Matematika Geodesi Regresi dan Interpola

(1)

Regresi &

Interpolasi

Regresi &

Interpolasi

Mata Kuliah Matematika Geodesi S1 Departemen Teknik Geomatika

(2)

Ladyana Septyadewi 03311640000006

Friska Margaretta Tobing

03311640000025

As Team Leader

Arik Yumna Pratiwi 03311640000012

Ahmad Saifudin 03311640000046

Meet Our Team

Abdul Hafidh Hidayatulloh 03311640000022 Nugraheni Dewi

Mustikawati

03311640000002

Markus Juliano Sinaga 03311640000043 Ananda Ayu Febri

Anggreyni

(3)

(4)

(5)

-Anonymous-1

4

2

3 Regresi

Linear

Regresi

Non-Linear

Pengertia

n

Interpolas

i

(6)

Apa itu

(7)

Regresi Linear

• _Regresi

_{merupakan alat ukur}

yang digunakan untuk

mengetahui ada tidaknya korelasi

antar variabel.

• _{Regresi linier}

_{adalah regresi}

yang variabel bebasnya (variabel

X) berpangkat paling tinggi satu.

Untuk regresi sederhana, yaitu

regresi linier yg hanya

(8)

Tujuan Regresi

Linear?

Tujuan Regresi

Linear?

untuk melakukan prediksi

yang sangat bergantung

pada kemampuan dalam

menempatkan garis

‘best-fitting’ yaitu garis

dua regresi pada dua set

data yang berkolerasi.

Analisis regresi lebih akurat dalam analisis korelasi karena tingkat

perubahan suatu variabel terhadap variabel lainnya dapat ditentukan).

(9)

:

nilai prediksi dari variabel dependen

variable independen

perpotongan garis regresi dengan sumbu y

(\y-intercept")

gradien (kemiringan) dari garis regresi

Persamaan Regresi

Linear

(10)

Mencari nilai a dan b

(11)

X Y X2 _Y2 _XY

Contoh Soal 1

Berikut ini data mengenai pengalaman kerja dan

penjualan

X=pengalaman kerja (tahun) Y=omzet penjualan (ribuan)

• _{Tentukan nilai a dan b} dengan menggunakan ketiga cara!

• _{Buatkan persamaan}

regresinya!

• _{Berapa omzet pengjualan} dari seorang karyawan yg pengalaman kerjanya 3,5 tahun

X 2 3 2 5 6 1 4 1

Y 5 8 8 7 11 3 10 4

(12)

X Y X2 _Y2 _XY

Contoh Soal 1

penjualan

regresinya!

X 2 3 2 5 6 1 4 1

Y 5 8 8 7 11 3 10 4

Penyelesaian Cara 2

Pendekatan Matriks

(13)

Contoh Soal 1

penjualan

regresinya!

X 2 3 2 5 6 1 4 1

Y 5 8 8 7 11 3 10 4

Penyelesaian Cara 3

• Dari ketiga cara pengerjaan tersebut diperoleh nilai a = 3,25 dan nilai b = 1,25

• Persamaan regresi linearnya Y=3,25+1,25X • Nilai duga Y, jika X=3,5 adalah

Y=3,25+1,25X

Y=3,25+1,25(3,5) =7,625

(14)

Koefisien Determinasi

(R

2

)

• _{Nilai determinasi (R}2) sebesar

0,6696, artinya sumbangan atau pengaruh pegalaman

• _{Kerja terhadap naik turunnya omzet}

penjualan adalah sebesar 66,96%. Sisanya 33,04%

• _{Disebabkan oleh faktor lain yang}

(15)

Standar Deviasi

_S

y/x

= S

xy

= S

Jika semua titik observasi berada tepat pada garis regresi, standar deviasinya sama dengan nol. Menunjukkan pencaran data.

Selisih taksir standar berguna mengetahui batasan seberapa jauh

melesetnya perkiraan dalam meramal data.

S

_x/y

= S

_yx

= S

atau

Keterangan :

S_y/x = S_x/y = Selisih taksir standar Y=X = nilai variabel sebenarnya Y’=X’ = nilai variabel yang

diperkirakan

n = jumlah frekuensi

Selisih Taksir Standar

Angka indeks yang digunakan untuk

mengukur ketepatan suatu penduga atau mengukur jumlah variasi titik-titik

(16)

X Y X2 Y2 XY Y’

Y-Contoh Soal 2

Berikut hubungan antara variable X dan variable Y:

a) Buatkan persamaan regresinya

b) Tentukan nilai duga Y, bila X=8

c) Tentukan selisish taksis standarnya

X 1 2 3 4 5 6

Y 6 4 3 5 4 2

Penyelesaian

a) Persamaan garis regresi

b) Nilai duga Y, jika X=8

(17)

A. Menentukan persamaan regresinya

Langkah 1 :

Menentukan variable X dan

variable Y. Dalam soal ini variable biaya periklanan merupakan

variable X dan tingkat penjualan merupakan variable Y.

Langkah 2 :

Membuat table regresi sederhana

Jawaban :

Latihan Soal 1

Diketahui suatu penelitian terhadap hubungan antara nilai biaya periklanan

dengan tingkat penjualan dari sebuah koperasi

adalah sebagai berikut (dalam ribuan rupiah)_Biaya

periklanan PenjualanTingkat

50 40

51 46

52 44

53 55

54 49

a. Tentukan persamaan regresinya

b. Tentukan koefisien korelasi dan koefisien determinasinya?

c. Hitunglah besarnya kesalahan standar estimasi!

Langkah 3 :

Menentukan koefisien a dan koefisien b

Langkah 4:

Menentukan

persamaan regresi linier sederhana

Maka persamaan

regresi dalam soal ini adalah :

Periklana n (X)

Tkt. Penjualan (

Y) X

2 _Y2 _(XY)

50 40 2500 1600 2000 51 46 2601 2116 2346 52 44 2704 1936 2288 53 55 2809 3025 2915 54 49 2916 2401 2646

(18)

A. HJ B. GHN

C. Menentukan besarnya kesalahan standar estimasi Se = ∑Y2 – a ∑Y – b ∑XY) n-2

Se= √( 11078 - (-93,6) (234) – (2,7) (1915)) 5 -2 Se= 4,24

B. Menentukan besarnya koefisien korelasi dan koefisien determinasi Koefisien korelasi :

r = n (∑XY) – (∑X) (∑Y)

[ n (∑X2) – (∑X2)]1/2 [ n (∑Y2) – (∑Y)2]1/2

r = 5(12195) – (260) (234)

[ 5 (13530) – (260)2] 1/2 [ 5 (11078) – (234)2]1/2

(19)

Penyelesaian

Konvarians:

X-varians :

Gradien :

b = = = 0,476

Perpotongan dengan y (y-intercept) = 113,36-(0,476x21,6)=1,088

Sehingga diperoleh persamaan regresi: Y=1,088+0,476x

Latihan Soal 2

Hitung regresi linier untuk data panjang aliran sungai (s) vs luas basin (y) dari Kalimantan berikut. Berapa luas basin apabila panjang aliran sungainya 14 km?

S

216 113,

(20)

Penyelesaian

Menentukan persamaan Y' = a + bX + e

konstanta a dan koefisien b, kita ikuti langkah sebagai berikut :

Jawaban :

Latihan Soal 3

Sebuah penelitian terhadap pohon Mahoni, dimana akan diteliti apakah ada hubungan antara tinggi pohon dengan

diameter batang pohon, dengan artian apakah ada pengaruh

diameter batang pohon

terhadap tinggi pohon tersebut.Tinggi Pohon (y) Diameter Batang (x)

35 8

Maka dIperoleh :

Persamaan regresi diperoleh :

Y' = -1,3147 + 4,5413X + e

(21)

r = 0,886 bernilai positif dan kuat

artinya terdapat hubungan atau korelasi yang kuat antara tinggi pohon mahoni dengan diameter batang pohon mahoni. Semakin besar diameter batang pohon mahoni maka semakin tinggi batang pohon mahoni.

R2 = 0,8862 = 0,785

artinya sekitar 78,5% variasi dari variabel diameter batang pohon mahoni dapat menjelaskan

variasi dari variabel tinggi pohon mahoni.

(cukup tinggi)

Pengujian Koefisien Regresi :

> Hipotesis Uji

Ho : b = 0 Ha : b ≠ 0

> Taraf Signifikansi

Pilih nilai signifikansi a = 5%

> Daerah Kritis

dengan nilai a = 5% dan derajat bebas n-2=8-2=6, maka diperoleh nilai t-tabel pada 5%/2 = 2,5% yaitu 2,447.

 _{Statistik Uji}

> Keputusan

nilai t-hitung = 4,6805 > t-tabel = 2,447 sehingga Ho ditolak dan Ha diterima.

> Kesimpulan

Dengan tingkat signifikansi 5% cukup menjelaskan bahwa ada pengaruh diameter batang pohon mahoni terhadap tinggi pohon mahoni.

(22)

Apa itu

(23)

• _{Regresi Non-Linear}_adalah metode untuk mendapatkan model linear yang

menyatakan hubungan variable dependen (Y) dan independen (X).

• _{Tidak seperti regresi linear} yang dibatasi oleh waktu menaksir/meramal, regresi non-linear dapat

mengestimasi model

hubungan variable dependen dan independan dalam

bentuk non linear dengan keakuratan yang lebih baik.

Regresi

Non-Linear

Macam-Macam

_Regresi

Non-Linear:

Model Polinom

Model Eksponen

Model Geometris

Model Logistik

5

(24)

Model Polinom

1

dimana c_i adalah konstanta (bil. bulat positif)

Polinom Derajat 2 (Kuadratik)

Untuk polinom derajat dua, k=2 mempunyai model kuadratik (parabola), dengan bentuk umum:

Dalam model statistis parabola ditulis:

= Peubah Statis

= Koefisien regresi/pramaeter yang tidak diketahui

= Rerata Y dan X

Jadi, taksiran untuk model parabola kuadratik dapat ditulis dengan;

dengan koefisien dan ditentukan berdasarkan data hasil pengamatan. Jika menyatakan data hasil pengamatan data hasil pengamatan dalam sebuah sampel berukuran n, metode kuadratik terkecil memberikan nilai-nilai dan dengan cara menyelesaikan persamaan normal berikut

(25)

Model Polinom

1 Polinom Derajat 3 (Kubik)

Polinom Derajat 3 (Kubik)

Persamaan Umum:

dengan koefisien a, b, c dan d dihitung dari data hasil pengamatan.

Persamaan-persamaan di atas dapat diselesaikan secara serentak dengan menggunakan metode eliminasi, juga dengan metode Cramer.

(26)

Model eksponen adalah salah satu model yang juga banyak digunakan apabila situasi tidak memungkinkan model linear atau polinom.

Model Eksponen

2

Persamaan Umum:

Model tersebut dapat dikembalikan kepada model linear apabila diambil logaritmanya.

Dalam logaritma menjadi:

Apabila diambil , maka

(27)

Sama halnya dengan model

eksponen, model geometri juga dapat dikembalikan kepada model linear

Model Geometri

3

Persamaan Umum:

Jika dikembalikan dalam logaritma menjadi:

Koefisien a dan b dapat dicari dengan:

(28)

Untuk , persamaan diatas dapat ditulis sebagai

Model Logistik

4

Bentuk paling sederhana model logistic dapat ditaksir oleh

Jika diambil logaritmanya, maka didapat:

Koefisien a dan b dapat dicari dengan:

(29)

Untuk , persamaan diatas dapat ditulis sebagai

Model Hiperbola

5

Bentuk paling sederhana model logistic dapat ditaksir

yang ternyata merupakan bentuk linier dalam variable-variabel X dan

(30)

Penyelesaian

Pertama-tama kita perhatikan nilai-nilai yang perlu untuk menghitung a dan b pada model ini.

Contoh Soal 1

Diketahui data model geometric. Tentukan model regresi

geometriknya!X Y

20 150

35 126

60 105

100 100

150 92

300 97

500 97

800 62

1200 58

1300 40

1500 38

1600 35

X Y log X log Y log X log Y log2_X

20 150 1.301029996 2.176091259 2.831160001 1.69267905

35 126 1.544068044 2.096910013 3.237771743 2.384146126

60 105 1.77815125 2.021189299 3.593980279 3.161821869

100 100 2 2 4 4

150 92 2.176091259 1.963787827 4.273381526 4.735373168

300 97 2.477121255 1.986771734 4.921474491 6.136129711

500 97 2.698970004 1.986771734 5.362237316 7.284439084

800 62 2.903089987 1.792391689 5.203474367 8.427931473

1200 58 3.079181246 1.763427994 5.429914407 9.481357146

1300 40 3.113943352 1.602059991 4.98872406 9.696643201

1500 38 3.176091259 1.579783597 5.017536872 10.08755569

1600 35 3.204119983 1.544068044 4.947379275 10.26638486

(31)

Contoh Soal 1

Dari hitungan dalam table didapatkan:

(32)

Contoh Soal 2

Seorang peneliti ingin mengetahui hubungan antara dosis obat

tertentu (X) dengan kadar Creatinin Ginjal (Y) kelinci percobaan, dari hasil peneitiannya diperoleh hasil pada table disamping!

Tentukan model regresi polinom berderajat dua!

No Dosis Obat (X)

Kadar Kreatin (Y)

1 1 10

64 199 356 2278 15704 803 4055

No Dosis Obat

64 199 356 2278 15704 803 4055

Penyelesaian

(33)

Dari table kita dapat persamaan normal:

Setelah persamaan simultan ini diselesaikan, diperoleh

, , dan

Jadi, persamaan regresi parabola dapat ditulis:

64 199 356 2278 15704 803 4055

No X Y X2 _X3 _X4 _XY _X2_Y

(34)

Latihan Soal 1

Diketahui data penjualan suatu produk dari mulai diproduksi

sampai produk tersebut berumur 24 bulan (2 tahun) serta

keuntungannya ditunjukkan oleh table disamping.

Bulan

10 15510

11 26500

12 40350

13 77510

14 111950

15 165300

16 311600

17 627480

18 804250

19 1540980 20 2314250 21 3923250 22 6010500 23 12334230 24 15975210 300 44303145

Tentukan

(35)

Latihan Soal 2

Kedai Burger Enak pada hari pertama pembukaan memiliki jumlah pengunjung yang

berbeda pada setiap

menitnya. Pada menit-menit pertama pembukaan,

terdapat banyak pengunjung yang tertarik untuk melihat-lihat dan membeli di toko tersebut. Data pengunjung diberikan sebagai berikut:

X = menit setelah toko dibuka Y = jumlah pengunjung took

Menit

(X) Pengunjung (Y)

5 150

Tentukan

persamaan regresi Model Geometrik dari data pada latihan soal 2!

Latihan Soal 3

(36)

IN

T

E

R

P

O

L

A

S

I

Apa itu

Interpolasi

?

(37)

Interpolasi

adalah perkiraan suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpolasi dalam arti luas merupakan upaya mendefinisikan

suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi yang tak mungkin diperoleh persamaan analitiknya.

(38)

Seorang mahasiswa diminta untuk melakukan eksperimen di Lab Sensor dan Telekontrol untuk mengukur tegangan keluaran sensor PIR (passive infrared) yang dapat

digunakan untuk mendeteksi orang dengan jarak tertentu. Hasilnya berupa tabel dan grafik berikut ini.

Jar

Jarak/d (m) V

Si mahasiswa kebingungan karena dia tidak mengukur tegangan keluaran pada jarak yang diminta dosennya tersebut. Dia juga tidak bisa lagi melakukan eksperimen karena semua alat yang digunakan sudah dikembalikan.

Dalam kasus ini, kita dapat melakukan 2 cara untuk memperoleh data yang tidak terdapat dalam himpunan data diskrit yang ada, yaitu dengan membuat kurva yang mencakup titik yang hendak dicari.

"kalau jarak obyeknya adalah

(39)

Interpolasi

_Regresi

Regresi

kurva yang terjadi dipaksakan untuk melewati

titik-titik data yang tersedia bentuk kurvanya mengikuti fungsi tertentu yang belum tentu melewati titik-titik data yang tersedia

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Jarak/d (m) V

(40)

Pengantar

Umumnya data

engineering

banyak

yang berupa tabulasi

,

dikarenakan

pada kenyataannya data yang bisa

diperoleh adalah bersifat

diskrit

atau

juga karena

keterbatasan dalam

pengukuran

sehingga hanya

sebagian data yang dapat

disimpan/dicatat.

X Y

0.2 10.1

0.3 12.5

0.4 14.2

0.5 17.8

0.6 19.3

Contoh Berupa Tabulasi

Beberapa cara dalam

meng

interpretasi

kan

manipulasi data

diskrit

:

1

Numerical Interpolation Curve Fitting

Numerical

Differentiation

(41)

Interpolasi

: Metode yang digunakan

untuk menaksir harga (-harga) yang

terletak

diantara titik-titik data

dalam table yang terbebas dari

kesalahan

Untuk (

n

+1) titik data,

ada satu

dan hanya satu polinom

yang

melewati semua titik data (derajat

polinom

n

atau kurang dari

n

).

linear

kuadratik

kubik

Interpolasi berbeda dengan

ekstrapolasi, namun keduanya sama-sama digunakan untuk menaksir.

Interpolasi berbeda dengan

(42)

x₁ x_i x₂ x3

y₁

y_i

y₂ y₃

x₁ x₂ x3 x

e

y

1

y

e

y

2

y

3

Interpolasi

_Ekstrapolasi

Ekstrapolasi

X_i terletak diantara simpul-simpul yang ada

X_e tidak terletak diantara simpul-simpul yang ada atau berada di luar simpul.

(43)

IN

T

E

R

P

O

LA

S

I

LI

N

E

A

R

Linear?

Apa

itu

?

(44)

Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus.

Interpolasi Linear

(x-x

₁

) + y

₂

Persamaan garis lurus yang melalui

2 titik P₁(x₁,y₁) dan P₂(x₂,y₂) dapat dituliskan dengan:

Persamaan Interpolasi Linear

(45)

Algoritma Interpolasi Linear

Menentukan dua titik P₁ & P₂

dengan koordinatnya (x₁, y₁) dan (x₂, y₂)

Menentukan nilai x dari titik yang

akan dicari

Menghitung nilai y

dengan:

(

x – x

₁

) +

y

₂

1

Menampilkan

nilai titik yang baru Q(x,y)

2

(46)

Interpolasi Linear

Interpolasi Linear merupakan interpolasi dua buah titik

dengan sebuah garis lurus.

Misal diberikan dua buah titik, (x₀, y₀) dan (x₁, y₁).

Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah

persamaan garis lurus yang berbentuk:

P(x) = a

₀

+ a

₁

x

Koefisien a₀ dan a₁ dicari dengan proses subsitusi dan eliminasi. Dengan mensubstitusikan (x₀, y₀) dan (x₁, y₁) ke dalam persamaan

. . . (1) . . . (2)

Kemudian, eliminasi kedua persamaan tersebut:

(47)

Substitusikan nilai a₁ ke dalam persamaan 1

Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai p1(x) dapat dilakukan sbb:

(48)

Diketahui:

Ditanya: Prediksi jumlah penduduk Purworejo tahun 1995.

Ingat:

Misalkan x=1995

196.800

Jadi, diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada tahun 1995 adalah 196.800 orang

Contoh Soal 1

Perkirakan atau prediksi

jumlah penduduk Purworejo pada tahun 1995

berdasarkan data tabulasi berikut:

Tahun Jumlah

Penduduk

1990 187.900

(49)

Diketahui:

2.2513

Ditanya: tentukan nilai ln(9.2) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan nilai sejati ln(9.2)=2.2192

Ingat:

2.21884

Galat = nilai sejati ln(9.2) – nilai ln(9.2) interpolasi linear

Galat = 2.2192 – 2.21884 = 3,6 x 10-4

Contoh Soal 2

Dari data:

ln(9.0) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513,

Tentukan ln(9.2) dengan interpolasi linier sampai 4 desimal.

Bandingkan hasil yang

(50)

Diketahui: x = 45

Ditanya: Perkiraan jarak henti kecepatan 45 mil/jam.

Ingat:

Jadi, Jarak henti yang dibutuhkan kendaraan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam adalah 77.5 feet.

Contoh Soal 3

Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti

adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini

menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang

dibutuhkan untuk

menghentikan kendaraan.Kecepatan (mil/jam

Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah

(51)

0 5 10 15 20 25 30 35 t (sekon)

v

Latihan soal

1

The upward velocity of a rocket is given as a function of time in Table 1.