )
t
t t
t
t t
e t t
21
Jadi, solusi umum untuk sistem nonhomogen tersebut adalah
332 76
1 2 12 29 29
1 2 276 168
2 29 29
sin cos
( ) 1 3
sin cos
( ) 3 1
c p
t t t t
i t
c e c e
t t
i t
X X X
Karena i
1(0) = 0 dan i2(0) = 0 maka 76
1 2 29 168 1 2 29
3 0
3 0
c c
c c
22
Kita peroleh c
1 = 2 dan c2 = 6/29. Sehingga
18 332 76
1 2 29 12 29 29
6 276 168
2 29 29 29
sin cos
( ) 2
sin cos
( ) 6
t t t t
i t
e e
t t
i t
