Ot om at ik Kont rol
Laplas Dönü
ş
ümü
Pierre- Sim on Laplace, 1 7 4 9 - 1 8 2 7
LAPLAS DÖN Ü
Ş
ÜM Ü
Zam anla değişen bir f( t ) fonksiyonunun Laplas dönüşüm ü
Laplas dönüşüm ü, diferansiyel denk lem lerin cebirsel ifadelere dönüşt ürülerek çözüm lerinin k olayca elde eldilm esi am cıyla k ullanılır.
İspa t : Bu dönüşüm ün lineer olam sı için linner olm a
şart larını sağlam ası gerekir;
1)
Lineer olm anın her iki şartını da sağladığı için Laplas dönüşüm ü lineer bir dönüşüm dür.
Baz
ı
Önem li Fonk siyonlar
ı
n Laplas Dönü
ş
üm leri
Örnek :
eatf( t ) nin Laplas dönüşüm ü nedir?( Bu ifadeye üst el öt elem e de adı verilir.)
Son u ç: Eğer ea tf( t ) nin Laplas dönüşüm ünü bulm ak ist iyorsak
f( t ) ’nin Laplas dönüşüm ünü alıp s yerine s- a yazm ak yet erli olur.
Adi Diferansiyel Denk lem lerin Fonk siyonlar
ı
n
Bizim örneğim izde s’in yerini s- 2 almıştır. O halde fonksiyonum uz F( s- 2 ) dir.( )
Bir fonksiyonu zam an ekseni üzerinde kaydırırsak, o fonksiyonun öt elenm iş halini elde ederiz.
Te or e m :
İ
spa t :
Örnek :
İfadesinin Laplas dönüşüm ünü bulunuz.
N OT:
N OT:
0 – ∞ arasında t anım lanmış sint fonksiyonunu ele alalım .Bu fonksiyonu π/ 2 kadar zam an ekseninde sağa doğru it elersek, Laplas değeri:
Örnek :
Fonksiyonunu çiziniz.Örnek :
tn İfadesinin Laplas dönüşüm ünü bulunuz.Dikkat edilecek olursa t sonsuza giderken son kesirli ifadenin payı
ve paydası sonsuza git m ekt edir. Bu durum da L’hospit al kuralı
Ters Laplas Dönü
ş
üm leri
şeklinde sem bolize edilir. Kısm i kesirlere ayırm a yönt em i kullanılır, böylece karm aşık ifadeler sadeleşt irilerek Laplas dönüşüm ü bilinen ifadeler haline dönüşt ürülür.
Örnek :
ifadesinin t ers Laplas dönüşüm ünü bulunuz.Örnek :
ifadesinin t ers Laplas dönüşüm ünü bulunuz.Örnek :
ifadesinin t ers Laplas dönüşüm ünü bulunuz.Ters Laplas Dönüşüm ü
Yük sek M ert ebeden Türevlerin H esaplanm as
ı
şeklinde yazılabilir.
Darbe (
İ
m puls) Fonk siyonu
Darbe fonksiyonu sist em elerin davranışları hakkında bilgi edinm ek için kullanılır.
Darbe fonksiyonu, kuvvet in, gerilim in veya benzer fonksiyonların sist em e çok kısa süre içersinde çok büyük değerler alacak şekilde uygulanm ası ile oluşt urulur.
I st aka ile bilardo t opuna vurm ak buna örnek olabilir. Bu vuruş sonrası t opun dinam ik davranışı, ilk değerleri sıfır kabul edilen bir sist em in darbe yanıtı şeklinde ele alınabilir.