Otomatik Kontrol pada mesin bor

(1)

Ot om at ik Kont rol

Laplas Dönü

ş

ümü

(2)

Pierre- Sim on Laplace, 1 7 4 9 - 1 8 2 7

(3)

LAPLAS DÖN Ü

Ş

ÜM Ü

Zam anla değişen bir f( t ) fonksiyonunun Laplas dönüşüm ü

(4)

Laplas dönüşüm ü, diferansiyel denk lem lerin cebirsel ifadelere dönüşt ürülerek çözüm lerinin k olayca elde eldilm esi am c_ıyla k ullan_ıl_ır.

İspa t : Bu dönüşüm ün lineer olam sı için linner olm a

şart larını sağlam ası gerekir;

1)

(5)

Lineer olm anın her iki şartını da sağladığı için Laplas dönüşüm ü lineer bir dönüşüm dür.

Baz

_ı

Önem li Fonk siyonlar

_ı

n Laplas Dönü

ş

üm leri

(6)

Örnek :

eat_{f( t )} _{nin Laplas dönü}ş_{üm ü nedir?}

( Bu ifadeye üst el öt elem e de adı verilir.)

Son u ç: Eğer ea t_{f( t )} _{nin Laplas dönü}ş_{üm ünü bulm ak ist iyorsak}

f( t ) ’nin Laplas dönüşüm ünü al_ıp s yerine s- a yazm ak yet erli olur.

(7)

(8)

Adi Diferansiyel Denk lem lerin Fonk siyonlar

_ı

n

(9)

(10)

Bizim örneğim izde s’in yerini s- 2 almıştır. O halde fonksiyonum uz F( s- 2 ) dir.( )

Bir fonksiyonu zam an ekseni üzerinde kaydırırsak, o fonksiyonun öt elenm iş halini elde ederiz.

(11)

(12)

Te or e m :

İ

spa t :

(13)

Örnek :

İfadesinin Laplas dönüşüm ünü bulunuz.

N OT:

0 – ∞ arasında t anım lanmış sint fonksiyonunu ele alalım .

Bu fonksiyonu π/ 2 kadar zam an ekseninde sağa doğru it elersek, Laplas değeri:

(14)

(15)

Örnek :

Fonksiyonunu çiziniz.

(16)

Örnek :

tn İ_{fadesinin Laplas dönü}ş_{üm ünü bulunuz.}

Dikkat edilecek olursa t sonsuza giderken son kesirli ifadenin payı

ve paydası sonsuza git m ekt edir. Bu durum da L’hospit al kuralı

(17)

Ters Laplas Dönü

ş

üm leri

şeklinde sem bolize edilir. Kısm i kesirlere ayırm a yönt em i kullanılır, böylece karm aşık ifadeler sadeleşt irilerek Laplas dönüşüm ü bilinen ifadeler haline dönüşt ürülür.

Örnek :

_{ifadesinin t ers Laplas dönü}_ş_{üm ünü bulunuz.}

(18)

Örnek :

(19)

Örnek :

Ters Laplas Dönüşüm ü

(20)

Yük sek M ert ebeden Türevlerin H esaplanm as

_ı

şeklinde yazılabilir.

(21)

Darbe (

İ

m puls) Fonk siyonu

Darbe fonksiyonu sist em elerin davranışları hakkında bilgi edinm ek için kullanılır.

Darbe fonksiyonu, kuvvet in, gerilim in veya benzer fonksiyonların sist em e çok kısa süre içersinde çok büyük değerler alacak şekilde uygulanm ası ile oluşt urulur.

I st aka ile bilardo t opuna vurm ak buna örnek olabilir. Bu vuruş sonrası t opun dinam ik davranışı, ilk değerleri sıfır kabul edilen bir sist em in darbe yanıtı şeklinde ele alınabilir.

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Ö

rn

e

k

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

Örnek :

Aşağıdaki şekildeki fonksiyonun Laplas dönüşüm ünü bulunuz.

(33)

(34)